矩阵知识点

矩阵

定义

由m n ?个数

()

1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==排成的m 行n 列的数表

1112121

2221

2

n n m m mn

a a a a a a a a a 称为m

行n 列矩阵。简称m n ?矩阵，记作1112121

22

211n n m m mn a a a a a a A a a a ??

? ?= ?

???，简记为()()m n ij ij m n A A a a ??===，

,m n A ?这个数称为的元素简称为元。

几种特殊的矩阵：

方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。 记作：A n 。 行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。 同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。 相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。

单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可表示为E )

3． 正交矩阵

定义6：A 是一个n 阶实矩阵，若，则称为正交矩阵。 定理：设A 、B 都是n 阶正交矩阵，则

(1)或

(2)

(3)

也是正交矩阵 (4)也是正交矩阵。

定理：n 阶实矩阵A 是正交矩阵A 的列（行）向量组为单位正交向量组。

注：n 个n 维向量，若长度为1，且两两正交，责备以它们为列（行） 向量构成的矩阵一定

是正交矩阵。

注意

矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵

仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。

E A A T

=A 1=A 1-=A T

A A =-1)(1T A A 即-A

B ?

1、上述形如13?? ???、512128363836232128?? ? ? ??

?、2332441m n ?? ?- ? ?-??、2313242414m n ?? ?- ? ?-??这样的矩形数表叫做矩阵。 2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量

()12,,n a a a ???称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量

12n b b b ??

? ? ???? ?

??称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ?阶矩阵，m n ?阶矩阵可记做

m n A ?，如矩阵13?? ???为21?阶矩阵，可记做21A ?；矩阵512128363836232128?? ? ?

???为33?阶矩阵，可记做33A ?。有

时矩阵也可用A 、B 等字母表示。

3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ?阶矩阵

m n A ?中的第i （i m ≤）行第j （j n ≤）列

数可用字母ij a 表示，如矩阵

512128363836232128??

? ? ???第3行第2个数为3221a =。 4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如

000000??

???为一个23?阶零矩阵。 5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行（列），可称此

方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128?? ? ? ??

?、2332441m n ??

?- ? ?

-??均为三阶方阵。在一个n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。

如矩阵1001?? ???为2阶单位矩阵，矩阵

100010001?? ? ?

???为3阶单位矩阵。 6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。

矩阵的运算 矩阵的加法

设有两个m n ?矩阵

()()

ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +，规定为

111112121121212222221122

n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++??

?

+++ ?

+= ?

?

+++??

说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33） 矩阵加法的运算规律

()1A B B A +=+；

()()()2A B C A B C ++=++

()()111212122211

3,()n n ij ij m n

m n m m mn a a a a a a A a A a a a a ??---??

?--- ?

=-=-= ?

?

---??设矩阵记，A

-称为矩阵A 的负矩阵

()()()40,A A A B A B +-=-=+-。

数与矩阵相乘（矩阵的数量乘法）

,A A A λλλ数与矩阵的乘积记作或规定为

1112

121

22

211

,n n m m mn a a a a a a A A A A A a a a λλλλλλλλλλλλλλ?? ? ?

== ?

???

数与矩阵的乘积记作或规定为

数乘矩阵的运算规律（设A B 、为m n ?矩阵，,λμ为数）

()()()1A A λμλμ=； ()()2A A A λμλμ+=+； ()()3A B A B λλλ+=+。

矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。

矩阵与矩阵相乘 设

(b )

ij B =是一个m s ?矩阵，

(b )

ij B =是一个s n ?矩阵，那么规定矩阵A 与矩

阵B 的乘积是一个m n ?矩阵

(c )

ij C =，其中

()1212

1122j j i i is i j i j is sj

sj b b a a a a b a b a b b ??

? ?

=+++ ? ? ???

1

s

ik kj

k a b ==∑，

()

1,2,

;1,2,

,i m j n ==，并把此乘积记作C AB = 行矩阵[a 11a 12]与列矩阵??????b11b21的乘法规则为[a 11a 12]??????b11b21＝[a 11b 11＋a 12b 21]，二阶矩阵????

??a b c d 与列矩阵??????x y 的乘法规则为??????a b c d ??????x y ＝??????ax ＋by cx ＋dy .矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律．

规

则

：

A

m

*

s

* B i

* n

= c m

*

n

行1 * 列1 行2 * 列2 ＝ 行1 * 列2

第1行乘以第1列、第1行乘以第2列，如此类推 矩阵乘法的运算规律

()()()1AB C A BC =； ()()()()2AB A B A B λλλ==

()()3A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+ ()4m n n n m m m n m n

A E E A A ?????==

矩阵的幂乘：

若A 是

n 阶方阵，则称 A k 为

A 的k 次幂，即

k k A A A

A

=个

，

并且m k m k

A A A +=，

()k

m mk A A =()

,m k 为正整数。规定：A 0＝E

注意

矩阵不满足交换律，即AB BA ≠，

()k

k k

AB A B ≠（但也有例外）

转置矩阵

把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作A T

，如

122458A ??= ???，

142528T

A ??

?= ? ?

??。 转置矩阵的运算性质

()()1T

T A A

=；

()()2T

T T

A B A B +=+；

()()

3T

T

A A λλ=； ()()

4T

T T

AB B A =。

方阵的行列式 由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式，叫做方阵A 的行列式，记作A 或det A

（记住这

个符号） 注意

方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。 记作：A n 。

矩阵与行列式是两个不同的概念，n 阶矩阵是n 2个数按一定方式排成的数表，而n 阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。 运算性质

()

1T A A

=；

()2n

A A

λλ=；

(3)AB A B B A BA

===

单位矩阵

在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1,我们称这种矩阵为单位矩阵．它是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1以外全都为0。记为：I n 或 E n ，也可以标记为I 或者E

对于单位矩阵，有AE=EA=A 对角矩阵

对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为 0 的矩阵。对角线上的元素可以为 0 或其他值。 三角矩阵

以主对角线划分，三角矩阵有上三角矩阵和下三角矩阵两种。 ①上三角矩阵c:\o 上三角矩阵 \t _blank

它的下三角(不包括主对角线)的元素均为常数0。 ②下三角矩阵

与上三角矩阵相反，它的主对角线上方均为常数0，如图所示。

实对称矩阵

如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，矩阵A的转置等于其本身(A T = A) ，则称A为实对称矩阵。

如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，且a ij=a ji i,j=1,2,...,n（即

这里T表示转置），则称A为实对称矩阵。

反对称矩阵

，对称矩阵的元素A(i,j)=A(j,i).

反对称矩阵定义是：A= - A T（A的转置前加负号）它的第Ⅰ行和第Ⅰ列各数绝对值相等，符号相反。于是，对于对角线元素，A(i,i)=-A(i,i),有2A（i,i)=0，在非偶数域中，有A（i,i)=0，

即反对称矩阵对角线元素为零( 此性质只在非偶数域中成立。在偶数域中，由于1+1=0，反对称矩阵的对角线元素不一定为0）。

对称矩阵设A为n阶方阵，如果满足A=A T，即

()

,1,2,,

ij ji

a a i j n

==

那么A称为对称阵。

说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，如果

T

A A

=-

则称矩阵A为反对称的。即反对称

矩阵A=（a ij）中的元素满足a ij＝－a ji，i，j=1，2，…n

逆矩阵

定义对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B,使得AB＝BA＝E则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为

A的逆矩阵。

1

A A-

的逆矩阵记作

，

1

A B

-=

即。

说明

1 A ，B互为逆阵，A = B-1

2只对方阵定义逆阵。

3.若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。

伴随矩阵

行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵

1121

112

22212n n n n

nn A A A A A A A A A A *?? ? ?= ?

???

称

为矩阵A 的伴随矩阵。

性质

AA A A A E

**==（易忘知识点）

定理1 矩阵A 可逆的充分必要条件是0

A ≠，并且当A 可逆时，有

1*

1A A A

-=

（重要）

(2)设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E ，则称矩阵A 可逆，或称矩阵A 是可逆矩阵，并且称B 是A 的逆矩阵．

(3)(性质1)设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的．A 的逆矩阵记为A －1． (4)(性质2)设A ，B 是二阶矩阵，如果A ，B 都可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A －1.

奇异矩阵与非奇异矩阵 当

A =时，A 称为奇异矩阵，当0

A ≠时，A 称为非奇异矩阵。即

A A A ??≠可逆为非奇异矩阵。

推论 若(A=E)AB E =或B ，则1

B A -=

求逆矩阵方法 **

1(1)||||021(3)||

A A A A A A -≠=先求并判断当时逆阵存在；（）求；求

。

逆矩阵的运算性质

()()

1

111,,A A A A

---=若可逆则亦可逆且

()()

1

1

1

2,0,,A A A A λλλλ

--≠=

若可逆数则可逆且。

()1113,,,A B AB AB B A ---=若为同阶方阵且均可逆则亦可逆且()。

()()()

1

14,,T

T T A A A A --=若可逆则亦可逆且。

()1

1

5,A A A

--=若可逆则有。

1.

对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；

2.

1**111

**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***

111()()()T T T

AB B A AB B A AB B A ---===

矩阵的初等变换 （1）互换矩阵的两行；

（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数； （3）某一行乘以一个数加到另一行。

以上任意矩阵可经过有限次初等行变换化为阶梯型矩阵

初等行变换

()1()i j r r ?对调两行，记作。

()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。

()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。

一个矩阵成为阶梯型矩阵,需满足两个条件：

（1）如果它既有零行,又有非零行,则零行在下,非零行在上.

（2）如果它有非零行,则每个非零行的第一个非零元素所在列号自上而下严格单调上升. 阶梯型矩阵的基本特征：

如果所给矩阵为阶梯型矩阵则矩阵中每一行的第一个不为零的元素的左边及其所在列以下全为零.特点（每个阶梯只有一行；元素不为0的行（非零行）的第一个非零元素的列标随着行标增大而严格增大（列标一定不小于行标）；元素全为0的行（如果有的话）必在矩阵的最下面几行） 任意矩阵可经过有限次初等行变换化为阶梯型矩阵

若矩阵A 满足两条件：

（1）零行（元素全为0的行）在最下方；

（2）非零首元（即非零行的第一个不为零的元素）的列标号随行标号的增加而严格递增，则称此矩阵A 为阶梯形矩阵。

初等变换求逆矩阵：

（1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????

????→ ? ???

??初等列变换。 （2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r

A B E P 即()1

(|)|A B E A B -??→行，则P =A -1B 。或

1E A B BA -??

??????

→ ? ?????初等列变换.

矩阵的秩 矩阵的秩

任何矩阵

m n

A ?，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行

的行数是唯一确定的。（非零行的行数即为矩阵的秩） 矩阵的秩

在矩阵A 中有一个不等于0的r 阶子式D ，且所有r + 1阶子式(如果存在的话)全等于0，

那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式。数r 称为矩阵A 的秩，记作R(A).规定零矩阵的秩，R(0)=0. 说明

1. 矩阵A m ×n ，则 R (A ) ≤min{m ,n };

2. R (A ) = R (A T );

3. R (A )≥r 的充分必要条件是至少有一个r 阶子式不为零;

4. R (A )≤r 的充分必要条件是所有r + 1 阶子式都为零. 满秩和满秩矩阵

矩阵

()

ij m n A a ?=，若

()R A m =，称A 为行满秩矩阵；若()R A n =，称A 为列

满秩矩阵；,(),A n R A n A =若为阶方阵且则称为满秩矩阵。

()n A R A n =若阶方阵满秩，即

0A ?≠；

1A -?

必存在；

A ?为非奇异阵；

,~.

n n A E A E ?

必能化为单位阵即

矩阵秩的求法

定理1 矩阵A 经过有限次行(列)初等变换后其秩不变。即若A ～B ，则R (A )=R (B )。 矩阵A m ×n ，经过有限次初等行变换可变为行阶梯形，则非零行的行数就是A 的秩。

A ―――初等行变换―――阶梯形矩阵形B

那么R (A )＝阶梯形矩阵形B 的主元的个数。

矩阵秩的性质总结

(1)0()min{,}m n R A m n ?≤≤

(2)()()T R A R A =

()()

(3)~, A B R A R B =若则

()()P Q R PAQ R A =(4)若、可逆，则

(5)max{(),()}(,)()()

()(,)() 1.R A R B R A B R A R B B b R A R A R A ≤≤+=≤≤+b 特别当为非零列向量时，有 (6)

()()()R A B R A R B +≤+

(7)()min{(),()}.R AB R A R B ≤

(8),()().

m n n l A B O R A R B n ??=+≤若则

(9)AB=O A B=O 设，若为列满秩矩阵，则（矩阵乘法的消去率）。

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结 第一章 行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质 定义 记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。 性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，

线性代数知识点归纳同济第五版

线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1. 行列式的计算： ① (定义法)12 1212 11 12121222() 121 2 ()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==**=-1 例 计算 2-100-1 300001100-25 解 2-100 -1 30000110 -2 5 =2-1115735-13-25?=?= ⑤ 关于副对角线： (1) 2 1121 21 1211 1()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* = =-1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 2 2 22 12 11 1112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111 例 计算行列式

⑦ a b - 型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+-- ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-

矩阵知识点归纳

矩阵知识点归纳 (一)二阶矩阵与变换 1．线性变换与二阶矩阵 在平面直角坐标系xOy 中，由? ?? ?? x ′＝ax ＋by ， y ′＝cx ＋dy ，(其中a ，b ，c ，d 是常数)构成的变换 称为线性变换．由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表?? ?? ?? a b c d 称为二阶矩阵，其中a ，b ，c ，d 称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A ，B ，C ，…或(a ij )表示(其中i ，j 分别为元素a ij 所在的行和列)． 2．矩阵的乘法 行矩阵[a 11a 12]与列矩阵??????b 11b 21的乘法规则为[a 11a 12]??????b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]，二阶矩阵???? ? ? a b c d 与列矩阵??????x y 的乘法规则为??????a b c d ??????x y ＝???? ?? ax ＋by cx ＋dy .矩阵乘法满足结合律， 不满足交换律和消去律． 3．几种常见的线性变换 (1)恒等变换矩阵M ＝???? ?? 1 00 1； (2)旋转变换R θ对应的矩阵是M ＝?? ?? ?? cos θ －sin θsin θ cos θ； (3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M 1＝??????1 00 －1；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M 2＝???? ?? －1 0 0 1；若关于坐标原点对称，则变 换对应矩阵M 3＝???? ?? －1 0 0 －1； (4)伸压变换对应的二阶矩阵M ＝???? ?? k 1 00 k 2，表示将每个点的横坐标变为原来的k 1倍，纵 坐标变为原来的k 2倍，k 1，k 2均为非零常数； (5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M ＝?????? 1 00 0； (6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky |个单位，则对应矩阵M ＝???? ?? 1 k 0 1， 若沿y 轴平移|kx |个单位，则对应矩阵M ＝???? ?? 1 0k 1.(其中k 为非零常数)． 4．线性变换的基本性质 设向量α＝??????x y ，规定实数λ与向量α的乘积λα＝??????λx λy ；设向量α＝??????x 1y 1，β＝???? ?? x 2y 2，规定 向量α与β的和α＋β＝???? ?? x 1＋x 2y 1＋y 2. (1)设M 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M (λα)＝λM α，②M (α＋β)＝M α＋M β. (2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．

线性代数知识点总结汇总

线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式

数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解

（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A

矩阵秩重要知识点总结_考研必看

一． 矩阵等价 行等价：矩阵A 经若干次初等行变换变为矩阵B 列等价：矩阵A 经若干次初等列变换变为矩阵B 矩阵等价:矩阵A 经若干次初等行变换可以变为矩阵B ，矩阵B 经若干次初等行变换可以变成矩阵A ，则成矩阵A 和B 等价 矩阵等价的充要条件 1. 存在可逆矩阵P 和Q,PAQ=B 2. R(A)=R(B) 二． 向量的线性表示 Case1：向量b r 能由向量组A 线 性表示: 充要条件: 1.线性方程组A x r =b 有解 (A)=R(A,b) Case2：向量组B 能由向量组A 线性表示 充要条件： R(A)=R(A,B) 推论 ∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A) Case3：向量组A 能由向量组B 线性表示 充要条件： R(B)=R(B,A) 推论 ∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B) Case4：向量组A 和B 能相互表示，即向量组A 和向量组B 等价 充要条件: R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A) Case5：n 维单位坐标向量组能由矩阵A 的列向量组线性表示 充要条件是: R(A)=R(A,E)

n=R(E)<=R(A),又R(A)>=n ，所以R(A)=n=R(A,E) 三． 线性方程组的解 1. 非齐次线性方程组 （1） R(A)=R(A,B),方程有解. （2） R(A)=R(A,B)=n ，解唯一. （3） R(A)=R(A,B)

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '

3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩

矩阵理论知识点整理资料

三、矩阵的若方标准型及分解 λ-矩阵及其标准型定理1 λ-矩阵()λ A可逆的充分必要条件是行列式()λ A是非零常数 引理2 λ-矩阵()λ A=() () n m ij? λ a的左上角元素()λ 11 a不为0，并且()λ A中至少有一个元素不 能被它整除，那么一定可以找到一个与()λ A等价的()() () n m ij? =λ λb B使得()0 b 11 ≠ λ且 ()λ 11 b的次数小于()λ 11 a的次数。 引理3 任何非零的λ-矩阵()λ A=() () n m ij? λ a等价于对角阵 () () () ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ... ..... d 2 1 λ λ λ r d d ()()()λ λ λ r 2 1 d ,.... d, d是首项系数为1的多项式，且 ()()1 ...... 3,2,,1 , / d 1 - = + r i d i i λ λ 引理4 等价的λ-矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式因子 推论5 λ-矩阵的施密斯标准型是唯一的由施密斯标准型可以得到行列式因子推论6 两个λ-矩阵等价，当且仅当它们有相同的行列式因子，或者相同的不变因子 推论7 λ-矩阵()λ A可逆，当且仅当它可以表示为初等矩阵的乘积 推论8 两个()()λ λ λB A m与 矩阵 的- ?n等价当且仅当存在一个m阶的可逆λ-矩阵()λ P和 一个n阶的λ-矩阵()λ Q使得()()()()λ λ λ λQ A P = B 推论9 两个λ-矩阵等价，当且仅当它们有相同的初等因子和相同的秩

定理10 设λ-矩阵()λA 等价于对角型λ-矩阵()() ()()?????? ?? ? ???????? ?=λλλλn h h . . . ..21h B ，若将()λB 的次数大于1的对角线元素分解为不同的一次因式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同 的按照重复的次数计算）就是()λA 的全部初等因子。 行列式因子 不变因子 初等因子 初等因子被不变因子唯一确定但，只要λ-矩阵()λA 化为对角阵，再将次数大于等于1的对角线元素分解为不同的一次方幂的乘积，则 所有这些一次因式的方幂（相同的必须重复计算）就为()λA 的全部初等因子，即不必事先知道不变因子，可以直接求得初等因子。 矩阵的若当 标准型 定理1 两个n ?m 阶数字矩阵A 和B 相似，当且仅当它们的特征矩阵B -E A -E λλ与等价 N 阶数字矩阵的特征矩阵A -E λ的秩一定是n 因此它的不变因子有n 个，且乘积是A 的特征多项式 推论3 两个同阶矩阵相似，当且仅当它们有相同的行列式因子，或相同的不变因子，或相同的初等因子。 定理4 每个n 阶复矩阵A 都与一个若当标准型矩阵相似，这个若当标准型矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵A 唯一确定的。 求解若当标准型及可逆矩阵Ｐ：根据数字矩阵写出特征矩阵，化为对角阵后，得出初等因子， 根据初等因子，写出若当标准型Ｊ，设Ｐ（Ｘ１Ｘ２Ｘ３），然后根据 J X X X X X X A PJ AP J AP P 321321-1），，（），，（，即得到===得到 P （X1X2X3）方阵 矩阵的最小 多项式 定理1 矩阵A 的最小多项式整除A 的任何零化多项式，且最小多项式唯一。 N 阶数字矩阵可以相似对角化，当且仅当最小多项式无重根。 定理2 矩阵A 的最小多项式的根一定是A 的特征值，反之，矩阵Ａ的特征值一定是最小多项式的根。 求最小多项式：根据数字矩阵写出特征多项式()A E f -=λλ， 根据特征多项式得到最小多

线性代数知识点全归纳

线性代数知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；

矩阵知识点归纳讲课教案

第 i 页 共 4 页 矩阵知识点归纳 (一)二阶矩阵与变换 1．线性变换与二阶矩阵 b 称为二阶矩阵,其中 a , b , c , d d 称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母 A , B , C ,…或(a ij )表示(其中i , j 分别为元素a ij 所在的行和列 )． 2．矩阵的乘法 b ii 行矩阵[a ii a i2]与列矩阵 b 2i a b x 与列矩阵 的乘法规则为 c d y 和消去律． 3．几种常见的线性变换 1 (1)恒等变换矩阵 M = 0 —1 0 变换对应矩阵 M 3= 0 —1 ; x 1 ＋ x 2 向量a 与3的和a+ 3= . y 1 ＋ y 2 (1) 设M 是一个二阶矩阵，a 3是平面上的任意两个向量，入是一个任意实数，则①M (入a =?Ma ，② M ( a+ 3)= Ma + M3 . (2) 二阶矩阵对应的变换 (线性变换 )把平面上的直线变成直线 (或一点 )． 在平面直角坐标系 xOy 中，由 x '= ax + by , y '= cx + dy ,（其中 a ， b ， c ， d 是常数 )构成的变换称 a 为线性变换．由四个数 a , b , c , d 排成的正方形数表 c 的乘法规则为 [a 11a 12] b 11 =[a ii b ii + a i2b 2i ]，二阶矩阵 b 21 ax ＋by .矩阵乘法满足结合律,不满足交换律 cx ＋dy (2)旋转变换R 0对应的矩阵是 cos 0 —sin 0 sin 0 (3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于 i 0 ;若关于 y 轴对称,则变换对应矩阵为 0 —i cos 0 M 2= x 轴对称，则变换对应矩阵为 —1 M i = 若关于坐标原点对称，则 k 1 M = 0 (4)伸压变换对应的二阶矩阵 坐标变为原来的k 2倍，k i , k 2均为非零常数; 0， k 2 表示将每个点的横坐标变为原来的 k 1 倍，纵 (5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于 x 轴的投影变换的矩阵为 ⑹切变变换要看沿什么方向平移，若沿 x 轴平移|ky|个单位，则对应矩阵 1 M = 0 0 ； 0 k 1 若沿y 轴平移|kx|个单位，则对应矩阵 M = 1 k 0 1 ?(其中k 为非零常数 )． 4．线性变换的基本性质 x 设向量a=，规定实数入与向量a 的乘积Aa= y 入X ;设向量 入y x 1 a= y 1 ,3= x 2 2 ,规定 y 2

矩阵秩重要知识点总结_考研必看

一．矩阵等价 行等价：矩阵A经若干次初等行变换变为矩阵B 列等价：矩阵A经若干次初等列变换变为矩阵B 矩阵等价:矩阵A经若干次初等行变换可以变为矩阵B，矩阵B经若干次初等行变换可以变成矩阵A，则成矩阵A和B等价 矩阵等价的充要条件 1.存在可逆矩阵P和Q,PAQ=B 2.R(A)=R(B) 二．向量的线性表示 Case1：向量b能由向量组A线性表示: 充要条件: 1.线性方程组A x=b有解 (A)=R(A,b) Case2：向量组B能由向量组A线性表示 充要条件： R(A)=R(A,B) 推论∵R(A)=R(A,B),R(B)≤R(A,B) ∴R(B)≤R(A) Case3：向量组A能由向量组B线性表示 充要条件： R(B)=R(B,A) 推论∵R(B)=R(A,B),R(A)≤R(A,B) ∴R(A)≤R(B) Case4：向量组A和B能相互表示，即向量组A和向量组B等价 充要条件: R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A) Case5：n维单位坐标向量组能由矩阵A的列向量组线性表示 充要条件是: R(A)=R(A,E) n=R(E)<=R(A),又R(A)>=n，所以R(A)=n=R(A,E) 三．线性方程组的解 1.非齐次线性方程组 （1）R(A)=R(A,B),方程有解. （2）R(A)=R(A,B)=n，解唯一. （3）R(A)=R(A,B)

线性代数知识点总结

《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩 （1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4．逆矩阵 （1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）； （2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）

线代知识点归纳

第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A|

矩阵论知识点

矩阵论知识点 第一章：矩阵的相似变换 1. 特征值，特征向量 特殊的：Hermite矩阵的特征值，特征向量 2. 相似对角化 充要条件：（1）（2）（3）（4） 3. Jordan标准形 计算：求相似矩阵P及Jordan标准形 求Jordan标准形的方法： 特征向量法，初等变换法，初等因子法 4. Hamilton-Cayley定理 应用：待定系数法求解矩阵函数值 计算：最小多项式 5. 向量的内积 6. 酉相似下的标准形 特殊的：A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵。

第二章：范数理论 1. 向量的范数 计算：1，2，∞范数 2. 矩阵的范数 计算：1，2，∞，∞m , F 范数，谱半径 3. 谱半径、条件数 第三章：矩阵分析 1. 矩阵序列 2. 矩阵级数 特别的：矩阵幂级数 计算：判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和 3. 矩阵函数 计算：矩阵函数值，At e ，Jordan 矩阵的函数值 4. 矩阵的微分和积分 计算：函数矩阵，数量函数对向量的导数 如，dt dA(t),dt dA(t),?? ???==)()(X R AX X X X X f T T T αα等 5. 应用 计算：求解一阶常系数线性微分方程组

1. 矩阵的三角分解 计算：Crout 分解，Doolittle 分解，Choleskey 分解 2. 矩阵的QR 分解 计算：Householder 矩阵，Givens 矩阵， 矩阵的QR 分解或者把向量化为与1e 同方向 3. 矩阵的满秩分解 计算：满秩分解，奇异值分解 4. 矩阵的奇异值分解 第五章：特征值的估计与表示 1. 特征值界的估计 计算：模的上界，实部、虚部的上界 2. 特征值的包含区域 计算：Gerschgorin 定理隔离矩阵的特征值 3. Hermite 矩阵特征值的表示 计算：矩阵的Rayleigh 商的极值 4. 广义特征值问题 计算：BX AX λ=转化为一般特征值问题

线性代数知识点归纳

线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1. 行列式的计算： ① (定义法)12121211 12121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= =-∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 1122,, 0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ?=?++=?≠?? L ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. 11221122* **0**0*00 nn nn b b A b b b b = =L M O L ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *= =* *=-1

⑤ 关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 ()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 1211 1112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分 矩阵 1. 矩阵的运算性质 2. 矩阵求逆

矩阵知识点

若是可逆矩阵，则逆矩阵是唯一的 两个n 阶下/上三角矩阵的乘积仍然是下/上三角矩阵. 与任意方阵都可交换的矩阵是数量矩阵 ； 由此可以推出一个知识点：对角阵（必须要求没有零元）的逆矩阵就是把对角线上的元素对应位置取倒数！！！！！！！！！！！！ .称为反对称的则矩阵如果A A A T -=;B A AB =.BA AB =?n n nn n n n n n n n a a a a a a a a a ???????? ??=λλλλλλλλλ 221122222111122111n n n n n nn n n n n a a a a a a a a a ????????? ????????? ??λλλ 21212222111211111112112212222212n n n n n n n nn n n a a a a a a a a a λλλλλλλλλ??? ? ?= ? ??? 11112122122212n n n n n nn n n n n a a a a a a a a a λλλ?????? ? ? ? ? ? ? ? ????? n n n n n n b b b a a a ????????? ????????? ?? 2121n n n n b a b a b a ???????? ??= 2211定理1 矩阵可逆的充要条件是 ，且 ,11*-=A A A 0≠A . ,0,,0非奇异矩阵称为时当称为奇异矩阵时当A A A A ≠=().111---=A B AB

如果A 是可逆对称（反对称）矩阵，求证A^-1也是对称（反对称）矩阵 T A A =*则A 为可逆矩阵。 * **)(A B AB =A A A n 2*)*(-=* 11*)()(--=A A ().,,0,10k k A A E A A --==≠定义 时当另外.,1 1--=A A A 则有可逆若()().11T T A A --=

(完整版)线性代数知识点全归纳

1 线性代数知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；

矩阵知识点

矩阵 定义 由m n ?个数 () 1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==排成的m 行n 列的数表 1112121 2221 2 n n m m mn a a a a a a a a a 称为m 行n 列矩阵。简称m n ?矩阵，记作1112121 22 211n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ???，简记为()()m n ij ij m n A A a a ??===， ,m n A ?这个数称为的元素简称为元。 几种特殊的矩阵： 方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。 记作：A n 。 行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。 同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。 相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。 单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可表示为E ) 3． 正交矩阵 定义6：A 是一个n 阶实矩阵，若，则称为正交矩阵。 定理：设A 、B 都是n 阶正交矩阵，则 (1)或 (2) (3) 也是正交矩阵 (4)也是正交矩阵。 定理：n 阶实矩阵A 是正交矩阵A 的列（行）向量组为单位正交向量组。 注：n 个n 维向量，若长度为1，且两两正交，责备以它们为列（行） 向量构成的矩阵一定 是正交矩阵。 注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵 仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。 E A A T =A 1=A 1-=A T A A =-1)(1T A A 即-A B ?

线性代数知识点总结汇总

线性代数知识点总结 1行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）—行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。（6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则

★ 8对角线的元素为a ,其余元素为b 的行列式的值: （三）按行（列）展开 9、按行展开定理: （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等 于行列式的值 （2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素 的代数余子式乘积之和等于 0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式: (1) |kA|=kn|A| 1 1 …i k ￡ …益 ■y (v) 」IT =n 厲-号） kl X n 7、n 阶（n 》2）范德蒙德行列式 数学归纳法证明

(2) |AB|=|A| ? |B| (3) |AT|=|A| (4) |A-1|=|A|-1 (5) |A*|=|A|n-1 (6) 若A的特征值入1、入2、……入n,贝y P (7) 若A与B相似，则|A|=|B| (五)克莱姆法则 11、克莱姆法则： (1 )非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯 解 (2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 (3 )若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程 组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0b 2矩阵 (一)矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： (1)矩阵乘法要求前列后行一致； (2)矩阵乘法不满足交换律；(因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律)