（数学4必修）第三章 三角恒等变换 [基础训练A 组] 一、选择题 1．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．7 24- 2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ） A . 5π B .2 π C .π D .2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判定 4．设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，c = ， 则,,a b c 大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b << 5．函数)cos[2()]y x x ππ= -+是（ ） A .周期为4π的奇函数 B .周期为4 π的偶函数 C .周期为2π的奇函数 D .周期为2 π的偶函数 6．已知cos 2θ= 44sin cos θθ+的值为（ ） A ．1813 B ．1811 C ．9 7 D ．1- 二、填空题 1．求值：0000 tan 20tan 4020tan 40+=_____________。 2．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα += 。 3．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________。
4．已知sin cos 223 θ θ +=那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 。 5．ABC ?的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，cos 2cos 2 B C A ++取得最大值，且这个最大值为 。 三、解答题 1．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值. 2．若,2 2sin sin = +βα求βαcos cos +的取值范围。 3．求值：0 010001cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20 -+-- 4．已知函数.,2 cos 32sin R x x x y ∈+= （1）求y 取最大值时相应的x 的集合； （2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象. （数学4必修）第三章 三角恒等变换 [综合训练B 组] 一、选择题 1．设2132tan131cos50cos6sin 6,,,221tan 13a b c -=-==+则有（ ） A .a b c >> B .a b c << C .a c b << D .b c a <<
高一数学 三角恒等变换 一、考点、热点回顾 1、诱导公试:奇变偶不变,符号瞧象限 2、同角三角函数得基本关系式: 22sin cos 1θθ+=,tan θ=θ θ cos sin ,tan 1cot θθ?= 3、与差角公式: ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ○3β αβ αβαtan tan 1tan an )tan(?±=± t 4、倍角公式: ①θ θθθ2 tan 2cos sin 22sin ==②2222cos2cos sin 2cos 112sin θθθθθ=-=-=- 5、降次升角公式: ○121cos 2sin 2 θ θ-= ○22 2cos 1cos 2θθ+= ○31 sin cos sin 22θθθ= 6、万能公式: ○122tan sin 21tan θ θθ = + ○2 221tan cos21tan θ θθ -= + 7、半角公式:(符号得选择由2 θ 所在得象限确定) ①2cos 12sin θθ-±= ○22cos 12cos θθ+±= ○3sin 1cos tan 2 1cos sin θ θθ θθ -== + 8、辅助角公式: sin cos a b αα±)α?±,(tan b a ?= )、 ), tan )a b αγγ=（、 二、典型例题 1.已知角α得终边过点p(－5,12),则cos α= ,tan α= . 2.若cos θtan θ＞0,则θ就是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一、二象限角 D.第二、三象限角 3.sin 2150°+sin 2135°+2sin210°+cos 2 225°得值就是 ( ) A. 14 B. 34 C. 114 D. 94 4.已知sin(π+α)=－3 5 ,则 ( ) A.cos α= 45 B.tan α= 34 C.cos α= －45 D.sin(π－α)= 3 5
三角恒等变换公式 教学目标： 1、掌握二倍角公式、和差公式的应用； 2、掌握拼凑法在求解角度三角函数值的应用。 重难点分析： 重点：1、和差公式、二倍角公式的记忆； 2、公式变换与求解三角函数值。 难点：1、二倍角公式的灵活使用； 2、整体代换思想与求解三角函数值。 知识点梳理 1、和差公式 sin()__________________±=αβcos()________________±=αβtan()___________ ±=αβ。 2、二倍角公式 sin 2_______________α=； cos 2___________________________________α===； tan 2____________α=。 3、半角公式[升（降）幂公式] 2sin ____________α=、2cos _________α=、sin cos _________αα=。 4、合一公式[辅助角公式] sin cos ____________a b αα+=（?由,a b 具体的值确定）； )sin(cos sin 22?ααα++= +b a b a )sin ,(cos 2 2 2 2 b a a b a b += += ?? 注意：公式中的α是角度代表，可以是α2、2 α 等。
知识点1：利用公式求值 （1）和差公式 【例1】cos79°cos34°＋sin79°sin34°＝【 】 A ．2 1 B ．1 C ． 2 2 D ． 2 3 【例2】sin 27cos63cos27sin63??+??=【 】 A ．1 B ．1- C ． 22 D ．2 2- 【随堂练习】 1、sin15°cos75°＋cos15°sin75°等于【 】 A ．0 B ． 2 1 C ． 2 3 D ．1 2、cos12°cos18°－sin12°sin18°＝【 】 (A )2 1- (B )2 3- (C )2 1- (D ) 2 3 3、sin70°sin25°＋cos70°cos25°=________。 4、sin34sin 26cos34cos26??-??=【 】 A ．12 B ．1 2 - C ．32 D ．32- 5、式子cos cos sin sin 12 6 12 6 π π π π -的值为【 】
三角恒等变换习题详解 一、选择题 1．(文)(2010·山师大附中模考)设函数f (x )＝cos 2(x ＋π4)－sin 2(x ＋π 4)，x ∈R ，则函数f (x ) 是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π 2的奇函数 D ．最小正周期为π 2的偶函数 [答案] A [解析] f (x )＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x 为奇函数，周期T ＝2π 2＝π. 2．(2010·重庆一中)设向量a ＝(cos α，22)的模为3 2 ，则cos2α＝( ) A ．－1 4 B ．－1 2 C.12 D.3 2 [答案] B [解析] ∵|a |2＝cos 2α＋?? ? ?222 ＝cos 2α＋12＝34， ∴cos 2α＝14，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－1 2. 3．已知tan α 2＝3，则cos α＝( ) A.45 B ．－45 C.4 15 D ．－35 [答案] B [解析] cos α＝cos 2α2－sin 2α 2＝cos 2α2－sin 2 α2cos 2α2＋sin 2 α 2 ＝1－tan 2 α 21＋tan 2 α2 ＝1－91＋9＝－4 5 ，故选B. 4．(2010·揭阳市模考)若sin x ＋cos x ＝1 3，x ∈(0，π)，则sin x －cos x 的值为( ) A ．± 17 3 B ．－ 173 C.13 D. 173 [答案] D
[解析] 由sin x ＋cos x ＝13两边平方得，1＋2sin x cos x ＝19，∴sin2x ＝－8 9<0，∴x ∈????π2，π， ∴(sin x －cos x )2＝1－sin2x ＝17 9 且sin x >cos x ， ∴sin x －cos x ＝ 17 3 ，故选D. 5．(文)在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x ，y 的大小关系是( ) A ．x ≤y B ．x ＜y C ．x ≥y D ．x ＞y [答案] D [解析] ∵π>A ＋B ＞π 2，∴cos(A ＋B )＜0，即cos A cos B －sin A sin B ＜0，∴x ＞y ，故应选 D. 6．(2010·吉林省调研)已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin 4x －cos 4x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π 2个单位长度 B ．向左平移π 4个单位长度 C ．向右平移π 2个单位长度 D ．向右平移π 4个单位长度 [答案] D [解析] y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＝－cos2x ， 将f (x )＝a ·b ＝2sin x cos x ＝sin2x ，向右平移π 4个单位得，sin2????x －π4＝sin ????2x －π2＝－sin ??? ?π 2－2x ＝－cos2x ，故选D. 7．(2010·湖北黄冈模拟)若5π2≤α≤7π2，则1＋sin α＋1－sin α等于( ) A ．－2cos α 2 B ．2cos α 2 C ．－2sin α 2 D ．2sin α 2 [答案] C [解析] ∵5π2≤α≤7π2，∴5π4≤α2≤7π 4. ∴1＋sin α＋1－sin α
高一数学必修四三角恒等变换知识点 两角和差公式 ⒉两角和与差的三角函数公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tanα+tanβ (α+β)=—————— 1-tanα·tanβ tanα-tanβ tan(α-β)=—————— 1+tanα·tanβ 倍角公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公 式)sin2α=2sinαcosα cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1- 2sin^2(α)2tanα tan2α=————— 1-tan^2(α) 半角公式 ⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)1-cosα
sin^2(α/2)=————— 2 1+cosα cos^2(α/2)=————— 2 1-cosα tan^2(α/2)=————— 1+cosα 万能公式 ⒌万能公式 2tan(α/2) sinα=—————— 1+tan^2(α/2) 1-tan^2(α/2) cosα=—————— 1+tan^2(α/2) 2tan(α/2) tanα=—————— 1-tan^2(α/2) 和差化积公式 ⒎三角函数的和差化积公式α+βα-βsinα+sinβ=2sin—----·cos—--- 22
α+βα-β sinα-sinβ=2cos—----·sin—---- 22 α+βα-β cosα+cosβ=2cos—-----·cos—----- 22 α+βα-β cosα-cosβ=-2sin—-----·sin—----- 22 积化和差公式 ⒏三角函数的积化和差公式 sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)] 9解三角形 步骤1. 在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。作CH⊥AB垂足为点DCH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到 a/sinA=b/sinB
三角恒等变换单元测试题（含答案） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1、cos 24cos36cos66cos54? ? ? ? -的值为（ ） A 0 B 12 C 2 D 1 2 - 2.3cos 5α=- ，,2παπ?? ∈ ??? ，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ） A 、3365- B 、6365 C 、5665 D 、16 65 - 3. tan 20tan 4020tan 40? ? ? ? ++的值为（ ） A 1 B 3 C D 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ） A 47 - B 47 C 18 D 18- 5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4 cos 5 αβ+=-，则βsin 的值是（ ） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、6365 6.,)4,43(ππ- ∈x 且3cos 45x π?? -=- ??? 则cos2x 的值是（ ） A 、725- B 、2425- C 、2425 D 、7 25 7. 函数4 4 sin cos y x x =+的值域是（ ） A []0,1 B []1,1- C 13,22?????? D 1,12?? ???? 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于 5 4 ,则这个三角形底角的正弦值为（ ）
A 1010 B 1010- C 10103 D 10 103- 9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像（ ） A 、向右平移 6π个单位B 、向右平移12π个单位C 、向左平移6π个单位D 、向左平移12π 个单位 10. 函数sin 22x x y =+的图像的一条对称轴方程是 （ ） A 、x =113 π B 、x = 53π C 、53x π=- D 、3x π =- 11. 已知1cos sin 21cos sin x x x x -+=-++，则x tan 的值为 （ ） A 、34 B 、34- C 、43 D 、4 3- 12.若0,4πα? ? ∈ ?? ?()0,βπ∈且()1tan 2αβ-=,1 tan 7 β=-,则=-βα2 （ ） A 、56π- B 、23π- C 、 712 π- D 、34π- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上） 13. .在ABC ?中，已知tanA ,tanB 是方程2 3720x x -+=的两个实根，则tan C = 14. 已知tan 2x =，则 3sin 22cos 2cos 23sin 2x x x x +-的值为 15. 已知直线12//l l ，A 是12,l l 之间的一定点，并且A 点到12,l l 的距离分别为12,h h ，B 是直线2l 上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ?面积的最小值为 。 16. 关于函数()cos2cos f x x x x =-，下列命题： ①若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ?? - ???? 上是单调递增； ③函数()f x 的图像关于点,012π?? ??? 成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移 512 π 个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）
高中数学必修4第三章三角恒等变换知识点 1、同角关系：⑴商的关系：①sin tan cos y x θθθ= =②cos cot sin x y θθθ==③sin cos tan y r θθθ==?④cos sin cot x r θθθ==?⑵倒数关系：tan cot 1 θθ?=⑶平方关系：22sin cos 1 θθ+=2、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ +=-⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ +=+⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --=+?（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ++=-? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）3、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=2 22)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±?⑵2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα =-=-=-?升幂公式 21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=?降幂公式 2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=⑶22tan tan 21tan α αα =-4、半角公式 1cos cos 22 α α +=±1cos sin 22 αα -=±1cos sin 1cos tan 21cos 1cos sin α αααααα--=± ==++?（后两个不用判断符号，更加好用）
高中数学必修4第三章《三角恒等变换》测试题A 卷 考试时间：100分钟，满分：150分 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）. 1．计算1－°的结果等于 ( ) 2．cos39°cos(－9°)－sin39°sin(－9°)等于 ( ) C ．－12 D ．－3 2 3．已知cos ? ????α－π4＝14，则sin2α的值为 ( ) B ．－78 D ．－3 4 4．若tan α＝3，tan β＝4 3，则tan(α－β)等于 ( ) A ．－3 B ．－1 3 C ．3 5．cos 2 75°＋cos 2 15°＋cos75°·cos15°的值是( ) D ．1＋ 23 6．y ＝cos 2 x －sin 2 x ＋2sin x cos x 的最小值是 ( ) B ．－ 2 C ．2 D ．－2 7．已知sin ? ????α－π3＝13，则cos ? ????π6＋α的值为 ( ) B ．－1 3 D ．－233 等于 ( ) C ．2 9．把12[sin2θ＋cos(π3－2θ)]－sin π12cos(π 12＋2θ)化简，可得 ( ) A ．sin2θ B ．－sin2θ C ．cos2θ D ．－cos2θ 10．已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)·tan α的值为 ( ) A ．±4 B ．4 C ．－4 D ．1 二、填空题（每小题6分，共计24分）. 11．(1＋tan17°)(1＋tan28°)＝________. 12．化简3tan12°－3 sin12°·4cos 2 12°－2 的结果为________． 13．若α、β为锐角，且cos α＝110，sin β＝2 5 ，则α＋β＝______. 14．函数f (x )＝sin ? ????2x －π4－22sin 2 x 的最小正周期是________．
第三章 三角恒等变换 一、选择题 1．函数y ＝sin ＋cos ??? ? ? 2π ＜ ＜ 0α的值域为( )． A ．(0，1) B ．(－1，1) C ．(1，2] D ．(－1，2) 2．若0＜＜＜4π ，sin ＋cos ＝a ，sin ＋cos ＝b ，则( )． A ．a ＜b B ．a ＞b C ．ab ＜1 D ．ab ＞2 3．若θθtan ＋2tan 1－＝1，则θθ 2sin ＋12cos 的值为( )． A ．3 B ．－3 C ．－2 D ．－ 2 1 4．已知 ∈??? ? ?2π3 ，π，并且sin ＝－ 2524，则tan 2α等于( )． A ．34 B ．43 C ．－43 D ．－ 3 4 5．已知tan(＋)＝3，tan(－)＝5，则tan 2＝( )． A ．－ 4 7 B ． 4 7 C ．－ 7 4 D ． 7 4 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＞sin A sin B ，则该三角形是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．锐角或直角三角形 7．若0＜＜2π＜＜，且cos ＝－31，sin(＋)＝97 ，则sin 的值是( )． A ． 271 B ． 27 5 C ．3 1 D ． 27 23 8．若cos(＋)·cos(－)＝31 ，则cos 2 －sin 2 的值是( )． A ．－ 3 2 B ．3 1 C ．－3 1 D ． 3 2 9．锐角三角形的内角A ，B 满足tan A －A 2sin 1 ＝tan B ，则有( )． A ．sin 2A －cos B ＝0 B ．sin 2A ＋cos B ＝0 C ．sin 2A －sin B ＝0 D ．sin 2A ＋sin B ＝0 10．函数f (x )＝sin 2??? ??4π＋x －sin 2??? ? ?4π－x 是( )． A ．周期为 的偶函数 B ．周期为的奇函数
高一数学三角恒等变换 复习题 Revised by Petrel at 2021
高一数学复习——三角恒等变换 班级 姓名 一、复习要点： 1．熟记以下公式： 等之间的差异及联系。 二、例题分析 1．ABC ?中，2cos sin sin 2 A C B =，试判断ABC ?的形状。 2．若31 )2cos 1)(2cos 1(,21)(cos )(cos 22=++=+--βαβαβα，求βαtan tan 。 3．化简)3 (cos )3(cos cos 222π απαα++-+。 4．已知02≤<<<αβγπ，0sin sin sin ,0cos cos cos =++=++γβαγβα，求 βα-。 5．已知βα,为锐角，且1sin 2sin 322=+βα，βα2sin 22sin 3=,求βα2+的值。 6．已知γβα,,为锐角，2 tan 2 tan 3 γ α =，γβtan tan 2=，求证：γβα,,成等差数列。 7．已知 )cos(sin sin βαα β +=，其中βα,为锐角，求βtan 的最大值。 8．求关于x 的函数)cos )(sin (x a x a y ++=（0>a ）的最大值与最小值。 9．已知函数2 0,22sin 2cos )(2π ≤ ≤--+=x m x m x x f ，求：
（1）)(x f 的最大值)(m g ；（2）求)(m g 的最小值。 三、巩固练习 1．锐角三角形ABC 中，有 （ ） （A ）sin A >cos B （B ）sin A >sin B （C ）sin A
3.2 简单的三角恒等变换 一、课标要求： 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用． 二、编写意图与特色 本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 三、教学目标 通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 四、教学重点与难点 教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 五、学法与教学用具 学法：讲授式教学 六、教学设想： 学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容． 例1、试以表示． cos α222sin ,cos ,tan 222α α α
解：我们可以通过二倍角和来做此题． 因为，可以得到； 因为，可以得到．又因为． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例２、求证： （1）、； （2）、． 证明：（1）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手． ；． 两式相加得； 即； （2）由（1）得①；设， 2cos 2cos 12 α α=-2cos 12sin 2αα=-2cos 12sin 2αα=-21cos sin 22 αα-=2cos 2cos 12α α=-21cos cos 22α α+= 222 sin 1cos 2tan 21cos cos 2α α ααα-==+()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-????sin sin 2sin cos 22θ? θ? θ?+-+=()sin αβ+()sin αβ-()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-()()1sin cos sin sin 2 αβαβαβ=++-????()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=,αβθαβ?+=-=
简单的三角恒等变换 本次课课堂教学内容 1．常用的公式变形 (1)由(sin α±cos α)2＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝1±sin 2α. (2)由(sin α±cos α)2＝1±sin 2α ??? ? 1＋sin 2α＝|sin α＋cos α|，1－sin 2α＝|sin α－cos α|. (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)； cos 2α＝ 1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α 2 . (4)sin α±cos α＝2sin ????α±π 4. 2．几个常用的恒等变换 (1)万能代换：sin α＝2tan α21＋tan 2α2；cos α＝1－tan 2α21＋tan 2α2；tan α＝2tan α2 1－tan 2 α 2. (2)恒等式：tan α2＝sin α 1＋cos α＝1－cos αsin α. [小题体验] 1．计算：cos 2π8－1 2＝________. 2．已知sin ????x ＋π4＝35，sin ????x －π4＝4 5 ，则tan x ＝________.
1．在三角函数式化简时，要结合三角函数的性质进行考虑，易出现符号的差错． 2．三角恒等变换时，选择合适的公式会简化化简过程．易出现公式的不合理使用． 1．已知x ?????0，π4，且sin 2x ＝1 3，则sin x －cos x ＝________. 2．已知sin α2－cos α2＝－5 5，450°＜α＜540°，则tan α2 ＝________. 考点一 三角函数式的化简 [题组练透] 1．化简：sin 2α－2cos 2α sin ????α－π4＝________. 2．化简： 1＋sin θ＋cos θ ·????sin θ2 －cos θ 22＋2cos θ (0＜θ＜π)． [谨记通法] 1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则
高中数学：三角恒等变换知识点 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= - ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2.二倍角的正弦、余弦和正切公式： 《1》 sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ?升幂公式2 sin 2cos 1,2cos 2cos 12 2 α αα α=-=+ ?降幂公式2cos 21cos 2αα+= ，21cos 2sin 2α α-=． ⑶2 2tan tan 21tan α αα = -． 3. ?（后两个不用判断符号，更加好用） 4.合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(??形式。 辅助角公式： ()sin cos ααα?A +B =+，其中tan ?B = A ． 5.三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方 αααααα ααα半角公式cos 1sin cos 1cos 12tan 2cos 12sin ;2cos 12cos :-==+-±=-± =+±=2 tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin : 2 22α ααααα万能公式+-=+=
三角恒等变换 B 组 一、选择题 1．设212tan13cos6sin 6,,221tan 13a b c =-==+o o o o 则有（ ） A.a b c >> B.a b c << C.a c b << D.b c a << 2．函数221tan 21tan 2x y x -=+的最小正周期是( ) A ．4π B ．2 π C ．π D ．2π 3．sin163sin 223sin 253sin313+=o o o o （ ） A ．12- B ．12 C ．4．已知3sin( ),45 x π-=则sin 2x 的值为（ ） A.1925 B.1625 C.1425 D.725 5．若(0,)απ∈，且1cos sin 3αα+=-，则cos2α=( ) A ．917 B ． C ． D ．317 6．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2 π C ．π D ．2π 二、填空题 1．已知在ABC ?中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1,A B B A +=+=则角C 的大小为 ． 2．计算：o o o o o o 80cos 15cos 25sin 10sin 15sin 65sin －＋的值为_______． 3．函数22sin cos()336 x x y π=++的图象中相邻两对称轴的距离是 ． 4．函数)(2cos 2 1cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 ． 5．已知)sin()(?ω+=x A x f 在同一个周期内，当3π=x 时，)(x f 取得最大值为2，当
0=x 时，)(x f 取得最小值为2-，则函数)(x f 的一个表达式为______________． 三、解答题 1. 求值：（1）000078sin 66sin 42sin 6sin ； （2）00020250cos 20sin 50cos 20sin ++。 2．已知4A B π+= ，求证：(1tan )(1tan )2A B ++= 3．求值：94cos log 92cos log 9cos log 222πππ++。 4．已知函数2()(cos sin cos )f x a x x x b =++ （1）当0a >时，求()f x 的单调递增区间； （2）当0a <且[0, ]2x π∈时，()f x 的值域是[3,4],求,a b 的值.
第三章 三角恒等变换 一、选择题 1．函数y ＝sin ＋cos ??? ? ? 2π ＜ ＜ 0α的值域为( )． A ．(0，1) B ．(－1，1) C ．(1，2] D ．(－1，2) 2．若0＜＜＜4 π ，sin ＋cos ＝a ，sin ＋cos ＝b ，则( )． A ．a ＜b B ．a ＞b C ．ab ＜1 D ．ab ＞2 3．若θθtan ＋2tan 1－＝1，则θθ 2sin ＋12cos 的值为( )． A ．3 B ．－3 C ．－2 D ．－ 2 1 4．已知 ∈??? ? ?2π3 ，π，并且sin ＝－ 2524，则tan 2α等于( )． A ． 3 4 B ．43 C ．－43 D ．－3 4 — 5．已知tan(＋)＝3，tan(－)＝5，则tan 2＝( )． A ．－ 4 7 B ． 4 7 C ．－ 7 4 D ． 7 4 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＞sin A sin B ，则该三角形是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．锐角或直角三角形 7．若0＜＜2π＜＜，且cos ＝－31，sin(＋)＝97 ，则sin 的值是( )． A ． 271 B ． 27 5 C ．3 1 D ． 27 23 8．若cos(＋)·cos(－)＝31 ，则cos 2 －sin 2 的值是( )． A ．－ 3 2 B ．31 C ．－31 D ． 3 2 9．锐角三角形的内角A ，B 满足tan A － A 2sin 1 ＝tan B ，则有( )． > A ．sin 2A －cos B ＝0 B ．sin 2A ＋cos B ＝0 C ．sin 2A －sin B ＝0 D ．sin 2A ＋sin B ＝0
[高一数学必修三角恒等变换函数公式总结]高一 数学必修4公式 三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果.化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值;(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少;(3)分式中的分母尽量不含根式等. 1.求值中主要有三类求值问题： (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看 是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时， 要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角 的三角函数而得解. (2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些 角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种 关系. (3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单 调区间求得角. 2.三角恒等变换的常用方法、技巧和原则： (1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等. (2)常用的拆角、拼角技巧如：2α=(α+β)+(α-β)， α=(α+β)-β，α=(α-β)+β，α+β2=α-β2+β-α2，α2是 α4的二倍角等.
(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数 为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式. (4)消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及 各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异. 抓好基础是关键 数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是判断题目类型、知识范围的前提， 是正确把握解题方法的依据。只有概念清楚，方法全面，遇到题目时，就能很快的得到解题方法，或者面对一个新的习题，就能联想 到我们平时做过的习题的方法，达到迅速解答。弄清基本定理是正确、快速解答习题的前提条件，特别是在立体几何等章节的复习中，对基本定理熟悉和灵活掌握能使习题解答条理清楚、逻辑推理严密。反之，会使解题速度慢，逻辑混乱、叙述不清。 严防题海战术 做习题是为了巩固知识、提高应变能力、思维能力、计算能力。学数学要做一定量的习题，但学数学并不等于做题，在各种考试题中，有相当的习题是靠简单的知识点的堆积，利用公理化知识体系 的演绎而就能解决的，这些习题是要通过做一定量的习题达到对解 题方法的展移而实现的，但，随着高考的改革，高考已把考查的重 点放在创造型、能力型的考查上。因此要精做习题，注意知识的理 解和灵活应用，当你做完一道习题后不访自问：本题考查了什么知 识点?什么方法?我们从中得到了解题的什么方法?这一类习题中有什 么解题的通性?实现问题的完全解决我应用了怎样的解题策略?只有 这样才会培养自己的悟性与创造性，开发其创造力。也将在遇到即 将来临的期末考试和未来的高考题目中那些综合性强的题目时可以 有一个科学的方法解决它。 归纳数学大思维 数学学习其主要的目的是为了培养我们的创造性，培养我们处理事情、解决问题的能力，因此，对处理数学问题时的大策略、大思
高中数学三角恒等变换精选题目（附答案） 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸ ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹ ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ ++= - ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-． 三、辅助角公式： () sin cos α+=+a x b x x ，
cos sin ???= = 其中由决定 四、三角变换方法： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角， 可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α 的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④()4 24 ππ π αα+= --； ⑤2()()( )()44 π π ααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角 函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 （3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三 角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 2 21sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般 采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式 αcos 1+常用升幂化为有理式。 （5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名，高次降 低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。 练习: 1．求． 2．， 3 ． 4．设 为钝角，且 ． 6． 一元二次方程 的两根为， 求 的