2015 年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题，共12 小题，每小题5分，共 60分
1．（ 5 分）（ 2015?陕西）设集合 M={x|x
2
，则 M∪N=（）=x} ， N={x|lgx ≤0}
A ．[0，1]
B ．（ 0，1]C．[0， 1）D．（﹣∞， 1]
2．（ 5 分）（2015?陕西）某中学初中部共有110 名教师，高中部共有150 名教师，其性别比
例如图所示，则该校女教师的人数为（）
A ．93
B ．123C．137D．167
3．（ 5 分）（ 2015?陕西）如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin
（x+φ）+k ．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）
A ．5
B ．6C．8D．10
4．（ 5 分）（ 2015?陕西）二项式（ x+1 ）n
（ n∈N +）的展开式中x
2
的系数为15，则 n=（）
A ．7
B ．6C．5D．4
5．（ 5 分）（ 2015?陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）3π4π2π+43π+4
6．（ 5 分）（ 2015?陕西）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）
A ．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（ 5 分）（ 2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）
A ．
|≤| || |B ．
||≤|| |﹣ | ||
|
C．22 D ．
（） ?（） =22
（） =||﹣
8．（ 5 分）（ 2015?陕西）根据如图框图，当输入x 为 2006 时，输出的y= （）
A ．2
B ．4C．10D．28
9．（ 5 分）（2015?陕西）设 f（ x）=lnx ， 0＜ a＜ b，若 p=f（），q=f（），r=（f（a）
+f （ b）），则下列关系式中正确的是（）
A ．q=r＜ p
B ．p=r＜ q C．q=r＞ p D．p=r＞ q
10．（ 5 分）（ 2015?陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用 A 、B 两种原料．已知生产1
吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润
分别为 3 万元、 4 万元，则该企业每天可获得最大利润为（）
甲乙原料限额
A（吨）3212
B（吨）128
A ．12 万元
B ．16 万元C．17 万元D．18 万元
11．（ 5 分）（ 2015?陕西）设复数 z=（ x﹣ 1）+yi（ x，y∈R），若 |z|≤1，则 y≥x 的概率为（）
A ．
B ．+C．﹣D．﹣
+
2
12．（ 5 分）（ 2015?陕西）对二次函数f（ x）=ax +bx+c （a 为非零整数），四位同学分别给出
下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）
A ．﹣ 1 是 f（ x）的
B ．1 是 f （x）的极
零点值点
C．3 是 f（ x）的极 D ．点（ 2，8）在曲
值线 y=f （ x）上
二、填空题，共 4 小题，每小题5分，共 20分
13．（ 5 分）（2015?陕西）中位数为1010 的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．
14．（ 5 分）（ 2015?陕西）若抛物线 y2=2px（ p＞ 0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1 的一个焦点，则 p=．
15．（ 5 分）（ 2015?陕西）设曲线y=e x
在点（ 0， 1）处的切线与曲线y=（ x＞ 0）上点 P 的
切线垂直，则P 的坐标为．
16．（ 5 分）（ 2015?陕西）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面
边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值
为．
三、解答题，共 5 小题，共 70 分
17．（ 12 分）（ 2015?陕西）△ABC 的内角 A ， B ，C 所对的边分别为a， b， c．向量=（ a，b）与=（cosA ， sinB）平行．
（Ⅰ）求 A ；
（Ⅱ）若a=，b=2，求△ ABC的面积．
18．（ 12 分）（ 2015?陕西）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ BAD=，AB=BC=1，
AD=2 ， E 是 AD 的中点， O 是 AC 与 BE 的交点，将 ABE 沿 BE 折起到 A 1BE 的位置，如图 2．（Ⅰ）证明： CD ⊥平面 A 1 OC；
（Ⅱ）若平面 A 1BE ⊥平面 BCDE ，求平面 A 1BC 与平面 A 1CD 夹角的余弦值．
19．（ 12 分）（ 2015?陕西）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T， T 只与道路通畅状
况有关，对其容量为100 的样本进行统计，结果如下：
T（分钟） 25303540
频数（次） 20304010
（Ⅰ）求 T 的分布列与数学期望ET；
（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50 分钟的讲座，结束后立即返回老校
区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120 分钟的概率．
20．（ 12 分）（ 2015?陕西）已知椭圆
E ： + =1 （a ＞ b ＞ 0）的半焦距为 c ，原点 O 到经
过两点（ c ， 0），（ 0，b ）的直线的距离为 c ．
（Ⅰ）求椭圆 E 的离心率；
2
2
的一条直径，若椭圆
E 经过 A 、B 两点，
（Ⅱ）如图， AB 是圆 M ：（ x+2 ） +（ y ﹣ 1） = 求椭圆 E 的方程．
21．（ 12 分）（ 2015?陕西）设 f n （ x ）是等比数列 1，x ，x 2，?，x n
的各项和， 其中 x ＞0，
n ∈N ，n ≥2．
（Ⅰ）证明：函数 F （n x ）=f （n x ）﹣ 2 在（ ，1）内有且仅有一个零点 （记为 x n ），且 x n = + x ； （Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为
g n
（x ），比较 f n （ x ）和 g n （ x ）的大小，并加以证明．
四、选修题，请在 22、 23、 24 中任选一题作答，如果多做则按第一题计分．选修
4-1：几
何证明选讲
22．（10 分）（ 2015?陕西）如图，AB 切⊙ O 于点 B ，直线 AO 交⊙ O 于 D，E 两点，BC⊥ DE，垂足为 C．
（Ⅰ）证明：∠CBD= ∠ DBA ；
（Ⅱ）若 AD=3DC ， BC=，求⊙ O的直径．
五、选修4-4：坐标系与参数方程
23．（ 2015?陕西）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t为参数），以原
点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙ C 的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）写出⊙ C 的直角坐标方程；
（Ⅱ） P 为直线 l 上一动点，当P 到圆心 C 的距离最小时，求P 的直角坐标．
六、选修4-5：不等式选讲
24．（ 2015?陕西）已知关于x 的不等式 |x+a|＜ b 的解集为 {x|2 ＜ x＜ 4}
（Ⅰ）求实数a， b 的值；
（Ⅱ）求+的最大值．
2015 年陕西省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题，共 12 小题，每小题5分，共 60分
1．（ 5 分）
考并集及其运算．
点：
专集合．
题：
分求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答析：案．
解解：由 M={x|x 2
=x}={0 ， 1} ，
答：N={x|lgx ≤0}= （ 0， 1] ，
得M ∪N={0 ， 1} ∪（ 0， 1]=[0 ， 1]．
故选： A．
点本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．评：
2．（ 5 分）
考点：收集数据的方法．
专题：计算题；概率与统计．
分析：利用百分比，可得该校女教师的人数．
解答：解：初中部女教师的人数为 110×70%=77 ；高中部女教师的人数为 40×150%=60 ，∴该校女教师的人数为 77+60=137 ，
故选： C．
点评：本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础．
3．（ 5 分）
考由 y=Asin （ωx+ φ）的部分图象确定其解析式．
点：
专三角函数的图像与性质．
题：
分由题意和最小值易得k 的值，进而可得最大值．
析：
解
解：由题意可得当sin（ x+ φ）取最小值﹣ 1 时，
答：
函数取最小值y min=﹣ 3+k=2 ，解得 k=5 ，
∴y=3sin （ x+ φ） +5，
∴当当 sin（x+ φ）取最大值 1 时，
函数取最大值y max=3+5=8 ，
故选： C．
点本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题．
评：
4．（ 5 分）
考二项式定理的应用．
点：
专二项式定理．
题：
分
由题意可得==15 ，解关于 n 的方程可得．
析：
解解：∵二项式（x+1 ）n
（ n∈N +）的展开式中x
2
的系数为15，
答：∴ =15，即=15，解得 n=6，
故选： B．
点本题考查二项式定理，属基础题．
评：
5．（ 5 分）
考由三视图求面积、体积．
点：
专计算题；空间位置关系与距离．
题：
分根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面
析：积．
解解：根据几何体的三视图，得；
答：该几何体是圆柱体的一半，
∴该几何体的表面积为
2
S 几何体 =π?1 +π×1×2+2×2
=3π+4．
故选： D．
点本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目．评：
6．（ 5 分）
考必要条件、充分条件与充要条件的判断．
点：
专简易逻辑．
题：
2 2
分由 cos2α=cos α﹣ sin α，即可判断出．
析：
解解：由 cos2α=cos 2
α﹣ sin
2
α，
答：∴ “sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．
故选： A．
点本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．
评：
7．（ 5 分）
考平面向量数量积的运算．
点：
专平面向量及应用．
题：
分由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得．
析：
解
解：选项 A 正确，∵ ||=| || ||cos＜，＞ |，
答：
又 |cos＜，＞ |≤1，∴ ||≤| || |恒成立；
选项 B 错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|| |﹣ | ||；
选项 C 正确，由向量数量积的运算可得（
22） =|| ；
选项 D 正确，由向量数量积的运算可得（） ?（） =2﹣ 2．故选： B
点本题考查平面向量的数量积，属基础题．
评：
8．（ 5 分）
考程序框图．
点：
专图表型；算法和程序框图．
题：
分模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x 的值，当x=﹣ 2 时不满足条件x≥0，计析：算并输出y 的值为 10．
解解：模拟执行程序框图，可得
答： x=2006 ，
x=2004
满足条件x≥0， x=2002
满足条件x≥0， x=2000
?
满足条件x≥0， x=0
满足条件x≥0， x= ﹣ 2
不满足条件x≥0， y=10
输出 y 的值为 10．
故选： C．
点本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
评：
9．（ 5 分）
考点：不等关系与不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：
由题意可得 p= （lna+lnb ）， q=ln （）≥ln（）=p， r= （lna+lnb ），可得大
小关系．
解答：
解：由题意可得若p=f （） =ln （） = lnab=（ lna+lnb ），
q=f （）=ln（）≥ln（）=p，
r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），
∴p=r ＜ q，
故选： B
点评：本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题．
10．（ 5 分）
考点：简单线性规划的应用．
专题：不等式的解法及应用．
分析：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y 顿，利润为z 元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z 的最大
值．
解答：解：设每天生产甲乙两种产品分别为x， y 顿，利润为z 元，
则，
目标函数为z=3x+4y ．
作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．
由z=3x+4y 得 y= ﹣ x+ ，
平移直线y= ﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截
距最大，
此时 z 最大，
解方程组，解得，
即B 的坐标为 x=2， y=3，
∴ z max
．
=3x+4y=6+12=18
即每天生产甲乙两种产品分别为2，3 顿，能够产生最大的利润，最大的利润是18
万元，
故选： D．
点评：本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．
11．（5 分）
考点：几何概型．
专题：概率与统计．
分析：由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得．
解答：解：∵复数 z= （x﹣ 1） +yi （x， y∈R）且 |z|≤1，
∴ |z|=≤1，即（ x﹣ 1）2
+y2≤1，
∴点（ x， y）在（ 1， 0）为圆心 1 为半径的圆及其内部，而y≥x 表示直线 y=x 左上方的部分，（图中阴影弓形）
∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，
∴所求概率P==
故选： D．
点评： 本题考查几何概型，涉及复数以及圆的知识，属基础题． 12．（ 5 分）
考点： 二次函数的性质．
专题： 创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析： 可采取排除法．分别考虑 A ，B ， C ， D 中有一个错误，通过解方程求得 a ，判断是否为
非零整数，即可得到结论．
解答： 解：可采取排除法．
若 A 错，则 B ， C ， D 正确．即有 f （ x ） =ax 2
+bx+c 的导数为 f ′（ x ） =2ax+b ，
即有 f ′（ 1） =0，即 2a+b=0， ① 又 f （ 1）=3，即 a+b+c=3② ，
又 f （ 2）=8，即 4a+2b+c=8 ， ③ 由 ①②③ 解得， a=5， b=﹣10， c=8．符合 a 为非零整数．
若 B 错，则 A ，C ，D 正确，则有
a ﹣ b+c=0 ，且 4a+2b+c=8 ，且 =3，解得
a ∈?，不成立；
若 C 错，则 A ， B ，D 正确，则有 a ﹣ b+c=0，且 2a+b=0 ，且 4a+2b+c=8 ，解得 a=﹣
不为非零整数，不成立；
若 D 错，则 A ， B ， C 正确，则有 a ﹣ b+c=0，且 2a+b=0，且
=3 ，解得 a=
﹣ 不为非零整数，不成立．
故选： A ．
点评： 本题考查二次函数的极值、 零点等概念， 主要考查解方程的能力和判断分析的能力，属
于中档题．
二、填空题，共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13．（ 5 分） 考点： 等差数列．
专题：
等差数列与等比数列．
分析： 由题意可得首项的方程，解方程可得．
解答：解：设该等差数列的首项为a，
由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2
解得 a=5
故答案为： 5
点评：本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属基础题．14．（ 5 分）
考点：抛物线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
22
的左焦点，得到抛物线
2
先求出 x ﹣ y =1y =2px 的准线，依据 p 的意义求出它的值．
解答：
22
， 0），故抛物线
2
，解：双曲线 x ﹣ y =1 的左焦点为（﹣y =2px 的准线为 x= ﹣
∴ = ，∴ p=2，
故答案为： 2．
y
2
点评：本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程=2px 中 p 的意义．15．（ 5 分）
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的概念及应用．
分析：利用 y=e x
在某点处的切屑斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进
而求得切点坐标．
解答：解：∵ f'（ x） =e x ，
∴ f'（ 0） =e0=1．
∵ y=e x
在（ 0， 1）处的切线与y=（x＞0）上点P的切线垂直
∴点 P 处的切线斜率为﹣1．
又 y'=﹣，设点P（x0，y0）
∴
∴x0=±1，∵ x＞0，∴ x0=1
∴y0=1
∴点 P（ 1， 1）
故答案为：（ 1，1）
点评：本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中．16．（ 5 分）
考点：直线与圆锥曲线的关系．
专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积，即可推出结果．
解答：解：如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为： y=ax 2
，因为抛物线经过（ 5，2），
可得 a= ，
所以抛物线方程：y=，
横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为：
2×=2 （） = ，
等腰梯形的面积为：=16，当前最大流量的横截面的面积16﹣，
原始的最大流量与当前最大流量的比值为：=1.2．
故答案为： 1.2．
点评：本题考查抛物线的求法，定积分的应用，考查分析问题解决问题的能力，合理建系是解题的关键．
三、解答题，共 5 小题，共 70 分
17．（ 12 分）
考点：余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示．
专题：解三角形．
分析：（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解 A ；
（Ⅱ）利用 A ，以及 a=， b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ ABC 的面
积．
解答：
解：（Ⅰ）因为向量=（ a，b）与=（ cosA ， sinB ）平行，
所以 asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB ﹣sinBcosA=0 ，因为
sinB ≠0，
所以 tanA=，可得 A=；
（Ⅱ） a=， b=2 ，由余弦定理可得：2222
a=b +c﹣ 2bccosA，可得 7=4+c﹣ 2c，
解得 c=3，
△ ABC 的面积为：=．
点评：本题考查余弦定理以及宰相肚里的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．
18．（ 12 分）
考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明：CD ⊥平面 A 1OC；
（Ⅱ）若平面 A 1BE ⊥平面 BCDE ，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面 A 1BC
与平面 A 1CD 夹角的余弦值．
解答：
证明：（Ⅰ）在图 1 中，∵ AB=BC=1 ， AD=2 ， E 是 AD 的中点，∠ BAD=，
∴BE⊥AC ，
即在图 2 中， BE⊥ OA 1，BE ⊥ OC，
则BE ⊥平面 A 1OC；
∵ CD∥ BE，
∴CD⊥平面 A 1OC；
（Ⅱ）若平面 A 1BE ⊥平面 BCDE ，
由（Ⅰ）知BE⊥ OA 1， BE ⊥OC，
∴∠ A 1OC 为二面角A 1﹣ BE ﹣ C 的平面角，
∴∠ A 1OC=，
如图，建立空间坐标系，
∵A 1B=A 1E=BC=ED=1 ． BC ∥ ED
∴ B （， 0，0）， E（﹣， 0， 0），A 1（ 0， 0，）， C（ 0，， 0），=（﹣，，0），=（ 0，，﹣），
设平面 A 1BC 的法向量为 =（x， y， z），平面 A 1CD 的法向量为=（ a，b， c），
则得，令x=1，则y=1，z=1，即=（ 1， 1，1），
由得，
取=（ 0， 1，1），
则 cos＜＞===，
∵平面 A 1BC 与平面 A 1 CD 为钝二面角，
∴平面 A 1BC 与平面 A 1 CD 夹角的余弦值为﹣．
点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．
19．（ 12 分）
考离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
点：
专题：分析：
解答：概率与统计．
（Ⅰ）求 T 的分布列即求出相应时间的频率，频率=频数÷样本容量，数学期望
ET=25 ×0.2+30 ×0.3+35×0.4+40×0.1=32 （分钟）；
（Ⅱ）设 T 1，T2分别表示往、返所需时间，事件 A 对应于“刘教授在路途中的时间不
超过 70 分钟”，先求出 P（） =P（ T1=35 ，T 2=40 ）+P（ T 1=40 ，T 2=35 ）+P（ T1=40 ，T2=40） =0.09，即 P（ A） =1﹣ P（） =0.91．
解（Ⅰ）由统计结果可得T 的频率分布为
T （分钟）25303540
频率0.20.30.40.1
以频率估计概率得T 的分布列为
T25303540
P0.20.30.40.1
从而数学期望ET=25×0.2+30 ×0.3+35 ×0.4+40×0.1=32（分钟）
（Ⅱ）设 T 1， T2分别表示往、返所需时间，T 1， T2的取值相互独立，且与T 的分布列相同，设事件 A 表示“刘教授共用时间不超过120 分钟”，由于讲座时间为50 分钟，所以事件 A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70 分钟”
P（）=P（T1+T2＞70）=P（T1=35，T2=40）+P（T1=40，T2=35）+P（T1=40，T2=40）=0.4×0.1+0.1 ×0.4+0.1 ×0.1=0.09
故P（A ）=1﹣ P（）=0.91
故答案为：（Ⅰ）分布列如上表，数学期望ET=32 （分钟）（Ⅱ） 0.91
点本题考查了频率 =频数÷样本容量，数学期望，对学生的理解事情的能力有一定的要求，评：属于中档题．
20．（ 12 分）
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程．
专题：创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）求出经过点（ 0， b）和（ c， 0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；
222
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆 E 的方程为 x的方程，代入椭
+4y =4b，①设出直线 AB
圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得
2
b =3，
即可得到椭圆方程．
解答：解：（Ⅰ）经过点（ 0， b）和（ c， 0）的直线方程为 bx+cy ﹣ bc=0，则原点到直线的距离为d== c，即为 a=2b，
e= ==；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆 E 的方程为
222
x+4y =4b，①
由题意可得圆心M （﹣ 2， 1）是线段AB 的中点，则 |AB|=，易知 AB 与 x 轴不垂直，记其方程为y=k（ x+2）+1 ，代入①可得
（ 1+4k 2222
）x +8k（ 1+2k） x+4（ 1+2k ）﹣4b =0 ，
设 A（ x1， y1），B （ x2，y2），
则 x1+x 2=．x1x2=，由 x1+x 2=﹣4，得=﹣ 4，解得 k=，
从而 x1 2
﹣ 2b 2
，于是 |AB|=?|x1﹣ x2
x =8|= ?
=
2 =，解得 b =3，
则有椭圆 E 的方程为+ =1．
点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，
以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．
21．（ 12 分）
考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．
专题：综合题；创新题型；导数的综合应用；等差数列与等比数列．
分析：
（Ⅰ）由 F n（ x）=f n（ x）﹣ 2=1+x+x 2n
+?++x ﹣ 2，求得 F n（ 1）＞ 0， F n（）＜
0．再由导数判断出函数 F n（x）在（，1）内单调递增，得到F n（ x）在（， 1）内有且仅有一个零点x n，由 F n（ x n） =0，得到；
（Ⅱ）先求出，构造函数h（ x）=f n（ x）﹣ g n（ x）
=1+x+x2+?++x n
﹣，当 x=1 时， f n（ x） =g n（ x）．
当 x≠1 时，利用导数求得h（ x）在（ 0，1）内递增，在（1，+∞）内递减，得到
f n（ x）＜
g n（ x）．
2n
解答：证明：（Ⅰ）由 F n（ x）=f n（ x）﹣ 2=1+x+x +?++x ﹣ 2，
则 F n（ 1） =n﹣ 1＞ 0，
F n（） =1+．
∴F n（ x）在（，1）内至少存在一个零点，
又，∴ F n（ x）在（，1）内单调递增，
∴F n（ x）在（，1）内有且仅有一个零点x n，
∵x n是 F n（ x）的一个零点，∴F n（ x n）=0，
即，故；
（Ⅱ）由题设，，
设 h（ x）=f n（ x）﹣ g n（x） =1+x+x 2
+?++x
n
﹣，x＞0．
当x=1 时， f n（x） =g n（ x）．
当 x≠1 时，．
若 0＜ x＜ 1， h′（x）＞
=
．
若 x＞ 1， h′（ x）＜
=
．
∴h（ x）在（ 0， 1）内递增，在（ 1， +∞）内递减，
∴h（ x）＜ h（ 1） =0，即 f n（ x）＜ g n
（ x）．综上，当 x=1 时， f n（ x）=g n（ x）；
当 x≠1 时， f n（x）＜ g n（x）．
点评：本题考查了函数零点的判定方法，考查了等比数列的前n 项和，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化与化归等思想方法，是中档题．
四、选修题，请在22、 23、 24 中任选一题作答，如果多做则按第一题计分．选修4-1：几何证明选讲
22．（ 10 分）
考点：直线与圆的位置关系．
专题：直线与圆．
分析：（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD= ∠ DBA ；
（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O 的直径．
解答：证明：（Ⅰ）∵ DE 是⊙ O 的直径，
则∠ BED+ ∠EDB=90 °，
∵BC⊥ DE ，
∴∠ CBD+ ∠ EDB=90 °，即∠ CBD= ∠ BED ，
∵AB 切⊙ O 于点 B，
∴∠ DBA= ∠ BED ，即∠ CBD= ∠ DBA ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD 平分∠ CBA ，
则=3 ，
∵BC=，
∴AB=3， AC=，
则AD=3 ，
由切割线定理得AB 2
=AD ?AE ，
即AE=，
故DE=AE ﹣ AD=3 ，
即可⊙ O 的直径为 3．
点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键．
五、选修4-4：坐标系与参数方程
23．（ 2015?陕西）
考点的极坐标和直角坐标的互化．
点：
专坐标系和参数方程．
题：
分
2
析：（I ）由⊙ C 的极坐标方程为ρ=2，把代
sinθ．化为ρ=2
入即可得出；．
（II ）设 P，又 C．利用两点之间的距离公式可得
|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．
解解：（ I）由⊙ C 的极坐标方程为ρ=2sinθ．
答：
222
，
∴ρ=2，化为 x +y =
配方为=3．
（II ）设 P，又 C．
∴|PC|==≥2，
因此当 t=0 时， |PC|取得最小值 2．此时 P（ 3，0）．
点本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次评：函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
六、选修4-5：不等式选讲
24．（ 2015?陕西）
考点：不等关系与不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：（Ⅰ）由不等式的解集可得ab 的方程组，解方程组可得；
（Ⅱ）原式 =+=+，由柯西不等式可得最大值．
解答：解：（Ⅰ）关于 x 的不等式 |x+a|＜ b 可化为﹣ b﹣ a＜ x＜ b﹣ a，
又∵原不等式的解集为{x|2 ＜ x＜ 4} ，
∴，解方程组可得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+
=+≤
=2=4 ，
当且仅当=即t=1时取等号，
∴所求最大值为4
点评：本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题．
2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若z=1+2i，则=（） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120° 4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（） A．各月的平均最低气温都在0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20℃的月份有5个 5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）
A．B．C．1 D． 6．（5分）已知a=，b=，c=，则（） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA=（）A．B．C．﹣D．﹣ 9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）
A．18+36B．54+18C．90 D．81 10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（） A．4πB． C．6πD． 11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点， A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（） A．B．C．D． 12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（） A．18个B．16个C．14个D．12个 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．
2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科(新课标卷二Ⅱ) 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共1２小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1.设集合Ｍ={0,1,2},N={}2|320x x x -+≤,则M N ?=( ) A ． {1} B. {2｝ C. ｛０，1} D. ｛1,2} 【答案】D 【解析】 把M={0,1,2}中的数,代入不等式,023-2≤+x x 经检验x=1,2满足。所以选D. 2．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） Ａ． - ５ Ｂ. ５ C ． - 4+ i D. － 4 - i 【答案】Ｂ 【解析】 . ,5-4-1-∴,2-,2212211B z z i z z z i z 故选关于虚轴对称，与==+=∴+= 3.设向量a,b 满足｜ａ+b a-b ｜ a ? b = ( ) A ． 1 B ． 2 C. 3 D. 5 【答案】Ａ 【解析】 . ,1,62-102∴,6|-|,10||2 222A b a b a b a b a b a b a 故选联立方程解得，，==+=++==+ 4.钝角三角形AB Ｃ的面积是12 ,AB ＝ ，则AC=( ) A. ５ B. C ． 2 D. 1 【答案】B 【解】
. .5,cos 2-4 3π ∴ΔABC 4π .43π,4π∴, 22 sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。 为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======???== 5．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0．６，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ) Ａ. ０.８ B. 0．75 C. ０.6 D. 0.45 【答案】 A 【解析】 . ,8.0,75.06.0,A p p p 故选解得则据题有优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良，=?= 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3ｃm ，高为６cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) Ａ. 1727 B. 59 C. 1027 D. 13 【答案】 C 【解析】 ..27 10 π54π34-π54π.342π944.2342π. 546π96321C v v 故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为== ∴=?+?=∴=?=∴π 7.执行右图程序框图,如果输入的ｘ,t 均为2,则输出的S= ( ） A. 4 B. 5 Ｃ. ６ D. 7 【答案】 C 【解析】
2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷 5页， 23小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将 试卷类型 ( B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷 上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 已知集合A={x| x<1} ，B={ x| 3x 1}，则 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图 . 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 . 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 其中的真命题为 绝密★启用 前 1． A．AI B {x|x 0} B．AUB R C．AUB {x|x 1} D．AI B 2． 3． A． 1 4 B． 设有下面四个命题 p1 ：若复数z 满 足1 R ，则 C． 1 2 D． R；p2 ：若复数z 满足z2 R ，则z R ； p3：若复数z1, z2满足z1z2 R，则z1 p4 ：若复数z R ，则
黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 （ ） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p
2016年高考全国卷Ⅱ理科数学试题及答案 （满分150分，时间120分钟） 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. （1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 （A ）(31) -， （B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B = （A ）{1}（B ）{1 2}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m = （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 （4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a= （A ）43- （B ）3 4 - （C ） 3 （D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 （A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 （6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π
（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π 12个单位长度，则评议后图象的对称轴为 （A ）x =k π2–π6 (k ∈Z ) （B ）x =k π2+π 6 (k ∈Z ) （C ）x =k π2–π12 (k ∈Z ) （D ）x =k π2+π 12 (k ∈Z ) （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序 框图.执行该程序框图，若输入的x =2，n =2，依次输入的a 为2，2，5， 则输出的s = （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)= 3 5，则sin 2α= （A ）725 （B ）15 （C ）–15 （D ）–7 25 （10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ， …，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似 值为 （A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n （11）已知F 1，F 2是双曲线E 22 221x y a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直， sin 211 3 MF F ∠= ,则E 的离心率为 （A ）2 （B ）3 2 （C ）3 （D ）2 （12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x +=与() y f x =图像的交点为 1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ??? 则1 ()m i i i x y =+=∑ （A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m
2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷一文科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A I B =3|2x x ? ?
数学检测卷（理） 姓名----------班级----------总分------------ 一． 选择题 : 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 ． 1．若集合{}{} 2 ||,0A x x x B x x x ===+≥，则A B = （ ） （A ）[1,0]- （B ）[0,)+∞ （C ） [1,)+∞ (D) (,1]-∞- 2．直线0543=+-y x 关于x 轴对称的直线方程为（ ） （A ）0543=++y x （B ）0543=-+y x （C ）0543=-+-y x （D ）0543=++-y x 3. 若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算， 其参考数据如下： 那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ）。 A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5 4. 设)1,0(log )(≠>=a a x x f a , 若 ++)()(21x f x f ) ,,2,1,(,1)(n i R x x f i n =∈=+, 则 )()()(2 2221n x f x f x f +++ 的值等于（ ） (A) 2 1 (B) 1 (C) 2 (D)22log a 5.在等差数列{}n a 中，1815296a a a ++=则9102a a -= A ．24 B ．22 C ．20 D ．-8 6. 执行如图的程序框图，如果输入11,10==b a ，则输出的=S （ ） (A)109 (B) 1110 (C) 1211 (D) 13 12 7. ．直线21y x =-+上的点到圆2 2 4240x y x y + +-+=上的点的最近距离是 A B 1+ C 1- D ．1 8. 已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+≤≥≥，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =≤≥-≥，若向区 （第6题）
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<，，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． 8π C ．12 D ． 4 π 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p
2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. （1）设集合S ={}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=I >P ，则S I T = (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则 41 i zz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i （3）已知向量1(,22BA =uu v ,1 ),2 BC =uu u v 则∠ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200 （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。下面叙述不正确的是 (A) 各月的平均最低气温都在00C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C 的月份有5个 （5）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 （6）已知4 3 2a =，34 4b =，13 25c =，则 （A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n = （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
高考理科数学试题及答案 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目 要 求 的 。 1. 31i i +=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2. 设集合{}1,2,4A =，{} 2 40x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百 八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某 几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤?? -+≥??+≥? ，则2z x y =+的最小值是（） A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共 有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀， 2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家
2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围． 5．设函数f（x）=（1﹣x2）e x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x （x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数． （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；
（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 8．已知函数f（x）=e x cosx﹣x． （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值． 9．设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数． （Ⅰ）求g（x）的单调区间； （Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且 ∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥． 10．已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R， （1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x） =e x f（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0； （ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，则 A ． B ． C ． D 2．已知集合，则 A ． B ． C ． D ． 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 1i 2i 1i z -= ++||z =01 2 1{} 2 20A x x x =-->A =R e{}12x x -<<{}12x x -≤≤}{}{|1|2x x x x <->U }{}{|1|2x x x x ≤-≥U
建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记为等差数列的前项和.若，，则 A ． B ． C ． D ． 5．设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A ． B ． C ． D ． 6．在中，为边上的中线，为的中点，则 A ． B ． C ． D ． 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为 n S {}n a n 3243S S S =+12a ==5a 12-10-101232()(1)f x x a x ax =+-+()f x ()y f x =(0,0)2y x =-y x =-2y x =y x =ABC △AD BC E AD EB =u u u r 3144AB AC -u u u r u u u r 1344AB AC -u u u r u u u r 3144 AB AC +u u u r u u u r 1344 AB AC +u u u r u u u r M A N B M N
河南省郑州市一中届高三年级11月期中考试 数学（理） 说明：1．本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题，满分150分，考试时间120分钟． 2．将第Ⅰ卷的答案代表字母填在第Ⅱ卷的答案题表中．考试结束交第Ⅱ卷． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1．若集合M ＝{y ｜y ＝2－x}，N ＝{y ｜y ，则M ∩ N 等于 ( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(1，＋∞) 2．设α是第四象限角，tan α＝－5 12，则sin α等于 ( ) A ．1 5 B ．－15 C ．513 D ．－513 3．设等差数列{an}的前n 项和是Sn 且a4＋a8＝0，则 ( ) A ．S4 2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 参考公式： 样本数据12,, ,n x x x 的方差() 2 2 1 1n i i s x x n ==-∑，其中1 1n i i x x n ==∑． 棱柱的体积V Sh =，其中S 是棱柱的底面积，h 是高． 棱锥的体积1 3 V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2016年江苏，1，5分】已知集合{}1,2,3,6A =-，{}|23B x x =-<<，则A B =_______． 【答案】{}1,2- 【解析】由交集的定义可得{}1,2A B =-． 【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题． （2）【2016年江苏，2，5分】复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是_______． 【答案】5 【解析】由复数乘法可得55i z =+，则则z 的实部是5． 【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （3）【2016年江苏，3，5分】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22 173 x y -=的焦距是_______． 【答案】 【解析】c = ，因此焦距为2c = 【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础 （4）【2016年江苏，4，5分】已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是_______． 【答案】0.1 【解析】 5.1x =，()2222221 0.40.300.30.40.15 s =++++=． 【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用． （5）【2016年江苏，5，5 分】函数y =_______． 【答案】[]3,1- 【解析】2320x x --≥，解得31x -≤≤，因此定义域为[]3,1-． 【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题． （6）【2016年江苏，6，5分】如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是________． 【答案】9 【解析】,a b 的变化如下表： 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答． （7）【2016年江苏，7，5分】将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具） 先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________． 【答案】5 6 【解析】将先后两次点数记为( ),x y ，则共有6636?=个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有 ()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为 305366 =． 2017年普通高等学校招生全国统一考试（xx卷）数学（理科） 第Ⅰ卷（共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年xx，理1，5分】设函数的定义域为，函数的定义域为，则（）（A）（B）（C）（D） 【答案】D 【解析】由得，由得，，故选D． （2）【2017年xx，理2，5分】已知，是虚数单位，若，，则（）（A）1或（B）或（C）（D） 【答案】A 【解析】由得，所以，故选A． （3）【2017年xx，理3，5分】已知命题：，；命题：若，则，下列命题为真命题的是（） （A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】由时有意义，知是真命题，由可知是假命题， 即，均是真命题，故选B． （4）【2017年xx，理4，5分】已知、满足约束条件，则的最大值是（）（A）0（B）2（C）5（D）6 【答案】C 【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移发现， 当其经过直线与的交点时，最大为 ，故选C． （5）【2017年xx，理5，5分】为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（） （A）160（B）163（C）166（D）170 【答案】C 【解析】，故选C． （6）【2017年xx，理6，5分】执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的值为7，第 二次输入的值为9，则第一次、第二次输出的值分别为（）（A）0，0（B）1，1（C）0，1（D）1，0 【答案】D 【解析】第一次；第二次，故选D． （7）【2017年xx，理7，5分】若，且，则下列不等式成立的是（）（A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】，故选B． （8）【2017年xx，理8，5分】从分别标有1，2，…，9的9xx卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1xx，则抽到在2xx卡片上的数奇偶性不同的概率是（） （A）（B）（C）（D） 高三理科数学试题卷 注意事项： 1. 本科考试分试題卷和答題卷，考生须在答題卷上作答.答题前，请在答題卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名； 2. 本试題卷分为第1卷（选择題）和第π卷（非选择題）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟. 参考公式： 如果事件，互斥，那么棱柱的体积公式 如果事件，相互独立，那么其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高 棱锥的体积公式 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高棱台的体积公式 球的表面积公式 球的体积公式其中分别表示棱台的上底、下底面积， 其中表示球的半径表示棱台的高 第I卷（选择题共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若i为虚数单位，则复数= A. i B. -i C. D.- 2. 函数的最小正周期是 A. B. π C. 2π D. 4π 3. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 A. O B. -1 C. D. 4. 已知α,β是空间中两个不同平面，m , n是空间中两条不同直线，则下列命题中错误的是 A. 若m//n m 丄α, 则n 丄α B. 若m//ααβ, 则m//n C. 若m丄α, m 丄β，则α//β D. 若m丄α, m β则α丄β 5. 已知函数下列命题正确的是 A. 若是增函数，是减函数，则存在最大值 B. 若存在最大值，则是增函数，是减函数 C. 若, 均为减函数，则是减函数 D. 若是减函数，则, 均为减函数 6. 已知a,b∈R,a.b≠O,则“a>0,b>0”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 7. 已知双曲线c: ,以右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N (异于原点O),若|MN|= ,则双曲线C的离心率是 绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A 2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5 页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3(,3)2 （2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y + （A ）1 （B 2 （C 3 （D ）2 （3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （A ）100 （B ）99（C ）98（D ）97 （4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）31 （B ）21 （C ） 32 （D ）4 3 （5）已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 （A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3) （6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是3 28π，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （7）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为 （A ）（B ） （C ） （D ） （8）若101a b c >><<，，则 （A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < （9）执行右面的程序图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足 （A ）2y x =（B ）3y x =（C ）4y x =（D ）5y x = (10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=2， 2017年高考数学空间几何高考真题 2017年高考数学空间几何高考真题 一．选择题（共9小题） 1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） A．B．C． D． 2．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A．πB．C．D． 3．在正方体ABCD﹣A 1B 1 C 1 D 1 中，E为棱CD的中点，则（） A．A 1E⊥DC 1 B．A 1 E⊥BD C．A 1 E⊥BC 1 D．A 1 E⊥AC 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A．60 B．30 C．20 D．10 5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（） A．+1 B．+3 C．+1 D．+3 6．如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D ﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（） A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A．90πB．63πC．42πD．36π 1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（） A．10 B．12 C．14 D．16 2．已知直三棱柱ABC﹣A 1B 1 C 1 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC 1 =1，则异面直线 AB 1与BC 1 所成角的余弦值为（） A． B．C．D． 二．填空题（共5小题） 8．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为． 9．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为． 10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为． 11．由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为． 高三数学基础模拟试题（一） 一、选择题： 1．已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则B C A R ?=（ ） A 、}{1,5,7 B 、}{3,5,7 C 、}{1,3,9 D 、}{1,2,3 2、复数 z=i i 212-+的共轭复数是（ ） A 、 i - B 、 i C 、i 53- D 、i 5 3 3．已知平面向量a =（1，1），b =（1，－1），则向量 1322-=a b （ ） A ．（－2，－1） B ．（－2，1） C ．（－1，0） D ．（－1，2） 4、设数列的前n 项和，则的值为 A 、15 B 、16 C 、49 D 、64 5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S=（ ） A ．2450 B ．2500 C ．2550 D ．2652 6．函数πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2??-????，的简图是（ ） 7.在数列{}n a 中，11 ++=n n a n ，且9=n S ，则n=（ ） A.97 B.98 C.99 D.100 {}n a 2n S n =8a A. B ． C D 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3163=S S 则=12 6S S （ ） A.103 B.31 C.81 D.91 9．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ） A ． 34000cm 3 B ．38000cm 3 C ．2000cm 3 D ．4000cm 3 10.设数列{}n a 是公差为正数的等比数列，已知,15321=++a a a .80321=a a a 则131211a a a ++的值为（ ） A.120 B.105 C.90 D.75 11.将函数)62sin(2π +=x y 的图象向右平移4 1个周期后，所得图像对应的函数为)(x f ，则函数)(x f 的单调递增区间（ ） A. )](125,12[Z k k k ∈+ -ππππ B. )](12 11,125[Z k k k ∈++ππππ C. )](247,245[Z k k k ∈+-ππππ D. )](2419,247[Z k k k ∈++ππππ 12、已知等比数列{n a }中，各项都是正数，且2312,2 1,a a a 成等差数列，则87109a a a a ++=（ ） A. B. C. D 、 第II 卷 二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分) 13.若x , y 满足约束条件 ,则z =2x +y 的最大值为 ． 14.（理科）在二项式324 1(n x x 的展开式中倒数第3项的系数为45，则含有3x 的项的系数为 ． 15.已知?是第四象限角，且534sin =??? ?? +π?，则=??? ? ?-4tan π?_____. 16.数列{a n }是等差数列，公差d ≠0，且a 2046＋a 1978－a 22012＝0，{b n }是等比数列， 且b 2012＝a 2012，则b 2010·b 2014＝________. 1212322+322-50210210x y x y x y +-≤??--≥??-+≤?2016年高考江苏数学试题及答案(word解析版)
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