微元法在几何与物理中的一些应用 摘要：微元法在几何、物理、力学和工程技术等方面都有着极其广泛的应用，是解决定积分应用问题的重要思想方法。本文特别阐述了微元法的原理及其过程，对微元法在几何问题和物理问题中的应用进行了研究。分析了微元法在定积分的应用中如何确定所求量的微元，在解决实际问题时，应先将实际问题合理转化为适合的数学模型，设定积分变量，然后运用微元法建立积分表达式。因此使用微元法的关键是在局部上建立微元表达式，从而可将讨论问题表示为定积分。 关键词：微元法；微元；几何应用；物理应用 Micro Element Method In Geometrical And Physical Abstract：Micro element method has widely application in geometry, physics, and mechanics and engineering technology, it is an important method to solve the definite integral problem .This paper expounds the principle and process of micro element method, to discuses the application problems of geometrical problems and physics. It is analyzed that how a solid is divided into some microelements when definite integral is applied to calculating its volume, when solving practical problems, firstly let the actual problem turn into suitable mathematical model rationally and set the integral variable, and then apply the micro elements method to establish the integral expression. The key point of using micro element is established the micro elements expression in local, thus, to discuss problems expressed as definite integral. Keywords：Micro element method; Micro element; Geometric applications; Physics application
教案 教学目的与要求： 1.正确理解和掌握定积分微元法的基本思想； 2.掌握用定积分解决平面图形面积的问题； 3.培养学生分析问题解决问题的能力和数形结合的观念 重点：1、微元法及其基本思想；2、求平面图形的面积 难点：微元法的基本思想 教学内容与教学组织设计（45分钟）： 第6.5节：定积分的几何应用 1 复习定积分的概念，引入微元法的思想 ………………………..15分钟 定积分的概念 ? b a dx x f )(0 1 lim ()n i i i f x λξ→==?∑. 教学安排 课 型：理论 教学方式：讲授 教学资源 多媒体、板书 授课题目（章、节） 第6.5节：定积分的几何应用
2 介绍微元法 …………………………………..5分钟 通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼，可得用定积分计算某个量U 的步骤: (1) 选取积分变量，并确定它的变化区间[,]a b ； (2) 求微元：将区间[,]a b 分成若干小区间，取其中的任一小区间[,]x x dx +，求出它所对应的部分量的近似值： ()U f x dx ?≈ (()f x 为[,]a b 上的连续函数 ) 则称()f x dx 为量U 的微元，且记作()dU f x dx =； (3) 列积分：以U 的微元dU 作被积表达式，以[,]a b 为积分区间，得()b a U f x dx =? . 这个方法叫做微元法。 微元法实质：找出U 的微元dU 的微分表达式dU=f(x)dx 。 3 求平面图形的面积 …………………………………..17分钟 类型一：D1型区域 （教师主导并详细讲解） 如图1，由曲线()y f x =及直线x a =、()x b a b =<与x 轴 所围成的曲边梯形面积A. 讲解：（板书） (1) 选变量：选x 为积分变量 (2) 求微元：在区间微元[,]x x dx +上，取x ξ=，则 ()dA f x dx = 图1 (3) 列积分：()b a A f x dx = ? 练习：（学生自主根据微元法进行分析，然后教师讲解） 如图2，求由曲线 ()y f x = 与 ()y g x = 及直线 x a =、()x b a b =<且 ()()f x g x ≥所围成的图形面积A 。
电磁感应中的“微元法”和“牛顿第四定律” 江苏省特级教师，江苏省丰县中学——戴儒京 所谓：“微元法” 所谓“微元法”，又叫“微小变量法”，是解物理题的一种方法。 1.什么情况下用微元法解题？在变力作用下做变变速运动（非匀变速运动）时，可考虑用微元法解题。 2. 关于微元法。在时间t ?很短或位移x ?很小时，非匀变速运动可以看作匀变速运动，运动图象中的梯形可以看作矩形，所以x t v ?=?，s x l t lv ?=?=?。微元法体现了微分思想。 3. 关于求和 ∑ 。许多小的梯形加起来为大的梯形，即 ∑?=?S s ， （注意：前面的s 为小写，后面的S 为大写），并且0v v v -=?∑，当末速度 0=v 时，有∑=?0v v ，或初 速度00=v 时，有 ∑=?v v ，这个求和的方法体现了积分思想。 4. 无论物理规律用牛顿定律，还是动量定理或动能定理,都可以用微元法. 如果既可以用动量定理也可以用动能定理解。对于使用老教科书的地区，这两种解法用哪一种都行，但对于使用课程标准教科书的地区就不同了，因为课程标准教科书把动量的内容移到了选修3-5，如果不选修3-5，则不能用动量定理解，只能用动能定理解。 微元法解题，体现了微分和积分的思想，考查学生学习的潜能和独创能力。 电磁感应中的微元法 一些以“电磁感应”为题材的题目。可以用微元法解，因为在电磁感应中，如导体切割磁感线运动，产生感应电动势为BL v E =，感应电流为R B L v I = ，受安培力为v R L B B I L F 2 2==，因为是变力问题，所以可以用微元法. 1.只受安培力的情况 例1. 如图所示，宽度为L 的光滑金属导轨一端封闭，电阻不计，足够长，水平部分有竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场。质量为m 、电阻为r 的导体棒从高度为h 的斜轨上从静止开始滑下，由于在磁场中受安培力的作用，在水平导轨上滑行的距离为S 而停下。 （1） 求导体棒刚滑到水平面时的速度0v ； （2） 写出导体棒在水平导轨上滑行的速度v 与在水平导轨上滑行的距离x 的函数关 系，并画出x v -关系草图。 （3）求出导体棒在水平导轨上滑行的距离分别为S/4、S/2时的速度1v 、2v ；
微元法在高中物理中的应用 江苏省靖江市斜桥中学夏桂钱 微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。它是将研究对象（物体或物理过程）进行无限细分，从其中抽取某一微小单元即“元过程”，进行讨论，每个“元过程”所遵循的规律是相同的。对这些“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法可以把一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化，从而起到巩固知识、加深认识和提高能力的作用。 一、挖掘教材中微元素材，认知微元思想 微元法思想在新课标教材（人教版）上时有渗透。如在引入瞬时速度的概念时，教材从平均速度出发，提出从t到t+△t这段时间间隔内，△t越小运动快慢的差异也就越小，运动的描述就越精确。在此基础上，再提出若△t趋向于零时，就可以认为△t的平均速度就是t时刻的瞬时速度。正是这种无限分割的方法，可以使原来较为复杂的过程转化为较简单的过程。再如，我们要推导匀变速直线运动的位移公式，显然不能直接用s=vt，原因就在于速度本身是变化的，不能直接套用匀速直线运动的公式。但是我们可以想象，如果我们把整个过程的时间分成无数微小的时间间隔，我们分得愈密，每一份的时间间隔也就愈小，此间隔内，速度的变化亦就愈小，如果分得足够细，就可以认为速度几乎不变，此时就可将每一份按匀速直线运动来处理，完毕之后，再累加即可。 必修2第五章第四节《重力势能》中，计算物体沿任意路径向下运动时重力所做的功时，先将物体运动的整个路径分成许多很短的间隔，由于每一段都很小很小，就可以将每一段近似地看做一段倾斜的直线，从而就能利用功的定义式计算出每一小段内重力的功，再累加得到整个过程重力的总功。第五节《弹性势能》中关于在求弹簧弹力所做的功时，先将弹簧拉伸的整个过程分成很多小段，在足够小的情况下，每一小段位移中可以认为拉力是不变的，从而也能直接利用功的定义式来计算每一小段内拉力所做的功，再累加得到整个过程拉力的总功。这两个功的计算，前者的难点在于物体运动的路径是曲线，后者的难点在于力的大小在变化。教材中的处理方法是前者采用了“化曲为直”的思想，后者采用了“化变为恒”的思想。
定积分的应用
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浅谈定积分的应用 **** **** （天津商业大学经济学院，中国天津 300134) 摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。 关键词 定积分 定积分的应用 求旋转体体积 变力做功 The Application of Definite Integral **** **** (Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China) Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definition of defi nite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in the higher mathe matics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, through the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very convenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work 0、前言 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。 微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5] 。本文将举例介绍定积分在 的我们日常学习和生活当中的应用。 1定积分的基本定理和几何意义 1.1、定积分的定义 定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。即由0=y ，a x =， b x =,()x f y =所围成图形的面积。 定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是： 如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())(' x f X F =，那么 ()()()1)(Λa F b F dx x f b a -=?
微元法在几何与物理中的一些应用邓智维
微元法在几何与物理中的一些应用 摘要：微元法在几何、物理、力学和工程技术等方面都有着极其广泛的应用，是解决定积分应用问题的重要思想方法。本文特别阐述了微元法的原理及其过程，对微元法在几何问题和物理问题中的应用进行了研究。分析了微元法在定积分的应用中如何确定所求量的微元，在解决实际问题时，应先将实际问题合理转化为适合的数学模型，设定积分变量，然后运用微元法建立积分表达式。因此使用微元法的关键是在局部上建立微元表达式，从而可将讨论问题表示为定积分。 关键词：微元法；微元；几何应用；物理应用 Micro Element Method In Geometrical And Physical Abstract：Micro element method has widely application in geometry, physics, and mechanics and engineering technology, it is an important method to solve the definite integral problem .This paper expounds the principle and process of micro element method, to discuses the application problems of geometrical problems and physics. It is analyzed that how a solid is divided into some microelements when definite integral is applied to calculating its volume, when solving practical problems, firstly let the actual problem turn into suitable mathematical model rationally and set the integral variable, and then apply the micro elements method to establish the integral expression. The key point of using micro element is established the micro elements expression in local, thus, to discuss problems expressed as definite integral. Keywords：Micro element method; Micro element; Geometric applications; Physics application
三、举例 例2：如图3—2所示，一个半径为R 的四分之一光 滑球面放在水平桌面上，球面上放臵一光滑均匀铁链，其 A 端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位 长度的质量为ρ.试求铁链A 端受的拉力T. 解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不 能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受 力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质 点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出 整条铁链的受力情况. 在铁链上任取长为△L 的一小段（微元）为研究对象， 其受力分析如图3—2—甲所示.由于该元处于静止状态， 所以受力平衡，在切线方向上应满足： θθθθT G T T +?=?+cos θρθθcos cos Lg G T ?=?=? 由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大 △T θ，所以整个铁链对A 端的拉力是各段上△T θ的和， 即 ∑∑∑?=?=?= θρθρθcos cos L g Lg T T 观察 θcos L ?的意义，见图3—2—乙，由于△θ很小， 所以CD ⊥OC ，∠OCE=θ△Lcos θ表示△L 在竖直方向上的投影△R ， 所以 ∑=?R L θcos 可得铁链A 端受的拉力 ∑=?=gR L g T ρθρcos 例5：半径为R 的光滑球固定在水平桌面上，有一质量 为M 的圆环状均匀弹性绳圈，原长为πR ，且弹性绳圈 的劲度系数为k ，将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上， 使弹性绳圈水平停留在平衡位臵上，如图3—5所示，若 平衡时弹性绳圈长为R π2，求弹性绳圈的劲度系数k. 解析：由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计，弹性绳圈不能看成质点，所以应将弹性绳圈分割成许多小段，其中每一小段△m 两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F.在弹性绳圈上任取一小段质量为△m 作为研究对象，进行受力分析.但是△m 受的力不在同一平面内，可以从一个合适的角度观察.选取一个合适的平面进行受力分析，这样可以看清楚各个力之间的关系.从正面和上面观察，分别画出正视图的俯视图，如图3—5—甲和2—3—5—乙. 先看俯视图3—5—甲，设在弹性绳圈的平面上，△m 所对的圆心角 是△θ，则每一小段的质量 M m π θ 2?=? △m 在该平面上受 拉力F 的作用，合力为 2 sin 2)2 cos( 2θθ π?=?-=F F T 因为当θ很小时，θθ≈sin 所以θθ ?=?=F F T 2 2 再看正视图3—5—乙，△m 受重力△mg ，支持力N ，
物理学中微元法的应用 编稿：李传安 审稿：张金虎 【高考展望】 随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围，为高中物理的学习提供了更好的数学工具。教材中很多地方体现了微元思想，逐步建立微元思想，加深对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力，不仅需要从研究方法上提升学习能力，而且还要提高利用数学方法处理物理问题的能力。高考试题屡屡出现“微元法” 的问题，较多地出现在机械能问题、动量问题、电磁感应问题中，往往一出现就是分值高、难度较大的计算题。在高中物理竞赛、自主招生物理试题中更是受到命题者的青睐，成为必不可少的内容。 【知识升华】 “微元法”又叫“微小变量法”，是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的。微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到求解。利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的思想。 【方法点拨】 应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程； （2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式；（3）在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量。微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的。 【典型例题】 类型一、微元法在运动学、动力学中的应用 例1、设某个物体的初速度为0v ，做加速度为a 的匀加速直线运动，经过时间t ，则物 体的位移与时间的关系式为2 012 x v t at =+ ，试推导。 【思路点拨】把物体的运动分割成若干个微元，t ?极短，写出v t -图像下微元的面积的表 达式，即位移微元的表达式，最后求和，就等于总的位移。 【解析】作物体的v t -图像，如图甲、乙，把物体的运动分割成若干个小元段（微元），由于每一个小元段时间t ?极短，速度可以看成是不变的，设第i 段的速度为i v ，则在t ?时间内第i 段的位移为i i x v t =?，物体在t 时间内的位移为i i x x v t =∑=∑?，在v t -图像上则为若干个微小矩形面积之和。
微元法在物理学中的应用 在物理学问题中，往往是针对一个对象经历某一过程或外于某些状态来进行研究，而在这些过程或状态之间，描述研究对象的物理量有的可能是不变的，更多的则是变化的，对于那些变化量的研究，有一种方法是把全过程分成很多微小的局部来考察，然后通过这些小过程或微小局部的研究而归纳出适用于全过程或者是整体的结论，这些微小过程或者微小局部常被称为微元法。 微元法也是一种转化问题的手段，这种转化的目的主要体现在以下几点： 1、将变化的问题转化为恒定的问题，比如，物体做变速直线运动，物体运动的速度是变化的，但只要取一段很小的过程，在这一段很小过程中，就可以认为物体运动的速度是不变的。 将弯曲的转化为直线的，如果物体运动的轨迹是一条曲线，只要在曲线上取段足够短的长度，这个长度就可以看成是直线的。 微元法只是解题的一种手段，或者说是一种中间过程，这种“微”的无限收缩就变成了瞬时状态，而“微”的无限累积又可以演变为全过程，所以学习和掌握微元法不但要弄清楚这种方法的基本思路，还要知道这两种不同的发展趋势。 粗细忽略，质量分布均匀，半径分别为与的两圆环相切，若在切点处放一质点m ，恰好使其两边圆环对m 的万有引力的合力为零，问大小圆环的线密度须满足什么样的条件？ 分析：连接O 1、O 2交两圆于A 、B ，过切点P 作弦交 两圆于C 、D ，设α=∠=∠DBP CPA αcos 2R CP = αc o s 2r CD = 将CD 绕P 点顺时针转动到C 'D '，如图且α?='∠='∠D DP C CP ，再由C C '向O 1；D D '向O 2连线，则α?='∠='∠221D DO C CO 故，R C C α?='2 r D D α?='2 所以C C '所对应的质量与D D '所对应的质量对质点的引力若满足 ()()2 22 122DP m r G CP m R G αραρ?=? α ρα ρ2 2 22 2 1c o s 4c o s 4r r R R = r R 2 1 ρρ= 试证明质量均，厚度均匀的球壳内一质点，受到球壳万有引力为零。 证明：设球壳单位面积的质量为ρ，球壳内P 点外有一质点m ，过P 点作两个顶角很小的锥面，截球壳的面积为1S ?和2S ?，且P 点到两球壳的距离分别为1r 2r ，所以1S ?和2S ?所对应的质量对P 质点的万有引力之和为2 2 22 1 1r m S G r m S G F ?-?=ρρ 由图可知，由于1S ?和2S ?都很小
目录 摘要 (2) 关键字 (2) Abstract (2) Key Words (2) 绪论 1、微积分学中微元法思想的起源与发展 (3) 1.1微元法思想的起源 (3) 1.2 微积分的现代发展 (5) 1.3中国古代数学对微积分创立的贡献 (6) 2、微元法的基本思想 2. 1 微元法的概念及理论 2.2 微元法使用的一般条件 2.3 微元法的解题步骤 3、几何学中微元法思想及其应用 3.1 定积分中平面图形微元法的思想及几何应用 3.2 二重积分中微元法的思想及几何应用 4、微元法在其他学科中的应用 总结 参考文献 答谢
论积分学中的微元法思想及其应用 专业：数学与应用数学 摘要:积分学中微元法思想是这一学科的非常重要的思想，它的合理运用可以使原本复杂的问题变得更为简单易行,并且在实际生活中此理论也得到了非常广泛的应用，本论文将重点论述微元法的思想和它的几何应用,使读者对微元法有更深刻的理解,然后介绍微元法在物理学，经济学上的应用,解决一些具体的实际问题 关键词：微元法，定积分，几何应用，面积，基本思想 ABSTRACT Integral micro-element method is a very important ideological thinking of the discipline ，It can make rational use of the original problem becomes more complicated simple,And in real life, this theory has also been a very wide range of applications,This thesis focuses on the ideas of micro element method and its geometric applications,Micro-element method for the reader a deeper understanding ，Then describes the application of micro-element method in physics, economics ，Solve some specific practical problems
摘要： 微元法是分析、解决物理及数学等问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。“微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法，在这个方法里充分的体现了积分的思想。用该方法可以使一些复杂的过程用我们熟悉的迅速地加以解决，使所求的问题简单化。 关键词： 微元法积分思维 英文题目 Abstract: Infinitesimal method is analysis, solving questions of physics and mathematics of the commonly used methods, but also from the part to the whole thinking method。 " Differential method" simple is the object of study is divided into an infinite infinitesimal portion removed, representative of a small part of analysis, from the local to the integrated consideration of scientific thinking method, in this method fully embodies the thought of integrated。 This method can make the complex process with our familiar quickly to try to solve, make the simple。 Key words: Infinitesimal method Integral Thinking 1 引言: 微积分是与应用联系发展起来的，它是数学的一个重要的分支，其应用与发展已广泛的渗透到了物理学，化学，经济学等各个自然科学之中，是我们学习各门学科的重要工具。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。 2 研究问题及成果 2·1:微元法的取元原则 （1）可加性原则 由于所取的“微元”最终必须参加叠加演算，所以，对“微元”及相应的量的最基本要求是：应该具备“可加性”特征； （2）有序性原则 为了保证所取的“微元”在叠加域内能够较为方便地获得“不遗漏”、“不重复”的完整叠加，在选取“微元”时，就应该注意：按照关于量的某种“序”来选取相应的“微元”； （3）平权性原则
第六章微元法的应用 (2) §6.1 微元法 (2) §6.2 定积分在几何学中的应用 (4) §6.3 定积分在物理学中的应用 (9) §6.4 定积分在其它领域的应用 (11) 总结与提高 (14) 复习题六 (14)
第六章 微元法的应用 如阿基米德一个根本的那个人的、牛顿与高斯这样的最伟大的数学家，总是不偏不倚地把理论与应用结合起来。 ——克莱因 “微元法”就是根据定积分的定义抽象出来的将实际问题转化成定积分的一种简单直接方法,就是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量为常量、容易确定的量．通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法。在处理问题时,从对事物的极小部分(微元)分析入手,达到解决事物整体的方法.这是一种深刻的思维方法,是先分割逼近,找到规律,再累计求和,达到了解整体. 微元法在几何、物理、力学和工程技术等方面都有着极其广泛的应用．本章我们首先重点讨论定积分在几何上的应用；其次，讨论它在物理、力学方面的一些应用．最后再讨论在工程技术以及经济学方面的应用． §6.1 微元法 6.1.1 微元法的原理 定积分概念的引入，体现了一种思想，它就是：在微观意义下，没有什么“曲、直”之分，曲顶的图形可以看成是平顶的，“不均匀”的可以看成是“均匀”的。简单地说，就是以“直”代“曲”，以“不变”代“变”；的思想. 直观的看，对于图所示图形的面积时，在[a , b ]上任取一点x ，此处任给一个“宽度”x ?，那么这个微小的“矩形”的面积为 dx x f x x f dS )()(=?= 此时我们把dx x f dS )(=称为“面积微元”。把这些微小的面积全部累加起来，就是整个图形的面积了。这种累加通过什么来实现呢？当然就是通过积分，它就是 ?=b a dx x f S )( 这些问题可化为定积分来计算的待求量A 有两个特点：一是对区间的可加性，这一特点是容易看出的；关键在于另一特点，即找任一部分量的表达式： ()A f x x x ε?=?+? （6.1.1） 然而，人们往往根据问题的几何或物理特征，自然的将注意力集中于找()f x x ?这一项。但不要忘记，这一项与A ?之差在0x ?→时，应是比x ?高阶的无穷小量（即舍弃的部分更微小），借用微分的记号，将这一项记为 ()dA f x dx = （6.1.2） 这个量dA 称为待求量A 的元素或微元。用定积分解决实际问题的关键就在于求出微 图6.1.1 微元法的意义
物理学中微元法的应用 ： ： 【高考展望】 随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围，为高中物理的学习提供了更好的数学工具。教材中很多地方体现了微元思想，逐步建立微元思想，加深对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力，不仅需要从研究方法上提升学习能力，而且还要提高利用数学方法处理物理问题的能力。高考试题屡屡出现“微元法” 的问题，较多地出现在机械能问题、动量问题、电磁感应问题中，往往一出现就是分值高、难度较大的计算题。在高中物理竞赛、自主招生物理试题中更是受到命题者的青睐，成为必不可少的内容。 【知识升华】 “微元法”又叫“微小变量法”，是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的。微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到求解。利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的思想。 【方法点拨】 应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程； （2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式；（3）在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量。微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的。 【典型例题】 类型一、微元法在运动学、动力学中的应用 例1、设某个物体的初速度为0v ，做加速度为a 的匀加速直线运动，经过时间t ，则物 体的位移与时间的关系式为2 012 x v t at =+ ，试推导。 【思路点拨】把物体的运动分割成若干个微元，t ?极短，写出v t -图像下微元的面积的表 达式，即位移微元的表达式，最后求和，就等于总的位移。 【解析】作物体的v t -图像，如图甲、乙，把物体的运动分割成若干个小元段（微元），由于每一个小元段时间t ?极短，速度可以看成是不变的，设第i 段的速度为i v ，则在t ?时间内第i 段的位移为i i x v t =?，物体在t 时间内的位移为i i x x v t =∑=∑?，在v t -图像上则为若干个微小矩形面积之和。
题型 1.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求面积 2.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求体积 内容 一．微元法及其应用 二．平面图形的面积 1.直角坐标系下图形的面积 2.边界曲线为参数方程的图形面积 3. 极坐标系下平面图形的面积 三．立体的体积 1.已知平行截面的立体体积 2.旋转体的体积 四．平面曲线的弦长 五．旋转体的侧面积 六．定积分的应用 1.定积分在经济上的应用 2.定积分在物理上的应用 题型 题型I微元法的应用 题型II求平面图形的面积
题型III 求立体的体积 题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用 自测题六 解答题 4月25日定积分的应用练习题 一．填空题 1. 求由抛物线线x x y 22 +=，直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________ 2.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________ 3. 由曲线y x y y x 2,422==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线相应于上的一段弧所围成的图形面积为 ． 6.椭圆所围成的图形的面积为 二．选择题 1. 由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ． 3 1 B ． C ． D ． 2. 心形线相应于的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ ） A ． B ． C ． D ． 3. 曲线相应于区间上的一段弧线的长度为 （ ） A ． B ． C ． D ． 4. 由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ?21ln B.dy e e x ?20 C.dy y ?2ln 1ln D.()d x e x ?-21 2 三．解答题 1. 求曲线2 2,2,4 x y x xy y ===所围成的平面图像的面积.
微元法在解题中的应用 江苏省镇江第一中学 邹建平 随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围，为高中物理的学习提供了更好的数学工具，使得高中物理不仅可以从研究方法上得到提升，这也就使得学生利用数学方法处理物理问题的能力得到很大的提高。在教学中渗透微元思想，对加深学生对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力将起到重大的作用．比如：位移对时间的变 化率——瞬时速度：dt dx v = ，求位移：?=vdt x ；速度对时间的变化率——加速度：dt dv a =，求速度?=adt v ；动量对时间的变化率——力：dt dp F =，求冲量?=?=Fdt p I ；磁通量对时 间的变化率——感应电动势：dt d E φ =；通过导体某一截面的电量对时间的变化率——电流强度： dt dq I =，求电量?=idt q ；功对时间的变化率——瞬时功率：dt dW P =，求功?=Fdx W ；穿 过线圈的磁通量对时间的变化率——感应电动势：dt d n E φ =。学生掌握微元思想对这些物理概 念、规律的理解，拓宽知识的深度和广度，开拓解决物理问题的新途径，是认识过程中的一次“飞跃”。 一、用微元法解题的基本方法和步骤 例. 如图所示，水平放置的导体电阻为R ，R 与两根光滑的平行金属导轨相连，导轨间距为L ，其间有垂直导轨平面的、磁感应强度为B 的匀强磁场。导轨上有一导体棒ab 质量为m 以初速度v 0向右运动。求这个过程的总位移？ 解析：根据牛顿第二定律，导体棒在运动过程中受到安培力作用，导体棒做非匀减速运动， ma R v L B BIL =-=-22 在某一时刻取一个微元 t v m R v L B i ??=-22 变式 v m t v R L B i ?=?-22 两边求和 ∑∑?=?-v m t v R L B i 2 2 因i i x t v ?=? 故 )0(02 2v m x R L B -=- 得 220L B R m v x = 小结：在处理非匀变速运动问题时，从对事物的极小部分(微元)分析入手，达到解决事物整体的方法。 在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法（累计求和）进而使问题求解。在解题过程中，常常遇到非匀变速运动过程中求位移，电量，能量等问题，灵活运用微元的思想，可以帮助我们更深刻的理解物理过程。 微元法的解题思路：①选取“微元”，将瞬时变化问题转化为平均变化问题（避免直接求瞬时变化问题的困难）；②利用数学“微积分”知识，将平均变化问题转化为瞬时变化问题（充分
微元法在高考物理中的应用 河南省信阳高级中学 陈庆威 2013.10.06 微元法是高中物理中的一个重要的思想方法。因其近年来在江苏高考物理试题中的频繁出现，尤其是它在2013年普通高等学校招生全国统一考试（课标卷I ）第25题中的闪亮登场，让它在我们的高考备考中的地位变得更加重要。 很多同学在学习过程中对这类问题因陌生而感到头痛，想集中训练又苦于很难在较短时间里收集到较好的题型，对很多顶尖的学生来说这类问题做起来也往往心有余而力不足。希望通过以下几个典型的微元法试题的训练，能让你从陌生到熟练。 一、从真题中练方法 例题1.（2013全国课标卷I ） 如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L 。导轨上端接有一平行板电容器，电容为C 。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B ，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m 的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g 。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求： ⑵金属棒的速度大小随时间变化的关系。 【答案】⑴Q=CBLv ⑵ ()22sin cos m gt v m B L C θμθ-= +
【解析】（1）设金属棒下滑的速度大小为v ，则感应电动势为 E BLv = ① 平行板电容器两极板之间的电势差为 U E = ② 设此时电容器极板上积累的电荷量为Q ，按定义有 Q C U = ③ 联立①②③式得 Q CBLv = ④ （2）设金属棒的速度大小为v 时经历的时间为t ，通过金属棒的电流为i ，金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为 1f BLi = ⑤ 设在时间间隔(),t t t +?内流经金属棒的电荷量为Q ?，按定义有 Q i t ?= ? ⑥ Q ?也是平行板电容器极板在时间间隔(),t t t +?内增加的电荷量，由④ 式得 Q CBL v ?=? ⑦ 式中，v ?为金属棒的速度变化量，按定义有 v a t ?= ? ⑧ 金属棒所受的摩擦力方向斜向上，大小为 2f N μ= ⑨ 式中，N 是金属棒对于导轨的正压力的大小，有 cos N mg θ= ⑩
微元法在物理中的应用 积分知识在物理中的应用主要是围绕at v =研究的。一般情况下，知道其中的两个量，就可以轻易地求出第三个量，或也可以从能量角度求解v 。但有时，加速度a 并不是一直不变的，而是随着v 或t 的变化而变化的，此时一般的思维讲不再适用。 【简单模型】 某辆汽车从静止开始以加速度kv a =做加速直线运动，其中k 为常数，当运动时间为t 时，汽车通过的位移为S ，求此时小车的速度大小。 【解析】：因为此题中加速度a 是随着v 不断变化的，所以要想利用aS v 202=-求解是不可能的；若从能量角度分析，根本就求不出汽车受力的做功情况，所以也不可以解出，对于此类a 在不断变化的提型，应该应用微元法进行求解。 t a v ??=?瞬 ∴t kv v ?=? ∑∑??=?t kv v 瞬 ∴kS v = 所以解得t 时刻时速度大小为kS v =。 这中积分思想在考试中通常放在电磁感应中考查，同学们认为这种 题型难度很大，其实不然，我认为被这种题型吓到的主要原因不是因为 这真正有多大难度，而是被它所特有的“微元”思想吓怕，事实上，真v ?表示一小段路程。t ?表示很小的一段时间，瞬a 表示加速度的瞬时值， 在很小的一段时间内，瞬a 可以看作t ?内的平均加速度，v ?则表示在t ? 时间内速度的变化量 kv a =瞬，k 为常数，瞬v 表示某一时刻速度的瞬时值。 此式两边同时求和，依然相等 为求和符号""∑ v ?为很小的一段速度，若将运动过程中所有的v ?都加起来，结果就 是总速度v ，即v v =?∑。v 就表示t 时刻的速度。 t ?为很小的一段时间，一个t v ?瞬表示很小的一段位移，若将所有的 t v ?瞬相加，则得到总位移S ，即S t v =?∑瞬 求和过程中常数可以直接移出，例如∑ ∑?=??t v k t kv 瞬瞬