傅里叶分析应用于热传导问题

傅里叶分析应用于热传导问题

（物理系郭素梅指导教师陆立柱）

〔摘要〕傅里叶分析是一种重要的数学工具，本文综述了用傅里叶分析解决细杆的热传导问题，并进行了讨论。傅里叶分析包括傅里叶级数和傅里叶积分，用傅里叶级数法解决有界细杆的热传导问题，用含参数的傅里叶变换法解决无界细杆的热传导问题，比其它方法更系统，体现出一种数学与物理对应的美感。

〔关键词〕傅里叶级数傅里叶积分傅里叶变换细杆的热传导问题

引言

1822年，傅里叶在研究热传导问题时，创造了傅里叶分析，随着时代的进步，这一数学工具被广泛地应用于信号分析、匹配滤波、图象处理等方面,掌握这种具有广泛用途和发展前景的工具是十分必要的.热传导是历来研究的热点，尤其是随着计算机电子设备的高集成化发展，机器内发热部件和集成电路元件的发热量随之增加，传统的强制冷方式已不能达到理想效果，因此，热传导设计成了重要问题。万变不离其宗，为了更好地掌握傅里叶分析，为了更好地掌握热传导问题，本文就一维热传导问题对傅里叶分析作了全面详尽的论述。

1.傅里叶分析

1.1 傅里叶级数

傅里叶级数在应用上有以下优点[1]：能表示不连续的函数、周期函数，能对任意函数作调

和分析。

若函数()

f x以2l为周期，即

+=[2]

(2)()

f x l f x

(1.1.1)

则可取三角函数族

1， cos x l π,cos 2x l π, … cos n x l

π ，…

sin x l

π,sin

2x l

π, (i)

n x l

π ， …

(1.1.2)

作为基本函数族，将()f x 展开为级数[3] ()f x =0

a +1

(n n a ∞

=∑cos

n x l

π+

n

b cos

n x l

π)

(1.1.3)

可以证明，函数族（1.1.2）是正交完备的[4]。根据三角函数族的正交性，可求得（1.1.3）中的展 开系数为

1()cos 1()sin l n l n l n l n a f d l l n b f d l l πξξξδπξξξ--?=???

?=??

??

（1.1.4） 其中

2(0)1

(0)

n n n δ?=?=?

≠??

(1.1.3)称为周期函数()f x 的傅里叶级数展开式，其中的展开系数

（1.1.4）称为傅里叶系数。关于傅里叶级数的收敛性问题[2]，有Dirichlet 定理[4]。

若周期函数是奇函数，则由傅里叶系数计算公式（1.1.4）可见，0a 及诸k a 均等于零，展开式(1.1.3)为

()

f x =

1

sin

n n n x b l

π∞

=∑,

(1.1.5)

这叫做傅里叶正弦级数。由于对称性，其展开系数为

1()sin l n l n b f d l l

πξξξ

-=?

（1.1.6）

同理，若周期函数是偶函数，则

()

f x =

a +

1

s

n n n x

a co l

π∞

=∑ (1.1.7)

这叫做傅里叶余弦级数，其中，

1

()cos

l

n l

n

n a f d l l

πξ

ξξδ-=

?

（1.1.8）

对于只在有限区间，例如在(0,)l 上有定义的函数()f x ,可采取延拓的方法，使其成为某种周期函数()g x ，而在(0,)l 上，()g x ≡()f x 。然后再对()g x 作傅里叶级数展开，其级数和在区间(0,)l 上代表f(x),由于f(x)在x=0和x=l 无定义，因此可以有无数种延拓方式，因而有无数种展开式，它们在(0,)l 上均代表()f x .有时，对函数()f x 在边界（区间的端点）上的行为提出限制，即满足一定的边界条件，这常常就决定了如何延拓。例如要求

(0)()0f f l ==

这时应延拓为奇的周期函数，因为

sin n x l π│0x ==0, sin n x l

π∣x l ==0;

又如要求

''(0)()0f f l ==

这时应延拓为偶的周期函数，因为余弦级数的和的导数在0x =和x l =为零。

对于函数u(x,t),-l

u(x,t)=a

(t)+

1

(()s

()sin n n n n x n x

a t co

b t l l

ππ∞

=+∑)

(1.1.9)

其中的展开系数不是常数，而是关于t 的函数，

1

()(,)cos

1()(,)sin l

n l

n l

n l n a t u t d l l

n b t u t d l l

πξ

ξξδπξ

ξξ--==

??

(1.1.10)

1.2 傅里叶积分

一般说来，定义在区间（-∞

(s sin n n n n x n x a co b l l

ππ∞=+∑)

在l →∞时的极限形式就是所要寻找的非周期函数 的傅里叶展开。仔细研究这一极限过 程[4]，可以得到：

f(x)=0

()cos ()sin A xd B xd ωωωωωω∞

∞

+??

(1.2.1) 其中

A(ω)=1

π∞

-∞?f(ξ)cos ωξd ξ B(

ω)=

1

π∞

-∞

?

f(ξ)sin ωξd ξ

(1.2.2)

(1.2.1)右边的积分称为傅里叶积分，(1.2.1)称为非周期函数f(x)

的傅里叶积分表达式。(1.2.2)称为f(x)的傅里叶变换式。对f(x)的条件，有傅里叶积分定理[5]。复数形式的傅里叶积分为:

f(x)=∞

-∞

?F(ω)i x eωdω(1.2.3)

F(ω)=1

2π

∞

-∞

?f(x)*

[]

i x

eωdx

(1.2.4)

1.3 含参数的傅里叶变换

对于函数u(x,t),(-∞

u(x,t)=∞

-∞

?F(ω,t)i x eωdω(1.3.1)

其中

F(ω,t)=1

2π

∞

-∞

?u(x,t)*

[]

i x

eωdx

(1.3.2)

(1.3.1)是u(x,t)傅里叶积分表达式，(1.3.2)是u(x,t)的傅里叶变换式。

２．细杆的热传导问题

由于温度不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象叫做热传导。在细杆的热传导问题中研究的是温度在一维空间中的分布和在时间中的变化u(x,t)。应用热传

导定理和能量守恒定律，可导出[6]可导出热传导方程：

20t xx u a u -= (无热源、汇)

2(,)t xx u a u f x t -= (有热源、汇)

还需初始条件

u(x,t)|0

t t ==?(x)

和三类边界条件[7]

：

第一类 u(x,t)|0

x x ==ψ(t)

第二类 u x (x,t)|0

x x ==ψ(t)

第三类 u(x,t) |0

x x =+Hu x (x,t)|0

x x ==ψ(t)

这样构成完整的一维热传导问题[8]

。根据空间变量 的范围可

分为以下两种细杆的热传导问题。

２.1 有界细杆的热传导问题

这里仅选第二类边界条件作讨论，构成

200

(,)(0,0)

|0|0|()t xx x x x x l t u a u f x t x l t u u u x ?===?-=<<>?

=??

=??=?

(2.1.1)

2.2 无界细杆的热传导问题

2

0(,)(,0)

|0

t xx t u a u f x t x t u =?-=-∞<<∞>??=??

(2.2.1)

对半无界细杆的热传导问题，根据边界条件延拓到无界，转化

为无界细杆的定解问题。对第一类齐次边界条件的定解问题

2(,)t xx u a u f x t -=

（x>0,t>0）

0|x u ==0 0|t u ==?(x) 作奇延拓

2(,)t xx u a u f x t -=

0|t u ==()

(0)()

(0)

x x x x ??>??--

对第二类边界条件 2(,)t xx u a u f x t -=

（x>0,t>0）

0|0x x u == 0|t u ==?(x) 作偶延拓

2(,)t xx u a u f x t -=

0|t u ==()(0)()

(0)

x x x x ??>??

-

３．傅里叶分析应用于细杆的热传导问题

３.1 用傅里叶级数法解决有界细杆的热传导问题 傅里叶级数法是直接求解非齐次方程的定解问题。对问题

(2.1.1)，把所求解u(x,t)本身展开为傅里叶级数，基本函数族应是相应齐次方程

20t xx u a u -=

在第二类齐次边界条件下的本征函数：cos n x l

π(0,1,2,…),这样试把所求解展开为傅里叶余弦级数

u(x,t)=0n ∞

=∑

()s

n n x

T t co l

π (3.1.1)

把这个级数代入泛定方程，

222

'

20

[()()]s n n n n a n x T t T t co l l ππ∞

=+∑＝f(x,t)

(3.1.2)

方程左边是傅里叶余弦级数，提示我们把方程右边也展开为傅里叶余弦级数，得到： 222'

200

[]cos ()cos n n n

n n n a n x n x

T T f t l l l πππ∞

∞==+=∑∑

(3.1.3)

其中()n f t 为(,)f x t 的傅里叶余弦级数的第n 个傅里叶系数。比较两边的系数，分离出n T （t ）的常微分方程

'

n T 222

2

n n a T l π+=()n f t

(3.1.4)

又把（3.1.1）代入初始条件，得：

0(0)n n T ∞

=∑cos n x l π=()x ?=0n

n ?∞

=∑cos n x

l π (3.1.5)

其中n ?为()x ?的傅里叶余弦级数的第n 个傅里叶系数。(3.1.5)式两边都是傅里叶余弦级数，由于基本函数族cos n x l

π的正交性，等式两

边对应同一基本函数的傅里叶系数必然相等，于是得n T (t)的非零初始条件

001(0)()l

o T d l ??ξξ==

? 2(0)()cos l n n o n T d l l

πξ

??ξξ

==?

(3.1.7)

n T (t)的常微分方程（求解[9]）在初始条件（3.1.7）下的解是

n T (t)=222

222

2

2

[()()]n a n a t

t

l l n n n e

f t e

dt f t dt ππ?-+-??

(3.1.8)

这样所求解是

(,)u x t =0{n ∞

=∑222

222

2

2

[()()]n a n a t

t

l l n n n e

f t e

dt f t dt ππ?-

+-??}cos

n x

l

π

(3.1.9)

可以证明(3.1.9)是存在且唯一的[10].

3.2 用傅里叶变换法求解无界细杆的热传导问题 对问题(2.2.1)应用含参数的傅里叶变换，即用不着遍乘方程及

定解条件各项，并对空间变数x 积分（时间变数视作参数），原来的定解问题变成

'220(;)(;)(;)

(;)|0

t U t k k a U t k F t k U t k =?+=?

=? (3.2.1)

其中(;)U t k 为u(x,t)的傅里叶变换。为求解这个非齐次常微方程，用

22

k

a t

e 遍乘方程各项，得：

2222[(;)](;)k a t k a t d

U t k e F t k e dt

= 对t 积分一次，计及零初始值，

(;)U t k =22k a t

e

-220

(;)t

k a F k e

d τ

ττ?

=0t

?22

()(,)ik k a t f e e d d ξτξτξτ∞

----∞?

进行傅里叶逆变换，

(,)u x t =

1

2π

22

()

[(,)t

ik k

a t f e e d d ξτξτξτ

∞

∞

----∞

-∞

?

?

?

]?ikx e dk

交换积分次序

(,)u x t =0

t ?

(,)

f ξτ∞

-∞

?

1

2π

[22

()()k a t ik x e e dk τξ∞

----∞?]d d ξτ

引用积分公式

22

k k e e dk αβ∞

--∞

?

=

2

2

4e βα

α

可得结果

(,)

u x t =

t

?

22()4()

(,]x a t f d d ξτξτξτ

--

∞

--∞

?

(3.2.2))

可以验证[11](3.2.2) 确实符合(2.2.1).有热源或热汇的热传导问题，

即泛定方程是齐次的，求解[12]更容易。

4. 讨论

4.1 一维热传导问题方法和结论的推广

用傅里叶分析法解决细杆的热传导问题，以及得到的结论均可推广到二维、三维空间，用到的理论基础是二、三重傅里叶级数[13]和二[14]、三[15]重傅里叶变换，求解过程与一维类似。

4.2 傅里叶分析应用于其它定解问题

用傅里叶分析法求解热传导问题时，只是对所求解进行了傅里叶展开或变换，并未对方程限制，常见的其它定解问题[13]：振动问题，扩散问题等均可用傅里叶分析法。

参考文献

[1]近藤次郎等. 微分方程付里叶分析 .于溶渤译者沈阳：辽宁人民出版社，1981

[2]董延 .级数.上海：上海科学技术出版社，1982

[3]周肇锡. 积分变换. 国防工业出版社，1982

[4]梁昆淼 .数学物理方法（第三版）. 北京：高等教育出版社，1998

[5]管平等 .数学物理方法.北京：高等教育出版社，2001

[6]郭敦仁.数学物理方法.北京：人民教育出版社，1965

[7]陆全康等.数学物理方法自学辅导. 上海：上海科学技术出版社，1989

[8]杨应辰徐明聪.数学物理方法与特殊函数.国防工业出版社，1980

[9]四川大学数学系高等数学教研室.高等数学（第三版）.北京：高等教育出版社，1995

[10]Tyn Myint-U . 数学物理中的偏微分方程.徐元钟译. 上海：上海科学技术出版社，1983

[11]陈庆益. 数学物理方程. 人民教育出版社，1979

[12]陆立柱.数学物理方法.太原：山西高校联合出版社，1993

[13]周祥龙.数学物理方程.浙江大学出版社，1991

[14]孙仲康.快速傅里叶变换及其应用.北京：人民邮电出版社，1982

[15]C. 哈普尔. 数学物理引论. 肖布森译.北京：科学出版社，1989

Fourier analysis application to

Heat-conduction question

(Department of Physics Guo Sumei Director Lu Lizhu )

〔Abstract〕Fourier analysis is an important Mathematics tool.The thesis applies Fourier analysis to one-dimensional space Heat-conduction question, and have a discussion. Fourier analysis consists of Fourier series which can solve limited one-dimensional space Heat-conduction question and Fourier integral which can solve infinite one-dimensional space Heat-conduction question. This is more

systematic compared with the other methods, and embodies corresponding beauty of Mathematics to Physics.

〔Key words〕Fourier series Fourier integral Fourier transform one-dimensional space Heat-conduction question

【教师评语】

本文对傅里叶分析的理论和方法理解深刻，阐述正确。应用于热传导问题时，物理概论和思想清晰，数学方法得当，逻辑性强，过程清晰，结论正确。

指导教师：陆立柱