大学生数学竞赛训练一（极限）
一、计算()()()
234
00
sin ln 138
lim sin 1
x
x x x x t t dt x x e →+-+--?
解：因为()()3
3333
11sin 66
6
x x x x x x x x x οο??-=--+=+ ??? 原式()()3432
00054
sin ln 1sin ln 1382lim
lim 1566
x
x x x x x t t dt x x x x x →→+-++-+==? 又因为()()()332332
332
sin ln 126232x x x x x x x x x x x x x οο????+-+
=-+-++-+ ???????
()4
44
116
6
x x x ο=
+ 所以()()()
234
00sin ln 11
38
lim 5sin 1
x
x x x x t t dt x x e →+-+=--?。
二、计算()ln lim x
x x e
x
→+∞
?+?
???
解：因为
10lim
lim
x t x t
t +
→+∞
→
=
= 0lim t +→=??
()()32432011134lim 12t t t t t t
t t t t +→??
+++++ ?=-=- ? ?
??
()ln lim 1x x x e x
→+∞?
???+ ? ?- ? ????? ()()
lim ln x x x e x →+∞??
=+- ? ??
?
()()
lim ln ln x x x x e e →+∞??=+- ? ??
?
()lim ln 10x x xe -→+∞??=+= ? ???
所以()ln 1lim 12
x x x e x →+∞?+?=-???
。 三、计算()
()221
011221!2x n
n n x x t dt n ∞
+→--+∑?
解：设()()
()210
1
1221!
n
n n
n S t t n ∞
+==
-+∑，则 (
)()(
)21
01121!n n
n S t n +∞
==-
+ ()()()()
122
113
3
3
x e x x x x x x
x οοο=++-++=-
+-，所以 ()()221
00
4113
x n
n n x x x t dt
x ∞
+→
→--+=-∑?
2
20
0031122lim 8
323
x x x x x x →→→-?====--。 四、计算220
3
02
2sin lim lim 2arctan 1arctan t
x
x x t y dy
x t t π+
→+∞
→????
-?? ???????
?
?
解：因为22ln arctan 22lim arctan 1lim 1x x
x t
x x x e
t ππ→+∞→+∞??????-=- ??? ? ?????????
22
22
422
1
11
2arctan ln arctan 12lim ln arctan lim lim 11x x x x x x t x t t t x t x x
ππ→+∞→+∞→+∞+==-
422
24222lim x t x t t t x ππ
→+∞-==-
+
22220
sin t t x
y dy dy y dx y dy ==???
，所以
22
2
20
3
23
00
2
2
2sin lim lim lim 2arctan 1arctan 1arctan t
x x
t x t t y dy
y dy
x t e t t ππ+
+
→+∞
→→-=??????
--???? ?????????
??
?
??
20
7
002
2
lim
72
t t y dy t t π
π
π
+
+→→===---? 五、设数列{}n x 定义如下
()()110,1,11,2,n n n x x x x n +∈=-
=
证明：极限lim 1n n nx →∞
=。
证明：方法一、 考虑函数()()
[]10,1f x x x x =-∈，因为()12f x x '=-，当1
2
x =
时，()0f x '=。 由此可得1
2x =时，()f x 在[]0,1上的最大值为1124f ??= ???，且()f x 在10,2??
????
是递增的。所以
()211110143
x x x <=-≤
< ()32211111
011133344
x x x ????<=-≤-<-= ? ?????
…… …… ()12211111
0111111n n n x x x n n n n n ---????<=-≤
-<-= ? ?---???? ()1111111011111
n n n x x x n n n n n --????<=-≤
-<-= ? ?
++???? …… …… 由于011
n n
nx n <<
<+，()()()()()1111110n n n n n n n n x nx n x x nx x n x ++-=+--=-+>，所以数列{}n nx 是单调有界的，由单调有界准则可得lim n n nx →∞
存在。显然，0lim 1n n nx →∞
<≤。 现证明lim 1n n nx →∞
=，用反证法证明，设lim n n nx A →∞
=，且01A <<，
取()1
14
A ε=
-，因为lim ,lim 0n n n n nx A x →∞→∞==，所以存在整数0N >，当n N >时有
()()11
1,0144n n nx A A x A εε-<=
--<=- 1311
,4444
n n nx A x A <+<-
()()1
112
n n x A +<+
()()()()()()()()111111111111n n n n n n n n n n n x n x x nx x n x nx x x n x +-->+=+-=+-+=-+-+()()()()1111111n n n n n n x x nx x n x ---=-+-+-+ ()()()()()()()
1111111121111N N N n n n n n N x x N x n x x nx x n x +++---=++-++
+-+-+-+()()()()()1111
1
111112n
n
N k k N k k N k N N x x k x N x A x ++=+=+=++-+>++-∑∑
由此可得正项级数1
n n x ∞
=∑收敛；
另一方面，由1
11n n x nx x x n ≥?≥，级数11n x n ∞=∑发散，由比较判别法，正项级数1
n n x ∞
=∑发
散，这是一个矛盾，所以lim 1n n nx →∞
=。
方法二、
考虑函数()()
[]10,1f x x x x =-∈，因为()12f x x '=-，当1
2
x =
时，()0f x '=。 由此可得1
2x =时，()f x 在[]0,1上的最大值为1124f ??= ???，且()f x 在10,2??
????
是递增的。所以
()211110143
x x x <=-≤
< ()32211111
011133344
x x x ????<=-≤-<-= ? ?????
…… …… ()12211111
0111111n n n x x x n n n n n ---????<=-≤
-<-= ? ?---???? ()1111111011111
n n n x x x n n n n n --????<=-≤
-<-= ? ?
++???? …… …… 由夹逼准则可得，1
lim 0lim
n n n n
x x →∞
→∞=?=∞，又因为
()1111111110111n n n n n n n n x x x x x x x x ++==+?-=>--- 所以数列1n x ??
????
是单调递增的，利用斯托尔茨定理
()()2
121111lim lim lim lim lim lim 11111n n n n n n n n n n n n n n n
n n n
x x x x n n n
nx x x x x x x x +→∞→∞→∞→∞→∞→∞++-+-=====-=--
。 六、设函数()f x 在区间[,)a +∞上有定义，且在每一个有限区间(),a b 上()f x 是有界的，
如果()()()lim 1x f x f x A →+∞
+-=，证明：
()lim
x f x A x
→+∞
=
证明：对于任取的0ε>，因为()()()lim 1x f x f x A →+∞
+-=，所以存在0X >
当1x X >时，有()()13
f x f x A ε
+--<
取11x X >+，令[]11,n x X l x X n =-=--，则有01l ≤<
()()()()111f x f X l n f X l f X l n A A x
x n x
++-++-=
+- ()()()1111f X l n f X l f X l X l n A A x n x x ?++-+?++=-+-
???
因为 ()()1113
3
A f X l f X l A ε
ε
-<++-+<+
()()11213
3
A f X l f X l A ε
ε
-
<++-++<+
…… ……
()()1113
3
A f X l n f X l n A ε
ε
-
<++-++-<+
所以
()()
113
f X l n f X l A n
ε
++-+-<
由于在每一个有限区间(),a b 上()f x 是有界的，所以存在20X >，当2x X >时有
()11,
3
3
f X l X l A x
x ε
ε
++<
< 取{}12max 1,X X X =+，当x X >时有
()()()()1111f x f X l n f X l f X l X l n A A A x
x n x x ?++-+?++-=
-+
- ???
()()
()1111f X l n f X l f X l X l
A A n x
x
ε++-+++<
-+
+
< 由此可得()lim
x f x A x
→+∞
=。