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高中数学必修模块综合测试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1. 已知集合11
{2,1,0,1,2}{|28R}2
x M N x x +=--=<<∈，，，则M N =
A ．{0,1}
B ．{10}-，
C ．{1,0,1}-
D ．{2,1,0,1,2}--
2. 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭。在建设幸福广东的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次被抽取的总户数为
A ．20
B ．24
C ．30
D ．36 3. 已知实数列1,,,,2a b c 成等比数列，则abc 等于（ ） A ．4 B ．±4 C ．22 D ．±22 4. 过点(1,1),(1,1)A B 且圆心在直线20x y 上的圆的方程是
A ．22(3)(1)4x y B. 22(3)(1)4x y C ．22
(1)(1)4x y
D. 22
(1)(1)4x y
5. 已知向量a 与b 的夹角为120，且||1a b ==||，则||a b -
等于 A ．1 B C ．2 D ．3 6.已知1,4,20,x y x y y -≥-+≤-≥则24x y +的最小值是 A ．8 B ．9 C ．10 D ．13 7. 有一个几何体的三视图及其尺寸如图所示 （单位：cm ），则该几何体的表面积．．．为 A ．212cm π B. 215cm π C. 224cm π D. 236cm π 8.设,x y
R 则“2x 且2y
”是“22
4x y ”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．即不充分也不必要条件
9. 若23x <<，12x
P ??
= ???
，
2log Q x =，R =则P ，Q ，R 的大小关系是 A ．Q P R << B ．Q R P << C ．P R Q << D ．P Q R <<
10. 一个三角形同时满足：①三边是连续的三个自然数；②最大角是最小角的2倍，则这个三角
形最小角的余弦值为 A
B ．34 C
D ．1
8
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11.
sin(
30)sin(
30)
cos
的值为 .
12. 如右图所示，函数()2x f x =，()2g x x =，若输入的x 值为3，则输出的()h x 的值为 .
13. 若函数()()()2
213f x a x a x =-+-+是偶函数，则函数
()f x 的单调递减区间为 ．
14. 已知数列{}n a 满足12a =,*121()n n a a n N +=+∈,则
4a = ， 该数列的通项公式n a = ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．
15.（本题满分12分）有四个数，已知前三个成等比数列，且和为19,后三个成等差数列，且和为12,求此四数。
16.（本题满分13分）设(,)a b 是有序数对，其中a 是从区间(3,1)A 中任取的一个整数，b 是
从区间(2,3)B
中任取的一个整数。
（1）请列举出(,)a b 的各种情况；
（2）任取（1）中的一组(,)a b ，求使得b a 为正整数的概率。
17.（本题满分13分）如图，在Rt AOB △中，π
6
OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上． （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；
（II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的正切值； （III ）求CD 与平面AOB 所成角的最大值的正切值．
18.（本题满分14
分）已知向量2(2cos a x ，(1,sin 2)b x ，函数()f x a b =?，2
()g x b ．
（Ⅰ）求函数)(x g 的最小正周期；
（Ⅱ）在?ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a >，求b a ,的值．
O C
A
D
B
E
19.（本题满分14分）直线y kx b =+与圆224x y +=交于A 、B 两点，记△AOB 的面积为S （其中O 为坐标原点）．
（Ⅰ）当0k =，02b <<时，求S 的最大值； （Ⅱ）当2b =，1S =时，求实数k 的值．
20.（本题满分14分）设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2)求
()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．
(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.
参考答案
1-10：CBCCB CCACB 13.),0(+∞ ，1231-?-n
15.解:设此四数分别为
2
(),,,a d a d a a d a
，则()()312a d a a d a 故4a ，四数为2(4),4,4,44d d d ，所以2
(4)(4)4194
d d ，解得142d d 或，故当14d 时此四数为25,10,4,18;当2d 时，此四数为9，6，4，2.
16.解:依题意知a 可取集合A 的2,1,0三数之一，b 可取集合B 的1,0,1,2四数之一， （1）(,)a b 的各种情况有：(2,1),(2,0),(2,1),(2,2),(1,1),(1,0),(1,1),(1,2), (0,1),(0,0),(0,1),(0,2)共12种
（2）使得b a 为整数的情况有(2,1),(2,0),(2,1),(2,2),(1,0),(1,1),(1,2),(0,1),(0,2)共9
种，故使得b a 为整数的概率为93
124
P 。
17. 解：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角， 又二面角B AO C --是直二面角，CO BO ∴⊥，又AO BO O =，CO ∴⊥平面AOB ， 又CO ?平面COD ．∴平面COD ⊥平面AOB ．
（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE ，则DE AO ∥，
CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，1
12
OE BO ==，
CE ∴=．又1
2
DE AO ==.∴在Rt CDE △中，
tan CE CDE DE ∠===
，∴异面直线AO 与CD 所成角的正切值为3． （III ）由（I ）知，CO ⊥平面AOB ，CDO ∴∠是CD 与平面AOB 所成的角，且
2
tan OC CDO OD OD
∠==
．当OD 最小时，CDO ∠最大，这时，OD AB ⊥，垂足为D ，
3OA OB
OD AB
==，tan 3CDO ∠=，CD ∴与平面AOB 所成角的最大值的正切值为3． 18. 解：（Ⅰ）221cos 413
()1sin 21cos 4222x g x b x x -==+=+=-+
∴函数)(x g 的最小周期2
42ππ==T
（Ⅱ）()f x a b =?2
(2cos (1,sin 2)x x =?
22cos 2x x =+cos 212x x =++2sin(2)16
x π
=++
31)6
2sin(2)(=++
=π
C C f ∴1)6
2sin(=+
π
C
C 是三角形内角，∴)613,6(62πππ
∈+
C ， ∴2
62ππ=+C 即：6π=C
∴232cos 222=-+=ab c a b C 即：722=+b a ，又32=ab 可得：712
22=+a
a
解之得：432或=a ，∴23或=a 所以当a =2b =； 当2a =，b =
b a > ∴2=a ，3=b ．
19,解：（1）当0k =时，直线方程为y b =，设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，，
由224x b +=
，解得12x =，
，所以21AB x x =-=
所以12
S AB b
==22422b b +-=≤
．
当且仅当b
，即b =S 取得最大值2． （2）设圆心O 到直线2y kx =+的距离为
d ，则d =． 因为圆的半径为2R =，
所以
2AB ===．
于是241121
k S AB d k =?===+， 即2410k k -+=
，解得2k =．
故实数k 的值为2
，2
，2
-+2--
20.解:（1）若(0)1f ≥，则20
||111
a a a a a
（2）当x a ≥时，22()32,f x x ax a =-+2
2min
(),02,0()
2(),0,033
f a a a a f x a a f a a ?≥≥???==??<
min
2(),02,0()(),02,0
f a a a a f x f a a a a ?-≥-≥??==??<
综上22
min 2,0
()2,03a a f x a a ?-≥?=?
（3）(,)x a ∈+∞时，()1h x ≥得223210x ax a -+-≥，222412(1)128a a a ?=--=-
当a a ≤≥时，0,(,)x a ?≤∈+∞；
当22a -<
<
(0x x x a
??≥??
>?
讨论得：当a ∈时，解集为(,)a +∞;
当(,22a ∈
-
-
时，解集为(,[,)33a a a +?+∞;
当[22
a ∈
-
时，解集为)+∞.