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第八节二元函数的极值

教学目的与要求：理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条

件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用

问题

教学重难点：二元函数的极值的充分条件，拉格朗日乘数法

教法：讲授

课时：2 课时

一、引例

伴随着社会进步和生产力的不断发展，在工程技术，科学研究，经济活动分析诸多领域都提出了大量最优化问题。这些问题的本质特征是：在一定的投入水平下，如何寻求最大的效益或与之等价的含义，在设定的效益水平下，如何降低投入。刻划这类问题的数学语言是：对于变量之间的函数，当自变量取何值时，函数变量的值能达到相对的最大或最小。这就是构成多元函数极值问题的实际背景。

实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价 1 元，外地牌子每瓶进价 1.2 元，店

主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出

瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？

每天的收益为

求最大收益即为求二元函数的最大值.

注：对于多元函数的极值问题，我们将重点研究二元函数。

二、二元函数极值的一般概念

1 、二元函数极值定义设函数z= f( x, y) 在点( x0 , y0 ) 的某个邻域内有定义, 如果对于该邻域内任何异于( x0 , y0 ) 的点( x, y) , 都有f( x, y)< f( x0 , y0 ) ( 或f( x, y)> f( x0 , y0 )) , 则称函数在点( x0 , y0 ) 有极大值( 或极小值) f( x0 , y0 ) .

极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。

例1 讨论函数在点的状态。

因为，而当x,y 不同时为零时，恒

大于零，所以函数在（0,0 ）取得的函数值是函数的一个极小值。这个结论由图一可看出其正确性。

由于的图形是顶点在(0,0,0) 的开口向上的

旋转抛物面，(0,0,0) 恰为它的顶点。

例如，函数z= 3 x2 + 4 y2 在点(0 , 0) 处有极小值。

当( x, y) = (0 , 0) 时, z= 0 , 而当( x, y) 1 (0 , 0) 时, z> 0 . 因此z= 0 是函数的极小值。

例如，函数在点(0 , 0) 处有极大值。

当( x, y) = (0 , 0) 时, z= 0 , 而当( x, y) 1 (0 , 0) 时, z< 0 . 因此z= 0 是函数的极大值。例如，函数z= xy在点(0 , 0) 处既不取得极大值也不取得极小值。

因为在点(0 , 0) 处的函数值为零, 而在点(0 , 0) 的任一邻域内, 总有使函数值为正的点, 也有使函数值为负的点。

以上关于二元函数的极值概念, 可推广到n元函数。

注：关于多元函数极值的概念应注意理解好两个要点：

一是极值点指的是某个区域的内点而不能是边界点。

二是函数的极值指的是函数在某个自变量点的邻域内的局部概念而不是在函

数定义域内的概念。

2 、二元函数极值存在的必要条件

在前述例 1 中，我们知道函数点(0,0) 将取得极小值，由于

是比较简单的二元函数，所以直接用极值定义就可得出结论。若遇到函数关系

复杂的问题，判断极值就比较困难了。因为在极值定义中，函数是否在一点处取

极值归结为函数值的比较，而在一点的邻域内有无穷多个自变量点, 那么仅仅依据定义来判断几乎无法实现。因此，必须研究极值点寻求的方法。

定理1 ( 必要条件) 设函数z= f( x, y) 在点( x0 , y0 ) 具有偏导数, 且在点( x0 , y0 ) 处

有极值, 则有, 。

证：不妨设在点处有极大值, 则对于的某邻域内任

都有,

故当，时，有,

说明一元函数在处有极大值, 必有;

类似地可证.

仿照一元函数, 凡是能使f x( x, y) = 0 , f y( x, y) = 0 同时成立的点( x0 , y0 ) 称为函数z= f( x, y) 的驻点。

从定理1 可知, 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但函数的驻点不一定是极值点。

例如, 函数z= xy在点(0 , 0) 处的两个偏导数都是零, 函数在(0 , 0) 既不取得极大值也不取得极小值。

由此定理可得如下表述的逆否命题：设在点存在偏导数，但

, 至少一个不等于零，则在点不取极

值。由此说明, 一个二元函数的极值的存在，首先应考虑两个偏导数为零的点（不妨仍称

为驻点），因为在非驻点处，函数一定不取极值。

当然，接着我们就应该思考，函数在驻点是否就一定取极值？

即上述定理的逆定理是否成立呢？为此讨论下面的例子。

例2 讨论函数在是否取极值

解先讨论在是否满足必要条件

从而，即是驻点且

在有可能取极值

若在点(0,0) 的邻域内任取x 、y 均为正数的点，这时；任取x 、y 为负数时，

，

也就是说既不是点邻域内自变量为任意( x, y) 时对应的函数值相对而

言较大或较小的，所以并不是极值。

由此可知定理的逆定理并不成立，所以该定理只是必要性定理。

从几何上看, 这时如果曲面z= f( x, y) 在点( x0 , y0 , z0 ) 处有切平面, 则切平面z- z0 = f x( x0 , y0 )( x- x0 ) + f y( x0 , y0 )( y- y0 ) 成为平行于xOy坐标面的平面z= z0 .

类似地可推得, 如果三元函数u= f( x, y, z) 在点( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数, 则它在点( x0 , y0 , z0 ) 具有极值的必要条件为f x( x0 , y0 , z0 ) = 0 , f y( x0 , y0 , z0 ) = 0 , f z( x0 , y0 , z0 ) = 0 .

提问：那么如何判定一个驻点是否为极值点呢？

3 、二元函数极值存在的充分条件

定理2 ( 充分条件) 设函数z= f( x, y) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又 f x( x0 , y0 ) = 0 , f y( x0 , y0 ) = 0 , 令f xx( x0 , y0 ) = A, f xy( x0 , y0 ) = B, f yy( x0 , y0 ) = C,

则f( x, y) 在( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下：

(1) AC- B2 >0 时具有极值, 且当A<0 时有极大值, 当A>0 时有极小值;

(2) AC- B2 <0 时没有极值;

(3) AC- B2 = 0 时可能有极值, 也可能没有极值.

（是否是极值需用其它方法，一般可结合图形判定）

在函数f( x, y) 的驻点处如果 f xx×f yy- f xy2 >0 , 则函数具有极值, 且当 f xx<0 时有极大值,

当f xx>0 时有极小值。

4 、极值的求法

由极值存在的必要条件和充分条件可归纳出求极值的一般步骤如下：

第一步求一阶偏导数，令其为零，解出定义域内的驻点

即，解方程组f x( x, y) = 0 , f y( x, y) = 0 , 求得一切实数解, 可得一切驻点。

第二步对于每一个驻点( x0 , y0 ) , 求出二阶偏导数的值A、B和C.

第三步定出AC- B2 的符号, 按定理2 的结论判定f( x0 , y0 ) 是否是极值、是极大值还是极小值。

例3 求函数f( x, y) = x3 - y3 + 3 x2 + 3 y2 - 9 x的极值。

解解方程组,

求得x= 1 , - 3 ; y= 0 , 2 . 于是得驻点为(1 , 0) 、(1 , 2) 、( - 3 , 0) 、( - 3 , 2) .

再求出二阶偏导数f xx( x, y) = 6 x+ 6 , f xy( x, y) = 0 , f yy( x, y) = - 6 y+ 6 .

在点(1 , 0) 处, AC- B2 = 12 × 6>0 , 又A>0 , 所以函数在(1 , 0) 处有极小值f(1 , 0) = - 5 ;

在点(1 , 2) 处, AC- B2 = 12 × ( - 6)<0 , 所以f(1 , 2) 不是极值;

在点( - 3 , 0) 处, AC- B2 = - 12 × 6<0 , 所以f( - 3 , 0) 不是极值;

在点( - 3 , 2) 处, AC- B2 = - 12 × ( - 6)>0 , 又A<0 , 所以函数的( - 3 , 2) 处有极大值f( - 3 , 2) = 31 .

应注意的问题：不是驻点也可能是极值点

例如, 函数在点(0 , 0) 处有极大值, 但(0 , 0) 不是函数的驻点. 因此, 在考虑函数的极值问题时, 除了考虑函数的驻点外, 如果有偏导数不存在的点, 那么对这些点也应当考虑。

三、多元函数的最值

与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.

最大值和最小值问题：如果f( x, y) 在有界闭区域D上连续, 则f( x, y) 在D上必定能取得最大值和最小值。这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部, 也可能在D 的边界上. 我们假定, 函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点, 这时如果函数在D的内部取得最大值( 最小值) , 那么这个最大值( 最小值) 也是函数的极大值( 极小值) 。因此, 求最大值和最小值的一般方法是：将函数在D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.

例4 某厂要用铁板做成一个体积为8 m 3 的有盖长方体水箱。问当长、宽、高各取多少时, 才能使用料最省。

解设水箱的长为x m , 宽为y m , 则其高应为m . 此水箱所用材料的面积为

令, , 得x= 2 , y= 2 .

根据题意可知, 水箱所用材料面积的最小值一定存在, 并在开区域D= {( x, y)| x>0 , y>0} 内取得. 因为函数A在D内只有一个驻点, 所以此驻点一定是A的最小值点, 即当水

箱的长为2m 、宽为2m 、高为m 时, 水箱所用的材料最省。

因此A在D内的唯一驻点(2 , 2) 处取得最小值, 即长为2m 、宽为2m 、高为

m 时, 所用材料最省.

从这个例子还可看出, 在体积一定的长方体中, 以立方体的表面积为最小.

例5 有一宽为24cm 的长方形铁板, 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽。

问怎样折法才能使断面的面积最大？

解设折起来的边长为x cm , 倾角为a, 那末梯形断面的下底长为24 - 2 x, 上底长为24 - 2 x× cos a, 高为x× sin a, 所以断面面积

即A= 24 x× sin a- 2 x2 sin a+ x2 sin a cos a(0< x<12 , 0 < a￡90 ° ) .

可见断面面积A是x和a的二元函数, 这就是目标函数, 面求使这函数取得最大值的点( x, a) .

令A x= 24sin a- 4 x sin a+ 2 x sin a cos a= 0 ,

Aa= 24 x cos a- 2 x2 cos a+ x2 (cos 2 a- sin 2 a) = 0 ,

由于sin a1 0 , x1 0 , 上述方程组可化为

解这方程组, 得a= 60 ° , x= 8cm .

根据题意可知断面面积的最大值一定存在, 并且在D= {( x, y)|0< x<12 , 0 < a￡90 ° } 内取得, 通过计算得知a= 90 °时的函数值比a= 60 ° , x= 8(cm) 时的函数值为小。又函数在D内只有一个驻点, 因此可以断定, 当x= 8cm , a= 60 °时, 就能使断面的面积最大。

四、条件极值、拉格朗日乘数法

1. 转化为无条件极值

在讨论多元函数极值问题时，如果遇到除了在定义域中寻求驻点（可能的极值点）外，对自

变量再无别的限制条件，我们称这类问题为函数的无条件极值。如求的极值，就是无条件极值问题。

然而在实际中，我们也会遇到另一类问题。比如，讨论表面积为的长方体的最大体积

问题。若设长方体的三度为, 则体积，同时应满足于

是我们的问题的数学含义就是：当自变量满足条件下取何值

时能使函数取得最大值。（这里我们暂不论证指出这个最大值就是极大值）。

一般抽象出来，可表为如下形式：

即函数在条件下的取极大（小）值问题。今后，我们称这种问题为

函数的条件极值问题。对自变量有附加条件的极值称为条件极值。一般称为

目标函数，为约束条件( 或约束方程) 。

对于有些实际问题, 可以把条件极值问题化为无条件极值问题。

例如上述问题, 由条件, 解得, 于是得V.

只需求V的无条件极值问题。

例6 求函数在约束条件下的条件极值。

解由约束条件可解出代入目标函数，有：

令得驻点

由于当时，，当时，

在时取极大值，

又当时，由约束条件可解出，

而，此例说明条件极值可有如下一种解法：

如果能从约束方程中解出一个自变量，代入目标函数后，就可转化为无条件极值。

通过讨论无条件极值可得问题的解答。但在很多实际问题中，往往不容易从约束条件中解出一个自变量，从而上述方法就失效了。因此，对条件极值我们应讨论一般解法。

2. 关于条件极值的拉格朗日乘数法

在很多情形下, 将条件极值化为无条件极值并不容易。需要另一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法。

拉格朗日乘数法：要找函数z= f( x, y) 在条件j( x, y) = 0 下的可能极值点, 可以先构成辅助函数F( x, y) = f( x, y) + lj( x, y) , 其中l为某一常数。

然后解方程组.

由这方程组解出x, y及l, 则其中( x, y) 就是所要求的可能的极值点。

一般称F( x, y) = f( x, y) + lj( x, y) 为拉格朗日函数，待定常数λ称为拉格朗日乘数

归纳上述讨论过程，可得拉格朗日乘数法如下：

欲求函数满足约束条件的极值，一般步骤为：

（1 ）构造拉格朗日函数F( x, y) = f( x, y) + lj( x, y) ;

（2 ）建立偏导数方程组

（3 ）解此方程组的解，可得可能的极值点

例7 将正数12 分成三个正数之和使得为最大 .

令, 则

解得唯一驻点，

故最大值为

这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。

至于如何确定所求的点是否是极值点, 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。例8 求表面积为a2 而体积为最大的长方体的体积 .

解设长方体的三棱的长为x, y, z, 则问题就是在条件2( xy+ yz+ xz) = a2 下

求函数V= xyz的最大值。

构成辅助函数F( x, y, z) = xyz+ l(2 xy+ 2 yz+ 2 xz- a2 ) ,

解方程组,

得, 这是唯一可能的极值点。

因为由问题本身可知最大值一定存在, 所以最大值就在这个可能的值点处取得。

此时.

思考题：若及在点均取得极值，则在点是否也取得极值？

五、小结

1 、多元函数的极值

2 、（取得极值的必要条件、充分条件）

3 、多元函数的最值

4 、拉格朗日乘数法

二元函数的极值与最值

二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的必要条件：设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00， B y x f xy =),('00，C y x f yy =),('00，则当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值；当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值； 02 >-AC B 时，),(00y x 不是极值点。注意：当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值．【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数： y x x z 232 -=??， x y y z 22-=??． x x z 62 2 =??, 22 -=???y x z , 2 2 2 =??y z ．再求函数的驻点．令x z ??= 0，y z ??= 0，得方程组???=-=-. 022,0232x y y x 求得驻点(0，0)、），（3 2 32．利用定理2对驻点进行讨论：

多元函数的极值与最值例题极其解析

多元函数的极值与最值 1.求函数z=x3+y3?3xy的极值。步骤： 1)先求驻点(另偏导数等于0，联立) 2)再求ABC A=f xx(x0, y0) B=f xy(x0, y0) C=f yy(x0, y0) 3)(1)当B2-AC<0时，f(x，y)在点(x o，y o)处取得极值，且当A<0时取得极大值f(x o，y o)，当A>0时取得极小值f(x o，y o),当A<0时取得极大值f(x o，y o); (2)当B2-AC>0时，f(x o, y o )不是极值; (3)当B2-AC=0时，f(x o,y o)是否为极值不能确定，需另做讨论. =3x2?3y=0 解：?z ?x ?z =3y2?3x=0 ?y 联立得驻点为(0,0),(1,1) A=f xx(x0, y0)=6x(对x求偏导,再对x求偏导) B=f xy(x0, y0)=-3(对x求偏导,再对y求偏导) C=f yy(x0, y0)=6y(对y求偏导,再对y求偏导) 在点(0,0)处，A=0,B=-3，C=0,由B2-AC=9>0,故在此处

无极值。在点(1,1)处，A=6,B=-3,C=0, B2-AC=-27<0,又因为 A>0,故在此处为极小值点，极小值为 F (1, 1) =x3+y3?3xy=?1 2.求函数f(x, y)=x2+(y?1)2的极值。解：f x’=2x=0 F y’=2y-2=0 联立得驻点为(0,1) A=f xx(x0, y0) =2 B=f xy(x0, y0) =0 C=f yy(x0, y0) =2 在点(0,1)处A=2，B=0，C=2由B2-AC=-4<0,又因为A>0,故在此处为极小值点，极小值为 F (0, 1) = 0 3.制造一个容积为a的无盖长方体，使之用料最少，则长宽高为多少？解：另长宽高分别为x, y, z 故xyz=a, z=a xy S=xy+2(x a xy +y a xy )=xy+2(a y +a x ) S x’=y+2(?a x2 )=0 S y ’= x+2(?a y )=0

“图解法解二元函数的最值问题”

“图解法解二元函数的最值问题” 教学课例昌平区第一中学回春荣

“图解法解二元函数的最值问题”教学课例一、设计意图：在新课程背景下的教学中，课堂上我们应是以“问”的方式来启发学生深思，以“变”的方式诱导学生灵活善变，使整堂课有张有弛，真正突出了学生是教学活动的主体的原则。本节内容是在学习了不等式、直线的方程的基础上，利用不等式和直线的方程有关知识展开的，它是对二元函数的深化和再认识、再理解，是直线、圆和不等式的综合运用，同时它又对理解下一章“圆锥曲线”的相关内容有着很好的帮助作用，所以这一部分内容起到了一个巩固旧知识，熟练方法，理解新知识的承上启下的作用。图解法在解决函数求最值的问题上有着广泛的应用，这节课为学生提供了广阔的思维空间，对培养学生自主探索、合作研究、主动发现问题、分析问题，创造性地解决问题的能力有着丰富的素材。教学上通过设置问题情境、多媒体展示，学生动手操作，使学生在“做中学”，学生在实际操作中，既发展了学生的个性潜能，又培养了他们的合作精神。二、本课教学目标 1、知识与技能:通过识图、画图，学会解决有约束条件的二元函数最值问题的处理方法——图解法。 2、过程与方法:经历约束条件为二元一次不等式组，目标函数为具有截距、斜率、距离等几何意义的二元函数的最值问题的探究过程，提炼出解决这类问题的方法——以图定位，以算定量。 3、情感态度与价值观:通过对有约束条件的二元函数的最值问题的探究，培养学生科学严谨的治学态度，勇于探索、敢于创新的学习精神，同时感受合作交流的快乐。三、教学过程与教学资源设计（一）、教学内容：图解法解二元函数的最值问题（二）、教学设计流程图：

多元函数极值的判定

. .. . 目录摘要 (1) 关键词 (1) Abstract............................................................................................................. .. (1) Keywords.......................................................................................................... .. (1) 引言 (1) 1定理中用到的定义 (2) 2函数极值的判定定理.............................................................. .. (5) 3多元函数极值判定定理的应用 (7) 参考文献 (8)

多元函数极值的判定摘要：通过引入多元函数的导数，给出了多种方法来判定多元函数的极值. 关键词：极值；条件极值；偏导数；判定 The judgement of the extremum of the function of many variables Abstract：This paper passes to lead into the derivative of the function of many variables, and give several methods to judge the extremum of the

function of many variables and the conditional extremum of the function of many variables . Keywords : extremum; conditional ;partial derivative 引言在现行的数学分析教材中，关于多元函数的极值判定，一般只讲到二元函数的极值判定，在参考文献[1]和[3]中有关多元函数极值的判定是都是在实际情况中一定有极值的问题，本文将引入多元函数的偏导数把二元函数的极值判定推广到多元函数极值问题中去. 1 定理中用到的定义定义1.1[]1 函数f 在点000(,)P x y 的某领域0()U P 有定义.若对于任何点 0(,)()P x y U P ∈，成立不等式 0()()f P f P ≤（或0()()f P f P ≥），则称函数f 在点0P 取得极大值（或极小值），点0P 称为f 的极大值（或极小值）点. 定义1.2[]1 设函数(,)z f x y =， (,)x y D ∈.若00(,)x y D ∈,且0(,)f x y 在 0x 的某一领域有定义，则当极限 0000000(,)(,)(,) lim x xf x y f x x y f x y x x →+-= 存在时，称这个极限为函数f 在点00(,)x y 关于x 的偏导数，记作 00(,) x y f x ??. 定义1.3[]3 设n D R ?为开集，12(,, ,)n P x x x D ∈，00 0012 2(,,,)P x x x D ∈ :f D R →，若在某个矩阵A ，使当0()P U P ∈时，有 000 ()()() lim P P f P f P A P P P P →----, 则称n 元函数12(,, ,)n f x x x 在点0P 可导.称A 为在点0P 处的导数，记为

(整理)多元函数的极值及其求法

第六节多元函数的极值及其求法在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题. 与一元函数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系. 下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题. 内容分布图示 ★ 引例 ★ 二元函数极值的概念例1-3 ★ 极值的必要条件 ★ 极值的充分条件 ★ 求二元函数极值的一般步骤 ★ 例4 ★ 例5 ★ 求最值的一般步骤 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 条件极值的概念 ★ 拉格郎日乘数法 ★ 例12 ★ 例 13 ★ 例 14 ★ 例 15 ★ 例 16 *数学建模举例 ★ 最小二乘法 ★ 线性规划问题 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-6 ★ 返回内容提要：一、二元函数极值的概念定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于),(00y x 的任意一点),(y x , 如果 ),,(),(00y x f y x f < 则称函数在),(00y x 有极大值；如果 ),,(),(00y x f y x f > 则称函数在),(00y x 有极小值; 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点. 定理1 (必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数, 且在点),(00y x 处有极值, 则它在该点的偏导数必然为零，即 .0),(,0),(0000==y x f y x f y x (6.1) 与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点. 定理2 (充分条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有直到二阶的连续偏导

实验五用matlab求二元函数的极值

实验五用matlab 求二元函数的极值 1．计算二元函数的极值对于二元函数的极值问题,根据二元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤: 步骤1.定义二元函数),(y x f z =. 步骤2.求解方程组0),(,0),(==y x f y x f y x ,得到驻点. 步骤3.对于每一个驻点),(00y x ,求出二阶偏导数 22222,,.z z z A B C x x y y ???===???? 步骤4. 对于每一个驻点),(00y x ,计算判别式2B AC -,如果02>-B AC ,则该驻点是极值点,当0>A 为极小值, 0>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>diff(z,x) >>diff(z,y) 结果为 ans =4*x^3-8*y ans =-8*x+4*y