上海闸北第八中学数学 二次函数同步单元检测（Word 版 含答案）
一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）
1．在平面直角坐标系中，抛物线2
2(0)y ax bx a =++≠经过点(2,4)A --和点(2,0)C ，
与y 轴交于点D ，与x 轴的另一交点为点B ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BD ，在抛物线上是否存在点P ，使得2PBC BDO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC ，交y 轴于点E ，点M 是线段AD 上的动点（不与点A ，点D 重合），将CME △沿ME 所在直线翻折，得到FME ，当FME 与AME △重叠部分的面积是AMC 面积的
1
4
时，请直接写出线段AM 的长． 【答案】（1）2
2y x x =-++；（2）存在，（
23，209）或（10
3，529
-）；（3）10
5
或2 【解析】 【分析】
（1）根据点A 和点C 的坐标，利用待定系数法求解；
（2）在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，构造出
∠PBC=∠BDE ，分点P 在第三象限时，点P 在x 轴上方时，点P 在第四象限时，共三种情况分别求解；
（3）设EF 与AD 交于点N ，分点F 在直线AC 上方和点F 在直线AC 下方时两种情况，利用题中所给面积关系和中线的性质可得MN=AN ，FN=NE ，从而证明四边形FMEA 为平行四边形，继而求解． 【详解】
解：（1）∵抛物线2
2(0)y ax bx a =++≠经过点A （-2，-4）和点C （2，0），
则44220422a b a b -=-+??=++?，解得：11a b =-??=?
，
∴抛物线的解析式为22y x x =-++； （2）存在，理由是：
在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ， 在2
2y x x =-++中， 令y=0，解得：x=2或-1， ∴点B 坐标为（-1，0）， ∴点E 坐标为（1，0）， 可知：点B 和点E 关于y 轴对称， ∴∠BDO=∠EDO ，即∠BDE=2∠BDO ， ∵D （0，2），
∴=， 在△BDE 中，有
12×BE ×OD=1
2
×BD ×EF ，
即2×EF ，解得：EF=5
，
∴5
，
∴tan ∠BDE=
EF DF =4
3， 若∠PBC=2∠BDO ， 则∠PBC=∠BDE ，
∵BE=2， 则BD 2+DE 2＞BE 2， ∴∠BDE 为锐角， 当点P 在第三象限时， ∠PBC 为钝角，不符合； 当点P 在x 轴上方时，
∵∠PBC=∠BDE ，设点P 坐标为（c ，22c c -++）， 过点P 作x 轴的垂线，垂足为G ， 则BG=c+1，PG=22c c -++，
∴tan ∠PBC=
PG BG =221
c c c -+++=4
3， 解得：c=
2
3
，
∴22c c -++=
209
， ∴点P 的坐标为（
23，209
）；
当点P 在第四象限时，
同理可得：PG=22c c --，BG=c+1，
tan ∠PBC=PG BG =221
c c c --+=4
3，
解得：c=
10
3
， ∴22c c -++=529
-
， ∴点P 的坐标为（
103，529
-）， 综上：点P 的坐标为（
23，209）或（10
3，529
-）；
（3）设EF 与AD 交于点N ，
∵A （-2，-4），D （0，2），设直线AD 表达式为y=mx+n ，
则422m n n -=-+??=?，解得：3
2m n =??=?
，
∴直线AD 表达式为y=3x+2， 设点M 的坐标为（s ，3s+2），
∵A （-2，-4），C （2，0），设直线AC 表达式为y=m 1x+n 1，
则11114202m n m n -=-+??=+?，解得：11
12m n =??=-?，
∴直线AC 表达式为y=x-2， 令x=0，则y=-2， ∴点E 坐标为（0，-2）， 可得：点E 是线段AC 中点， ∴△AME 和△CME 的面积相等， 由于折叠，
∴△CME ≌△FME ，即S △CME =S △FME ， 由题意可得：
当点F 在直线AC 上方时，
∴S △MNE =14
S △AMC =12S △AME =1
2S △FME ，
即S △MNE = S △ANE = S △MNF ， ∴MN=AN ，FN=NE ，
∴四边形FMEA 为平行四边形，
∴CM=FM=AE=
12
AC=12
∵M （s ，3s+2），
=
解得：s=4
5
-或0（舍）， ∴M （45-
，2
5
-），
∴
当点F 在直线AC 下方时，如图， 同理可得：四边形AFEM 为平行四边形， ∴AM=EF ，
由于折叠可得：CE=EF ， ∴AM=EF=CE=22，
综上：AM 的长度为10
5
或22 【点睛】
本题是二次函数综合题，涉及到待定系数法，二次函数的图像和性质，折叠问题，平行四边形的判定和性质，中线的性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能力要求较高．
2．如图1，抛物线2
:C y x =经过变换可得到抛物线()1111:C y a x x b =-，1C 与x 轴的正
半轴交于点1A ，且其对称轴分别交抛物线C 、1C 于点1B 、1D ，此时四边形111D OB A 恰为正方形；按上述类似方法，如图2，抛物线()1111:C y a x x b =-经过变换可得到抛物线
()2222:C y a x x b =-，2C 与x 轴的正半轴交于点2A ，且对称轴分别交抛物线1C 、2C 于
点2B 、2D ，此时四边形222OB A D 也恰为正方形；按上述类似方法，如图3，可得到抛物
线()3333:C y a x x b =-与正方形333OB A D ，请探究以下问题： （1）填空：1a = ，1b = ； （2）求出2C 与3C 的解析式；
（3）按上述类似方法，可得到抛物线():n n n n C y a x x b =-与正方形n n n OB A D （1n ≥）. ①请用含n 的代数式直接表示出n C 的解析式；
②当x 取任意不为0的实数时，试比较2018y 与2019y 的函数值的大小关系，并说明理由.
【答案】（1）11a =，12b =；（2）22132y x x =-，231
26
y x x =-；（3）①()22
1
2123
n n y x x n -=
-≥?，②20182019y y ＞. 【解析】 【分析】
（1）求与x 轴交点A 1坐标，根据正方形对角线性质表示出B 1的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 1的值，写出D 1的坐标，代入y 1的解析式中可求得a 1的值； （2）求与x 轴交点A 2坐标，根据正方形对角线性质表示出B 2的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 2的值，写出D 2的坐标，代入y 2的解析式中可求得a 2的值，写出抛物线C 2的解析式；再利用相同的方法求抛物线C 3的解析式；
（3）①根据图形变换后二次项系数不变得出a n =a 1=1，由B 1坐标（1，1）、B 2坐标（3，3）、B 3坐标（7，7）得B n 坐标（2n -1，2n -1），则b n =2（2n -1）=2n +1-2（n ≥1），写出抛物线C n 解析式．
②根据规律得到抛物线C 2015和抛物线C 2016的解析式，用求差法比较出y 2015与y 2016的函数值的大小． 【详解】
解：（1）y 1=0时，a 1x （x -b 1）=0， x 1=0，x 2=b 1， ∴A 1（b 1，0），
由正方形OB 1A 1D 1得：OA 1=B 1D 1=b 1， ∴B 1（
12b ，12b ），D 1（12b ，12
b
-），
∵B 1在抛物线c 上，则
12b =(12
b )2
， 解得：b 1=0（不符合题意），b 1=2， ∴D 1（1，-1），
把D 1（1，-1）代入y 1=a 1x （x -b 1）中得：-1=-a 1， ∴a 1=1， 故答案为1，2；
（2）当20y =时，有()220a x x b -=， 解得2x b =或0x =，()22,0A b ∴. 由正方形222OB A D ，得2222B D OA b ==，
22
2,22b b B ??∴ ?
??，22
2,22b b D ??
- ???
. 2B 在抛物线1C 上，2222222b b b ??∴
=- ???
. 解得24b =或20b =（不合舍去），
()22,2D ∴-
2D 在抛物线2C 上，
()22224a ∴-=-.
解得21
2
a =
. 2C ∴的解析式是()2142y x x =
-，即221
22
y x x =-. 同理，当30y =时，有()330a x x b -=， 解得3x b =，或0x =.
()33,0A b ∴.
由正方形333OB A D ，得3333B D OA b ==，
333,22b b B ??∴ ???，333,2
2b
b D ??- ???.
3B 在抛物线2C 上，
2
333122222
b b b
??∴=-? ???. 解得312b =或30b =（不合舍去），
()36,6D ∴-
3D 在抛物线3C 上，
()366612a ∴-=-.解得316
a =
. 3C ∴的解析式是()31126y x x =
-，即231
26
y x x =-. （3）解：①n C 的解析式是()22
1
2123
n n y x x n -=-≥?. ②由①可得2201820161223y x x =
-?，2
20192017
1223
y x x =-?. 当0x ≠时，2
2018201920162017
111
0233y y x ＞??-=
-
???
， 20182019y y ∴＞.
【点睛】
本题是二次函数与方程、正方形的综合应用，将函数知识与方程、正方形有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用正方形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．就此题而言：①求出抛物线与x 轴交点坐标?把y =0代入计算，把函数问题转化为方程问题；②利用正方形对角线相等且垂直平分表示出对应B 1、B 2、B 3、B n 的坐标；③根据规律之间得到解析式是关键．
3．在平面直角坐标系中，二次函数2
2y ax bx =+-的图象与x 轴交于点(4,0)A -，
(1,0)B ，与y 轴交于点C ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P 是抛物线2
2y ax bx =+-上的任意一点，过点P 作x 轴的垂线PD ，直线PD
交直线AC 于点D ．
①是否存在点P ，使得PAC ?的面积是ABC ?面积的
4
5
？若存在，求出点P 的坐标；若
不存在，请说明理由．
②点Q 是坐标平面内的任意一点，若以O ，C ，Q ，D 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q 的坐标． 【答案】(1)213
222
y x x =
+- (2)①存在，点P
的坐标为(2-+-
，(2--+，(2,3)--
②1816,55Q ?
?-- ???，2
(2,1)Q -
，355Q ?- ??
，455Q ?- ??
【解析】 【分析】
(1)将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中求解即可； (2)①先求出△PAC 的面积为4，再求出直线AC 的解析式为1
22
y x =--．设点P 的横坐标为(t ,
213222t t +-)，利用21
442
???=-=?=+=PAC PDC PDA S S S OA PD t t 即可求解； ②先设出D 点坐标，然后再按对角线分成三种情况讨论即可求解． 【详解】
解：(1)由题意得,将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中：
1642020a b a b --=??
+-=?，解得：12
32a b ?=????=??
． ∴此抛物线的解析式为213
222
y x x =+-， 故答案为213
222
y x x =
+-． (2)①存在点P ，使得PAC ?的面积是ABC ?面积的4
5
．理由如下： 作出如下所示示意图：
∵点(4,0)A -，(1,0)B ， ∴4OA =，5AB =， 令0x =，则2y =-， ∴(0,2)C -，∴2OC =， ∴11
52522
ABC S AB OC ?=?=??=， ∴4455
4
5PAC ABC S S ??=
=?=， 设直线AC 的解析式为y mx n =+，
则有402m n n -+=??=-?，解得：122
m n ?
=-???=-?，
∴直线AC 的解析式为1
22
y x =-
-． 设点P 的横坐标为t ，则其纵坐标为213
222
t t +-， 即2
1
3,22
2P t t t ??+
- ???
． ∵PD x ⊥轴，则点D 的坐标为1,22t t ??
-- ??
?
． ∴22131
12222222
PD t t t t t ??=
+----=+ ???． ∵22111
424222
PAC PDC PDA S S S OA PD t t t t ???=-=
?=??+=+． ∴2
44t t +=，即2440t t +-=或2440t t ++=，
解得：1222t =-+，2222t =--，32t =-．
∴点P 的坐标为(222,12)-+-，(222,12)--+，(2,3)--， 故答案为：(222,12)-+-或(222,12)--+或(2,3)--． ②分类讨论：
情况一：当OC 为菱形的对角线时，此时DO=DC ，即D 点在线段OC 的垂直平分线， ∴D 点坐标(-2,-1)，将△OCD 沿y 轴翻折，此时四边形ODCQ 为菱形，故此时Q 点坐标为(2,-1)，如下图一所示，
情况二：当OQ 为对角线时，DO=DQ ，如下图二所示，
DQ=OC=OD=2，设D 点坐标1,22??-
- ???
x x ，则EO=-x ，DE=1
22x +，
在Rt △EDO 中，由勾股定理可知：EO2+ED2=DO2， 故2
2
1
(2)42
++=x x ，解得80(),5舍==-
x x ，此时Q 点坐标为816,5
5??-- ???，
情况三：当OD 为对角线时，OC=OQ=2，如下图三所示：
设D 点坐标1,22??
-
- ???
m m ，则EO=|m|，DE=122m +，QE=2-(122m +)=12m ， 在Rt △QDO 中，由勾股定理可知：QE2+EO2=QO2， 故22
1
()()42
+=m m ，解得124545,=
=-m m ，此时Q 点坐标为4525,??- ? ???或4525,55??
- ? ???
， 综上所述，Q 点的坐标为1816,55Q ?
?-- ???，2(2,1)Q -，34525,55Q ??-? ??，
44525,Q ?
?-? ??
．
故答案为1816,55Q ?
?-- ???，2(2,1)Q -，34525,Q ??-? ??，44525,Q ??-? ??
．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积问题，菱形的存在性问题等，属于综合题，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．
4．如图1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:C y ax bx c =++与x 轴相交于,A B 两点，顶点为()0,442D AB =,，设点(),0F m 是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点
F 旋转180?，得到新的抛物线'C ．
()1求抛物线C 的函数表达式:
()2若抛物线'C 与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围． ()3如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线
'C 上的对应点P'，设M 是C 上的动点，N 是'C 上的动点，试探究四边形'PMP N 能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．
【答案】()12
142
y x =-+；()2222m <<()3四边形'PMP N 可以为正方形，6m =
【解析】 【分析】
（1）由题意得出A,B 坐标，并代入,,A B D 坐标利用待定系数法求出抛物线C 的函数表达式；
（2）根据题意分别求出当C '过点()0,4D 时m 的值以及当C '过点()22,0B 时m 的值，并以此进行分析求得；
（3）由题意设(),P n n ，代入解出n ，并作HK OF ⊥，PH
HK ⊥于H ，利用正方形性
质以及全等三角形性质得出M 为()2,2m m --，将M 代入2
1: 42
C y x =-+即可求得答案. 【详解】 解：()
142AB =
()
, 22,0)2,0(2A B ∴-
将,,A B D 三点代入得2
y ax bx c =++
820.820.4a b c a b c c ?-+=??
++=??=??
解得1204a b c ?
=-??=??=??
21
42y x ∴=-+；
()
2如图2
1:42
C y x =-+．
关于(),0F m 对称的抛物线为
()2
1:242
C y x m '=
-- 当C '过点()0,4D 时有()2
140242
m =-- 解得:2m =
当C '过点()22,0B 时有()
21
022242
m =-- 解得:22m =
222m ∴<<；
()3四边形'PMP N 可以为正方形 由题意设(),P n n ，
P 是抛物线C 第一象限上的点
21
42
n n ∴-+=
解得:122,2n n ==-(舍去)即()2,2P 如图作HK OF ⊥，PH
HK ⊥于H ，
MK HK ⊥于K
四边形PMP N '为正方形 易证
PHK FKM ≌
2FK HP m ∴==-
2MK HF ==
M ∴为()2,2m m --
∴将M 代入21: 42
C y x =-+得
()2
12242
m m -=-
-+ 解得:126,0m m ==(舍去)
∴当6m =时四边形PMP N ''为正方形.
【点睛】
本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，难度大.
5．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为
()3, 6C ，并与y 轴交于点()0, 3B ，点A 是对称轴与x 轴的交点．
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①所示, P 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP 、AP ,求ABP ?的面积的最大值;
(3)如图②所示，在对称轴AC 的右侧作30ACD ∠=交抛物线于点D ,求出D 点的坐标;并探究:在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?若存在，求点Q 的坐标;若不存在，请说明理由．
【答案】（1）21233y x x =-
++；（2）当9
2n =时，PBA S ?最大值为818
；（3）存在，Q 点坐标为((0,330,33-或，理由见解析
【解析】 【分析】
(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；
(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S △PAB=S △BPO+S △APO-
S △AOB,设P 2
1,233
n n n ??-++ ??
?
求出关于n 的函数式，从而求S △PAB 的最大值. (3) 求点D 的坐标，设D 2
1,233
t t t ??-++ ??
?
,过D 做DG 垂直于AC 于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t 的值即得D 的坐标;探究在y 轴上是否存在点Q ,使
60CQD ∠=?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD 的2倍，联想到同弧所对
的圆周角和圆心角，所以以A 为圆心，AO 长为半径做圆交y 轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q 点. 【详解】
解：()1抛物线顶点为()3,6
∴可设抛物线解析式为()2
36y a x =-+
将()0,3B 代入()2
36y a x =-+得
396a =+ 1
3
a ∴=-
∴抛物线()2
1363y x =-
-+，即21233
y x x =-++ ()2连接,3, 3OP BO OA ==，
PBA BPO PAO ABO S S S S ????=+-
设P 点坐标为2
1,233
n n n ??-++ ??
?
1133222
BPO x S BO P n n ?=== 2211119323322322PAO y S OA P n n n n ???
=
=-++=-++ ???
11933222
ABO S OA BO ?=
=??= 2
2231
99191981322
2222228PBA
S n n n n n n ?????=+-++-=-+=--+ ? ????? ∴当9
2n =
时，PBA S ?最大值为818
()3存在，设点D 的坐标为2
1
,233
t t t ??-++ ??
?
过D 作对称轴的垂线，垂足为G , 则2
13,6233
DG t CG t t ??=-=--++ ???
30ACD ∠=
2DG DC ∴= 在Rt CGD ?中有
222243CG CD DG DG DG DG =+=-=
)21336233t t t ??
-=--++ ???
化简得(1133303t t ??
---= ???
13t ∴=（舍去），2333t =+∴点D(333+
3,33AG GD ∴==连接AD ，在Rt ADG ?中
229276AD AG GD ++=
6,120AD AC CAD ∴==∠=
Q ∴在以A 为圆心，AC 为半径的圆与y 轴的交点上
此时1
602
CQD CAD ∠=
∠= 设Q 点为(0,m), AQ 为A 的半径
则AQ 2=OQ 2+OA 2, 62=m 2+32
即2936m +=
∴1233,33m m ==-
综上所述，Q 点坐标为()()
0,330,33-或 故存在点Q ，且这样的点有两个点.
【点睛】
(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便； (2)本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.
(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.
6．在平面直角坐标系中，点(),p tq 与(),q tp ()0t ≠称为一对泛对称点． （1）若点()1,2，
()3,a 是一对泛对称点，求a 的值；
（2）若P ，Q 是第一象限的一对泛对称点，过点P 作PA x ⊥轴于点A ，过点Q 作QB y ⊥轴于点B ，线段PA ，QB 交于点C ，连接AB ，PQ ，判断直线AB 与PQ 的位
置关系，并说明理由；
（3）抛物线2
y ax bx c =++()0a ＜交y 轴于点D ，过点D 作x 轴的平行线交此抛物线
于点M （不与点D 重合），过点M 的直线y ax m =+与此抛物线交于另一点N ．对于任意满足条件的实数b ，是否都存在M ，N 是一对泛对称点的情形？若是，请说明理由，并对所有的泛对称点(),M M M x y ，(),N N N x y 探究当M y ＞N y 时M x 的取值范围；若不是，请说明理由． 【答案】（1）
2
3
；（2）AB ∥PQ ，见解析；（3）对于任意满足条件的实数b ，都存在M ，N 是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M(x M ，y M )，N(x N ，y N )，当y M ＞y N 时，x M 的取值范围是x M ＜1且x M ≠0 【解析】 【分析】
（1）利用泛对称点得定义求出t 的值，即可求出a.
（2）设P ，Q 两点的坐标分别为P （p,tq ），Q （q,tp ），根据题干条件得到A （p,0），B
（0,tp），C（p,tp）的坐标，利用二元一次方程组证出k1=k2，所以AB∥PQ.
（3）由二次函数与x轴交点的特征，得到D点的坐标；然后利用二次函数与一元二次方程的关系，使用求根公式即可得到答案.
【详解】
（1）解：因为点（1，2），（3，a）是一对泛对称点，
设3t＝2
解得t＝
2
3
所以a＝t×1＝
2
3
（2）解：设P，Q两点的坐标分别为P（p,tq），Q（q,tp），其中0＜p＜q，t＞0.
因为PA⊥x轴于点A，QB⊥y轴于点B，线段PA，QB交于点C，
所以点A，B，C的坐标分别为：A（p,0），B（0,tp），C（p,tp）
设直线AB，PQ的解析式分别为：y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2，其中k1k2≠0.
分别将点A（p,0），B（0,tp）代入y＝k1x＋b1，得
11
1
pk b tp
b tp
+=
?
?
=
?
. 解得1
1
k t
b tp
=-
?
?
=
?
分别将点P（p,tq），Q（q,tp）代入y＝k2x＋b2，得
22
22
pk b tp
qk b tp
+=
?
?
+=
?
. 解得2
2
k t
b tp tp
=-
?
?
=+
?
所以k1＝k2.
所以AB∥PQ
（3）解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）交y轴于点D，
所以点D的坐标为（0,c）.
因为DM∥x轴，
所以点M的坐标为（x M,c），又因为点M在抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）上.
可得ax M 2＋bx M＋c＝c，即x M（ax M＋b）＝0.
解得x M＝0或x M＝－
b
a
.
因为点M不与点D重合，即x M≠0，也即b≠0，
所以点M的坐标为（－
b
a
,c）