【冲刺卷】高中必修二数学下期中模拟试卷(附答案)
一、选择题
1．已知三棱锥A BCD -中，5AB CD ==
，2==AC BD ，3AD BC ==，若该
三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ） A ．
32
π B ．24π
C ．6π
D ．6π
2．已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ?是正三角形，AD ⊥平面ABC ，
26AD AB ==，则该球的体积为（ ）
A ．48π
B ．24π
C ．16π
D ．323π
3．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）
A ．
12
B ．12
-
C ．
32
D ．3 4．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，
72
PA =
，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．
812π
B ．
814
π
C ．65π
D ．
652
π
5．已知圆M ：2
2
20x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M 到直线l 的最大距离为（ ） A ．5
B ．6
C ．35
D 416．从点(,3)P m 向圆2
2
(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( ) A ．26B ．5
C 26
D ．427．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积
为（ ） A ．
814
π
B ．16π
C ．9π
D ．
274
π
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．12
B ．18
C ．24
D ．30
9．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的
平面截该正方体所得的截面周长为（ ） A ．25B ．25C ．25
D ．25
10．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，2，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为2
3
，则这个球的表面积为（ ） A ．
1256π
B ．8π
C ．
2516
π
D ．
254
π
11．设有两条直线m ，n 和三个平面α，β，γ，给出下面四个命题： ①m α
β=，////n m n α?，//n β ②αβ⊥，m β⊥，//m m αα??；
③//αβ，//m m αβ??； ④αβ⊥，//αγβγ⊥? 其中正确命题的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）
A ．34a
B ．33a
C ．32
a
D ．3a 3a
二、填空题
13．设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且
1PA PB PC ===，则球O 的表面积为____________.
14．已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点
()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.
15．在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2
2221
10y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最
小值为a ，则实数a 的取值为_____．
16．圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是 ．
17．若直线l ：-3y kx =与直线23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.
18．如上图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1AB CC 、的中点，
1MB P ?的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动，有以下四个命题：
A ．平面1M
B P 1ND ⊥； B ．平面1MB P ⊥平面11ND A ；
C ．?1MB P 在底面ABC
D 上的射影图形的面积为定值；
D ．?1MB P 在侧面11D C CD 上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是__________. 19．在各棱长均为1的正四棱锥P ABCD -中，M 为线段PB 上的一动点，则当
AM MC +最小时，cos AMC ∠=_________
20．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，则直线BE 和平面11ABB A 所成的角的正弦值为_____________.
三、解答题
21．已知圆2
2
:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)74l m x m y m +++--=0，（m ∈R ）．
（1）证明：无论m 取何值，直线l 过定点；
（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时m 的值及最短弦长．
22．如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥底面ABCD ，090ABC ∠=，
23SA AB ==，，1BC =，23AD =，060ACD ∠=，E 为CD 的中点.
（1）求证：//BC 平面SAE ；
（2）求直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值.
23．如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，1,D D 分别是BC 和11B C 的中点.
（1）求证：11//A D 平面1AB D
（2）若平面ABC ⊥平面111,60BCC B B BC ∠=?，求三棱锥1B ABC -的体积. 24．已知圆C 过点()1,1A ，()3,1B -，圆心C 在直线250x y --=上，P 是直线
34100x y -+=上任意一点．
（1）求圆C 的方程；
（2）过点P 向圆C 引两条切线，切点分别为M ，N ，求四边形PMCN 的面积的最小值．
25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面
ABC ,1,2AC BC AC BC CC ⊥===，点,,D E F 分别为棱11111,,AC B C BB 的中点．
（1）求证：//AB 平面DEF ； （2）求证：平面1ACB ⊥平面DEF ； （3）求三棱锥1E ACB -的体积. 26．求满足下列条件的直线方程：
（1）经过两条直线23100x y -+=和3420x y +-=的交点，且平行于直线
10x y -+=；
（2）经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且垂直于直线320x y --=.
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一、选择题 1．C 解析：C
【解析】 【分析】
作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积. 【详解】
作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：
设DG x =，DH y =，DE z =，
则2223AD x z =+=，2
2
2
4DB y z =+=，2
2
2
5DC x y =+=， 上述三个等式相加得(
)2
2
2
222
234512AD BD CD x y z
++=++=++=，
2226x y z ++=62
R =
， 因此，此球的体积为3
4
663ππ?=??
. 故选：C. 【点睛】
本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据球的性质可知球心O 与ABC ?外接圆圆心O '连线垂直于平面ABC ；在Rt POE ?和
Rt OO A ?'中利用勾股定理构造出关于半径R 和OO '的方程组，解方程组求得R ，代入球
的体积公式可得结果. 【详解】
设O '为ABC ?的外心，如下图所示：
由球的性质可知，球心O 与O '连线垂直于平面ABC ，作OE AD ⊥于E 设球的半径为R ，OO x '=
ABC ?为等边三角形，且3AB = 3AO '∴= OO '⊥平面ABC ，AD ⊥平面ABC ，OE AD ⊥
OO AE x '∴==，3OE AO '==
在Rt POE ?和Rt OO A ?'中，由勾股定理得：
22222OE PE O O O A R ''+=+=，即()2
22
363x x R +-=+=
解得：3x =，23R =
∴球的体积为：34
3233
V R ππ==
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查棱锥外接球的体积求解问题，关键是能够确定棱锥外接球球心的位置，从而在直角三角形中利用勾股定理构造方程求得半径.
3．A
解析：A 【解析】
如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，
则,MN BD NP AC ，
∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）． 又由题意得PQ MQ ⊥，11
,22
PQ AB MQ CD =
=. 设2AB BC CD ===，则2PM =
又11
2,2
22
MN BD NP AC
====,
∴PNM
?为等边三角形，
∴60
PNM=?
∠，
∴异面直线AC与BD所成角为60?，其余弦值为
1
2
．选A．
点睛：
用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据题意可知，该四棱锥的外接球即为其所在长方体的外接球，根据公式即可求得.
【详解】
根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：
由图可知在长方体中的四棱锥P ABCD
-完全满足题意，
故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球，
故外接球半径
2
22
7
22
29
4
R
??
++ ?
??
==
，
故该球的表面积为2
81
4
4
S R
π
π
==.
故选：B.
【点睛】
本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球.
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
计算圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，最大距离为MN ，得到答案. 【详解】
圆M ：2
2
20x y y =++，即()2
211x y ++=，圆心为()0,1M -，
350ax y a +-+=过定点()3,5N -，故圆心M 到直线l 的最大距离为5MN =.
故选：A . 【点睛】
本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N -是解题的关键.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
设切线长为d ,则2222
(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解. 【详解】
设切线长为d ,则2
2
2
2
(2)51(2)24d m m =++-=++, min d ∴= 故选:A. 【点睛】
本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
7．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上， 记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ，
在Rt △1AOO 中，1AO =
由勾股定理()2
224R R =+-得94
R =， ∴球的表面积81
4
S π=
，故选A.
考点：球的体积和表面积
8．C
解析：C 【解析】
试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为，消去的三棱锥的高为，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角形，所以几何体的体积为
，故选C ．
考点：几何体的三视图及体积的计算．
【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可. 【详解】 作图如下:
因为,E F 是棱1,AD DD 的中点, 所以11////EF AD BC ,
因为EF ?平面11BCC B ,1BC ?平面11BCC B , 所以//EF 平面11BCC B ， 由线面平行的性质定理知,
过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF , 结合图形知,l 即为直线1BC ,
过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC , 因为正方体的棱长AB ＝4,
所以1122,25,42EF BE C F BC ==== 所以所求截面的周长为2+5 故选:A 【点睛】
本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.
10．D
解析：D 【解析】
试题分析：根据题意知，ABC 是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上，设小圆的圆心为Q ，若四面体ABCD 的体积的最大值，由于底面积ABC
S
不变，高最大时体积最大，所以，DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为
12·
3
3ABC S DQ =，即12
133
DQ ??=，∴2DQ =，设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO 中，222OA AQ OQ =+，即()2
2212R R =+-，∴5
4
R =
，则这个球的表面积为：2
525444S ππ??== ???
；故选Ｄ．
考点：球内接多面体，球的表面积．
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】
对于选项①，,//m n m αβ?=不能得出,////n n αβ，因为n 可能在α或β内，故①错误；
对于选项②，由于,,m m αββα⊥⊥?，则根据直线与平面平行的判定，可得//m α，故②正确；
对于选项③，由于//αβ，m α?，则根据面面平行的性质定理可得//m β，故③正确； 对于选项④，由于,αβαγ⊥⊥，则,βγ可能平行也可能相交，故④错误. 故选：B 【点睛】
本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，考查学生的空间想象能力和推理判断能力.
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积． 【详解】
如图，当P 与A 重合时，
异面直线CP 与BA 1所成的角最大， ∴当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时， 三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积：
11C PA D V -=11C AA D V -=111
3AA D S
AB ??=
1111132AA A D AB ?????? ???=11232a a a ?????? ???=3
3
a
． 故选:B ． 【点睛】
求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
二、填空题
13．【解析】【分析】利用条件两两垂直且把三棱锥扩展为正方体球的直径即是正方体的体对角线长由球的表面积公式求解【详解】先把三棱锥扩展为正方体则正方体的体对角线的长为所以球的半径为所以球的表面积为【点睛】本 解析：3π
【解析】 【分析】
利用条件PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===把三棱锥P ABC -扩展为正方体，球的直径即是正方体的体对角线长，由球的表面积公式求解． 【详解】
先把三棱锥P ABC -,所以球的半径为
所以球的表面积为2
4π3π2??
?= ? ???
．
【点睛】
本题主要考查了球的体积公式：3
43
V r π=
球（其中r 为球的半径）及长方体的体对角线长
公式：l =,,a b c 分别是长方体的长、宽、高）．
14．【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键 解析：27310x y -+=
【解析】 【分析】
计算()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()15,3A -，计算直线1A B 得到答案.
【详解】
设()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()1,A x y ，故513
350
22y x x y -?
=??+?-+?+=??，故()15,3A -. 故反射光线为1A B ：()53
2525
y x -=-++，化简得到27310x y -+=. 故答案为：27310x y -+=.
【点睛】
本题考查了直线的反射问题，找出对称点是解题的关键.
15．【解析】【分析】先确定轨迹再根据射线上点与圆的位置关系求最值即得结果【详解】所以为以为圆心为半径的圆及其内部设射线的端点为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系考查数形结
【解析】 【分析】
先确定D 轨迹，再根据射线上点与圆的位置关系求最值，即得结果. 【详解】
2
222222(1)1,11
1,y x c a a c a a =+∴=--=∴=-， 所以D 为以(1,0)F
-为圆心，1a +为半径的圆及其内部，
设射线()02x y x =≥－的端点为(2,2)A ，
所以PQ 的最小值为1
||(1),12,2
AF a a a a -+===. 【点睛】
本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系，考查数形结合思想以及基本分析求解能力，属中档题.
16．4【解析】试题分析：圆的圆心为圆心到直线的距离为所以点到直线的距离的最小值是5-1=4考点：直线和圆的位置关系
解析：4 【解析】
试题分析：圆的圆心为()0,0,1r =，圆心到直线34250x y +-=的距离为
2
2
25534
d -=
=+，所以点到直线34250x y +-=的距离的最小值是5-1=4
考点：直线和圆的位置关系
17．【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为
解析：(,)62
ππ
【解析】
若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：
则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为
2π，当交点为()3,0B 时，斜率(03330k -==-l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ??
??
?． 故答案为,62ππ??
??
? 18．【解析】由正方体的几何性质对4个命题进行判断对于A 当动点P 与点重合时以等腰三角形与不垂直所以不能得出平面A 为假命题；对于B 易证所以平面所以平面⊥平面故B 为真命题；对于C 在底面上的射影图形的面积为定值 解析：BC
【解析】
由正方体的几何性质对4个命题进行判断，对于A ，当动点P 与点1D 重合时，MNP ?以等腰三角形，PM 与1ND 不垂直，所以不能得出平面11MB P ND ⊥，A 为假命题；对于B ，易证11111ND MB MB A D ⊥⊥，，所以1MB ⊥平面11ND A ，所以平面1MB P ⊥平面
11ND A ，故B 为真命题；对于C ，? 1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值，
因为1MB P ?在底面ABCD 的射影是三角形，底边是MB ，点P 在底面的射影在CD 上，到
MB 的距离不变，若正方体棱长为a 时，则射影面积为
2
14
a 为定值，所以C 为真命题；对于D ，当P 点与点1C 重合时，则点1B 与点P 的投影重合，此时? 1MB P 在侧面11D C CD 上的射影图形是线段，不是三角形，故D 是假命题。真命题有BC.
点睛：本题主要考查面面之间的关系以及投影的概念，属于中档题，解决本题的关键是对正方体中的点线面之间的关系有比较透彻的了解，对其中的空间位置比较熟悉。
19．【解析】【分析】将侧面和侧面平展在一个平面上连即可求出满足最小时点的位置以及长解即可求出结论【详解】将侧面和侧面平展在一个平面上连与交点即为满足最小正四棱锥各棱长均为在平展的平面中四边形为菱形且在正
解析：1
3
-
【解析】 【分析】
将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC ，即可求出满足AM MC +最小时，点M 的位置，以及,AM CM 长，解AMC ，即可求出结论. 【详解】
将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上， 连AC 与PB 交点即为满足AM MC +最小， 正四棱锥P ABCD -各棱长均为1，
在平展的平面中四边形PABC 为菱形，且60PAB ∠=，
AM MC ==
P ABCD -
中，AC =在ACM 中，
2
2
2
332
144cos 32324
AM CM AC AMC AM CM +-+-∠===-??. 故答案为:1
3
-.
【点睛】
本题考查线线角，要注意多面体表面的长度关系转化为共面的长度关系，考查直观想象能力，属于中档题.
20．【解析】【分析】作出直线和平面所成的角解直角三角形求得线面角的正弦值【详解】设为的中点连接根据正方体的性质可知平面所以是直线和平面所成的角设正方体的边长为在中所以故答案为：【点睛】本小题主要考查线面 解析：
23
【解析】 【分析】
作出直线BE 和平面11ABB A 所成的角，解直角三角形求得线面角的正弦值. 【详解】
设F 为1AA 的中点，连接,,EF EB BF ，根据正方体的性质可知EF ⊥平面11ABB A ，所以EBF ∠是直线BE 和平面11ABB A 所成的角.设正方体的边长为2，在Rt EBF ?中
2EF =，2
2
2
2213BE =
++=，所以2
sin 3
EF EBF BE ∠=
=. 故答案为：
23
【点睛】
本小题主要考查线面角的求法，考查空间想象能力，属于基础题.
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）3
4
m =-，5 【解析】 【分析】
（1）直线方程可化为()2740x y m x y +-++-=，令270
40
x y x y +-=??
+-=?，解方程组可求
出定点坐标；（2）当圆心与定点所在直线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，求解即可. 【详解】
（1）证明：直线:(21)(1)74l m x m y m +++--=0可化为
()2740x y m x y +-++-=，令270
40
x y x y +-=??
+-=?，解得3,1x y ==，所以直线l 过定点()3,1.
（2）直线l 过定点()3,1A ，22
(31)(12)525-+-=<，故点()3,1A 在圆的内部，直线l
与圆C 相交，圆C 的圆心为()1,2，半径为5，AC ==
当l AC ⊥时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，
211132AC k -=
=--，直线l 的斜率为2，即2121
m m +-=+，解得3
4m =-，
此时弦长为=
故当3
4
m =-时，直线l 被圆C 截得的弦长最短为 【点睛】
本题考查了动直线过定点问题，考查了圆的弦长，考查了学生的计算能力，属于中档题.
22．（1）见解析； （2）7
. 【解析】 【分析】
（1）在ACD ?中，由余弦定理可解得：4CD = 所以222AC AD CD +=，所以ACD ?是直角三角形，
又ACE ?可证为等边三角形，所以060CAE BCA ∠==∠，所以//BC AE ，即可证明
//BC 平面SAE ；
（2）：由（1）可知090BAE ∠=，以点A 为原点，以AB ,AE ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量可求直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值. 【详解】
（1）证明：因为AB =
1BC =，090ABC ∠=，
所以2AC =，060BCA ∠=，
在ACD ?中，AD =2AC =，060ACD ∠=， 由余弦定理可得：2222?cos AD AC CD AC CD ACD =+-∠ 解得：4CD =
所以222AC AD CD +=，所以ACD ?是直角三角形， 又E 为CD 的中点，所以1
2
AE CD CE =
= 又060ACD ∠=，所以ACE ?为等边三角形， 所以060CAE BCA ∠==∠，所以//BC AE ， 又AE ?平面SAE ，BC ?平面SAE ，
所以//BC 平面SAE .
（2）解：由（1）可知090BAE ∠=，以点A 为原点，以AB ,AE ，AS 所在直线分别为
x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,2S ，(
)
3,0,0B
，(
)
3,1,0C
，
()
3,3,0D -.
所以(
)
3,0,2SB =
-，(
)3,1,2SC =
-，()
3,3,2SD =--.
设(),,n x y z =为平面SBC 的法向量，则·0·0n SB n SC ?=?=?，即320
320x z x y z ?-=??+-=??
设1x =，则0y =，32z =，即平面SBC 的一个法向量为31,0,2n ?= ??
， 所以
·2321cos ,77
164
n SD n SD n SD
-=
=
=-
? 所以直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值为21. 【点睛】
不妨考查线面平行的证明以及利用空间向量求线面角，属中档题. 23．（1）证明见解析（2）8 【解析】
试题分析：（1）欲证A 1D 1∥平面AB 1D ，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A 1D 1与平面AB 1D 内一直线平行，连接DD 1，根据中位线定理可知B 1D 1∥BD，且B 1D 1=BD ，则四边形B 1BDD 1为平行四边形，同理可证四边形AA 1D 1D 为平行四边形，则A 1D 1∥AD 又A 1D 1?平面AB 1D ，AD ?平面AB 1D ，满足定理所需条件；
（2）根据面面垂直的性质定理可知AD⊥平面B 1C 1CB ，即AD 是三棱锥A ﹣B 1BC 的高，求出三棱锥A ﹣B 1BC 的体积，从而求出三棱锥B 1﹣ABC 的体积． 试题解析：
（1）证明：如图，连结1DD .在三棱柱111ABC A B C -中，
因为1,D D 分别是BC 与11B C 的中点，所以11//B D BD ，且11B D BD =. 所以四边形11B BDD 为平行四边形，所以11//BB DD ，且11BB DD =. 又1111//,AA BB AA BB =所以1111//,AA DD AA DD =， 所以四边形11AA D D 为平行四边形，所以11//A D AD .
又11A D ?平面1AB D ，AD ?平面1AB D ，故11//A D 平面1AB D .
（2）解：（方法1)
在ABC ?中，因为AB AC =，D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥. 因为平面ABC ⊥平面11B C CB ，交线为BC ，AD ?平面ABC , 所以AD ⊥平面11B C CB ，即AD 是三棱锥1A B BC -的高. 在ABC ?中，由4AB AC BC ===，得3AD =. 在1B BC ?中，114,60B B BC B BC ==∠=?， 所以1B BC ?的面积2
134434
S B BC ?=
= 所以三棱锥1B ABC -的体积，即三棱锥1A B BC -的体积
111
4323833
V S B BC AD =???=?=.
(方法 2)在1B BC ? 中，因为11,60B B BC B BC =∠=?， 所以1B BC ?为正三角形，因此1B D BC ⊥.
因为平面ABC ⊥平面11B C CB ，交线为BC ，1B D ?平面11B C CB ， 所以1B D ⊥平面ABC ，即1B D 是三棱锥1B ABC -的高. 在ABC ?中，由4AB AC BC ===，得ABC ?的面积2
3443ABC S ?=
= 在1B BC ?中，因为114,60B B BC B BC ==∠=?，所以123B D =. 所以三棱锥1B ABC -的体积111
4323833
ABC V S B D ?=
??=?=. 点睛：本题主要考查了线面平行的判定，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了推理论证的能力、计算能力，转化与划归的思想，属于中档题． 24．（1）()()2
2
314x y -+-=（2）5【解析】
（1）首先列出圆的标准方程()()()2
2
20x a y b r r -+-=>，根据条件代入，得到关于
,,a b r 的方程求解；（2）根据切线的对称性，可知，12222
S PM PM =???=，这样
求面积的最小值即是求PM 的最小值，当点P 是圆心到直线的距离的垂足时，PM 最小. 【详解】
解：（1）设圆C 的方程为()()()2
2
20x a y b r r -+-=>．
由题意得()()()()222
222
250,11,31,a b a b r a b r ?--=??-+--=??-+--=??
解得3,1,2.a b r =??=??=?
故圆C 的方程为()()2
2
314x y -+-=．
另解：先求线段AB 的中垂线与直线250x y --=的交点，即2,25,y x y x =-??=-?解得3,
1,x y =??=?
从
而得到圆心坐标为()3,1，再求24r =，故圆C 的方程为()()2
2
314x y -+-=．
（2）设四边形PMCN 的面积为S ，则2PMC
S S =．
因为PM 是圆C 的切线，所以PM CM ⊥， 所以1
2
PMC
S
PM CM PM =
?=，即22PMC
S S PM ==．
因为PM CM ⊥
，所以PM ==
因为P 是直线34100x y -+=上的任意一点，所以
3PC ≥=，
则PM
=，即2PMC
S S
=≥
故四边形PMCN 的面积的最小值为 【点睛】
本题考查了圆的标准方程，和与圆，切线有关的最值的计算，与圆有关的最值计算，需注意数形结合.
25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2
3
. 【解析】
【分析】
（1）由题意可知DE AB ，从而得证；
（2）要证平面1ACB ⊥平面DEF ，转证EF ⊥平面1ACB ，即证AC EF ⊥，1EF CB ⊥； （3）利用等积法即可得到结果.