第一章 绪论（12）
1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*
****1)()(ln )(ln x x
x x x ， 相对误差为*
*
**
ln ln )
(ln )(ln x x x x r
δ
εε=
=
。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n
x 的误差为n
n x x n
x
n x x n x x x **
1
***
%2%2)
()()()(ln *
?=='=-=εε，
相对误差为%2)
()
(ln )(ln ***
n x x x n
r
==
εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：
1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5
?=x 。 [解]1021.1*
1
=x 有5位有效数字；031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*
4
=x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*
4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给
的数。
（1）*
4*2*1x x x ++；
[解]3
334*
4*2*11**
*4*2*1*1005.1102
1
10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=?
??? ????=++∑x x x x x f x x x e n
k k k εεεε；
（2）*
3*2
*1x x x ；
[解]5
2130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.0102
1)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(33
33334*3*2*1*2*3*1*1*3*21**
*
3*2*1*=?=?+?+?=??+??+??=++=???
?
????=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k k
εεεε；
（3）*4*2/x x 。
[解]5323
2
323*42*4*
2*2*41**
*4*2*1088654.0102
1)430.56(461.561021)430.56(461.561021)430.56(031.01021430.561)()()(1)()/(-----=?≈??=??=??+??=
+=???
?
????=∑x x x x x x x f x x e n k k k
εεε。 5、计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R 允许的相对误差是多少？
[解]由3*3**3**)(3
4)
)(34
())(3
4(%1R R R r ππεπε==可知，
)()(4)()(34)(34%1))(34(**2***3*3*3**R R R R R R επεπππε?='
??
?
???=?=， 从而**
*
31%1)(R R ?=ε，故300131%1)()(*
***
*=?==R
R R r εε。 6、设280=Y ，按递推公式),2,1(783100
1
1 =-
=-n Y Y n n 计算到100Y ，若取982.27783≈（五位有效数字，）试问计算100Y 将有多大误差？
[解]令n Y 表示n Y 的近似值，n n n Y Y Y e -=)(*，则0)(0*=Y e ，并且由
982.27100
11?-
=-n n Y Y ，7831001
1?-=-n n Y Y 可知， )783982.27(1001
11-?--=---n n n n Y Y Y Y ，即
=-?-=-?-=--)783982.27(1002
)()783982.27(1001)()(2*1**n n n Y e Y e Y e ，从
而982.27783)783982.27()()(0*100*-=--=Y e Y e ，
而3102
1982.27783-?≤
-，所以3100*1021
)(-?=Y ε。
7、求方程01562=+-x x 的两个根，使它至少具有四位有效数字（982.27783≈） [解]由78328±=x 与982.27783≈（五位有效数字）可知，
982.55982.2728783281=+=+=x （五位有效数字）。
而018.0982.2728783282=-=-=x ，只有两位有效数字，不符合题意。 但是22107863.1982
.551
783
28178328-?==
+=
-=x 。
8、当N 充分大时，怎样求?++12
11
N N
dx x ？ [解]因为N N dx x
N N
arctan )1arctan(11
12
-+=+?
+，当N 充分大时为两个相近数相减，设)1arctan(+=N α，N arctan =β，则αtan 1=+N ，βtan =N ，从而
1
1
)1(1)1(tan tan 1tan tan )tan(2++=++-+=+-=
-N N N N N N βαβαβα，
因此1
1
arctan 112
1
2++=-=+?
+N N dx x N N
βα。 9、正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过12cm ? [解]由)(2)(])[())((*****2*2**l l l l l εεε='=可知，若要求1))((2**=l ε，则
2001100212)
)(()(*
2***
*=?=
=
l l l εε，即边长应满足200
1
100±=l 。
10、设2
2
1gt S =
，假定g 是准确的，而对t 的测量有1.0±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。 [证明]因为****
**1.0)()()(
)(gt t gt t dt
dS S ===εεε， ***2****
**51)(2)(2
1)()
()(t t t t g t gt S S S r
====
εεεε，所以得证。 11、序列{}n y 满足递推关系),2,1(1101 =-=-n y y n n ，若41.120≈=y （三位有效数字），计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？
[解]设n y 为n y 的近似值，n n n y y y -=)(*ε，则由?????-==-1
102
10n n y y y 与
???-==-1
1041.110n n y y y 可知，20
*
1021)(-?=y ε，)(1011---=-n n n n y y y y ，即 )(10)(10)(0*1**y y y n n n εεε==-，
从而82100*1010*1021
102110)(10)(?=??==-y y εε，因此计算过程不稳定。
12、计算6)12(-=f ，取4.12≈，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？
6
)
12(1+，3)223(-，
3
)
223(1+，27099-。
[解]因为1*1021)(-?=
f ε，所以对于6
1)
12(1
+=f ， 2
417
*11*10211054.61021)
14.1(6)4.1()(---?
'
=e f f e ，有一位有效数字； 对于32)223(-=f ，
1112*22*102
11012.01021)4.123(6)4.1()(---?
=e f f e ，没有有效数
字； 对于3
3)
223(1+=
f ，
23
14
*33*10211065.21021)
4.123(6)4.1()(---?
'
=e f f e ，有一位有效数字；
对于270994-=f ，111*44*102
11035102170)4.1()(?
=--e f f e ，没有
有效数字。
13、)1ln()(2--=x x x f ，求)30(f 的值。若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式)1ln()1ln(22-+-=--x x x x 计算，求对数时误差有多大？
[解]因为9833.298991302==-（六位有效数字），4*102
1
)(-?=
x ε，所以
2
44
2**11*102994.0102
1
9833.293011021
)13030(1
)()()(---?=??-=
??---='=x e f f e ，
6
44
2**22*108336.0102
1
9833.293011021
11
)()()(---?=??+=
??-+-='=x x x e f f e 。
14、试用消元法解方程组???=+=+210102110
2101x x x x ，假定只有三位数计算，问结果是否
可靠？
[解]精确解为1102
10,110101*********--=-=x x 。当使用三位数运算时，得到
1,121==x x ，结果可靠。
15、已知三角形面积c ab s sin 21=
，其中c 为弧度，2
0π
< c c b b a a s s ?+?+?≤?。 [解]因为 c c ab b c a a c b x x f s n k k k ?+?+?=???=?∑ =cos 2 1 sin 21sin 21)()(1 ， 所以c c b b c c c c b b c c c ab c c ab b c a a c b s s ?+?+?≤?+?+?= ?+?+?= ?tan sin 2 1cos 2 1 sin 21sin 21。 第二章 插值法（40-42） 1、根据（2.2）定义的范德蒙行列式，令 ???? ? ? ????????=----n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x V 2 121 10 2 01101 11),,,,(，证明)(x V n 是n 次多项式，它的根是121,,,-n x x x ，且)())(,,,(),,,,(101101110------=n n n n n x x x x x x x V x x x x V 。 [证明]由 ∏∏∏∏-=---=-=-=--?=-?-=1 11011 101 0110) (),,,() ()(),,,,(n j j n n n j j n i i j j i n n x x x x x V x x x x x x x x V 可得求证。 2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。 [解]3 72365)1(34)23(21)12)(12() 1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0) )(())(())(())(())(() )(()(2221202102 21012012010210 2- +=-++--=+-+-? +------?-+-+-+? =----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。 3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。 X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 [解]若取5.00=x ，6.01=x ， 则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则 604752 .182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(01011010 1-=---=--?---?-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ， 从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-?=L 。 若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ， 693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2) 2.09.0(541 3.25)2 4.0(3147.69)3.01.1(8145 5.45)5.0 6.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0() 6.05.0)(4.05.0() 6.0)(4.0()69314 7.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0) )(())(())(())(())(() )(()(22221202102 21012012010210 2-+-=+--+-?++-?-=----? -+----? -+----? -=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ， 从而 61531984 .0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-?+?-=L 。 4、给出 900,cos ≤≤x x 的函数表，步长 )60/1(1='=h ，若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求x cos 近似值时的总误差界。 [解]设插值节点为h x x x x +=<<010，对应的x cos 值为10,y y ，函数表值为 10,y y ，则由题意可知，5001021-?≤ -y y ，511102 1 -?≤-y y ，近似线性插值多项式为0 101101 1)(x x x x y x x x x y x L --+--=，所以总误差为 ()100 101110100100101110100101111,,)()())((2cos ) ()())((!2) () ()()()()()()(x x x x x x y y x x x x y y x x x x x x x x y y x x x x y y x x x x f x L x L x L x f x L x f x R ∈---+---+--- =---+---+--''=-+-=-=ξξ ξ，从而 5 555520 1051015100 101110100101047.3102 11094.621102114400121102142110211021 ))((21))((cos 21 )(-------?=?+??=?+?=?+≤--? ?+--??+---≤---+---+--≤ h x x x x x x x x x x x x x x x x y y x x x x y y x x x x x R ξ。 5、设3,2,1,0=+=k kh x x k ，求)(max 22 0x l x x x ≤≤。 [解])3)()((max 21 )()2() 3)()((max ))()(() )()((max )(max 00030003 2120231023 030303 0h x x h x x x x h h h h h x x h x x x x x x x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x x -----= ------=------=≤≤≤≤≤≤≤≤。 令 ) 34()383()43() 3)()(()(02 20 30 2 020 2 03 000x h hx x x h h x x x h x x h x x h x x x x x f ++-++++-=-----=，则 )383()43(23)(202 002h h x x x h x x x f ++++-='，从而极值点可能为 h x h h x h h x x h x h x x 3 7 437)43(6 ) 383(12)43(4)43(200202 0200±+=±+= ++-+±+=，又因为 30)20714(271 375371374)374(h h h h h x f -=--?-?-=-+ ， 30)71420(27 1 357371374)374(h h h h h x f +-=-?+?+=++ ， 显然)3 7 4()374(00h x f h x f ++≤-+ ，所以 277710)71420(27 121)374(21)(max 3 3 0323 0+=+=++= ≤≤h h h x f h x l x x x 。 6、设),,1,0(n j x j =为互异节点，求证： 1）),,1,0()(0n k x x l x k n j j k j =≡∑=； 2）),,2,1()()(0 n k x x l x x k n j j k j =≡-∑=； [解]1）因为左侧是k x 的n 阶拉格朗日多项式，所以求证成立。 2）设k x y y f )()(-=，则左侧是k x y y f )()(-=的n 阶拉格朗日多项式，令x y =，即得求证。 7、设[]b a C x f ,)(2∈且0)()(==b f a f ，求证)(max )(8 1 )(max 2x f a b x f b x a b x a ''-≤≤≤≤≤。 [解]见补充题3，其中取0)()(==b f a f 即得。 8、在44≤≤-x 上给出x e x f =)(的等距节点函数表，若用二次插值求x e 的近似值，要使截断误差不超过610-，问使用函数表的步长h 应取多少？ [解]由题意可知，设x 使用节点h x x -=10，1x ，h x x +=12进行二次插值，则 插值余项为 ()201112102,)],()[)](([6 ))()((! 3) ()(x x h x x x x h x x e x x x x x x f x R ∈+----= ---'''= ξξξ ， 令)()3(3)]()[)](([)(2211221213111h x x x h x x x x h x x x x h x x x f -+-+-=+----=，则)3(63)(22112h x x x x x f -+-='，从而)(x f 的极值点为h x x 3 3 1± =，故39 32)331()331(33)(ma x 2 0h h h h x f x x x =-?+?= ≤≤，而 3 43422739326)(max 6)(20h e h e x f e x R x x x =≤≤≤≤ξ，要使其不超过610-，则有 63 41027 3-≤h e ，即222 2 6 210472.010389.74863.310243---?=?≈?≤e e h 。 9、若n n y 2=，求n y 4?及n y 4δ。 [解]n n n n n n n n n n n n n n n n j j n j j n j j n n y y y y y y j y E j y I E y 22282242322162242624244)1(34)1(24)1(14)1(04)1(4)1(4)1()(12344132231404 044 044 4 =+?-?+?-?=+?-?+?-=???? ??-+???? ??-+???? ??-+???? ??-+???? ??-=??? ? ??-=???? ??-=-=?++++++++=-+=-∑∑。 2 222122 1122413211204 024024 021 )4(214 2 121 4 22282242322162242624244)1(34)1(24)1(14)1(04)1(4)1(4)1(4)1()(--------++--++=-+=-=--- =+?-?+?-?=+?-?+?-=???? ??-+???? ??-+???? ??-+???? ??-+???? ??-=??? ? ??-=???? ??-=??? ? ??-=-=∑∑∑n n n n n n n n n n n n n n n n j j n j j n j j j n j j j n n y y y y y y j y E j y E E j y E E y δ。 10、如果)(x f 是m 次多项式，记)()()(x f h x f x f -+=?，证明)(x f 的k 阶差分 )0()(m k x f k ≤≤?是k m -次多项式，并且0)(=?+x f l m （l 为正整数）。 [证明]对k 使用数学归纳法可证。 11、证明k k k k k k g f g f g f ?+?=?+1)(。 [证明] k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k g f g f g g f g f f g f g f g f g f g f g f g f ?+?=-+-=-+-=-=?++++++++++1111111111)()()(。 12、证明∑∑-=+-=?--=?1 1001 n k k k n n n k k k f g g f g f g f 。 [证明]因为 01 111 1111 110 11 )()]()([) (g f g f g f f g f f g g g f f g g f f g g f n n n k k k k k n k k k k k k k n k k k k k n k k k n k k k -=-=-+-=?+?=?+?∑∑∑∑∑-=++-=+++-=+-=+-=，故得证。 13、证明：01 2y y y n n j j ?-?=?∑-=。 [证明]01 110 2)(y y y y y n n j j j n j j ?-?=?-?=?∑∑-=+-=。 14、若n n n n x a x a x a a x f ++++=--1110)( 有n 个不同实根n x x x ,,,21 ，证明 ???-=-≤≤='-=∑ 1 ,20, 0)(11 n k a n k x f x n n j j k j 。 [证明]由题意可设∏=-=---=n i i n n n x x a x x x x x x a x f 1 21)()())(()( ，故 ∏≠=-='n j i i i j n j x x a x f 1)()(，再由差商的性质1和3可知： )! 1()(1],,[1) () ()1(11 1 1 -==-='-=≠==∑ ∏∑n x a x x x a x x a x x f x n k n n k n n j n j i i i j n k j n j j k j ，从而得证。 15、证明n 阶均差有下列性质： 1）若)()(x cf x F =，则],,,[],,,[1010n n x x x cf x x x F =； 2）若)()()(x g x f x F +=，则],,,[],,,[],,,[101010n n n x x x g x x x f x x x F +=。 [证明]1） ] ,,,[)() () () () () (],,,[100 00 00 010n n j n j i i i j j n j n j i i i j j n j n j i i i j j n x x x cf x x x f c x x x cf x x x F x x x F =-=-=-=∑ ∏∑ ∏∑ ∏=≠==≠==≠=。 2） ] ,,,[],,,[) () () () () () ()() () (],,,[10100 00 0000 010n n n j n j i i i j j n j n j i i i j j n j n j i i i j j j n j n j i i i j j n x x x g x x x f x x x g x x x f x x x g x f x x x F x x x F +=-+-=-+=-=∑ ∏∑ ∏∑ ∏∑ ∏=≠==≠==≠==≠=。 16、13)(4 7 +++=x x x x f ，求]2,,2,2[7 1 f ，0! 80 !8)(]2,,2,2[)8(8 10===ξf f 。 [解]1! 7! 7!7)(]2,,2,2[)7(7 1 === ξf f ，]2,,2,2[810 f 。 17、证明两点三次埃尔米特插值余项是 ()1212) 4(3,,!4/)())(()(++∈--=k k k k x x x x x x f x R ξξ， 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限。 [解]见P30与P33，误差限为k n k f h h '+ ≤≤0max 278 )(ω。 18、XXXXXXXXXX ． 19、求一个次数不高于4次的多项式)(x P ，使它满足0)0()0(='=P P ， 1)1()1(='=P P ，1)2(=P 。 [解]设01223344)(a x a x a x a x a x P ++++=，则122334234)(a x a x a x a x P +++='，再由0)0()0(='=P P ，1)1()1(='=P P ，1)2(=P 可得： ?????????++++==+++='=++++==='===0 12341 2340 12341024816)2(1234)(1)1(1)0(0)0(0a a a a a P a a a a x P a a a a a P a P a P 解得??? ?????????? ??==-===4321 4 1234 9 00a a a a a 。从而 4 )3()96(4492341)(2 222234-=+-=+-=x x x x x x x x x P 。 20、设],[)(b a C x f ∈，把[]b a ,分为n 等分，试构造一个台阶形的零次分段插值函数)(x n ?，并证明当∞→n 时，)(x n ?在[]b a ,上一致收敛到)(x f 。 [解]令n i x f x f x i i i i x x x x x x i ,,3,2,1,2 ) (inf )(sup )(11 =+= ≤≤≤≤--?。 21、设)1/(1)(2x x f +=，在55≤≤-x 上取10=n ，按等距节点求分段线性插值函数)(x I h ，计算各节点中点处的)(x I h 与)(x f 的值，并估计误差。 [解]由题意可知，1=h ，从而当[]1,+∈k k x x x 时， )(] )1(1[1 )()1(1)1(11 11)(2 121211211k k k k k k k k k k k k h x x k h x x k h x x x x k x x x x k l f l f x I -+++-+-=--+++ --+= +=++++++。 22、求2)(x x f =在[]b a ,上的分段线性插值函数)(x I h ，并估计误差。 [解]设将[]b a ,划分为长度为h 的小区间b x x x a n =≤≤≤= 10，则当 []1,+∈k k x x x ，1,,2,1,0-=n k 时， k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k h x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l f l f x I 1112 121221 112 2112111211)()()()()(+++++++++++++++-+=--+-=----=--+--=+= 从而误差为))(())((! 2) ()(112++--=--''= k k k k x x x x x x x x f x R ξ， 故4 ))(()(2 12h x x x x x R k k ≤--=+。 23、求4)(x x f =在[]b a ,上的分段埃尔米特插值，并估计误差。 [解]设将[]b a ,划分为长度为h 的小区间b x x x a n =≤≤≤= 10，则当 []1,+∈k k x x x ，1,,2,1,0-=n k 时， )(4)(42121) ()(12 1312113112 1 4112 1141111++++++++++++++++-??? ? ??--+-? ??? ??--???? ? ?--+??? ? ??--+???? ??--+? ??? ??--='+'++=k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k h x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f f f f x I ββαα， 从而误差为212212)4(2)()()()(!4) ()(++--=--= k k k k x x x x x x x x f x R ξ， 故16 )()()(4 2 12 2h x x x x x R k k ≤--=+。 24、给定数据表如下： j x 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 j y 0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280 试求三次样条函数)(x S ，并满足条件： 1）6868.0)53.0(,0000.1)25.0(='='S S ； 2）0)53.0()25.0(=''=''S S 。 [解]由05.025.030.00=-=h ，09.030.039.01=-=h ，06.039.045.02=-=h ， 08.045.053.03=-=h ，及（8.10）式) 1,,1(,,111-=+= += ---n j h h h h h h j j j j j j j j μλ可知，14909.005.009.01011=+=+= h h h λ，5 2 06.009.006.02122=+=+= h h h λ， 7 408.006.008.03233=+=+= h h h λ， 14509.005.005.01001=+=+= h h h μ，53 06.009.009.02112=+=+= h h h μ， 7 3 08.006.006.03223=+=+= h h h μ， 由（8.11）式)1,1(]),[],[(311-=+=+-n j x x f x x f g j j j j j j j μλ可知， 7541 .2700019279)900768145500477149(3) 30.039.05477 .06245.014525.030.05000.05477.0149(3] ) ()(145)()(149[3]),[],[(3121201012111011==?+??=--?+--??=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ。 413 .2100046332564)6004635390076852(3) 39.045.06245 .06708.05330.039.05477.06245.052(3] ) ()(53)()(52[ 3]),[],[(32 32312123222122=?+?=?+??=--?+--??=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ。 0814 .2700 1457140011894634)8004727360046374(3) 45.053.06708 .07280.07339.045.06245.06708.074(3] ) ()(73)()(74[ 3]),[],[(33 43423234333233==?+?=?+??=--?+--??=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ。从而 1）矩阵形式为：??????????=???????????????-?-=?????????????????? ? ?????????7871.1413.21112.26868.0730814.2413.20000.114 97541.227405325201452321m m m ，解得 ?????? ????=??????????6570.08278.09078.0321m m m ，从而∑=+=n j j j j j x m x y x S 0 )]()([)(βα。 2）此为自然边界条件，故 862.2500477 325.030.05000.05477.03)()(3],[30101100=?=--?=--? ==x x x f x f x x f g ； 145.2800 572 345.053.06708.07280.03)()(3],[3111=?=--?=--? ==---n n n n n n n x x x f x f x x f g ， 矩阵形式为：??? ?? ????? ??????=??????????????????????????? ?? ????????? ????? ? 145.20814.2413.27541.2862.227 4 00732 7 400053 2520 0014521490001 243210m m m m m ，可以解得????? ?? ?????????43210m m m m m ，从而∑=+=n j j j j j x m x y x S 0 )]()([)(βα。 25、若],[)(2b a C x f ∈，)(x S 是三次样条函数，证明 1）????''-''''+''-''=''-''b a b a b a b a dx x S x f x S dx x S x f dx x S dx x f )]()()[(2)]()([)]([)]([222； 2）若),,1,0()()(n i x S x f i i ==，式中i x 为插值节点，且b x x x a n =<<<= 10 则)]()()[()]()()[()]()()[(a S a f a S b S b f b S dx x S x f x S b a '-'''-'-'''=''-''''?。 [解]1）???????? ''-''=''-''=''-''''+''=''-''''+''-''=''-''''+''-''=''-''''+''-''b a b a b a b a b a b a b a b a dx x S dx x f dx x S x f dx x S x f x S x f dx x S x f x S x S x f dx x S x f x S x S x f dx x S x f x S dx x S x f 222222)]([)]([)]([)]([)]()()][()([)]()()}[(2)]()({[)]()()[(2)]()([)]()()[(2)]()([。 2）由题意可知，[]b a x A x S ,,)(∈='''，所以 )]()()[()]()()[()]()([)]()()[()]()()[()]()([)]()()[()]()()[()()]()([)]}()()[({)]()()[(a S a f a S b S b f b S x S x f A a S a f a S b S b f b S dx x S x f A a S a f a S b S b f b S dx x S x S x f x S x f x S dx x S x f x S b a b a b a b a b a '-'''-'-'''=--'-'''-'-'''='-'-'-'''-'-'''=''''-'-'-'''=''-''''??? 。 补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。 [解]由1)(000===-e x y y ，111)(-==e x y y 可知， x e x e x x e x x x x x y x x x x y x L )1(1)1(0101011)(11101011010 1-+=+--=--?+--?=--+--=---， 余项为()1,0),1(2 ))((!2)()(101∈-=--''=-ξξξ x x e x x x x f x R ， 故8 141121)1(max max 21)(10101=??=-??≤ ≤≤-≤≤x x e x R x ξξ。 2、设4)(x x f =，试利用拉格朗日插值余项定理写出以2,1,0,1-为插值节点的三次插值多项式。 [解]由插值余项定理，有 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x R 22)1)(2()2)(1()1(! 4! 4))()()((! 4) ()(234223210) 4(3+--=--=--+=----= ξ， 从而x x x x x x x x x R x f x L 22)22()()()(23234433-+=+---=-=。 3、设)(x f 在[]b a ,内有二阶连续导数，求证： )(max )(8 1 )]()()()([)(max 2x f a b a x a b a f b f a f x f b x a b x a ''-≤---+ -≤≤≤≤。 [证]因为)() ()()(a x a b a f b f a f ---+ 是以a ，b 为插值节点的)(x f 的线性插值多项 式，利用插值多项式的余项定理，得到： ))()((21 )]()()()([)(b x a x f a x a b a f b f a f x f --''=---+-ξ，从而 ) (max )(81 )(41)(max 21) )((max )(max 21 )]()()()([)(max 22x f a b a b f b x a x f a x a b a f b f a f x f b x a b a b x a b a b x a ''-=-?''=--?''≤---+ -≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤ξξξξ。 4、设15)(37++=x x x f ，求差商]2,2[10f ，]2,2,2[210f ，]2,,2,2[710 f 和 ]2,,2,2[810 f 。 [解]因为7)1()2(0==f f ，1691252)2()2(371=+?+==f f ， 167051454)4()2(372=+?+==f f ，所以16271691 2) 1()2(]2,2[10=-=--= f f f ， 82682 169 1670524)2()4(]2,2[21=-=--= f f f ， 27023162 826822]2,2[]2,2[]2,2,2[0 210212 1 =-=--=f f f ， 1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(7 1 ===ξf f ，0! 80!8)(]2,,2,2[)8(8 10===ξf f 。 5、给定数据表：5,4,3,2,1=i ， i x 1 2 4 6 7 )(i x f 4 1 0 1 1 求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。 [解] i x )(i x f 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 1 4 2 1 -3 4 0 21- 65 6 1 2 1 41 607- 7 1 0 6 1- 12 1- 180 1 由差商表可得4次牛顿插值多项式为： )6)(4)(2)(1(180 1) 4)(2)(1(60 7 )2)(1(65)1(34)6)(4)(2)(1(180 1) 4)(2)(1(60 7 )2)(1(65)1(34)(4----+------+--=----+------+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x N ，插值余项为 ()7,1),7)(6)(4)(2)(1(! 5) ()()5(4∈-----=ξξx x x x x f x R 。 6、如下表给定函数：4,3,2,1,0=i ， i x 0 1 2 3 4 )(i x f 3 6 11 18 27 试计算出此列表函数的差分表，并利用牛顿向前插值公式给出它的插值多项式。 [解]构造差分表： i x i f i f ? i f 2? i f 3? i f 4? 0 3 3 2 0 0 1 6 5 2 0 2 11 7 2 3 18 9 4 27 由差分表可得插值多项式为： 3 2)1(3322 ) 1(332 )1()(202 0004++=-++=?-++=+?-+ ?+=+t t t t t t t t f t t f t f th x N 。 第三章 函数逼近与计算（80-82） 1、（a ）利用区间变换推出区间为[]b a ,的伯恩斯坦多项式； （b ）对x x f sin )(=在?? ? ???2,0π上求1次和3次伯恩斯坦多项式并画出图形，并与 相应的马克劳林级数部分和误差做出比较。 [解]（a ）令t a b a x )(-+=，则[]1,0∈t ，从而伯恩斯坦多项式为 ∑=-=n k k n x P n k a b f x f B 0)())(( ),(，其中k n k k x a b x k n x P ---??? ? ??=)()(。 （b ）令t x 2 π = ，则[]1,0∈t ，从而伯恩斯坦多项式为 ∑==n k k n x P n k f x f B 0 )()2( ),(π，其中k n k k x x k n x P --??? ? ??=)2()(π。 x x x x x x x f x x f x P k f x f B k k =+?? ? ??-?=?+??? ??-?=??? ??-???? ??+??? ??-???? ??==∑=202sin 20sin 211)2(201)0()()2(),(0 101 01πππππππ； 3 223 323223 223 223 3122 1303 3)533(21)32(4383)2(233)4(23)2(233)2(232sin )2(33sin )2(36sin 20sin )2(33)2()2(23)3() 2(13)6()2(03)0() ()6 ( ),(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x x f x x f x x f x P k f x f B k k ----=+-++-=+-+-=?+-?+-?+??? ??-?=-??? ? ??+-???? ??+-???? ??+-???? ??==∑=πππππππππππππππππππππ。 2、求证：（a ）当M x f m ≤≤)(时，M x f B m n ≤≤),(； （b ）当x x f =)(时，x x f B n =),(。 [证明]（a ）由∑==n k k n x P n k f x f B 0 )()(),(及M x f m ≤≤)(可知， ∑∑∑∑====≤≤≤≤n k k n k k n n k k n k k x P M x MP x f B x mP x P m 0 )()(),()()(， 而1)]1([)1()(00=-+=-? ?? ? ??=∑∑=-=n n k k n k n k k x x x x k n x P ，从而得证。 （b ）当x x f =)(时， x x x x x x k n k n x x xx k n k n x x k n k n n k x x k n n k f x P n k f x f B n n k k n k n k k n k n k k n k f n k k n k n k k n =-+=----=------=--?==-???? ??==--=--=----=-==-=∑ ∑∑∑∑11 0)1(1)1()1(110)0(0 0)]1([)1()! 1(!)! 1()1()]! 1()1[()!1()!1()1()!(!!)1()()()(),(。 3、在次数不超过6的多项式中，求x x f 4sin )(=在[]π2,0的最佳一致逼近多项式。 [解]由[]π2,0,4sin ∈x x 可知，14sin 1≤≤-x ，从而最小偏差为1，交错点为 ππππππππ8 15 ,813,811,89,87,85,83 ,8， 此即为6)(H x P ∈的切比雪夫交错点组，从而)(x P 是以这些点为插值节点的拉格朗日多项式，可得0)(=x P 。 4、假设)(x f 在[]b a ,上连续，求)(x f 的零次最佳一致逼近多项式。 [解]令)(inf x f m b x a ≤≤=，)(sup x f M b x a ≤≤=，则2 )(m M x f += 在[]b a ,上具有最小偏差2 m M -，从而为零次最佳逼近一次多项式。 5、选择常数a ，使得ax x x -≤≤31 0max 达到极小，又问这个解是否唯一？ [解]因为ax x -3是奇函数，所以ax x ax x x x -=-≤≤-≤≤31 131 0max max ，再由定理7可知， 当)34(4 141333x x T ax x -==-时，即43 =a 时，偏差最小。 6、求x x f sin )(=在?? ? ???2,0π上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。 [解]由π π π2 2 sin 2sin cos )() ()(221=--= ='=--=x x f a b a f b f a 可得π 2 arccos 2=x ，从 而最佳一次逼近多项式为
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