单调性与最大最小值
一、学习任务分析
（与旧知识的联系）在“函数的单调性与最大最小值”之前，学生已经学过函数的定义及三种表示方法；并且在初中就已经学过一次函数、反比例函数、二次函数等初等函数。
（教材的地位与作用）函数的单调性与最大最小值在研究函数性质上有着重要的作业，并且在研究不等式、数列性质等其它数学内容时也起着重要作用。可见，这节内容不管在函数内部还是外部都有着重要的地位。
（本节课主要内容）函数单调性与最大最小值主要研究在定义域内应变量y随着自变量x变化如何变化。
二、学情分析
学生在初中阶段已经学过一次函数、二次函数、反比例函数等初等函数；在本节课之前也学过函数的定义及三种表示方法，对函数已有初步的了解，也具备了一些基本的函数知识。
三、教学重难点
教学重点：函数单调性概念理解、最大值最小值的求解
教学难点：函数单调性概念的形成、如何求最大值最小值
四、教学目标
知识与技能：理解单调区间、单调性、增函数、减函数这四个概念；掌握函数单调性及最大最小值的解法。
过程与方法：能观察图像概括出单调性与最大最小值的定义，培
养观察和探索能力。
情感、态度、价值观：通过开放探究的方式张扬学生个性、培养学生乐于探究、科学严谨的态度与作风。
五、教学过程
1、回顾旧知，引出课题
上节课我们学习了函数的定义和它的三种表示方法，下面请同学们来说一说有那三种表示方法？（预计学生反应：一起说出：列表法、解析式法、图像法）那么，这节课我们就针对图像法，对函数图像展开研究。
设计意图：回顾旧知识，顺理成章地引出课题，不会显得太突兀。
问题1、观察这三个图像，说说它们有哪些变化规律？（学生可能的反应：第一幅从左到右呈上升趋势且关于原点对称；第二份从左到右有时上升有时下降；第三幅从左到右也是有时上升有时下降，并且关于y轴对称）设计意图：引导学生从形到数对函数单调性进行初步认识。
函数中这种上升下降增减变化我们就称它为函数的单调性。
2、函数单调性定义
问题2、我们来看两个很熟悉的函数f1(x)=x和f2(x)=x2
从图像中我们可以看到f1(x)=x在定义域内是一直（停顿，生答：“上升”），这样的函数我们就称它在该区间是递增的；同样如果f(x)在某个区间内下降我们就称它在该区间内（停顿，生答：“递减”）。下面请同学来说说f2(x)=x2 这个函数的增减性。（叫学生回答）
设计意图：让学生根据直观感受理解函数单调性，为之后理解数学严格定义做铺垫。
下面，我们给出数学上的严格定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 、x2，当x1 函数f(x)在区间D上是增函数。那么请大家模仿增函数的定义给出减函数的数学严格定义。（叫学生回答） 设计意图：让学生模仿写出减函数定义可以加深学生对单调性的理解。 如果函数y=f(x)字区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。 3、例题讲解 （这题简单，由学生自己做，叫学生回答） （这题较难，由教师在黑板上板书讲解，强调严格按照定义来证明）设计意图：通过例题加深学生对单调性定义的理解并逐渐学会应用。 4、函数最大最小值定义 我们再回到y=x2这个图像，可以看到该图像有个最低点（0,0）。对于（0,0）这个点来说，函数上其它任意一个点的值都比它大。即对任意的R x∈都有)0( x f≥，所以我们就称f(0)为 (f ) 最小值。下面我们来给出定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的I x∈，都有m (;(2)存在 x ) f≥ ，使得f(x0)=m，那么我们就称m是函数y=f(x)的最小值。同样，I x∈ 请大家模仿最小值的定义给出最大值的定义。（叫学生回答） 设计意图：让学生模仿写出最大值的定义可以加深学生对最值的理解。 5、例题讲解 （由教师板书，强调步骤格式） （由学生做，之后老师叫一个学生回答，并要求讲出详细过程） 6、练习巩固 A ②2/3、1/2 ③ 7、小结 函数单调性 函数最大最小值（定义、应用） 六、板书设计 增函数 减函数 标题：函数单调性与最大最小值 增函数定义和图像 减函数定义和图像 最小值定义 最大值定义 例题讲解 练习巩固题 函数的基本性质——单调性与最大(小)值 【教学目标】 1．知识与技能：了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思 2．过程与方法：理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间 3．情感、态度与价值观：掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性 【教学重难点】 教学重点：函数的单调性的概念。 教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性 【教学过程】 一、复习引入。 1 分别画函数2x y =和3x y =的图象。2 x y =的图象如图1，3x y =的图象如图2． 2．引入：从函数2x y = 的图象（图1）看到： 图象在y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x 在区间[0，+∞）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值也随着增大，即如果取21,x x ∈[0，+∞），得到1y =)(1x f ，2y =)(2x f ，那么当 1x ＜2x 时，有1y ＜2y 。 这时我们就说函数y =)(x f =2x 在[0，+∞）上是增函数。图象在y 侧部分是下降的，也就是说，当x 在区间（－∞，0）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值反而随着减小，即如果取21,x x ∈（－∞，0），得到1y =)(1x f ， 2y =)(2x f ，那么当1x ＜2x 时，有1y >2y 。 这时我们就说函数y =)(x f =2x 在（－∞，0）上是减函数。函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的。 二、讲解新课。 1．增函数与减函数。 定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值 21,x x ，（1）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f ＜)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是 增函数（如图3）；（2）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f >)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）。 说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数。例如函数2 x y =（图1），当x ∈[0，+∞）时是增 函数，当x ∈（－∞，0）时是减函数。 2．单调性与单调区间。 若函数y=f （x ）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 说明：（1）函数的单调区间是其定义域的子集； （2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 那样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ， （3）除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f ＜)(2x f 或)(1x f >)(2x f ，”改为“)(1x f )(2x f 或) (1x f ≥ )(2x f ，”即可； （4）定义的内涵与外延： 内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况； 外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减。 ②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数。 三、讲解例题。 函数的单调性与最值 1.下列函数中，在区间（-1，1）为减函数的是（ ） A ．x y -=11 B ．x y cos = C ．)1ln(+=x y D ．x y -=2 2.函数)82ln()(2--=x x x f 的单调递增区间是（ ） A ．)2,(--∞ B ．)1,(-∞ C ．),1(+∞ D ．),4(+∞ 3.若函数m x x x f +-=2)(2在),3[+∞上的最小值为1，则实数m 的值为（ ） A ．-3 B ．-2 C ．-1 D ．1 4函数x x x f -=1)(的单调递增区间是（ ） A ．)1,(-∞ B ．),1(+∞ C ．)1,(-∞，),1(+∞ D ．)1,(--∞，),1(+∞ 5设函数)1()(,0,10,00,1)(2-=?? ???<-=>=x f x x g x x x x f ，则函数g (x)的单调递减区间是（ ） A ．]0,(-∞ B ．)1,0[ C ．),1[+∞ D ．]0,1[- 6.若函数R x x a x x f ∈++=,2)(2在区间),3[+∞和]1,2[--上均为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]3,311[-- B ．]4,6[-- C ．]22,3[-- D ．]3,4[-- 7.函数],(,1 2n m x x x y ∈+-=的最小值为0，则m 的取值范围是（ ） A ．)2,1( B ．)2,1(- C ．)2,1[ D ．)2,1[- 8.已知函数a ax x x f +-=2)(2在区间)1,(-∞上有最小值，则函数x x f x g )()(=在区间),1(+∞上一定（ ）A ．有最小值 B ．有最大值 C ．是减函数 D ．是增函数 9.若函数2)(2-+=x a x x f 在),0(+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 10.已知函数f (x)的值域为]9 4,83[，则函数)(21)()(x f x f x g -+=的值域为 1.已知函数)1(log 2-=ax y 在)2,1(上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．]1,0( B ．]2,1[ C ．+∞,1[) D ．+∞,2[) 第2课时 函数的最大值、最小值 知识点 函数的最大值与最小值 最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y ＝x 2(x ∈R )的最大值是0，有f(0)＝0. [小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值．( ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( ) 答案：(1)× (2)× 2．函数f (x )＝1 x 在[1，＋∞)上( ) A ．有最大值无最小值 B ．有最小值无最大值 C ．有最大值也有最小值 D ．无最大值也无最小值 解析：函数f (x )＝1 x 是反比例函数，当x ∈(0，＋∞)时，函数图象下降，所以在[1，＋∞)上f (x )为减函数，f (1)为f (x )在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．故选A. 答案：A 3．函数f (x )＝－2x ＋1(x ∈[－2,2])的最小、最大值分别为( ) A ．3,5 B ．－3,5 C ．1,5 D ．－5,3 解析：因为f (x )＝－2x ＋1(x ∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x ＝2时，函数的最小值为－3.当x ＝－2时，函数的最大值为5. 答案：B 4．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是() A．f(－2)，0 B．0,2 C．f(－2)，2 D．f(2)，2 解析：由图象知点(1,2)是最高点，故y max＝2.点(－2，f(－2))是最低点，故y min＝f(－2)． 答案：C 类型一图象法求函数的最值 例1如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间． 【解析】观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)， 所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3. 当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2. 函数的单调递增区间为[－1.5,3)，[5,6)， 单调递减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]． 观察函数图象，最高点坐标(3,3)，最低点(－1.5，－2)． 方法归纳 图象法求最值的一般步骤 《函数单调性与最值第一课时》教学设计 二、教学内容解析 (1)教学内容的内涵、数学思想方法、教学重点。 本节课选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》第一章第1.3节第一课时。 教材研究的函数的单调性是严格单调，是研究“函数值y随自变量值x的增大而增大(或减 小)”的性质。这一性质的直观反映了函数从左向右是持续上升还是持续下降的；它反映了的是函数图像的变化趋势。函数的单调性不同于函数的奇偶性，单调性研究的是函数的局部性质，而奇偶性研究的是函数的整体对称性。 函数单调性的研究过程体现了一些重要的数学思想方法： 1?“数形结合”的思想：先借助函数图像直观观察，再借助表格列举计算分析归纳发现增减函数的数字特征，再进一步用符号语言刻画。 2.从特殊到一般的思想：先通过学生比较熟悉的一次函数，二次函数的探究发现“函数值y 随自变量值x的增大而增大(或减小)”的一般规律，再用符号语言抽象出函数单调性的定义。 3?类比的方法：得出增函数的定义后只需要类比探究就可以得出减函数的定义。 4?体现了研究概念(定义)问题的一般思路：经历情景化一去情景化一情境再现 经历情景化：先通过生活实例让学生体会到单调性在实际生活中的背景。 去情境化：通过两个具体函数的探究发现“函数值y随自变量值x的增大而增大(或减小)” 这一现象，再通过探究分析这一现象的本质，从而抽象出函数单调性的定义。 情境再现：禾U用定义去分析问题、解决问题。 同时这一研究过程也体现了“发现问题”一“提出问题”一“分析问题”一“解决问题”这一研究问题的一般思路。 教学重点是：通过活动探究引导学生发现如何用符号化的语言：在定义域I的某个区间D上 任意取的两个数X i,X2，当X2时，都有f (X i) ::：f(X2)(或f(X i) ?f(X2))则称函数为区间 D上的增函数(或减函数)来刻画“函数值y随自变量值X的增大而增大(或减小)”这一特征。 (2)教学内容的知识类型。 1?概念性知识：函数单调性的定义。 2?程序性知识：根据函数图像找函数的单调性区间、判断函数的单调性。 3.元认知知识：“发现问题”一“提出问题”一“分析问题”一“解决问题”这一研究问题的一般思路；从特殊到一般；类比研究的思想均属于元认知知识。 (3)教学内容的上位知识与下位知识。 1.上位知识：文字语言、图形语言、符号语言、函数的表示方法 (图像法、列表法、解析法)、研究函数的 基本方法是我们学习函数单调性的上位知识。 2?下位知识：单调性的证明、根据单调性画函数图像、函数的最值、禾U用单调性比大小是函数单调性的下位知识。 (4)思维教学资源和价值观教学资源。 本节课引入例子摘取自生活实例，再结合天气预报引发学生建立函数模型去观察图像变化趋势从而激发学生观察发现思维；再从学生熟悉的“一次函数、二次函数”入手探究发现函数变化趋势的本质从而抽象定义，既能激发 学生从“特殊到一般”从“感性到理性”的思想，也能培养学生“数学抽象”这一素养。 三、教学目标设置 1?通过学生画出两个特殊的一次函数、二次函数的图像能直观地判断函数的变化趋势，并能用文字语言描述 一、函数的单调性 1.增函数和减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，，当时，都有f() （2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的，有以下几个特征：一是任意性，，即“任意取，”，“任意”两字不能丢；二是有大小，通常规定；三是属于同一单调区间（3）单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值得不等关系正逆互推，即由f(x)是增函数且f（）< （4）有的函数不具有单调性，如函数y=，它的定义域为R，但不具有单调性，函数y=x+1,x∈Z它的定义域不是区间，也不能说它在其定义域上具有单调性 （5）如果函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B 上都是增（减）函数，一般不能认为f（x）在A∪B上是增（减）函数，例如f(x)=在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是减函数，但是不能说其在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数，在这里，正确的写法应为：“（-∞，0），（0，+∞）”或“（-∞，0）和（0，+∞）” （6）图像特征：在某区间上，单调递增的函数f(x)，从左向右看，其图像时上升的，单调递减的函数f(x)，从左向右看，其图像时下降的 （7）函数在某一点处的单调性无意义 1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析： (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点； 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质． 函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质． 函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画． 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位． 教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）． (2)教学内容的知识类型； 在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识； 在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源； 生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+，能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置： 本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下： (1)知识与技能： 理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念； 能利用图象法直观判断函数的单调性； 函数的单调性 学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应 用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和 单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 【学习导航】 知识网络 学习要求 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价 观察函数x x f =)(，2 )(x x f =的图象 从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的， 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，2)(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的. (2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2 )(x x f =在]0,(-∞ 上，f （x ）随着x 的增大而_______;2 )(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________. 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时 函数的单调性 单调性的定义 定义法证明函数的单调性 增函数 减函数 单调区间 x y 0 x y 0 x x f =)( 2)(x x f = 函数的单调性与最值 【知识要点】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 (2)单调区间的定义 如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝ f (x )的单调区间． （3）判断函数单调性的方法 ①根据定义；②根据图象；③利用已知函数的增减性；④利用导数；⑤复合函数单调性判定方法。 2．函数的最值 求函数最值的方法： ①若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法； ②利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用单调性求最值； ③基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法。 【复习回顾】 一次函数(0)y kx b k =+≠具有下列性质： (1)当0k >时，函数y 随x 的增大而增大 (2)当0k <时，函数y 随x 的增大而减小 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质： (1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时， y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a - 时，y 随着x 的增大而增大； (2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时， y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小； 提出问题: ①如图所示为一次函数y=x ，二次函数y=x 2和y=-x 2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律? ①这些函数走势是什么？在什么范围上升，在什么区间下降？ ②如何理解图象是上升的？如何用自变量的大小关系与函数值的大小关系表示函数的增减性？ ③定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1 第三节函数的单调性与最值 [知识能否忆起] 一、函数的单调性 1．单调函数的定义 图象描述 自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐下降 2．单调区间的定义 若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 二、函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论 M 为最大值 M 为最小值 [小题能否全取] 1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1 x D ．y ＝x |x | 解析：选D 由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x |x |的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D. 2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12 B ．k <12 C ．k >－1 2 D ．k <－1 2 解析：选D 函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 是减函数， 则2k ＋1<0，即k <－1 2 . 3．(教材习题改编)函数f (x )＝1 1－x 1－x 的最大值是( ) A.4 5 B.54 C.3 4 D.43 解析：选D ∵1－x (1－x )＝x 2 －x ＋1＝? ????x －122＋34≥34 ，∴0<11－x 1－x ≤43. 4．(教材习题改编)f (x )＝x 2 －2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8 5．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1 2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1 3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1 示范教案（1.3.1 单调性与最大（小）值 第2课时） 导入新课 思路1.某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m 2的矩形新厂址,新厂址的长为x m ，则宽为x 10000m ，所建围墙ym ，假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y 最短? 学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y=2(x+ x 10000),x>0的最小值.引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的.那么什么是函数的最值呢?这就是我们今天学习的课题.用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题. 思路 2.画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ①f(x)=-x+3；②f(x)=-x+3,x ∈［-1,2］； ③f(x)=x 2+2x+1;④f(x)=x 2+2x+1,x ∈［-2,2］. 学生回答后，教师引出课题：函数的最值. 推进新课 新知探究 提出问题 ①如图1-3-1-11所示，是函数y=-x 2-2x 、y=-2x+1,x ∈［-1,+∞)、y=f(x)的图象.观察这三个图象的共同特征. 图1-3-1-11 ②函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有什么关系？ ③你是怎样理解函数图象最高点的? ④问题1中，在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y)，如图1-3-1-12所示，设点C 的坐标为(x 0,y 0)，谁能用数学符号解释：函数y=f(x)的图象有最高点C ？ 图1-3-1-12 ⑤在数学中，形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C 的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义？ ⑥函数最大值的定义中f(x)≤M 即f(x)≤f(x 0)，这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？ ⑦函数最大值的几何意义是什么？ 2．2函数的单调性与最大(小)值 1．函数的单调性 (1)增函数与减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I： ①如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是． ②如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是． (2)单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ，区间D 叫做y＝f(x)的． 2．函数的最值 (1)最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①对于任意的x∈I，都有； ②存在x0∈I，使得． 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． (2)最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足： ①对于任意的x∈I，都有； ②存在x0∈I，使得． 那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 自查自纠 1．(1)①任意两个增函数 ②任意两个减函数 (2)单调性单调区间 2．(1)①f(x)≤M②f(x0)＝M (2)①f(x)≥N②f(x0)＝N (教材习题改编)函数f(x)＝－3x＋2在区间[－1，2]上的最大值为() A．5 B．2 C．－4 D．－1 解：f(x)单调递减，故f(x)max＝f(－1)＝5.故选A. (2016·北京)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是() A．y＝1 1－x B．y＝cos x C ．y ＝ln(x ＋1) D ．y ＝2－ x 解：选项A 中函数y ＝11－x ＝－1x －1 在区间(－1，1)上是增函数；选项B 中函数y ＝cos x 在区间(－1，0)上是增函数，在区间(0，1)上是减函数；选项C 中函数y ＝ln(x ＋1)在区间(－1，1)上是增函数；选项D 中函数y ＝ 2－x ＝????12x 在区间(－1，1)上是减函数．故选D . (2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是() A ．(－∞，－2) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞) 解：函数有意义，则x 2－2x －8>0，解得x <－2或x >4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为(4，＋∞)．故选D . (2016·北京)函数f (x )＝x x －1 (x ≥2)的最大值为________． 解：易得f (x )＝x x －1＝1＋1x －1 ，当x ≥2时，x －1>0，易知f (x )在[2，＋∞)是减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2.故填2. 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1，2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________． 解：函数的对称轴为直线x ＝a ，因此要使函数f (x )在区间[1，2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2.故填(－∞，1]∪[2，＋∞)． 类型一确定函数的单调性与单调区间 (1)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为() A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．[1，＋∞) 解：设t (x )＝x 2－2x －3，由t (x )≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t (x )＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t (x )在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．故选B . (2)判断函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(0，＋∞)上的单调性． 解法一：设0 第05讲-函数的单调性与最值 一、考情分析 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 二、知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当 Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称 函数y＝f(x)在区间M上是增 函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y ＝f(x)在区间M上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)上是增函数或是减函数， 性，区间M称为单调区间. 2.函数的最值 前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论M为最大值M为最小值 [方法技巧] 1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值). 2.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1 f （x ） 的单调性相反. 3.“对勾函数”y ＝x ＋a x (a >0)的增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ]. 三、 经典例题 考点一 确定函数的单调性(区间) 【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a ，b]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( ) A ． ()()1212 f x f x x x -->0 B ．f(a) ? ?同步测控? ? 1. 函数 f(x)= 2x 2- mx + 3,当 x € [ — 2,+^ )时，f(x)为增函数，当 x € ( — ^，― 2]时， 函数f(x)为减函数，贝U m 等于( ) A . — 4 B .— 8 C . 8 D .无法确定 解析：选B ?二次函数在对称轴的两侧的单调性相反. 由题意得函数的对称轴为 x =— 2, 则m =— 2,所以 m = — 8. 2. 函数f(x)在R 上是增函数，若 a + b w 0,则有( ) A . f(a) + f(b)<— f(a)— f(b) B. f(a)+ f(b)>— f(a)— f(b) C. f(a) + f(b) w f( — a) + f( — b) D. f(a) + f(b)>f(— a)+ f( — b) 解析：选C.应用增函数的性质判断. a + b w 0,.°. a w — b , b w — a. 又???函数f(x)在 R 上是增函数， ??? f(a)w f(— b), f(b)w f(— a). f(a) + f(b) w f(— a) + f (— b). m , 0)上为减函数的是( ) A .① B .④ C .①④ D .①②④ 解 析： 选A.①丫=亠=红灶=1 +丄. x — 1 x — 1 x — 1 其减区间为(一a, 1), (1 , + m ). 11 1 ② y = x 2 + x = (x + 2)— 4,减区间为(一a,— 2). ③ y =— (x + 1)2，其减区间为(一1 ,+a ), ④ 与①相比，可知为增函数. 4.若函数f(x) = 4x 2— kx — 8在［5,8］上是单调函数，则 k 的取值范围是 ________ . 解析：对称轴x = k ，则k w 5,或8，得k w 40,或k >64,即对称轴不能处于区间内. 8 8 8 答案：( — a, 40］ U ［64 ,+a ) ?少谍时训缘*? 1 .函数y =— x 2的单调减区间是( ) A . ［0,+a ) B . (— a, 0］ C . ( —a, 0) D . (— a,+a ) 解析：选A.根据y = — x 2的图象可得. 2.若函数f(x)定义在［—1,3］上，且满足f(0) 《函数的单调性与最大（小）值》教学设计 ⑴通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； ⑵学会运用函数图象理解和研究函数的性质； ⑶够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． ⑷理解函数的最大（小）值及其几何意义； 函数的单调性及其几何意义．函数的最大（小）值及其几何意义． 利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．利用函数的单 并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： ①随x 的增大，y 的值有什么变化？②能否看出函数的最大（小）值？③函数图象是否具有某种对称性？ ⑵画出下列函数的图象，观察其变化规律： ①f(x) = x ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 大，f(x)的值随着 ________ ． ②f(x) = -2x+1 ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． ③f(x) = x 2 ○ 1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． ○ 2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． ⑴设函数)(x f y =的定义域是Ｉ，区间I D ?，D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f < 成立，则称)(x f 在区间D 上是增函数．．．，如图⑴ ⑵设函数)(x f y =的定义域是Ｉ，区间I D ?，D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f >成立，则称)(x f 在区间D 上是减函数．．． ，如图⑵ ①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D 内的任意．．两个自变量x 1，x 2；当x 1函数的基本性质——单调性与最大(小)值
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