2020年中考数学一模试卷
一、填空题（共6小题）.
1．的倒数是．
2．云南，简称云或滇，位于中国西南边陲，是人类文明重要发祥地之一，有“彩云之南”、“七彩云南”之称，面积约394000平方千米，居全国第八．将数字394000用科学记数法表示为．
3．不等式组的解集是．
4．如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别交于A、B两点，AC⊥b于点C，若∠1＝43°，则∠2＝．
5．已知（x﹣1）2＝2，则代数式2x2﹣4x+5＝．
6．如图，BD、CE是△ABC的角平分线，它们相交于点O，若∠A＝64°，则∠BOC＝．
二、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）7．函数y＝中，自变量x的取值范围是（）
A．x≥1B．x＞1C．x≥1且x≠2D．x≠2
8．下列计算正确是（）
A．3﹣1＝﹣3B．C．a6÷a2＝a4 D．（）0＝0 9．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）
A．棱柱B．圆柱C．圆锥D．球
10．某校九年级数学模拟测试中，六名学生的数学成绩如下表所示，下列关于这组数据描述正确的是（）
姓名小红小明小东小亮小丽小华成绩（分）110106109111108110 A．众数是110B．方差是16
C．平均数是109.5D．中位数是109
11．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1＝0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能确定
12．一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（）A．6cm B．12cm C．2cm D．cm
13．如图，四边形OABC是矩形，等腰△ODE中，OE＝DE，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B、E在反比例函数y＝的图象上，OA＝5，OC＝1，则△ODE的面积为（）
A．2.5B．5C．7.5D．10
14．如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…，以此类推，则第六个正方形A6B6C6D6周长是（）
A．B．C．D．
三、解答题（本大题共9个小题，共70分）
15．计算：（﹣1）2020﹣+4cos45°．
16．如图，∠B＝∠D，∠1＝∠2，AB＝AD．求证：BC＝DE．
17．某水果批发市场，香蕉和苹果某天的批发价与市场零售价如下表所示：
香蕉苹果
批发价（元/千克）34
零售价（元/千克）57
水果经营户老王从水果批发市场批发香蕉与苹果用了470元，当天他卖完这些香蕉和苹果共赚了340元，这天他批发的香蕉和苹果分别是多少千克？
18．甲、乙两个袋中均有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标的数值分别为﹣7，﹣1，3，乙袋中的三张卡片上所标的数值分别为﹣2，1，6．先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上标的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出的卡片上标的数值，把x、y分别作为点A的横坐标、纵坐标．
（1）用适当的方法写出点A（x，y）的所有情况；
（2）求点A落在第二象限的概率．
19．如图，某校数学兴趣小组的小明同学为测量位于玉溪大河畔的云铜矿业大厦AB的高度，
小明在他家所在的公寓楼顶C处测得大厦顶部A处的仰角为45°，底部B处的俯角为30°．已知公寓高为40m，请你帮助小明计算公寓楼与矿业大厦间的水平距离BD的长度及矿业大厦AB的高度．（结果保留根号）
20．为挑选优秀同学参加云南省级英语听说能力竞赛，某中学举行了“英语单词听写”竞赛，每位学生听写单词99个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分．
组成听写正确的个数x组中值
A0≤x＜2010
B20≤x＜4030
C40≤x＜6050
D60≤x＜8070
E80≤x＜10090根据以上信息解决下列问题：
（1）本次共随机抽查了名学生，并补全频数分布直方图；
（2）若把每组听写正确的个数用这组数据的组中值代替，则被抽查学生听写正确的个数的平均数是多少？
（3）该校共有3000名学生，如果听写正确的个数少于60个定为不合格，请你估计这所学校本次竞赛听写不合格的学生人数．
21．A市和B市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台和D市8台．已知从A市调运一台机器到C市和D市的运费分别为400元和800元；从B市调运一台机器到C市和D市的运费分别为300元和500元．
（1）设B市运往C市机器x台，求总运费W（元）关于x的函数关系式．
（2）若要求总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？
22．如图，在?ABCD中，AE平分∠BAD交DC于点E，AD＝5cm，AB＝8cm．（1）求EC的长．
（2）作∠BCD的平分线交AB于F，求证：四边形AECF为平行四边形．
23．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？
若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
参考答案
一、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
1．的倒数是﹣2020．
【分析】直接利用倒数的定义进而分析得出答案．
解：﹣的倒数是：﹣2020．
故答案为：﹣2020．
2．云南，简称云或滇，位于中国西南边陲，是人类文明重要发祥地之一，有“彩云之南”、“七彩云南”之称，面积约394000平方千米，居全国第八．将数字394000用科学记数法表示为 3.94×105．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：394 000＝3.94×105，
故选：3.94×105．
3．不等式组的解集是﹣＜x＜2．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：解不等式x﹣2＜0，得：x＜2，
解不等式3x+5＞0，得：x＞﹣，
则不等式组的解集为﹣＜x＜2，
故答案为：﹣＜x＜2．
4．如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别交于A、B两点，AC⊥b于点C，若∠1＝43°，则∠2＝47°．
【分析】先由垂直的定义可得∠ACB＝90°，根据平行线的性质得出∠3＝∠ACB＝90°，再由平角的定义可求得∠2．
解：∵AC⊥b于点C，
∴∠ACB＝90°，
∵a∥b，
∴∠3＝∠ACB＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠3＝180°﹣43°﹣90°＝47°，
故答案为：47°．
5．已知（x﹣1）2＝2，则代数式2x2﹣4x+5＝7．
【分析】利用完全平方公式将所求的代数式进行变形，然后整体代入进行求值．
解：2x2﹣4x+5
＝2（x﹣1）2+3
＝2×2+3
＝4+3
＝7．
故答案是：7．
6．如图，BD、CE是△ABC的角平分线，它们相交于点O，若∠A＝64°，则∠BOC＝122°．
【分析】由三角形内角和得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，根据角平分线定义得∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB），进而解答即可．
解：∵∠A＝64°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝116°，
∵BD平分∠ABC、CE平分∠ACB，
∴∠DBC＝∠ABC、∠BCE＝∠ACB，
则∠DBC+∠BCE＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝58°，
∴∠BOC＝180°﹣58°＝122°，
故答案为：122°
二、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）7．函数y＝中，自变量x的取值范围是（）
A．x≥1B．x＞1C．x≥1且x≠2D．x≠2
【分析】根据分式的分母不为零、被开方数是非负数来求x的取值范围．
解：依题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0，
解得x≥1且x≠2．
故选：C．
8．下列计算正确是（）
A．3﹣1＝﹣3B．C．a6÷a2＝a4 D．（）0＝0【分析】直接利用二次根式的加减运算法则、零指数幂的性质、同底数幂的乘除运算法则，分别判断得出答案．
解：A、3﹣1＝，故此选项错误；
B、﹣，无法计算，故此选项错误；
C、a6÷a2＝a4 ，正确；
D、（）0＝1，故此选项错误．
故选：C．
9．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）
A．棱柱B．圆柱C．圆锥D．球
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，
由俯视图为圆可得为圆柱体．
故选：B．
10．某校九年级数学模拟测试中，六名学生的数学成绩如下表所示，下列关于这组数据描述正确的是（）
姓名小红小明小东小亮小丽小华成绩（分）110106109111108110 A．众数是110B．方差是16
C．平均数是109.5D．中位数是109
【分析】根据众数、中位数的概念求出众数和中位数，根据平均数和方差的计算公式求出平均数和方差．
解：这组数据的众数是110，A正确；
＝×（110+106+109+111+108+110）＝109，C错误；
S2＝[（110﹣109）2+（106﹣109）2+（109﹣109）2+（111﹣109）2+（108﹣109）2+（110﹣109）2]＝，B错误；
中位数是109.5，D错误；
故选：A．
11．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1＝0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能确定
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．解：∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
12．一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（）A．6cm B．12cm C．2cm D．cm
【分析】由已知的扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，代入弧长公式即可求出半径R．
解：由扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，
即n＝60°，l＝2π，
根据弧长公式l＝，得2π＝，
即R＝6cm．
故选：A．
13．如图，四边形OABC是矩形，等腰△ODE中，OE＝DE，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B、E在反比例函数y＝的图象上，OA＝5，OC＝1，则△ODE的面积为（）
A．2.5B．5C．7.5D．10
【分析】过E作EF⊥OC于F，由等腰三角形的性质得到OF＝DF，于是得到S△ODE＝2S△OEF，由于点B、E在反比例函数y＝的图象上，于是得到S矩形ABCO＝k，S△OEF＝k，即可得到结论．
解：过E作EF⊥OC于F，
∵OE＝DE，
∴OF＝DF，
∴S△ODE＝2S△OEF，
∵点B、E在反比例函数y＝的图象上，
∴S矩形ABCO＝k，S△OEF＝k，
∴S△ODE＝S矩形ABCO＝5×1＝5，
故选：B．
14．如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…，以此类推，则第六个正方形A6B6C6D6周长是（）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，利用中位线定理可证明顺次连接正方形ABCD四边中点得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，根据面积关系可得周长关系，以此类推可得正方形A6B6C6D6的周长
解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A1B1C1D1，则得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即，则周长是原来的；
顺次连接正方形A1B1C1D1中点得正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即，则周长是原来的；
顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3，则正方形A3B3C3D3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半，即，则周长是原来的；
顺次连接正方形A3B3C3D3中点得正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形
A3B3C3D3面积的一半，则周长是原来的；
…
故第n个正方形周长是原来的，
以此类推：第六个正方形A6B6C6D6周长是原来的，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴周长为4，
∴第六个正方形A6B6C6D6周长是．
故选：A．
三、解答题（本大题共9个小题，共70分）
15．计算：（﹣1）2020﹣+4cos45°．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
解：原式＝1﹣2+1+4×
＝1﹣2+1+2
＝2．
16．如图，∠B＝∠D，∠1＝∠2，AB＝AD．求证：BC＝DE．
【分析】先根据∠1＝∠2得到∠BAC＝∠DAE，再根据全等三角形的判定定理证得△ABC≌△ADE，然后根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠BAC＝∠DAE．
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴BC＝DE．
17．某水果批发市场，香蕉和苹果某天的批发价与市场零售价如下表所示：
香蕉苹果
批发价（元/千克）34
零售价（元/千克）57
水果经营户老王从水果批发市场批发香蕉与苹果用了470元，当天他卖完这些香蕉和苹果共赚了340元，这天他批发的香蕉和苹果分别是多少千克？
【分析】设这天他批发的香蕉和苹果分别是x千克，y千克，根据题意列出方程组即可求解．
解：设这天他批发的香蕉和苹果分别是x千克，y千克，
根据题意，得，
解得，
答：这天他批发的香蕉和苹果分别是50千克，80千克．
18．甲、乙两个袋中均有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标的数值分别为﹣7，﹣1，3，乙袋中的三张卡片上所标的数值分别为﹣2，1，6．先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上标的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出的卡片上标的数值，把x、y分别作为点A的横坐标、纵坐标．
（1）用适当的方法写出点A（x，y）的所有情况；
（2）求点A落在第二象限的概率．
【分析】（1）根据取卡的方式，列表解答即可；
（2）点A落在第二象限（事件A）共有（﹣7，1）、（﹣1，1）、（﹣7，6）、（﹣1，6）四种情况，然后根据概率公式解答．
解：（1）用列表法：
﹣7﹣13
﹣2（﹣7，﹣2）（﹣1，﹣2）（3，﹣2）
1（﹣7，1）（﹣1，1）（3，1）
6（﹣7，6）（﹣1，6）（3，6）
可知，点A共有9种情况．
（2）由（1）知点A的坐标共有9种等可能的情况，点A落在第二象限（事件A）共有（﹣7，1）、（﹣1，1）、（﹣7，6）、（﹣1，6）四种情况．
所以P（A）＝．
19．如图，某校数学兴趣小组的小明同学为测量位于玉溪大河畔的云铜矿业大厦AB的高度，小明在他家所在的公寓楼顶C处测得大厦顶部A处的仰角为45°，底部B处的俯角为30°．已知公寓高为40m，请你帮助小明计算公寓楼与矿业大厦间的水平距离BD的长度及矿业大厦AB的高度．（结果保留根号）
【分析】利用所给角的三角函数用CD表示出BD、AE；根据AB＝AE+CD，即可得解．解：在直角△BCD中，CD＝40m，∠CBD＝30°，则BD＝＝＝40（m）．在直角△ACE中，CE＝BD＝40m，∠ACE＝45°，则AE＝CE?tan45°＝40m．所以AB＝AE+BE＝AE+CD＝40+40（m）．
答：公寓楼与矿业大厦间的水平距离BD的长度是40m，矿业大厦AB的高度是（40+40）m．
20．为挑选优秀同学参加云南省级英语听说能力竞赛，某中学举行了“英语单词听写”竞赛，每位学生听写单词99个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分．
组成听写正确的个数x组中值
A0≤x＜2010
B20≤x＜4030
C40≤x＜6050
D60≤x＜8070
E80≤x＜10090
根据以上信息解决下列问题：
（1）本次共随机抽查了100名学生，并补全频数分布直方图；
（2）若把每组听写正确的个数用这组数据的组中值代替，则被抽查学生听写正确的个数的平均数是多少？
（3）该校共有3000名学生，如果听写正确的个数少于60个定为不合格，请你估计这所学校本次竞赛听写不合格的学生人数．
【分析】（1）根据频数分布直方图和扇形统计图即可得本次共随机抽查了100名学生，并能补全频数分布直方图；
（2）根据加权平均数即可求出被抽查学生听写正确的个数的平均数；
（3）利用样本估计总体的方法即可估计这所学校本次竞赛听写不合格的学生人数．解：（1）解：10÷10%＝100，
答：本次共随机抽查了100名学生．
补全的频数分布直方图如下：
（2）＝（10×10+15×30+25×50+30×70+90×20）
＝57（个），
答：被抽查学生听写正确的个数的平均数是57个；
（3）3000×（10%+15%+25%）＝1500（人），
答：估计这所学校本次竞赛听写不合格的学生人数为1500人．
21．A市和B市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台和D市8台．已知从A市调运一台机器到C市和D市的运费分别为400元和800元；从B市调运一台机器到C市和D市的运费分别为300元和500元．
（1）设B市运往C市机器x台，求总运费W（元）关于x的函数关系式．
（2）若要求总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？
【分析】（1）从B市运往C市x台，则运费为300x，还需从A市往C市运送10﹣x台，运费为400×（10﹣x），那么从B市运往D市6﹣x台，运费为500×（6﹣x），从A 市运往D市12﹣（10﹣x）台，运费为800×（2+x），从而得到总运费W关于x的函数关系式；
（2）根据运费单价列出函数关系式，根据每次运出台数为非负数，列不等式组求x的范围．
（3）因为所求一次函数解析式中，一次项系数200＞0，x越小，W越小，为使总运费最低，x应取最小值．
解：（1）由题意可知：W＝300x+400×（10﹣x）+500×（6﹣x）+800×（2+x）
由此W＝200x+8600．
（2）由题意得200x+8600≤9000，
∴x≤2．
又∵B市可支援外地6台，
∴0≤x≤6．
综上0≤x≤2，
∴x可取0，1，2，∴有三种调运方案；
（3）∵0≤x≤2，且W随x的值增大而增大，
当x＝0时，W的值最小，最小值是8600元．
此时的调运方案是：
B市运往C市0台，运往D市6台；A市运往C市10台，运往D市2台．
22．如图，在?ABCD中，AE平分∠BAD交DC于点E，AD＝5cm，AB＝8cm．（1）求EC的长．
（2）作∠BCD的平分线交AB于F，求证：四边形AECF为平行四边形．
【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得∠1＝∠3，再根据平行线的性质可得∠3＝∠2，利用等量代换可得∠1＝∠2，根据等角对等边可得AD＝DE，再根据线段的和差关系可得EC长；
（2）首先根据平行四边形的性质可得∠DAB＝∠DCB，CD∥AB，再根据角平分线的性质可得∠3＝∠ECF，再证明AE∥CF，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证明四边形AECF为平行四边形．
解：（1）∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠3＝∠2，
∴∠1＝∠2，
∴AD＝DE＝5cm，
∵AB＝8cm，
∴EC＝8﹣5＝3cm；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠DCB，CD∥AB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠3＝，
∵CF平分∠DCB，
∴∠ECF＝，
∴∠3＝∠ECF，
∵∠2＝∠3，
∴∠2＝∠ECF，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
23．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？
若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
【分析】（1）直接把点A（﹣3，0），B（1，0）代入二次函数y＝ax2+bx+2求出a、b 的值即可得出抛物线的解析式；
（2）设点P坐标为（m，n），则n＝﹣m2﹣m+2，连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．根据三角形的面积公式得出△PAC的表达式，再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可；
（3）以BC为边，在线段BC两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求，再过Q1点作Q1D ⊥y轴于点D，过点Q2作Q2E⊥x轴于点E，根据全等三角形的判定定理得出△Q1CD≌△CBO，△CBO≌△BQ2E，故可得出各点坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2过点A（﹣3，0），B（1，0），
∴
解得，
∴二次函数的关系解析式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）存在．
∵如图1所示，设点P坐标为（m，n），则n＝﹣m2﹣m+2．
连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．
则PM＝﹣m2﹣m+2，PN＝﹣m，AO＝3．
∵当x＝0时，y＝﹣×0﹣×0+2＝2，
∴OC＝2，
∴S△PAC＝S△PAO+S△PCO﹣S△ACO
＝AO?PM+CO?PN﹣AO?CO
＝×3×（﹣m2﹣m+2）+×2×（﹣m）﹣×3×2
＝﹣m2﹣3m
∵a＝﹣1＜0
∴函数S△PAC＝﹣m2﹣3m有最大值
∴当m＝﹣＝﹣时，S△PAC有最大值．