成都七中实验学校2016-2017学年下期半期考试
高二年级 数学试题（文）
一、选择题（每小题5分，共60分。）
1. 已知{}
{}{}6,2,4,1,3,4,6U x N x P Q =∈<==，则()U C P Q ?=（ ） A. {}3,4 B. {}3,6 C. {}1,3 D. {}1,4
【答案】C 【解析】 解答：
∵U ={x ∈N |x <6}={0,1,2,3,4,5}， P ={2,4},Q ={1,3,4,6}， ∴C U P ={0,1,3,5}， ∴(?U P )∩Q ={1,3}. 故选C.
2. 函数()sin x f x x e =+，则()'
0f 的值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
【答案】B 【解析】 解答： f ( x )=sin x +e x ， ∴f ′( x )=cos x +e x ， ∴f ′(0)=cos0+e 0=1+1=2， 故选B
3. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若//,//,m n αα则//m n B. 若m α⊥，n α?，则m n ⊥ C. 若m α⊥，m n ⊥，则//n α D. 若//m α，m n ⊥，则n α⊥
【答案】B 【解析】
试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 考点：空间点线面位置关系．
4. 已知向量(
)()()
3,1,0,1,3,a b c t ===-．若2a b +与c 垂直，则实t 数的值为 ( )
A. 1
B. 1-
C. 2-
D. 3-
【答案】A 【解析】 解答：
根据题意,向量(
)
()3,1,0,1,a b =
=，
则2a b +，
又由2a b +与c 垂直,则有(2a b +)? c =0
即(2a b +)?
c =(?t =0， 解可得t =1； 故选A.
5. 已知a 为函数3()3f x x x =-的极小值点，则a =（ ） A. 1- B. 2-
C. 2
D. 1
【答案】D 【解析】 解答： f ′(x )=3x 2?3，
令f ′(x )>0，解得：x >1或x
故f (x )在(?∞,?1)递增,在(?1,1)递减,在(1,+∞)递增， 故1是极小值点， 故a =1， 故选D. 6. 函数()()1ln x
f x x x
=>单调递减区间是（ ） A. ()1,+∞ B. (
)2
1,e
C. (),e +∞
D. ()1,e
【答案】D 【解析】
f ′(x )=
()
2
lnx 1
lnx -，
令f ′(x )<0，解得：1 点睛：求函数的单调区间的“两个”方法 方法一 (1)确定函数y ＝f (x )的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x )； (3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 方法二 (1)确定函数y ＝f (x )的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x )，令f ′(x )＝0，解此方程，求出在定义区间内的 一切实根； (3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义区间分成若干个小区间； (4)确定f ′(x )在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性 7. .函数()cos ,0,22x f x x x π?? = +∈???? 的最大值是（ ） A. 1 B. 4 π C. 12 π + D. 16 2 π + 【答案】C 【解析】 解：因为函数1()cos ,0,'()sin 222x f x x x f x x π?? = +∈∴=-???? 可知在给定区间上x=6π 取得最大值是12π + C 8. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3 2 ，则正视图中的x 的值是（ ） A. 2 B. 92 C. 32 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】根据题中所给的几何体的三视图， 可知该几何体为底面是直角梯形的，且一条侧棱与底面垂直，结合三视图中数据， 可得113(12)2322 V x =??+??=，即3 2x =，故选C ． 9. 若对任意的0x >，恒有()ln 10x px p ≤->成立，则p 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. (]0,1 C. ()1,+∞ D. [)1,+∞ 【答案】D 【解析】 【详解】 【分析】 解答： 因为对任意的x >0,恒有ln x ?px ?1?p ? ln 1 x x +恒成立， 设f (x )= ln 1 x x +只须求其最大值， 因为f ′(x )=2ln x x -,令f ′(x )=0?x =1， 当0 故f (x )在x =1处取最大值且f (1)=1. 故p 的取值范围是[1,+∞). 故选D. 10. 甲、乙两人约定在下午4:305:00~间在某地相见，且他们在4:305:00~之间到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人20分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是（ ） A. 3 4 B. 89 C. 716 D. 1112 【答案】B 【解析】 因为两人谁也没有讲好确切的时间， 故样本点由两个数(甲乙两人各自到达的 时刻)组成． 以4:30点钟作为计算时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系,设甲乙各在第x 分钟和第y 分钟到达,则样本空间为Ω:{(x ,y )|0?x ?30,0?y ?30}，画成图为一正方形． 会面的充要条件是|x ?y |?20,即事件A ={可以会面}所对应的区域是图中的阴影线部分, ∴由几何概型公式知所求概率为面积之比,即P (A )=900100900-=8 9 ； 故选B. 点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域． （3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率． 11. 已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当()()(),0,'0x f x xf x ∈-∞+< 成立（()'f x 是函数 ()f x 的导数），若(21 log 22 a f = ，()()ln 2ln 2b f =，()22c f =-，则,,a b c 的 大小关系是（ ） A. a b c >> B. b a c >> C. c a b >> D. a c b >> 【答案】A 【解析】 解答： 解答： 当x <0时,f (x )+xf ′(x )<0,即(xf (x ))′<0， 令y =xf (x )， 则函数y =xf (x )在区间(?∞,0)上为减函数， 又f (x )在定义域上是偶函数， ∴函数y =xf (x )在定义域上是奇函数，在 R 上是减函数． ∵2>ln2>12 ， ∴a >b >c 故选A. 12. 已知函数()3 2 f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则 1 2 b a ++的取值范围是( ) A. 21,52?? - ?? ? B. 13,22?? - ?? ? C. 35,22?? - ?? ? D. 31,22?? - ?? ? 【答案】D 【解析】 由图象可知：经过原点,∴f (0)=0=d ， ∴()3 2 f x ax bx cx =++. 由图象可得：函数f (x )在[?1,1]上单调递减,函数f (x )在x =?1处取得极大值． ∴f ′(x )=3ax 2+2bx +c ?0在[?1,1]上恒成立,且f ′(?1)=0. 得到3a ?2b +c =0，即c =2b ?3a ， ∵f ′(1)=3a +2b +c <0， ∴4b <0，即b <0， ∵f ′(2)=12a +4b +c >0， ∴3a +2b >0， 设k = b 1 2a ++,则k = ()() b 12a ----， 建立如图所示的坐标系,则点A(?1,?2)， 则k=b1 2 a + + 式中变量a、b满足下列条件 320 a b b +> ? ? < ? ， 作出可行域如图： ∴k的最大值就是k AB=1 2 ,k的最小值就是kCD,而kCD就是直线3a+2b=0的斜率,k CD= 3 2 - ， ∴ 3 2 - 1 2 . ∴故选D. 点睛：本题考查的是导函数与线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 二、填空题（每小题5分，共20分。） 13. 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示：若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为 ________ 【答案】20 【解析】 试题分析：根据频率分布直方图，得视力在0.9以上的频率为（1.00+0.75+0.25）×0.2=0.4， ∴该班学生中能报A 专业的人数为50×0.4=20. 考点：频率分布直方图. 14. 已知()()3 21f x x f x =-'，则()1f '=_______ 【答案】1 【解析】 ∵()()3 21x x f x =-'， ∴f ′(x )=3x 2?2f ′(1)， ∴f ′(1)=3?2f ′(1)， ∴f ′(1)=1， 故答案为1. 15. 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22 2:4C x y -=有相同的右焦点2F ，点P 是椭圆1C 与双 曲线2C 在第一象限的公共点，若22PF =，则椭圆1C 的离心率等于_______. 【答案】22 【解析】 由题意，不妨设P 在第一象限， 由双曲线22 2:4C x y -=的方程知|PF 1|?|PF 2|=4,c 2 ∵|PF 2|=2,∴|PF 1|=6， ∴2a =|PF 2|+|PF 2|=8， ∴a =4. ∵椭圆 22 122 :1(0) x y C a b a b +=>>与双曲线22 2 :4 C x y -=有相同的右焦点 2 F,c=22， ∴椭圆C1的离心率为e= c a = 2 2 ， 故答案 2 2 . 16. 已知函数32 ()31 f x ax x =-+，若() f x存在唯一的零点 x，且 x<，则a的取值范围是______．【答案】(2,) +∞ 【解析】 (i)当a=0时,f(x)=?3x2+1,令f(x)=0,解得x=± 3 函数f(x)有两个零点，舍去． (ii)当a≠0时,f′(x)=3ax2?6x=3ax(x? 2 a ),令f′(x)=0,解得x=0或2a. ①当a<0时, 2 a <0,当x< 2 a 或x>0时,f′(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当 2 a ∴ 2 a 是函数f(x)极小值点,0是函数f(x)的极大值点． ∵函数f(x)=ax3?3x2+1存在唯一的零点x0,且x0<0,则 () 2 00 a f ? < ? ? ?< ? ，无解，舍去． ②当a>0时, 2 a >0,当x> 2 a 或x<0时,f′(x)>0,此时函数f(x)单调递增;当0 2 a 时,f′(x)<0,此时函数f(x)单调递减． ∴ 2 a 是函数f(x)的极小值点,0是函数f(x)的极大值点． ∵函数f(x)=ax3?3x2+1存在唯一的零点x0,且x0<0,则f( 2 a >0,即 2 8 a ? 12 a +1>0，a>0，解得a>2. 综上可得：实数a 的取值范围是(2,+∞). 故答案为(2,+∞). 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 三、解答题（本大题共6小题，共70分。） 17. 已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos(θ-)=2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 【答案】(1) x 2+y 2-2x-2y-2=0 (2) ρsin(θ+)= 【解析】 (1)∵ρ=2,∴ρ2=4,即x 2+y 2=4. ∵ρ2-2ρcos(θ-)=2, ∴ρ2-2 ρ (cosθcos +sinθsin )=2. ∴x 2+y 2-2x-2y-2=0. (2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1,即ρsin(θ+)=. 18. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=?，点D 是AB 的中点. (1)求证：1AC BC ⊥； (2)求证：1AC 平面1CDB . 【答案】 (1)证明见解析；(2) 证明见解析 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据条件可知，1,AC CC AC BC ⊥⊥，己证明了AC ⊥平面11BCC B ，根据线与平面垂直的性质定理，线与平面内的任何一条直线垂直；（2）设1BC 与1B C 交于点P ，连接DP ,在1BAC ?中，根据中位线的性质可知1//AC DP ，即证得线面平行. 试题解析：证明：(1)∵90ACB ∠=?，∴AC CB ⊥， 又在直三棱柱111ABC A B C -中，有1AC BB ⊥， ∴AC ⊥平面11BB C C . ∴1AC BC ⊥ (2)设1BC 与1B C 交于点P ，连DP ，易知P 是1BC 的中点，又D 是AB 中点， ∴1//AC DP ， ∵DP ?平面1CDB ，1AC ?平面1CDB ， ∴1//AC 平面1CDB . 【点睛】证明线与平面平行，一般可用判定定理，转化为证明线线平行，一般可通过构造平行四边形，或是三角形中位线证明线线平行，或是证明面面平行，则线面平行，在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”． 19. 某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题： 组号 分组 频数 频率 第1组 [50，60) 5 0.05 第2组 [60，70) a 0.35 第3组 [70，80) 30 b 第4组 [80，90) 20 0.20 第5组 [90，100] 10 0.10 合计 100 1.00 （Ⅰ）求a b 、的值； （Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加市汉字听写比赛，并从中选出2人做种子选手，求2人中至少有1人是第4组的概率． 【答案】(1) 35，0.30;(2)35 . 【解析】 试题分析：（Ⅰ）直接利用频率和等于1求出b ，用样本容量乘以频率求a 的值； （Ⅱ）由分层抽样方法求出所抽取的6人中第三、第四、第五组的学生数，利用列举法写出从中任意抽取2人的所有方法种数，查出2人至少1人来自第四组的事件个数，然后利用古典概型的概率计算公式求解． 试题解析： （Ⅰ）a ＝100－5－30－20－10＝35，b ＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30 （Ⅱ ）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生， 每组分别为，第3组： 660×30＝3人，第4组：660×20＝2人，第5组：660 ×10＝1人， 所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人 设第3组的3位同学为A 1、A 2、A 3，第4组的2位同学为B 1、B 2，第5组的1位同学为C 1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下： (A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1 )，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)．其中第4组被入选的有9种， 所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为915＝3 5 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 20. 已知函数()2 2ln f x x a x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若函数()()2 g x f x x = +在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) 函数f (x )的单调递减区间是(0)；单调递增区间是，＋∞);(2) a ≤－ 72 . 试题分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，再通过讨论a 的范围，从而求出其单调区间，（Ⅱ）由g (x )＝2 x ＋x 2＋2a ln x 得g ′(x )＝－ 22x ＋2x ＋2a x ，建立新函数，求出其最小值，解出即可． 试题解析： （Ⅰ）函数f (x )的定义域为(0，＋∞). ①当a ≥0时，f ′(x )＞0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a ＜0时，f ′(x ) ＝ ( 2x x x . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下： 由上表可知，函数f (x )的单调递减区间是(0)；单调递增区间是，＋∞). （Ⅱ ）由g (x )＝ 2x ＋x 2＋2a ln x ，得g ′(x )＝－22x ＋2x ＋2a x ， 由已知函数g (x )为[1,2]上的单调减函数，则g ′(x )≤0在[1,2]上恒成立， 即－ 22x ＋2x ＋2a x ≤0在[1,2]上恒成立．即a ≤1x －x 2在[1,2]上恒成立. 令()[]()2 11,2h x x x x =- ∈，则h ′(x )＝－21x － 2x ＝－(21x ＋2x ) []1,2x ∈ ()0h x ∴'<，所以h (x )在[1,2]上为减函数， h (x )min ＝h (2)＝－72， 所以a ≤－7 2 . 21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点(1,2P ，离心率2 e = ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）设过点()0,2E -的直线l 与椭圆C 相交于P Q 、两点，求OPQ ?的面积的最大值． 【答案】(1) 2 214 x y +=;(2)1. 试题分析：（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，以及a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在，不合题意，可设直线l ：y=kx ﹣2，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立椭圆方程，消去y ，得到x 的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及弦长公式，点到直线的距离公式，由三角形的面积公式，运用换元法和基本不等式即可得到所求最大值． 试题解析： （Ⅰ）由点P ? ??在椭圆上得，2213 14a b +=① c e a = = 又所以 由①②得2 2 2 3,4,1c a b ===，故椭圆C 的标准方程为2 214 x y += ()()1122:=2,,,,.II l x l y kx P x y Q x y ⊥-（）当轴时不合题意，故设 22214 x y kx y =-+=将代入得 () 22 4116120.k x kx +-+= 10(1)0()0g e g g e ???> ?????? ??? 1=2OPQ S d PQ ??= 244 ,0,.4 444,20.1 OPQ t t t S t t t t t k t OPQ 则因为当且仅当，即的面积最大值为?=>= =+++ ≥==?>? 22. 已知函数()2 2 x a g x e x =+ ，其中, 2.71828a R e ∈=为自然对数的底数，() f x 是()g x 的导函数． （Ⅰ）求()f x 的极值； （Ⅱ）若1a =-，证明：当12x x ≠，且()()12f x f x =时，120x x +<． 【答案】(1) 当0a ≥时，()f x 无极值; 当0a <时, ()f x 有极小值()() ()ln ln f a a a a -=-+-;(2)详见解析. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可； （Ⅱ）求出函数f （x ）的导数，设函数F （x ）=f （x ）﹣f （﹣x ），求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可． 试题解析： （Ⅰ）()()x f x g x e ax ==+'的定义域为(),-∞+∞，()x f x e a '=+ 当0a ≥时，()0f x '>在(),x ∈-∞+∞时成立 ()f x ∴ 在(),-∞+∞上单调递增，()f x 无极值． 当0a <时，()0x f x e a ='+=解得()ln x a =- 由()0f x '< 得()ln x a <-；由()0f x '> 得()ln x a >- 所以()f x 在()() ,ln a -∞-上单调递减，在()() ln ,a -+∞上单调递增， 故()f x 有极小值()() ()ln ln f a a a a -=-+-. （Ⅱ）当1a =-时，()x f x e x =-的定义域为(),-∞+∞，()1x f x e '=-， 由()10x f x e ='-=，解得0x =.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表： ∵12x x ≠，且()()12f x f x =，则120x x <<（不妨设12x x <） 设函数()()()( ) ()1 20x x x x F x f x f x e x e x e x x e -=--=--+=- -<. ∴()1 2x x F x e e =+ -'. ∵当0x <时，01x e <<，∴1 2x x e e + >. ∴当0x <时，()0F x '>. ∴函数()F x 在(),0-∞上单调递增 ∴()()00F x F <=，即当0x <时，()()f x f x <-. ∵10x <，∴()()11f x f x <-. 又()()12f x f x =，∴()()21f x f x <-. ∵()f x 在()0,+∞上单调递增，20x <，且10x <-， ∴21x x <-.∴120x x +<
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