单元测试
【满分：100分 时间：90分钟】
一、选择题(本大题共14小题，每小题4分，共56分) 1．（湖南师大附中2019届高三模拟）已知数列{}n a 满足：112
a =，*
11()2n n n a a n N +=+∈，则2019a =
（ ）
A ．2018
112-
B ．2019
112-
C ．
20183122
- D ．
201931
22
- 【答案】C 【解析】
∵数列{}n a 满足：112a =，()
*
112
n n n a a n N +=+∈， ∴112
n n n a a +-=
， ∴当n ≥2时，a n ＝a 1+a 2﹣a 1+a 3﹣a 2+…+a n ﹣a n ﹣1
＝12111112222
n -+++?+ 11111221212n -??- ???=+- =1
31
22n --， ∴2019201831
22
a =-．
故选C.
2．（湖南省长沙市长郡中学2019届高三模拟）已知在等比数列{}n a 中，
222415530,9002,9n a a a a a a a >+=-=，则2019a 的个位数字是（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
【答案】D
【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，首项为1a
由2224159002a a a a +=-得：22
24242900a a a a ++=.
解得：2430a a +=.即：3
1130qa q a +=，
由539a a =得：3q =，所以11a =，所以11
13n n n a a q --==，
所以：0131a ==，1233a ==，2339a ==，34327a ==，45381a ==，5
63243a ==，L ，
由此可得n a 的个位数是以4为周期重复出现的.
所以2019a 的个位数字是3a 的个位数字，即2019a 的个位数字是：9. 故选D 。
3．（四川省百校2019年高三模拟）定义在[
)0,∞+上的函数()f x 满足：当02x ≤<时，
()22f x x x =-；当2x ≥时，()()32f x f x =-.记函数()f x 的极大值点从小到大依次记为
12,,,,,n a a a L L 并记相应的极大值为12,,,,,n b b b L L 则11222020a b a b a b +++L 的值为（ ）
A ．201931?+
B ．191931?+
C ．192031?+
D ．202031?+
【答案】A
【解析】由题当当0x 2≤<时，()()2
2f x 2x x 11,x =-=--+极大值点为1，极大值为1 当x 2≥时，()()f x 3f x 2=-.则极大值点形成首项为1公差为2 的等差数列，极大值形成首项为1公比为3 的等比数列
故21n a n =-.1
,3n n b -=,故()1213n n n a b n -=-
设S=1219
11222020113353393a b a b a b L n n n L n +++=++++
3S=12201333393+++n n L n
两式相减得-2S=1+2(1219333+++L )-(
)19
2020
20313312393
238313
-=+?
-=---n n
∴S=201931?+
故选A 。
4．（山东省潍坊市2019届高三模拟）如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有n 个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根
柱上为一次移动.若将n 个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为()p n ，则(4)p =（ ）
A ．33
B ．31
C ．17
D ．15
【答案】D
【解析】设把圆盘从起始柱全部移到目标柱上最少需要移动的次数记为p （n ），则把起始柱上的（除最底下的）圆盘从起始柱移动到辅助柱最少需要移动的次数记为p （n ﹣1），
则有P （n ）＝2P （n ﹣1）+1，
则有P （n ）+1＝2[P （n ﹣1）+1]，又P （1）＝1，
即()P n ?????
?
是以P （1）+1＝2为首项，2为公比的等比数列，
由等比数列通项公式可得：P （n ）+1＝2n ，所以P （n ）＝2n ﹣1， 即P （4）＝24﹣1＝15， 故选D 。
5．（山西省晋城市2019届高三第三次模拟）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若17
272S =，则
3915a a a ++=（ ）
A.64
B.48
C.36
D.24
【答案】B
【解析】由等差数列性质可知，17917272S a ==，解得916a =，故39159348a a a a ++==.
故选B 。
6．（山东省日照市2019届高三联合考试）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，满足2
n S an bn =+（,a b 为
常数），且92a π=，设函数2()2sin 22sin 2
x f x x =+-，记 ()n n y f a = ，则数列{}n y 的前17项和为
（ ）
A ．
172
π B ．9π
C ．11
D ．17
【答案】D 【解析】
因为2
()2sin 22sin
sin 2cos 12
x
f x x x x =+-=++， 由2
n S an bn =+，得221(1)(1)2n n n S S an bn a n n a b an a b -=-=+----=-+，
数列{}n a 为等差数列；
11792a a a π+==，()()111171171717sin2cos 1sin2cos 1y f a f a a a a y a =+=++++++ 1111sin 2cos 1sin(22)cos()12a a a a ππ=+++-+-+=.
则数列{}n y 的前17项和为[]1217117()()...()8()()117f a f a f a f a f a +++=++=.
故选D 。
7．（黑龙江省大庆第一中学2019届高三第三次模拟）在各项不为零的等差数列{}n a 中，
2201720182019220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且20182018b a =，则()220172019log b b ?的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
【答案】C
【解析】因为等差数列{}n a 中2017201920182a a a +=，所以22
20172018201920182018224=0a a a a a -+=-，
因为各项不为零，所以2018=4a ，
因为数列{}n b 是等比数列，所以2
201720192018==16b b a ?
所以()2201720192log =log 16=4b b ?，故选C 。
8．（湖南省长沙市第一中学2019届高三下模拟）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，则芒种日影长为（ ）
A.1．5尺
B.2．5尺
C.3．5尺
D.4．5尺
【答案】B
【解析】设这十二个节气日影长依次成等差数列{}n a ，
n S 是其前n 项和，
则()
19959985.52
a a S a +=
==，所以59.5a =，
由题知1474331.5a a a a ++==，所以410.5a =，
所以公差541d a a =-=-，所以1257 2.5a a d =+=，故选B 。
9．（江西省临川第一中学2019届高三模拟）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？
A ．
25
3
B ．
503
C ．
507
D ．
100
7
【答案】D
【解析】因为5斗=50升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为123,,a a a ， 由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且350S =
则31(21)
5021
a -=-，解得1507a =
， 所以马主人要偿还的量为：21100
27
a a ==， 故选D 。
10．（山西省2019届高三模拟）已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则8T =（ ）
A ．1024
B ．2048
C ．4096
D ．8192
【答案】C
【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由29T T =得761a =，故61a =，即5
11a q =.
又2121512a a a q ==，所以91512q =，故12q =，所以3
6312
832424096a T T a q ??===== ???
，故选C 。
11．（黑龙江省大庆第一中学2019届高三第三次模拟）在各项不为零的等差数列{}n a 中，
2201720182019220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且20182018b a =，则()220172019log b b ?的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
【答案】C
【解析】因为等差数列{}n a 中2017201920182a a a +=，所以22
20172018201920182018224=0a a a a a -+=-，
因为各项不为零，所以2018=4a ，
因为数列{}n b 是等比数列，所以2
201720192018==16b b a ?
所以()2201720192log =log 16=4b b ?，故选C 。 12．（陕西省汉中市2019届高三模拟）已知等比数列满足
，
，则
（ ）
A.7
B.14
C.21
D.26
【答案】B 【解析】因为，可解的
，
所以，
故选B 。
13．（贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和分别为n S ，
912162a a =
+，24a =，若数列1n S ??????
的前k 项和为10
11，则k =（ ） A.11 B.10
C.9
D.8
【答案】B
【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11118116,
2
4,a d a d a d ?
+=++???+=?解得12a d ==.()2
1222
n n n S n n n -∴=+
?=+，()1111
11
n S n n n n ∴
==-++，
1211111111110112231111k S S S k k k ??????∴
+++=-+-++-=-= ? ? ?++??????
L L ，10k =. 故选B 。
14．（山西省重点中学2019届高三模拟）
1111=33636936930+++++++++++………… A ．3
10 B ．1033
C ．35
D ．2033
【答案】D
【解析】由题意可知：
()221
369333311()1n n n n n ==-+++?+++， 30111111121201122334101131132()()33
S =-+-+-+?+-=?-=，故选D 。
二、填空题(本大题共3小题，每小题4分，共12分) 15．（广东省2019届高三适应性考试）已知数列{}n a 满足
()*
1
2(1)2(1)1(1)3n n n
n n a a n n N +????--++-=+-?∈????，则25
1a
a -=____．
【答案】300
【解析】∵[2﹣（﹣1）n ]a n +[2+（﹣1）n ]a n +1＝1+（﹣1）n ×3n ， ∴n ＝2k （k ∈N *），可得： 221316k k a a k ++=+ n ＝2k ﹣1（k ∈N *），可得： 2213163k k a a k -+=-+ ∴，212141k k a a k +--=-
∴()()()2525232321311a a a a a a a a =-+-++-+L ＝（4×
12﹣1）+（4×11﹣1）+…+（4×1﹣1）+1a ()
1212142
?+=?-12+1a ＝300+1a ．
则251a a -=300。
16．（山西省晋城市2019届高三第三次模拟）记正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且当2n ≥时，
12(1)7n n n a na n a -=--+.若29a =，则40S =______.
【答案】1840
【解析】当2n =时，原式化为17a =；当2n >时，
17012(1)(2)
n n a a n n n n --+=----，即177
1122n n a a n n n n --=-----，即17712n n a a n n ---=--，依次迭代，1312777
721232
n n a a a a n n -----====-=---L ，故25n a n =+，1a ，2a 均符合该式，故40(785)4018402
S +?==。
17．（内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟）数列()
1
1n a n n =+的前n 项和为n S ，若1S ，m S ，n S 成等
比数列()1m >，则正整数n 值为______.
【答案】8 【解析】 ∵()11111n a n n n n =
=-++，∴11111122311
n n S n n n =-+-++-=++L ， 又1S ，m S ，n S 成等比数列()1m >，∴()2
1m n S S S =?， 即
()
2
2
1211m n n m =?++，()2221
1m n
n m =++， ∴()2
221m m <+，即2210m m --<，
解得11m <<，结合1m >可得2m =， ∴8n =，故答案为8。
三、解答题(本大题共3小题，共32分)
18．（10分）（江苏省徐州市2019届高三模拟）在数列{}n a 中，10a =，且对任意k *∈N ，
21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为k d .
（1）若12d =，求23,a a 的值；
（2）若2k d k =，证明22122,,k k k a a a ++成等比数列（k *∈N ）；
（3）若对任意k *
∈N ，22122,,k k k a a a ++成等比数列，其公比为k q ，设11q ≠，证明数列11k q ??
??-??
是等
差数列.
【答案】（1）22a =，34a =.（2）见证明；（3）见证明； 【解析】
（1）因为对任意k *∈N ，21221,,k k k a a a -+成等差数列， 所以当1k =时，123,,a a a 成等差数列且公差为2，
故12132d a a a a =-=-，故2112212,4a a d a a d =+==+=. （2）证明：由题设，可得21214k k a a k +--=，k *∈N .所以
()()()2211121123231k k k k k a a a a a a a a --++--=++-+--…
()()4414121k k k k =+-++?=+…，
由10a =得，212(1)k a k k +=+，
从而222122k k a a k k +=-=，所以2222(1)k a k +=+.
于是21222211
k k k k a a k a a k
++++==， 所以当2k d k =时，对任意的k *∈N ，22122,,k k k a a a ++成等比数列. （3）由21221,,k k k a a a -+成等差数列，及22122,,k k k a a a ++成等比数列， 可得221212k k k a a a -+=+，所以2121221
1
2k k k k k k a a q a a q -+-=
+=+， 当11q ≠时，可知1k q ≠，k *∈N ，
从而11
111
1
11121k k k q q q --==+----，即1111(2)11
k k k q q --=≥--， 所以数列11k q ??
?
?-??
是公差为1的等差数列。 19．（10分）（广东省潮州市2019届高三第二次模拟）等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且432S =，
13221S =．
（1）求{}n a 的通项公式n a ；
（2）数列{}n b 满足(
)
*
1n n n b b a n N
+-=∈且13b =，求1n b ??
?
???
的前n 项和n T ． 【答案】(1) 23n a n =+ (2) 13112212n T n n ??
=-- ?++??
【解析】
（1）等差数列{}n a 的公差设为d ，前n 项和为n S ，且432S =，13221S =． 可得14632a d +=，11378221a d +=， 解得15a =，2d
=，
可得()21253n n n a +-=+=； （2）由123n n n b b a n +-==+，
可得()()()121321n n n b b b b b b b b -=+-+-+?+-
1
35721(24)(2)2
n n n n n =+++?++=+=+，
111122n b n n ??=- ?+??
， 则前n 项和11111111111232435112n T n n n n ??
=-+-+-++-+- ?-++??
L
13112212n n ??
=-- ?++??
． 20．（四川省名校联盟2019届高考模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足
()*2n n S a n n N =-+∈.
（Ⅰ）求证：数列12n a ??
-
????
为等比数列； （Ⅱ）求数列{}1n a -的前n 项和n T .
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）111432n
n n T ????
=--?? ???????
.
【解析】
（Ⅰ）2n n S a n =-+，
当2n ≥时，1121n n S a n --=-+-， 两式相减，得121n n n a a a -=-++，即111
33
n n a a -=+. ∴1111232n n a a -??-
=- ???，所以数列12n a ?
?-???
?为等比数列。 （Ⅱ）由1121S a =-+，得113a =
.由（Ⅰ）知，数列12n a ?
?-????
是以16-为首项，13为公比的等比数列。
所以1
1111126323n n
n a -??
??
-=-=- ?
???
??
，
∴111
232n
n a ??=-+ ???，
∴111
1232n
n a ??-=-- ???，
∴111631111243213
n
n
n
n n T ????--?? ???????????=-=--?? ???????
-.