第4讲 不等式
不等式的解法 [核心提炼]
1．一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
2．简单分式不等式的解法 (1)f （x ）g （x ）
>0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； (2)f （x ）g （x ）
≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. [典型例题]
(1)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，若不等式f (x )＞0的解集是(－1，3)，则不等式f (－
2x )＜0的解集是( )
A.????－∞，－32∪????1
2，＋∞ B.???
?－32，12 C.????－∞，－12∪????3
2，＋∞ D.???
?－12，32 (2)不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 (1)由f (x )＞0，得ax 2＋(ab －1)x －b ＞0，又其解集是(－1，3)， 所以a ＜0，且???1－ab
a
＝2，－b
a ＝－3，
解得a ＝－1或1
3
(舍去)，
所以a ＝－1，b ＝－3，所以f (x )＝－x 2＋2x ＋3， 所以f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，
由－4x 2－4x ＋3＜0，得4x 2＋4x －3＞0， 解得x ＞12或x ＜－3
2
，故选A.
(2)当a ＝2时，不等式化为－4<0，恒成立； 当a ≠2时，
由条件知?
????a －2<0
Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）<0，
解得－2 综上所述，a 的取值范围是(－2，2]． 【答案】 (1)A (2)(－2，2] 不等式的求解技巧 (1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化． (2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得出不等式的解集． (3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论． [对点训练] 1．不等式x 2x －1>1的解集为( ) A.????12，1 B ．(－∞，1) C.? ???－∞，1 2∪(1，＋∞) D.???? 12，2 解析：选A.原不等式等价于 x 2x －1－1>0，即x －（2x －1）2x －1>0，整理得x －12x －1 <0， 不等式等价于(2x －1)(x －1)<0，解得1 2 2．(2019·湖北八校联考)已知关于x 的不等式ax 2－ax －2a 2>1(a >0，a ≠1)的解集为(－a ，2a )，且函数f (x )＝ ??? ?1a x 2 ＋2mx －m －1的定义域为R ，则实数m 的取值范围为________． 解析：当a >1时，由题意可得x 2－ax －2a 2>0的解集为(－a ，2a )，这显然是不可能的．当0 <0的解集为(－a ，2a )，且????1a x 2 ＋2mx －m ≥????1a 0 ，即x 2＋2mx －m ≥0恒成立，故对于方程x 2＋2mx －m ＝0，有Δ＝4m 2＋4m ≤0，解得－1≤m ≤0. 答案：[－1，0] 绝对值不等式 [核心提炼] 1．含绝对值不等式的解法 (1)|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 型不等式的解法 ①若c >0，则|ax ＋b |≤c ?－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c ?ax ＋b ≥c ，或ax ＋b ≤－c ，然后根 据a ，b 的取值求解即可； ②若c <0，则|ax ＋b |≤c 的解集为?，|ax ＋b |≥c 的解集为R . (2)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法 ①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根； ②把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间； ③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集； ④这些解集的并集就是原不等式的解集． 2．绝对值不等式的性质(三角不等式) (1)对绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时． (2)该定理可强化为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，它经常用于证明含绝对值的不等式． [典型例题] (1)(2019·绍兴市诸暨市高考二模)已知f (x )＝x 2＋3x ，若|x －a |≤1，则下列不等式一 定成立的是( ) A ．|f (x )－f (a )|≤3|a |＋3 B ．|f (x )－f (a )|≤2|a |＋4 C ．|f (x )－f (a )|≤|a |＋5 D ．|f (x )－f (a )|≤2(|a |＋1)2 (2)(2019·新高考研究联盟第一次联考)已知函数f(x)＝|x 2－a|＋|x －b|(a ，b ∈R )，当x ∈[－2，2]时，记f (x )的最大值为M (a ，b )，则M (a ，b )的最小值为________． 【解析】 (1)因为|x －a |≤1，所以a －1≤x ≤a ＋1， 因为f (x )是二次函数， 所以f (x )在区间[a －1，a ＋1]上单调时，|f (x )－f (a )|取得最大值为|f (a ＋1)－f (a )|或|f (a －1)－f (a )|，而|f (a ＋1)－f (a )|＝|(a ＋1)2＋3(a ＋1)－a 2－3a |＝|2a ＋4|≤2|a |＋4， |f (a －1)－f (a )|＝|(a －1)2＋3(a －1)－a 2－3a |＝|－2a －2|＝|2a ＋2|≤2|a |＋2. 所以|f (x )－f (a )|≤2|a |＋4，故选B. (2)法一：根据对称性，不妨设b ≤0，x ∈[0，2]，所以f (x )＝|x 2－a |＋x －b ，所以M (a ，b )≥|x 2 －a |＋x －b ≥|x 2－a |＋x . 令g (x )＝|x 2－a |＋x ，x ∈[0，2] ①当a ≤0时，g (x )＝x 2＋x －a ，g (x )max ＝6－a ≥6； ②当0＜a ＜4时，g (x )＝???－x 2＋x ＋a ，x ∈[0，a ]，x 2＋x －a ，x ∈[a ，2] 所以当0＜a ＜14时，g (x )max ＝max{a ，6－a }＝6－a ＞23 4； 当1 4 ≤a ＜4时， g (x )max ＝max ? ??? ?? 14＋a ，6－a ＝? ??14＋a ，23 8≤a ＜4，6－a ，14＜a ＜238 . 所以g (x )max ≥ 258 . ③当a ≥4时，g (x )＝－x 2＋x ＋a ，g (x )max ＝14＋a ≥17 4； 综合①②③得M (a ，b )min ＝ 258，当且仅当a ＝23 8 ，b ＝0时取到． 法二：f (x )＝max{|x 2＋x －a －b |，|x 2－x －a ＋b |}，令f 1(x )＝|x 2＋x －a －b |，f 2(x )＝|x 2－x －a ＋b |， g 1(x )＝x 2＋x －a －b ，g 2(x )＝x 2－x －a ＋b ， 根据图象可知：f 1(x )max ＝max ? ??? ?? |6－a －b |，??? ?－14－a －b ， f 2(x )max ＝max ? ??? ?? |6－a ＋b |，??? ?－14－a ＋b . 所以2f 1(x )max ≥|6－a －b |＋????－14－a －b ≥????（6－a －b ）－????－14－a －b ＝254， 同理：2f 2(x )max ≥|6－a ＋b |＋????－14－a ＋b ≥????（6－a ＋b ）－????－14－a ＋b ＝254， 当且仅当? ?? （6－a －b ）＝－????－1 4－a －b （6－a ＋b ）＝－??? ?－14－a ＋b ，即?????a ＝238 b ＝0时取等号， 所以M (a ，b )min ＝ 258 . 【答案】 (1)B (2)25 8 (1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原 函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决是常用的思维方法． (2)对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x －a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值． [对点训练] 1．(2019·宁波市六校联盟模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.当a ＝－4时，则不等式f (x )≥6的解集为________；若f (x )≤|x －3|的解集包含[0，1]，则实数a 的取值范围是________． 解析：当a ＝－4时，f (x )≥6，即|x －4|＋|x －2|≥6， 即?????x ≤24－x ＋2－x ≥6或?????2 或? ????x ≥4 x －4＋x －2≥6， 解得x ≤0或x ≥6. 所以原不等式的解集为(－∞，0]∪[6，＋∞)． 由题可得f (x )≤|x －3|在[0，1]上恒成立． 即|x ＋a |＋2－x ≤3－x 在[0，1]上恒成立， 即－1－x ≤a ≤1－x 在[0，1]上恒成立． 即－1≤a ≤0. 答案：(－∞，0]∪[6，＋∞) [－1，0] 2．(2019·杭州学军中学高三模拟)已知a 和b 是任意非零实数． (1)求 |2a ＋b |＋|2a －b | |a | 的最小值； (2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，求实数x 的取值范围． 解：(1)因为|2a ＋b |＋|2a －b ||a |≥|2a ＋b ＋2a －b ||a |＝|4a ||a |＝4，所以|2a ＋b |＋|2a －b ||a | 的最小值为 4. (2)不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，即|2＋x |＋|2－x |≤|2a ＋b |＋|2a －b | |a |恒 成立， 故|2＋x |＋|2－x |≤?? ?? |2a ＋b |＋|2a －b ||a |min . 由(1)可知，|2a ＋b |＋|2a －b | |a | 的最小值为4， 所以x 的取值范围即为不等式|2＋x |＋|2－x |≤4的解集． 解不等式得－2≤x ≤2， 故实数x 的取值范围为[－2，2]． 简单的线性规划问题 [核心提炼] 1．平面区域的确定方法 平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的区域的交集． 2．线性目标函数z ＝ax ＋by 最值的确定方法 线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b 可知z b 是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况 下取得最大值、什么情况下取得最小值． [典型例题] (1)(2019·高考浙江卷)若实数x ，y 满足约束条件???? ?x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y ≥0， 则z ＝3x ＋2y 的最 大值是( ) A ．－1 B ．1 C ．10 D ．12 (2)(2018·高考浙江卷)若x ，y 满足约束条件???? ?x －y ≥0，2x ＋y ≤6，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋3y 的最小值是 ____________，最大值是____________． (3)(2019·宁波高考模拟)已知A (1，1)，B (－2，1)，O 为坐标原点，若直线l ：ax ＋by ＝2与△ABO 所围成区域(包含边界)没有公共点，则a －b 的取值范围为________． 【解析】 (1)作出可行域如图中阴影部分所示，数形结合可知，当直线z ＝3x ＋2y 过点(2，2)时，z 取得最大值，z max ＝6＋4＝10.故选C. (2)由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2，2)，(1，1)，(4，－2)为顶点的三角形及其内部区域(图略)．由线性规划的知识可知，目标函数z ＝x ＋3y 在点(2，2)处取得最大值，在点(4，－2)处取得最小值，则最小值z min ＝4－6＝－2，最大值z max ＝2＋6＝8. (3)A (1，1)，B (－2，1)，O 为坐标原点，若直线l ：ax ＋by ＝2与△ABO 所围成区域(包含 边界)没有公共点， 得不等式组? ????a ＋b ＜2 －2a ＋b ＜2， 令z ＝a －b ， 画出不等式组表示的平面区域，判断知，z ＝a －b 在M 取得最小值， 由? ????a ＋b ＝2， －2a ＋b ＝2 解得M (0，2)， a －b 的最小值为－2. a － b 的取值范围是(－2，＋∞)． 故答案为(－2，＋∞)． 【答案】 (1)C (2)－2 8 (3)(－2，＋∞) 解决线性规划问题应关注的三点 (1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决． (2)画可行域时应注意区域是否包含边界． (3)对目标函数z ＝Ax ＋By 中B 的符号，一定要注意B 的正负与z 的最值的对应，要结合图形分析． [对点训练] 1．(2019·嘉兴市高考模拟)已知实数x ，y 满足?????x －3≤0y －1≥0x －y ＋1≥0，若ax ＋y 的最大值为10，则 实数a ＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 解析：选C.画出满足条件的平面区域，如图所示： 由? ????x ＝3x －y ＋1＝0，解得A (3，4)， 令z ＝ax ＋y ，因为z 的最大值为10， 所以直线在y 轴上的截距的最大值为10，即直线过(0，10)， 所以z ＝ax ＋y 与可行域有交点， 当a ＞0时， 直线经过A 时z 取得最大值． 即ax ＋y ＝10，将A (3，4)代入得： 3a ＋4＝10，解得a ＝2，当a ≤0时，直线经过A 时z 取得最大值， 即ax ＋y ＝10，将A (3，4)代入得：3a ＋4＝10，解得：a ＝2，与a ≤0矛盾， 综上a ＝2. 2．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域???? ?x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0 中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．3 2 D ．6 解析：选C.作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示， 过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ， 则四边形ABDC 为矩形，又C (2，－2)，D (－1，1)， 所以|AB |＝|CD |＝（2＋1）2＋（－2－1）2 ＝3 2. 3．(2019·温州市高考模拟)若实数x ，y 满足?????y －x ＋1≥0x ＋y －2≤0x ，y ≥0，则y 的最大值为________， y ＋1 x ＋2 的取值范围是________． 解析：作出不等式组???? ?y －x ＋1≥0x ＋y －2≤0x ，y ≥0，对应的平面区域如图： 可知A 的纵坐标取得最大值：2. 因为z ＝y ＋1 x ＋2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (－2， －1)的斜率，由图象知BD 的斜率最小，AD 的斜率最大，则z 的最大为2＋10＋2＝32，最小为0＋11＋2＝1 3 ， 即13≤z ≤32 ， 则z ＝y ＋1x ＋2的取值范围是[13，32]． 答案：2 [13，3 2 ] 基本不等式及其应用 [核心提炼] 利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值1 4 s 2(简记为：和定，积有最大值)． [典型例题] (1)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1 ab 的最小值为________． (2)(2019·金丽衢十二校高考二模)设A ＝{(x ，y )|x 2－a (2x ＋y )＋4a 2＝0}，B ＝{(x ，y )||y |≥b |x |}，对任意的非空实数a ，均有A ?B 成立，则实数b 的最大值为________． 【解析】 (1)因为ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥2 4ab · 1 ab ＝4， 当且仅当?????a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1 ab 的最小值是4. (2)由x 2－a (2x ＋y )＋4a 2＝0得y ＝1 a x 2－2x ＋4a ， 则|y ||x |＝|x a ＋4a x －2|， 当ax ＞0时，x a ＋4a x ≥24＝4， 所以|x a ＋4a x －2|≥|4－2|＝2，即|y | |x |≥2， 当ax ＜0时，x a ＋4a x ≤－24＝－4， 所以|x a ＋4a x －2|≥|－4－2|＝6，即|y | |x |≥6， 因为对任意实数a ，均有A ?B 成立， 即|y |≥b |x |恒成立，即|y | |x |≥b 恒成立， 所以b ≤2， 故答案为2. 【答案】 (1)4 (2)2 利用不等式求最值的解题技巧 (1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值． (2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，可以通过凑系数后得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值． (3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值．即化为y ＝m ＋A g （x ）＋Bg (x )(A >0，B >0)，g (x )恒正或恒负的形式， 然后运用基本不等式来求最值． (4)“1”的代换：先把已知条件中的等式变形为“1”的表达式，再把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积，通过变形构造和或积为定值的代数式求其最值． [对点训练] 1．(2019·温州市瑞安市高考模拟)若x ＞0，y ＞0，则x x ＋2y ＋y x 的最小值为________． 解析：设y x ＝t ＞0，则x x ＋2y ＋y x ＝11＋2t ＋t ＝11＋2t ＋12(2t ＋1)－1 2≥2 1 1＋2t ×1＋2t 2－12＝2 －1 2 ， 当且仅当t ＝ 2－12＝y x 时取等号． 故答案为：2－1 2. 答案：2－1 2 2．(2018·高考江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________． 解析：因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a sin 60°＋1 2c sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a >0， c >0，所以1a ＋1c ＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )????1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥5＋2c a ·4a c ＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9. 答案：9 专题强化训练 1．(2019·金华十校联考)不等式(m －2)(m ＋3)＜0的一个充分不必要条件是( ) A ．－3＜m ＜0 B ．－3＜m ＜2 C ．－3＜m ＜4 D ．－1＜m ＜3 解析：选A.由(m －2)(m ＋3)＜0得－3＜m ＜2，即不等式成立的等价条件是－3＜m ＜2， 则不等式(m －2)(m ＋3)＜0的一个充分不必要条件是(－3，2)的一个真子集， 则满足条件是－3＜m ＜0. 故选A. 2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪????－1 2，＋∞，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－1 2 D.12 解析：选B.根据不等式与对应方程的关系知－1，－1 2是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0 的两个根，所以－1×????－12＝－1 a ，所以a ＝－2，故选B. 3．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋1 3y 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．2 3 解析：选C.因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2， 所以x ＋3y ＝1， 所以1x ＋13y ＝????1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x 3y ≥4， 当且仅当3y x ＝x 3y ， 即x ＝12，y ＝1 6 时，取等号． 4．若平面区域???? ?x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间 的距离的最小值是( ) A.35 5 B.2 C.322 D.5 解析：选B.不等式组???? ?x ＋y －3≥02x －y －3≤0x －2y ＋3≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (1，2)、 B (2，1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A 与B ，又两平行直线的斜率为1，直线AB 的斜率为－1，所以线段AB 的长度就是过A 、B 两点的平行直线间的距离，易得|AB |＝2，即两条平行直线间的距离的最小值是2，故选B. 5．(2019·金丽衢十二校高三联考)若函数f (x )＝2x 2－a x －1(a <2)在区间(1，＋∞)上的最小值为 6，则实数a 的值为( ) A ．2 B.32 C ．1 D.12 解析：选 B.f (x )＝2x 2－a x －1＝2（x －1）2＋4（x －1）＋2－a x －1＝2(x －1)＋2－a x －1＋ 4≥2 2（x －1）·2－a x －1＋4＝24－2a ＋4，当且仅当2(x －1)＝2－a x －1 ?x ＝1＋ 2－a 2 时，等号成立，所以24－2a ＋4＝6?a ＝3 2 ，故选B. 6．若不等式组? ????x 2－2x －3≤0， x 2＋4x －（1＋a ）≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4] B ．[－4，＋∞) C ．[－4，20] D ．[－4，20) 解析：选B.不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1，3]， 假设? ????x 2－2x －3≤0， x 2＋4x －（a ＋1）≤0的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x < －1或x >3}的子集，因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图象的对称轴方程为x ＝－2，所以必有 f (－1)＝－4－a >0?a <－4，则使? ????x 2－2x －3≤0， x 2＋4x －（1＋a ）≤0的解集不为空集的a 的取值范围是a ≥ －4. 7．(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知变量x ，y 满足约束条件???? ?x －2y ≥－2x －y ≤0x ≥－4，若 不等式2x －y ＋m 2≥0恒成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－6，6] B ．(－∞，－6]∪[6，＋∞) C ．[－7，7] D ．(－∞，－7]∪[7，＋∞) 解析：选D.作出约束条件???? ?x －2y ≥－2x －y ≤0x ≥－4所对应的可行域(如图中 阴影部分)，令z ＝－2x ＋y ，当直线经过点A (－4，－1)时，z 取得最大值， 即z max ＝(－2)×(－4)＋(－1)＝7. 所以m 2≥7，即实数m 的取值范围为(－∞，－7]∪[7，＋∞)，故选D. 8．已知b >a >0，a ＋b ＝1，则下列不等式中正确的是( ) A ．log 3a >0 B ．3a － b <13 C ．log 2a ＋log 2b <－2 D ．3????b a ＋a b ≥6 解析：选C.对于A ，由log 3a >0可得log 3a >log 31， 所以a >1，又b >a >0，a ＋b ＝1，所以a <1，两者矛盾，所以A 不正确； 对于B ，由3a －b <13 可得3a －b <3－ 1， 所以a －b <－1，可得a ＋1a >0，a ＋b ＝1矛盾，所以B 不正确； 对于C ，由log 2a ＋log 2b <－2可得log 2(ab )<－2＝log 21 4， 所以ab <1 4，又b >a >0，a ＋b ＝1>2ab ， 所以ab <1 4，两者一致， 所以C 正确； 对于D ，因为b >a >0，a ＋b ＝1， 所以3????b a ＋a b >3×2 b a ×a b ＝6，所以D 不正确．故选C. 9．(2019·绍兴市柯桥区高三期中)已知x ，y ∈R ，( ) A ．若|x －y 2|＋|x 2＋y |≤1，则(x ＋12)2＋(y －12)2≤32 B ．若|x －y 2|＋|x 2－y |≤1，则(x －12)2＋(y －12)2≤3 2 C ．若|x ＋y 2|＋|x 2－y |≤1，则(x ＋12)2＋(y ＋12)2≤3 2 D ．若|x ＋y 2|＋|x 2＋y |≤1，则(x －12)2＋(y ＋12)2≤3 2 解析：选B.对于A ，|x －y 2|＋|x 2＋y |≤1，由(x ＋12)2＋(y －12)2≤3 2化简得x 2＋x ＋y 2－y ≤1， 二者没有对应关系；对于B ，由(x 2－y )＋(y 2－x )≤|x 2－y |＋|y 2－x |＝|x －y 2|＋|x 2－y |≤1， 所以x 2－x ＋y 2－y ≤1，即(x －12)2＋(y －12)2≤3 2，命题成立；对于C ，|x ＋y 2|＋|x 2－y |≤1， 由(x ＋12)2＋(y ＋12)2≤3 2化简得x 2＋x ＋y 2＋y ≤1，二者没有对应关系；对于D ，|x ＋y 2|＋|x 2＋y |≤1， 化简(x －12)2＋(y ＋12)2≤3 2 得x 2－x ＋y 2＋y ≤1，二者没有对应关系．故选B. 10．若关于x 的不等式x 3－3x 2－ax ＋a ＋2≤0在x ∈(－∞，1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3] B ．[－3，＋∞) C ．(－∞，3] D ．[3，＋∞) 解析：选A.关于x 的不等式x 3－3x 2－ax ＋a ＋2≤0在x ∈(－∞，1]上恒成立， 等价于a (x －1)≥x 3－3x 2＋2＝(x －1)(x 2－2x －2)， 当x ＝1时，1－3－a ＋a ＋2＝0≤0成立， 当x ＜1时，x －1＜0， 即a ≤x 2－2x －2， 因为y ＝x 2－2x －2＝(x －1)2－3≥－3恒成立， 所以a ≤－3，故选A. 11．(2019·温州市高三高考模拟)若关于x 的不等式|x |＋|x ＋a |＜b 的解集为(－2，1)，则实数对(a ，b )＝________． 解析：因为不等式|x |＋|x ＋a |＜b 的解集为(－2，1)， 所以? ????2＋|－2＋a |＝b 1＋|1＋a |＝b ，解得a ＝1，b ＝3. 答案：(1，3) 12．若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则2x ＋1y 的最小值是________，x －y x 2＋y 2的 最大值为________． 解析：实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则xy ＝2， 则2x ＋1 y ≥22x ·1y ＝2，当且仅当2x ＝1 y ，即x ＝2，y ＝1时取等号， 故2x ＋1 y 的最小值是2， x －y x 2＋y 2＝x －y （x －y ）2＋2xy ＝x －y （x －y ）2＋4＝1 （x －y ）＋ 4 x －y ≤ 1 2 （x －y ） 4 x －y ＝14，当且仅当x －y ＝4 x －y ，即x －y ＝2时取等号， 故 x －y x 2＋y 2 的最大值为14，故答案为2，1 4. 答案：2 1 4 13．(2019·兰州市高考实战模拟)若变量x ，y 满足约束条件?????x ≥0y ≥03x ＋4y ≤12，则z ＝2x ·????12y 的 最大值为________． 解析：作出不等式组???? ?x ≥0y ≥03x ＋4y ≤12表示的平面区域如图中阴影部 分所示．又z ＝2x ·??? ?12y ＝2x －y ，令u ＝x －y ，则直线u ＝x －y 在点(4，0)处u 取得最大值，此时z 取得最大值且z max ＝24－ 0＝16. 答案：16 14．已知函数f (x )＝? ????2－ x －1，x ≤0 －x 2＋x ，x >0，则关于x 的不等式f (f (x ))≤3的解集为________． 解析：令f (t )≤3，若t ≤0，则2－t －1≤3，2－ t ≤4，解得－2≤t ≤0；若t >0，则－t 2＋t ≤3， t 2－t ＋3≥0，解得t >0，所以t ≥－2，即原不等式等价于? ????2－ x －1≥－2x ≤0或?????－x 2＋x ≥－2x >0，解得 x ≤2. 答案：(－∞，2] 15．(2019·宁波市九校联考)已知f (x )＝|x ＋1x －a |＋|x －1x －a |＋2x －2a (x ＞0)的最小值为3 2， 则实数a ＝________． 解析：f (x )＝|x ＋1x －a |＋|x －1x －a |＋2x －2a ≥|(x ＋1x －a )－(x －1 x －a )|＋2x －2a ＝|2 x |＋2x －2a ＝2 x ＋2x －2a ≥2 2x ·2x －2a ＝4－2a . 当且仅当2 x ＝2x ，即x ＝1时，上式等号成立． 由4－2a ＝32，解得a ＝5 4. 答案：5 4 16．(2019·绍兴市柯桥区高三模拟)若|x 2＋|x －a |＋3a |≤2对x ∈[－1，1]恒成立，则实数a 的取值范围为________． 解析：|x 2＋|x －a |＋3a |≤2化为－2－x 2≤|x －a |＋3a ≤2－x 2，画出图象，可知，其几何意义为顶点为(a ，3a )的V 字型在x ∈[－1，1]时，始终夹在y ＝－2－x 2，y ＝2－x 2之间，如图1，图2所示， 为两种临界状态，首先就是图1 的临界状态，此时V 字形右边边界y ＝x ＋2a 与y ＝－2－x 2相切，联立直线方程和抛物线方程可得x 2＋x ＋2a ＋2＝0，此时Δ＝0?1－4(2a ＋2)＝0?a ＝－7 8 ，而图2的临界状态显然a ＝0， 综上得，实数a 的取值范围为????－7 8，0. 答案：??? ?－7 8，0 17．(2019·温州模拟)已知a ，b ，c ∈R ，若|a cos 2x ＋b sin x ＋c |≤1对x ∈R 成立，则|a sin x ＋b |的最大值为________． 解析：由题意，设t ＝sin x ，t ∈[－1，1]，则|at 2－bt －a －c |≤1恒成立， 不妨设t ＝1，则|b ＋c |≤1；t ＝0，则|a ＋c |≤1，t ＝－1，则|b －c |≤1， 若a ，b 同号，则|a sin x ＋b |的最大值为 |a ＋b |＝|a ＋c ＋b －c |≤|a ＋c |＋|b －c |≤2； 若a ，b 异号，则|a sin x ＋b |的最大值为 |a －b |＝|a ＋c －b －c |≤|a ＋c |＋|b ＋c |≤2； 综上所述，|a sin x ＋b |的最大值为2， 故答案为2. 答案：2 18．(2019·丽水市第二次教学质量检测)已知函数f (x )＝4－|ax －2|(a ≠0)． (1)求函数f (x )的定义域； (2)若当x ∈[0，1]时，不等式f (x )≥1恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)要使函数有意义，需4－|ax －2|≥0，即 |ax －2|≤4，|ax －2|≤4?－4≤ax －2≤4?－2≤ax ≤6. 当a >0时，函数f (x )的定义域为{x |－2a ≤x ≤6a }； 当a <0时，函数f (x )的定义域为{x |6a ≤x ≤－2 a }． (2)f (x )≥1?|ax －2|≤3，记g (x )＝|ax －2|，因为x ∈[0，1]， 所以需且只需? ????g （0）≤3g （1）≤3??????2≤3 |a －2|≤3?－1≤a ≤5， 又a ≠0，所以－1≤a ≤5且a ≠0. 19．(2019·丽水市高考数学模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a | x 2＋1(a ∈R )． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )>1； (2)对任意的b ∈(0，1)，当x ∈(1，2)时，f (x )>b x 恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )＝|x ＋1|x 2＋1>1?x 2＋1<|x ＋1|?? ????x ＋1≥0x 2＋1 故不等式的解集为{x |0 |x ＋a |x 2＋1>b x ?|x ＋a |>b (x ＋1x )?x ＋a >b (x ＋1x )或x ＋a <－b (x ＋1x )?a >(b －1)x ＋b x 或a <－ [(b ＋1)x ＋b x ]对任意x ∈(1，2)恒成立． 所以a ≥2b －1或a ≤－(5 2b ＋2)对任意b ∈(0，1)恒成立． 所以a ≥1或a ≤－9 2. 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 2010——2016《不等式》高考真题 2010全国卷设函数f(x)=241 x-+ （Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像； （Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围. 2011全国卷设函数()||3 =-+，其中0 f x x a x a>． （I）当a=1时，求不等式()32 ≥+的解集． f x x （II）若不等式()0 x≤-，求a的值． f x≤的解集为｛x|1} 2012全国卷已知函数f (x ) = |x + a | + |x －2|. (Ⅰ)当a =－3时，求不等式f (x )≥3的解集； (Ⅱ)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。 2013全国卷Ⅰ 已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +. （Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集； （Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12 )时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 2013全国卷Ⅱ 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)2221a b c b c a ++≥. 2014全国卷Ⅰ 若,0,0>>b a 且ab b a =+11 （I ）求33b a +的最小值； （II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由. 2014全国卷Ⅱ设函数() f x=1(0) ++-> x x a a a （Ⅰ）证明：() f<，求a的取值范围. f x≥2 （Ⅱ）若()35 2015全国卷Ⅰ已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0. （Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集； （Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D 基本不等式及其应用 [基础训练] 1．下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0，则a 2 ＋1 a 的最小值是2a ； ②函数f (x )＝sin 2x 3＋cos 2x 的最大值是2； ③函数f (x )＝x ＋1 x 的值域是[2，＋∞)； ④对任意的实数a ，b 均有a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＝－b . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 : 答案：B 解析：①错误：设f (a )＝a 2 ＋1 a ，其中a 是自变量，2a 也是变化的，不能说2a 是f (a )的最小值； ②错误：f (x )＝sin 2x 3＋cos 2 x ≤sin 2x ＋3＋cos 2x 2 ＝2， 当且仅当sin 2x ＝3＋cos 2x 时等号成立，此方程无解， ∴等号取不到，2不是f (x )的最大值； ③错误：当x >0时，x ＋1 x ≥2 x ·1x ＝2， 当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时等号成立； 当x <0时，－x >0，x ＋1 x ＝－? ?? ??－x ＋1－x ≤－2 －x ·1 －x ＝－2， ￥ 当且仅当－x ＝－1 x ，即x ＝－1时等号成立． ∴f (x )＝x ＋1 x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)； ④正确：利用作差法进行判断． ∵a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ， 其中等号成立的条件是a ＋b ＝0，即a ＝－b . 2．[2019河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则 2 a －1＋1 b 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 答案：D 解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2， \ 所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1， 所以2a －1＋1b ＝? ????2 a －1＋1 b ·[(a －1)＋2b ] ＝4＋4b a －1 ＋a －1b ≥4＋2 4b a －1·a －1 b ＝8， 当且仅当4b a －1＝a －1 b 时等号成立， 所以2a －1 ＋1b 的最小值是8，故选D. 3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] ！ 答案：D 解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)， ∴2 x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14， 得x ＋y ≤－2.故选D. 4．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) B ．2 2 D ．2 答案：D 解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ， 基本不等式专题 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ （6），、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； （7）)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立. （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ 专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科） 一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络 其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时， 2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ． 2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--< 典型例题一 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 （1）解：原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 （2）解法一：原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二：原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 基本不等式 【考点梳理】 1．基本不等式ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2 ＋b 2 ≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)? ?? ??a ＋b 22≤a 2 ＋b 2 2(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为 a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)． 【考点突破】 考点一、配凑法求最值 【例1】(1)若x ＜ 54，则f (x )＝4x －2＋145 x -的最大值为________． (2)函数y ＝ x －1 x ＋3＋x －1 的最大值为________. [答案] (1) 1 (2) 1 5 [解析] (1)因为x ＜5 4 ，所以5－4x ＞0， ＝－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝1 5－4x ，即x ＝1时，等号成立. 故f (x )＝4x －2＋1 4x －5的最大值为1. (2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2 ＋1， 所以y ＝ t t 2 ＋1＋3＋t ＝ t t 2 ＋t ＋4 . 当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t ＞0，即x ＞1时，y ＝ 1 t ＋4t ＋1 ， 因为t ＋4 t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)， 所以y ＝ 1t ＋4t ＋1 ≤1 5， 即y 的最大值为1 5(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值). 【类题通法】 1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件. 2.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. 【对点训练】 1．若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋2 B ．1＋3 C ．3 D ．4 [答案] C [解析] 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋ 1 x －2 ＋2≥2（x －2）× 1 x －2 ＋2＝4，当 高考数学专题练习：不等式与线性规划 1。若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1，43 B 。? ???? 12，43 C 。? ? ???1，74 D 。? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4。 综上,12＜a ＜7 4,故选D 。 2。已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A 。(a －1)(b －1)＜0 B 。(a －1)(a －b )＞0 C 。(b －1)(b －a )＜0 D 。(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(－3,1)∪(3,＋∞) B 。(－3,1)∪(2,＋∞) C 。(－1,1)∪(3,＋∞) D 。(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3。由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－3 基本不等式 基础梳理 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥????a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为 a ＋ b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 22 ab ≤????a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥????a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x ≥2， 当且仅当x ＝1时取等号． 答案 C 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1 －1≥2－1＝1. 答案 B 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12 B ．1 C ．2 D ．4 解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2， ∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12 . 答案 A 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2 ＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2 (x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 答案 C 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________． 解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号． 答案 －2 不等式 (必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________. 解析 由题意知Δ＝[(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0， 解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2. 答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞) (2016·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件???x －y ＋1≥0， x ＋y －3≥0，x －3≤0， 则 z ＝x －2y 的最小值为 ________. 解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5. 答案 －5 (2016·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件???2x －y ＋1≥0， x －2y －1≤0，x ≤1， 则z ＝2x ＋3y －5的最小值为_____. 解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知， 当直线y ＝－23x ＋53＋z 3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10. (2017·西安检测)已知变量x ，y 满足???2x －y ≤0， x －2y ＋3≥0，x ≥0， 则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________. 解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示.令m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋m 的纵截距最大，此时m 最大，故z 最大.由?????2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，解得?????x ＝1，y ＝2， 即A (1，2).代入目标函数z ＝(2)2x ＋y 得，z ＝(2)2×1＋2＝4. 答案 4 (2016·北京卷)若x ，y 满足???2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0， 则2x ＋y 的最大值为( ) A.0 B.3 C.4 D.5 解析 画出可行域，如图中阴影部分所示， 令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 过点A (1，2)时，z 最大，z max ＝4. 答案 C (2016·山东卷)若变量x ，y 满足???x ＋y ≤2， 2x －3y ≤9，x ≥0， 则x 2＋y 2的最大值是( ) 2015-2019高考数学全国卷真题（不等式选讲） 2019-3-23.设,,,x y z R ∈且1x y z + +=. （1）求()()()222111x y z -++++的最小值； （2）()()()2221213x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 2019-2-23.已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围. 2019-1-23.已知a ，b ，c 为正数，且满足1=abc ．证明： （1）22211 1 a b c a b c ++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 2018-3-23.已知函数()211f x x x =++-. (1)画出()y f x =的图像； (2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值. 2018-2-23.设函数()5|||2|f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围． 2018-1-23.已知()|1||1|f x x ax =+--. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集； （2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范. 2017-3-23.已知函数21)(--+=x x x f ． （1）求不等式1)(≥x f 的解集； （2）若不等式m x x x f +-≥2)(的解集非空，求m 的取值范围． 专题20 不等式训练 【训练目标】 1、掌握不等式的性质，能利用不等式的性质，特殊值法等判断不等式的正误； 2、熟练的解一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式，对数不等式，指数不等式，含根式的不等式； 3、掌握分类讨论的思想解含参数的不等式； 4、掌握恒成立问题，存在性问题； 5、掌握利用基本不等式求最值的方法； 6、掌握线性规划解决最优化问题； 7、掌握利用线性规划，基本不等式解决实际问题。 【温馨小提示】 在高考中，不等式无处不在，不论是不等式解法还是线性规划，基本不等式，一般单独出现的是线性规划或基本不等式，而不等式的解法则与集合、函数、数列相结合。 【名校试题荟萃】 1、若实数且，则下列不等式恒成立的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据函数的图象与不等式的性质可知：当时，为正确选项，故选C． 2、已知，，则（） A. B. C. D. 【答案】A 3、，设，则下列判断中正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】令，则，故选B 4、若，且，则下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 . 5、袋子里有大小、形状相同的红球个，黑球个（）.从中任取个球是红球的概率记为.若将红球、黑球个数各增加个，此时从中任取个球是红球的概率记为；若将红球、黑球个数各减少个，此时从中任取个球是红球的概率记为，则（） A. B. C. D. 【答案】D 6、若，，则下列不等式错误的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为，，所以，，故A、B正确；由已知得， ，所以，所以C错误；由，得，，所以 成立，所以D正确．故选C． 不等式应试技巧总结 1、不等式的性质： （1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则 a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； （2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若 0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则 a b c d >）； （3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b > >（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b >。 【例】（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0< <<则若；⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______（答：12,2? ?-- ?? ?） 2. 不等式大小比较的常用方法： （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 【例】（1）设0,10>≠>t a a 且，比较 21log log 21+t t a a 和的大小（答：当1a >时，11log log 22 a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11 log log 22 a a t t +≥（1t =时取等号））； （2）设2a >，1 2 p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（答：p q >）； （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小（答：当01x <<或4 3 x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当 413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当4 3 x =时，1+3log x ＝2log 2x ） 3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方 针。 【例】（1）下列命题中正确的是A 、1y x x =+的最小值是 2 B 、2y =的最小值是 2 C 、 423(0)y x x x =--> 的最大值是2- D 、4 23(0)y x x x =--> 的最小值是2-（答：C ）； （2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______ （答：； （3）正数,x y 满足21x y +=，则y x 1 1+的最小值为______ （答：3+； 4.常用不等式有：（1 2211 a b a b +≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a 、b 、c ∈R ，222 a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； （3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m +<+（糖水的浓度问题）。 【例】如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[)9,+∞） 考点29 基本不等式 一、选择题 1.（2013·重庆高考理科·Ｔ3 ）63)a -≤≤的最大值为 ( ) A.9 B.2 9 C.3 D. 2 2 3 【解题指南】直接利用基本不等式求解. 【解析】选B. 当6-=a 或3=a 时, 0)6)(3(=+-a a ，当36<<-a 时, 2 9263)6)(3(=++-≤ +-a a a a ,当且仅当,63+=-a a 即23 =a 时取等号. 2. （2013·山东高考理科·Ｔ12）设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z =0.则当 xy z 取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A.0 B.1 C. 94 D.3 【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入212x y z +-，进而再利用基本不等式求出2 12x y z +-的最值. 【解析】选B. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+. 所以 22 14343xy xy x y z x xy y y x ==-++ -1≤=，当且仅当4x y y x =，即2x y =时取等号此时22y z =， 1)(max =z xy . xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2y y x y -=-=2 11122412y y ??+- ? ?≤= ? ??? . 3. （2013·山东高考文科·Ｔ12）设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ， 则当 z xy 取得最大值时，2x y z +-的最大值为（ ） A.0 B.9 8 C.2 D.94 【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入2x y z +-，进而再利用基本不等式求出2x y z +-的最值. 【解析】 选C. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+. 所以1342344322=-?≥-+=+-=x y y x x y y x xy y xy x xy z ，当且仅当4x y y x = ， 即2x y =时取等号此时22y z =， 所以()2222222422222 22=?? ? ??-+≤-=-=-+=-+y y y y y y y y y z y x ， 当且仅当y=2-y 时取等号. 4.(2013·福建高考文科·T7)若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是 ( ) A ．[]0,2 B ．[]2,0- C ．[)2,-+∞ D ．(],2-∞- 【解题指南】“一正二定三相等”,当题目出现正数,出现两变量,一般而言,这种题就是在考查基本不等式. 【解析】选D. ≤2x +2y =1,所以2x+y ≤14 ,即2x+y ≤2-2,所以x+y ≤-2. 二、填空题 5. （2013·四川高考文科·Ｔ13）已知函数()4(0,0)a f x x x a x =+>>在3x =时取得最小值，则a =____________。 【解题指南】本题考查的是基本不等式的等号成立的条件，在求解时需要找到等号成立的条件，将3x =代入即可. 【解析】由题()4(0,0)a f x x x a x =+>>，根据基本不等式4a x x +≥高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
高考数学全国卷选做题之不等式
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
2020年高考数学复习题：基本不等式及其应用
高考数学不等式专题
2020高考理科数学不等式问题的题型与方法
2017-18全国卷高考真题 数学 不等式选修专题
高考数学百大经典例题——不等式解法
2019高考数学不等式：基本不等式
高考数学专题练习：不等式与线性规划
高考数学之基本不等式
2018年高考数学—不等式专题
2015-2019高考数学全国卷真题(不等式选讲)
不等式-高考数学解题方法归纳总结专题训练
高考数学不等式解题方法技巧
高中数学高考题详解-基本不等式
相关主题
文本预览