最新整体分析及总体刚度矩阵的性质讲解学习

F 6 e
5 6
• 据节点力平衡，各个单元相 应节点力叠加：
Fie Ri i=1,...6
e
• 整理可得，整体平衡方程： KR
整体刚度矩阵的形式
整体平衡方程：
KR
1）其中[K]为将各单元的扩大矩阵迭加所得出的结构刚度矩
阵：
K K ( 1 ) K ( 2 ) K ( 3 ) K ( 4 ) K ( e )
是二行二列矩阵。整体刚度矩阵[K]是12*12阶矩阵。
整体分析
2、根据支承条件修改整体刚度矩阵。 建立整体刚度矩阵时，每个节点的位移当作未知量看待，没有
考虑具体的支承情况，因此进行整体分析时还要针对支承条件加以 处理。
在上图的结构中，支承条件共有四个，即在节点1、4、6的四
个支杆处相应位移已知为零：u 1 0 ， u 4 0 ， v 4 0 ， v 6 0
总码 1
2
3
4
5
6
方程为（或节点力表
1
达式）：
j2 2 3
m2 4 5
i2 6
[K
](2)
jj
[K
jm
](2)
[K
](2)
ji
[ K mj ] ( 2 ) [ K ij ] ( 2 )
[ K mm ] ( 2 )[ K mi ] ( 2 ) [ K im ] ( 2 ) [ K ii ] ( 2 )
0
Байду номын сангаасF22
0
F42
K
1
2
(2
)
3 4
F52
0
5 6
整体刚度矩阵的形式
•
用同样的方法可得出其他单
元的扩大的单元刚度方程:
F1e
F2e
1
2
F3e F4e
K
(e)
3 4
e= 1,2,...4
F5e
零时，单元e在i节点引起的节点力；类似，在整体刚阵中， 表示j 节k ij 点 单位位移，其他节点位移为零时，整体结构在i节点 引起的节点力（由于结构已被离散为一系列单元，即所有与i、 j节点相关的单元在i节点引起的节点力之和）。
如上图结构，计算 k 2 3 时，与节点2和3相关的单元有单元 ①和③，当节点3发生单位位移时，相关单元①和③同时在节点 2引起节点力，将相关单元在节点2的节点力相加，就得出结构 在节点2的节点力 k23k213k233 。由此看出，结构的刚度 系数是相关单元的刚度系数的集成，结构刚度矩阵中的子块是 相关单元的对应子块的集成。
FieRi
2
e
1
4
③
Ri
④ i
②
①
3
整体刚度矩阵的形式
• 2、整体刚度矩阵的集成方法
• 具阵体集k e成，方然法后是将：其先中对的每每个个单子元块求出k 单i j 元送刚到度结矩构刚
度矩阵中的对应位置上去，进行迭加之后即得出结构 刚度矩阵[K]的子块，从而得出结构刚度矩阵[K]。
• 关键是如何找出 k e 中的子块在[K]中的对应位置。
4、根据节点位移求出应力。
a
a
整体分析
1、建立整体刚度矩阵(也叫作结构刚度矩阵)
上图中的结构有六个节点，共有12个节点位移分量和12
个节点力分量。由结构的节点位移向量求结构的节点力向量时，
转换关系为： FK
分块形式为：
F1 K11 K12 K13 K14 K15 K16 1
F 2
② 4 m2
i
j
2
3
m4
④
i4
在单元刚度矩阵中，把节点 的局部码换成总码，并把其
5
6 中的子块按照总码次序重新
排列。
a
a
整体刚度矩阵的形式
以单元②为例，局部码i,j,m对应于总码5,2,4，因此 k (2)
子块按照总码重新排列后，得出扩大矩阵 K (2 ) 为：
局部码
j2
m2
i2
而相应的单元刚度
这需要了解单元中的节点编码与结构中的节点编码之 间的对应关系。
整体刚度矩阵的形式
结构中的节点编码称为
1
j1
a
节点的总码，各个单元的三 个节点又按逆时针方向编为 i,j,m,称为节点的局部码。
①
单元刚度矩阵中的子块
2 m1
i1
3
是按节点的局部码排列的，
j2 i3
m3 ③
j4
a
而结构刚度矩阵中的子块是 按节点的总码排列的。因此，
m2
i 2 , j3 , m 4
i4
总码
1
2
3
4
5
6
j1 1
m1 j2 2 i3 i1 m3 3 j4
m2 4
i2 j3 5 m4
建立节点平衡方程时，应根据上述边界条件进行处理。
3、解方程组，求出节点位移。
通常采用消元法和迭代法两种方法。
4、根据节点位移求出应力。
整体刚度矩阵的形式
整体刚度矩阵 K 是单元刚度矩阵 k e 的集成。
1、刚度集成法的物理概念：
在单元刚刚度阵矩阵中中的k元，e 素，即表 k i由示ej 节j节点点作单单位位位位移移，时其引他起节的点节位点移力为。
K21
K22
K23
K24
K25
K26
2
F F
34
KK3411
K32 K42
K33 K43
K34 K44
K35 K45
K36 K46
43
FF56
K51 K61
K52 K62
K53 K63
K54 K64
K55 K65
K56 K66
56
其中子向量 i 和 F i 都是二阶向量，子矩阵 K ij
集成包含搬家和迭加两个环节：
A、将单元刚度矩阵 K e 中的子块搬家，得出单元的扩
大刚度矩阵 K e 。
e
B、将各单元的扩大刚度矩阵 K 迭加，得出结构刚度
矩阵[K]。
2）R R 1 R nT为节点载荷向量，1 nT
为节点位移向量。
局部码
j1
m 1, j2 ,i3 i1, m 3 , j4
整体分析及总体刚度矩阵 的性质
整体分析
单元分析得出单元刚度矩阵，下面，将各单元组
合成结构，进行整体分析。
图示结构的网格共有四
1 Py1
个单元和六个节点。在节 点1、4、6共有四个支杆支
承。结构的载荷已经转移
a
①
Py3
2
Px2
a
3
Px3 ③
②
4
④
5
为结点载荷。 整体分析的四个步骤：
1、建立整体刚度矩阵； 2、根据支承条件修改整体 刚度矩阵； 6 3、解方程组，求节点位移；
整体刚度矩阵的形式
2、刚度矩阵的集成规则：
1）在整体离散结构变形后，应保 证各单元在节点处仍然协调地相互 连接，即在该节点处所有单元在该 节点上有相同位移，
2
i1 i2 in i
1
4
③
④
②
i
①
3
2）整体离散结构各节点应满足平 衡条件。即环绕每个节点的所有单 元作用其上的节点力之和应等于作 用于该节点上的节点载荷Ri，