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10.8独立事件与二项分布及其应用

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二项分布及其应用教案

二项分布及其应用教案

二项分布及其应用
20130513
一、教材分析
互相独立事件、n次独立重复试验的概率及二项分布是高考重点考察的内容，在解答题中常和分布列的有关知识结合在一起考查，属中档题目.在此之前，学生已学习了互斥事件，对立事件，分布列，两点分布，超几何分布，条件概率等知识，因此要加强“二项分布”与前面知识的区别与联系，构建知识网络.
二、学情分析
在最近的一次月考中，曾出现了“二项分布”的考题，学生答题情况并不理想，曾经出现各种的错误.这说明学生对该“二项分布”的特点理解不深刻，换一个背景，学生就不知道考核什么知识点了，或者公式中缺少k
C，从而造成失分.因此，在复习过程中，应充分
n
调动学生的积极性，通过学生自身的探究学习、互相合作，还有教师的适当引导之下复习好本节知识.
三、教学目标
1、知识目标：了解两个事件互相独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分
布，并能解决一些简单的实际问题.
2、能力目标：在探究的过程中，培养学生使用概率知识分析和解决实际问题的能力，
体会分类讨论，转化等数学思想，增强数学的应用意识，提高学习数学的兴趣.
3、情感目标：通过学生的讨论探究，主动学习，培养他们勇于探索的治学精神.
四、重点难点
教学重点：理解n次独立重复试验及二项分布模型.
教学难点：利用互相独立事件和二项分布模型解决实际问题.
五、教学基本流程
六、教学设计
板书设计。

高考理科第一轮复习课件(10.8条件概率与独立事件)

高考理科第一轮复习课件(10.8条件概率与独立事件)

2.判断相互独立事件的三种常用方法 (1)利用定义: 事件A，B相互独立 P(AB)=P(A)·P(B). (2)利用性质:A与B相互独立,则A与 B, A 与B, A 与 B 也都相互独立. (3)具体背景下: ①有放回地摸球,每次摸球结果是相互独立的. ②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.
P(A1)P(A2)„P(An) _________________.
3.二项分布
进行n次试验，如果满足以下条件：
(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”
和“失败”.
(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为
1-p.
(3)各次试验是相互独立的. 用X表示这n次试验中成功的次数，则
)
(5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，
P(BA)表示事件A，B同时发生的概率.(
)
(6)X服从正态分布，通常用X～N(μ ,σ 2)表示，其中参数μ 和
σ 2分别表示正态分布的均值和方差.( )
【解析】(1)错误.当A,B为相互独立事件时P(B|A)=P(B).因此
该说法错误. (2)错误.两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事 件相互独立是指一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没 有影响，两个事件相互独立不一定互斥. (3)错误.因为只有两个事件是相互独立事件时，公式P(AB)= P(A)P(B)才成立.
5 4 2 8 P X 2 P(A1 A 2 ) P A1 P(A 2 ) ， 5 5 25
4 3 12 P X 3 P(A1A 2 ) P(A1 )P(A 2 ) . 5 5 25
∴X的分布列为

二项分布及其应用

二项分布及其应用
考基联动
考向导析 规范解答系列 阅卷报告系列 限时规范训练
解法三：∵D＝A＋B，且 A 与 B 独立． ∴P(D)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A· B)＝0.8＋0.9－0.8×0.9＝0.98. 故目标被击中的概率是 0.98. (4)设 E＝{至多有 1 人击中目标}， ∵E＝A·B ＋B·A ＋ A ·B ， 且 A 与 B 、B 与 A 、 A 与 B 独立， A·B 、B·A 、 A ·B 彼此互斥， ∴P(E)＝P(A·B ＋B·A ＋ A ·B )＝P(A·B )＋P(B·A )＋P( A ·B ) ＝P(A)· B )＋P(B)· A )＋P( A )· B )＝0.8×0.1＋0.9×0.2＋0.1×0.2＝0.28. P( P( P( 故至多有 1 人击中目标的概率为 0.28.
考基联动
考向导析
规范解答系列
阅卷报告系列
限时规范训练
(2)由于 Y 表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然 Y 是随机变量，其取值为 0,1,2,3,4,5,6. 其中：{Y＝k}(k＝0,1,2,3,4,5)表示前 k 个路口没有遇上红灯，但在第 k＋1 个路口遇 上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算． 2 1 P(Y＝k)＝ k·(k＝0,1,2,3,4,5)， 3 3 而{Y＝6}表示一路没有遇上红灯． 2 6 故其概率为 P(Y＝6)＝ ， 3 因此 Y 的分布列为： Y P Y P 0 1 3 1 12 · 33 4 1 24 · 3 3
考基联动
考向导析
规范解答系列
阅卷报告系列
限时规范训练
(2)设事件 C＝{两人中恰有 1 人击中目标}，则 C＝A·B ＋B·A ∴A·B 与 B·A 互斥，且 A 与 B 独立， ∴P(C)＝P(A·B ＋B·A ) ＝P(A·B )＋P(B·A ) ＝P(A)· B )＋P(B)· A ) P( P( ＝P(A)· [1－P(B)]＋P(B)· [1－P(A)] ＝0.8×0.1＋0.9×0.2＝0.26， 即两人中恰有 1 人击中目标的概率为 0.26. (3)设 D＝{目标被击中}＝{两人中至少有 1 人击中目标}，本问有三种解题思路：

二项分布及其应用

二项分布及其应用
(2) 根据二项分布的分布规律，计算 P 值。
本例0=0.01，n=400，x=1，根据题意需求最多有1例染
色体异常的概率，按二项分布的概率函数得
(3) 做出推断结论: P >0.05，按 =0.05检验水准不拒绝H0，尚 不能认为该地新生儿染色体异常率低于一般。
1、样本率与已知总体率的比较：
(2) 正态近似法: 当 n0 和 n(1-0) 均大于5时,
用n=20和x=8查附表7.2百分率的可信区间得该 法近期有效率的95%可信区间为19%64%。
由于附表7百分率的可信区间中值只列出了x n/2的部分，当x>n/2时，应以n -x查表，再从100
中减去查得的数值即为所求可信区间。
2、总体率的区间估计
三、二项分布的应用
（2）正态近似法
当样本含量足够大，且样本率p和 1-p均不太小，一般 np与 n(1-p)均大于5时，样本率的抽样分布近似正态分布，即
此时, 总体率的可信区间可按下式进行估计:
其中,
布的应用
（二）假设 检验1、样本率与已知总体率的比较：
(1)直接计算概率法: 例1 根据以往长期的实践，证明某常用药的治 愈率为65%。现在某种新药的临床试验中，随机观 察了10名用该新药的患者，治愈8人。问该新药的 疗效是否比传统的常用药好？
（1）建立假设，确定检验水准。
（2） 计算检验统计量 。
B( , n ）。
例 抛硬币（正/反），患者治疗后的结局（治愈/未愈），实验 动物染毒后结局（生存/死亡），……。
一、二项分布的概念及应用条件
2、应用条件：
① n次试验相互独立 （ n 个观察单位相互独立）。 ② 每次试验只有两种可能结果中的某一种（适用

二项分布及其应用

二项分布及其应用
A．1B．4C．2D．不能确定
14．在高三的一个班中，有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么数学成绩优秀的学生数ξ～B，则P(ξ＝k)取最大值时k的值为()
A．0B．1C．2D．3
15．某篮球决赛在广东队与山东队之间进行，比赛采用7局4胜制，即若有一队先胜4场，则此队获胜，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛组织者可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元，则组织者在此次决赛中要获得的门票收入不少于390万元的概率为________．
A.B.C.D.
3．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示．则有()
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
4．在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为()
10．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
8．在国庆期间，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为、.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有一人去北京旅游的概率为________．
9．某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________．

二项分布及其应用(答案)

二项分布及其应用(答案)

二项分布及其应用【知识要点】一、条件概率及其性质1、条件概率一般地，设A ，B 为两个事件，且0)(>A P ，称)()()(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。

2、性质（1）任何事件的条件概率都在0和1之间，即1)(0≤≤A B P .（2）如果B 和C 是两个互斥事件，则)()()(A C P A B P A C B P ==Y 。

【例题1—1】从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则=)(A B P （ B ） A 、81 B 、41 C 、52 D 、21 【例题1—2】在一次考试的5道题中，有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为 21 。

【例题1—3】某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ A ）A 、0.8B 、0.75C 、0.6D 、0.45【例题1—4】从混有5张假钞的20张一百元钞票中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假钞，则这两张都是假钞的概率为（ A ）A 、172B 、152C 、51D 、103 【例题1—5】把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则=)(A B P （ A ）A 、21B 、41 C 、61 D 、81 【例题1—6】1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则在从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是94 。

二、相互独立事件及n 次独立重复事件1、相互独立事件同时发生的概率(1)相互独立事件的定义：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （A ）发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。

独立性、二项分布及其应用

第五节 独立性、二项分布及其应用一．考点梳理1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，称为事件B 发生的条件下事件A 的 ，用符号 来表示，其公式为P (A |B )＝ . 2．相互独立事件同时发生的概率 (1)对于两个事件A 、B .假如P (AB )＝ ，则称A ，B 相互独立．假如A ，B 相互独立．则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互 ．(2)一般地，假如事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝3．独立重复试验与二项分布(1)n 次独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下重复实行 次的，各次之间相互 的一种试验，在这种试验中每一次试验只有 结果，即要么A ，要么A ，且任何一次试验中发生的概率都是 的．(2)二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (x ＝k )＝ (k ＝0,1,2，…，n )．此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～ ．二．自我检测1．(2011·广东卷改编)甲、乙两队实行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为_____．2．设小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是____．3.(2011·湖北卷)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为________．4．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于________．三．例题分析考向一 条件概率【例1】 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P (A )，P (B )，P (AB )；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．【训练1】从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于________考向二 相互独立事件的概率【例2】 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116. (1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率．【训练2】 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能准确回答下列问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能准确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45、35、25、15，且各轮问题能否准确回答互不影响． (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．考向三 独立重复试验与二项分布【例3】 (2012·南京师大附中检测)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、16，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设． (1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记X 为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求X 的概率分布．【训练3】 (2010·江苏卷)某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．(1)记X (单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的概率分布；(2)求生产4件甲产品所获得的利润很多于10万元的概率．四．练习反馈1．(2010·辽宁卷)两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为_____．2．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为________．3．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是________．4．(2010·江西卷)一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p 1和p 2.则p 1和p 2的大小关系是________．5．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是________．6．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．7．某次乒乓球比赛的决赛在甲、乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为23. (1)求比赛三局甲获胜的概率；(2)求甲获胜的概率．8．某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．。

独立事件与二项分布及其应用

(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X≥2”的事件概率．
规律方法
求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
1.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.
种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．
(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
(2)求中奖人数X的分布列．
规律方法(1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
二是随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数．
且P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k表示在独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率.其中p与1-p不能互换。
1．设随机变量X～B，则P(X＝3)的值是()．
A.B.C.D.
2.()设X为随机变量，且X～B，若随机变量X的数学期望E(X)＝2，
则P(X＝2)＝()
A．B．C．D．
3.．(2014·湖州调研)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为()．
A.B.C.D.
4．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为()．

高考数学一轮复习-独立性、二项分布及应用01课件

事件 B：从 1 号箱中取出的是红球． 4 2 1 P(B)＝ ＝ ，P( B )＝1－P(B)＝ ， 3 2＋4 3 3＋1 4 (1)P(A|B)＝ ＝ . 8＋1 9
3 1 (2)∵P(A| B )＝ ＝ ， 8＋1 3 ∴P(A)＝P(AB)＋P(A B ) ＝P(A|B)P(B)＋P(A| B )P( B ) 4 2 1 1 11 ＝ × ＋ × ＝ . 9 3 3 3 27
条件概率
例 1 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件 A 为“蓝色骰子的点数为 3 或 6”，事件 B 为“两颗骰子的点数之和大于 8”． (1)求 P(A)，P(B)，P(AB)； (2)当已知蓝色骰子的点数为 3 或 6 时，求两颗骰子的点 数之和大于 8 的概率．
(1)从古典概型的角度看，确定基本事件和构成事件的基 本事件．(2)条件概率．
相互独立事件的概率
例 2 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命 1 1 中率分别为 与 p，且乙投球 2 次均未命中的概率为 . 2 16 (1)求乙投球的命中率 p； (2)求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率； (3)若甲、乙两人各投球 2 次，求共命中 2 次的概率．
(1)利用列方程求 p；(2)可用直接法也可用间接法；(3)要分 类讨论甲、乙各命中的次数．
要点梳理
3．二项分布
忆一忆知识要点
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的， 各次之间 相互独立的一种试验， 在这种试验中每一次试验只有 两 种 结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的 概率都是一样的．
k k C n (2)在 n 次独立重复试验中，事件 A 发生 k 次的概率为 p － (1－p)n k(k＝0,1,2，…，n) (p 为事件 A 发生的概率)， 事件 A

[广东理数一轮]10.8条件概率、二项分布及应用

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5.随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单 位：件），获得数据如下： 根据上述数据得到样本的频率分布表如下 （1）确定样本频率分布表中 n1 , n2 , f1 和 f2 的值 （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图； （3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人 的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.
[答案]
B
考点二 相互独立事件的概率 3.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球， 1 1 命中率分别为 与 p， 且乙投球 2 次均未命中的概率为 . 2 16 (1)求乙投球的命中率 p； (2)求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率； (3)若甲、乙两人各投球 2 次，求共命中 2 次的概率．
P( B A) P( AB)
1.相互独立事件 (1)对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影 A、B是相互独立事件 响,则称__________________________ . P(B) , (2)若A与B相互独立,则P(B|A)＝______ P(A)·P(B) P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝_______________ . (3)若A与B相互独立,则A与B,A与B,A与B也都相 互独立. A与B相互独立 (4)若P(AB)＝P(A)P(B),___________________ .
注意： 1.相互独立”与“互斥”。 两事件互斥是指两个事 件不可能同时发生， 两事件相互独立是指一个事件发 生与否对另一事件发生的概率没有影响.两事件相互 独立不一定互斥. 2. 条件概率。 条件概率通常是指在事件 A 发生的条 件下，事件 B 发生的概率.放在总体情况下看：先求 PAB PA，PAB，再求 PB|A＝ .关键是求 PA PA 和 PAB.注意 PB|A与 PA|B不同.
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解：依题意可得 E(X)＝np＝30 且 D(X)＝ 1 1 np(1－p)＝20，解得 p＝ ，故填 . 3 3
类型一
条件概率
甲袋中有 2 个白球和 4 个红球，乙袋中有 1 个白球和 2 个红球．现在随机地从甲袋中取出一球放入乙袋，然后从乙袋中 随机地取出一球，则取出的球是白球的概率是________．
【点拨】①由于不知从甲袋中取出又 放入乙袋中的球是白球还是红球，为此， 分别计算从甲袋中取出的是白球或红球的 条件概率．②在计算 P(B)＝P(A)P(B|A)＋ P( A )P(B| A )时，易忘掉 P( A )P(B| A )， 要注意分类的全面性．
(2015·福建模拟)从 1，2，3，4，5 中 任取 2 个不同的数， 事件 A＝{取到的 2 个数之和为偶 数}，事件 B＝{取到的 2 个数均为偶数}，则 P(B|A) 等于( 1 A. 8 ) 1 B. 4 2 C. 5 1 D. 2
解：做对 A 题记为事件 E，做对 B 题记为事件 F，根据 P（EF） 5 1 3 题意知 P(EF)＝ ，又 P(F|E)＝ ＝ ，则 P(E)＝ ，即 3 5 P（E） 9 3 3 A 题做对的概率为 .故填 . 5 5
(2015·广东)已知随机变量 X 服从二 项分布 B(n，p)，若 E(X)＝30，D(X)＝20，则 p ＝____________．
自查自纠
P（AB） 1．(1)P(B|A)＝ A 发生的条件下 B 发生的概率 P（A） n（AB） P（AB） n（A） P（A） (2)①0≤P(B|A)≤1 ②P(B|A)＋P(C|A) 2．(1)事件 A 与事件 B 相互独立 (2)P(B) P(A)P(B) (3) A 与 B
A与B A与B
解：第四局甲第三次获胜，并且前三局甲获胜两次，所 2 2 1 2 8 2 以所求的概率为 P＝C3 3 × × ＝ .故选 A. 3 3 27
( 2015·江苏省淮安市高三调研 ) 已知某高三学生在 2015 年的高考数学考试中， A 和 B 两道解答题同时做对的概 1 5 率为 ，在 A 题做对的情况下，B 题也做对的概率为 ，则 A 3 9 题做对的概率为____________．
(3)解法一：“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概 率为 P3＝P(AB)＋[P(A B )＋P( A B)]＝0.64＋0.32＝0.96. 解法二：“两人都未击中目标”的概率是 P( A B )＝P( A )P( B )＝(1－0.8)×(1－0.8)＝0.2×0.2＝0.04. ∴至少有一人击中目标的概率为 P3＝1－P( A B )＝1－0.04 ＝0.96.
因此 X 的分布列为 2k 23－k 2k k k P(X＝k)＝C3× 3 × 1－3 ＝C3×33，k＝0，1，2，3. 2 2 因为 X～B3，3，所以 E(X)＝3× ＝2. 3
(2)用 C 表示“甲队得 2 分乙队得 1 分”这一事件，用 D 表示“甲队得 3 分乙队得 0 分”这一事件，所以 AB＝C＋D， 4 2 1 1 1 2 1 1 1 1 10 且 C，D 互斥，P(C)＝ ×( × × ＋ × × ＋ × × )＝ . 9 3 3 2 3 3 2 3 3 2 81 8 1 1 1 4 P(D)＝ × 3×3×2 ＝ ， 27 243 由互斥事件的概率公式得 10 4 34 P(AB)＝P(C)＋P(D)＝ ＋ ＝ . 81 243 243
【点拨】 判断一个随机变量是否服从二项分布， 要看两点： ①试验是否为 n 次独立重复试验；②随机变量是否为这 n 次独 立重复试验中某事件发生的次数．
(2015·湖南)某商场举行有奖促销活动，顾 客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙 箱中，各随机摸出 1 个球．在摸出的 2 个球中，若都是红 球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有 红球，则不获奖． (1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率； (2)若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中 获一等奖的次数为 X，求 X 的分布列和数学期望．
第十章
计数原理、概率、随机变量及其分布
§10.8 独立事件与二项分布 及其应用
1．条件概率及其性质 (1)一般地，设 A，B 为两个事件，且 P(A)＞0，称________为事件 A 发生的条件下， 事件 B 发生的条件概率． P(B|A)读作___________________． 在古典概型中，若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数，则 P(B|A)＝ ____________＝____________． (2)条件概率具有的性质： ①________________； ②如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝________________.
解：(1)解法一：由题意知，X 的可能取值为 0，1，2，3，且 23 1 22 2 0 1 2 P(X＝0)＝C3× 1－3 ＝ ，P(X＝1)＝C3× × 1－3 ＝ ， 3 27 9 3 22 2 4 8 2 3 2 P(X＝2)＝C3× 3 × 1－3 ＝ ，P(X＝3)＝C3× 3 ＝ . 9 27 所以 X 的分布列为 2 4 P 9 1 2 4 8 X 的均值 E(X)＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝2. 27 9 9 27 2 解法二：根据题设可知 X～B3，3， X 0 1 27 1 2 9 3 8 27
2．相互独立事件 (1)对于事件 A， B， 若事件 A 的发生不会影响事件 B 发生的概率， 则称_________________． (2)若 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)＝____________， P(AB)＝________________. (3)若 A 与 B 相互独立，则_________，__________，__________也都相互独立． (4)若 P(AB)＝P(A)P(B)，则__________． 3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的、各次之间相互独立的一种试验，在这种 试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生、要么不发生，且任何一次试验中事件发生的概 率都是一样的．在相同条件下重复做的 n 次试验称为________________，若 Ai(i＝1，2，„， n)是第 i 次试验的结果，则 P(A1A2„An)＝________________. (2)在 n 次独立重复试验中，事件 A 发生 k 次的概率为(每次试验中事件 A 发生的概率为 p)_______________，事件 A 发生的次数是一个随机变量 X，其分布列为________________(k＝ 0，1，2，„，n)，此时称随机变量 X 服从___________，记为__________．
解： 记“甲射击一次， 击中目标”为事件 A， “乙射击一次， 击中目标”为事件 B.则“两人都击中目标”是事件 AB；“恰 有 1 人击中目标”是 A B 或 A B；“至少有 1 人击中目标”是 AB 或 A B 或 A B.
(1)显然， “两人各射击一次，都击中目标”就是事件 AB， 又由于事件 A 与 B 相互独立， ∴P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.8＝0.64. (2)“ 两人各射击一次，恰有一次击中目标 ” 包括两种情 况：一种是甲击中，乙未击中(即 A B )，另一种是甲未击中， 乙击中(即 A B)． 根据题意， 这两种情况在各射击一次时不可能 同时发生，即事件 A B 与 A B 是互斥的，所以所求概率为 P2＝P(A B )＋P( A B)＝P(A)P( B )＋P( A )P(B) ＝0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)×0.8 ＝0.16＋0.16＝0.32.
类型三
独立重复试验与二项分布
甲、乙两队参加知识竞赛，每队 3 人，每人回答一 个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人 2 2 2 1 答对的概率均为 ，乙队中 3 人答对的概率分别为 ， ， ，且各 3 3 3 2 人回答正确与否相互之间没有影响．用 X 表示甲队的总得分． (1)求随机变量 X 的分布列和均值； (2)用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件， 用 B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求 P(AB)．
解：设 A 表示事件“从甲袋放入乙袋中的球是白球”，B 表示事件“最后从乙袋中取出的球是白球”． 2 4 2 1 ∴P(A)＝ ，P( A )＝ ，P(B|A)＝ ，P(B| A )＝ . 6 6 4 4 P(B)＝P(AB)＋P( A B)＝P(A)P(B|A)＋P( A )P(B| A ) 2 2 4 1 1 1 ＝ × ＋ × ＝ .故填 . 6 4 6 4 3 3
2 2 C2 ＋ C 4 2 C 1 3 2 2 解：P(A)＝ ＝ ＝ ，P(AB)＝ 2 ＝ ，由 C2 10 5 C5 10 5 P（AB） 1 条件概率计算公式，得 P(B|A)＝ ＝ .故选 B. P（A） 4
类型二
相互独立事件同时发生的概率
甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标 的概率都是 0.8，且两人击中与否相互之间没有影响，计算： (1)两人都击中目标的概率； (2)两人中恰有一人击中目标的概率； (3)至少有一人击中目标的概率．
解：(1)设乙、丙两人各自被聘用的概率分别为 P1，P2，则甲、丙 2 6 3 两人同时不能被聘用的概率是1－5· (1－P2)＝ ， 解得 P2＝ ， 乙、 25 5 3 1 丙两人同时能被聘用的概率为 P1P2＝ ，∴P1＝ ，因此乙、丙 两人 10 2 1 3 各自被聘用的概率分别为 ， . 2 5 (2)ξ 的可能取值为 1，3， 2 1 3 2 1 3 6 P(ξ＝3)＝ 1－5 × 1－2 × 1－5 ＋ × × ＝ 5 2 5 25，则 P(ξ＝1) 19 ＝1－P(ξ＝3)＝ . 25 因此随机变量 ξ 的分布列如表所示 3 6 P 25 19 6 37 所以随机变量 ξ 的均值 E(ξ)＝1× ＋3× ＝ . 25 25 25 ξ 1 19 25