数值计算方法试题一
一、填空题(每空1分,共17分)
1、如果用二分法求方程043
=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次。
2、迭代格式)2(2
1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在( )。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(2
33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数,则
a =( ),
b =( ),
c =( )。
4、)(,),(),(10x l x l x l n Λ是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数,则
∑==
n
k k
x l
)(( ),∑==
n
k k j
k x l
x 0
)(( ),当2≥n 时=
++∑=)()3(20
4
x l x x
k k n
k k ( )。
5、设1326)(2
47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/Λ==k k x k 则=],,,[10n x x x f Λ 和=?07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ,5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞
=0)(k k
x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中
1)(0=x ?,则?=1
04)(dx x x ? 。
8、给定方程组?
?
?=+-=-221121b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时,SOR
迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=??=?的改进欧拉法?????++=+=++++)],(),([2),(]
0[111]
0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是
阶方法。
10、设
??
???
?????=11001a a a a A ,当∈a ( )时,必有分解式T LL A =,其中L 为下三角阵,当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足( )条件时,这种分解是唯一的。
二、二、选择题(每题2分)
1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x
k k +=+)()
1(收敛的充要条件是( )。
(1)1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ
2、在牛顿-柯特斯求积公式:
?
∑=-≈b
a
n
i i n i x f C a b dx x f 0
)()
()()(中,当系数)
(n i C 是负值时,
公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当( )时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
(1)8≥n , (2)7≥n , (3)10≥n , (4)6≥n ,
3
所确定的插值多项式的次数是( )。
(1)二次; (2)三次; (3)四次; (4)五次
4、若用二阶中点公式))
,(4,2(1n n n n n n y x f h
y h x hf y y +++=+求解初值问题
1)0(,2=-='y y y ,试问为保证该公式绝对稳定,步长h 的取值范围为( )。 (1)20≤ 三、1、(8 2 bx a y +=2、(15分)用8=n 的复化梯形公式(或复化 Simpson 公式)计算dx e x ? -1 时, (1) (1) 试用余项估计其误差。 (2)用8=n 的复化梯形公式(或复化 Simpson 公式)计算出该积分的近似值。 四、1、(15分)方程013 =--x x 在5.1=x 附近有根,把方程写成三种不同的等价形式(1) 31+=x x 对应迭代格式311+=+n n x x ;(2)x x 11+=对应迭代格式 n n x x 111 +=+;(3)13-=x x 对应迭代格式 131-=+n n x x 。判断迭代格式在5.10=x 的收敛性,选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根,精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen 迭 代法,并进行计算与前一种结果比较,说明是否有加速效果。 2、(8分)已知方程组f AX =,其中 ??????????--=4114334A ,?? ??? ?????-=243024f (1) (1) 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。 (2) (2) 求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径,写出SOR 迭代法。 五、1、(15分)取步长1.0=h ,求解初值问题?????=+-=1 )0(1y y dx dy 用改进的欧拉法求)1.0(y 的值;用经典的四阶龙格—库塔法求)1.0(y 的值。 2、(8分)求一次数不高于4次的多项式)(x p 使它满足 )()(00x f x p =,)()(11x f x p =,)()(00x f x p '=',)()(11x f x p '=',)()(22x f x p = 六、(下列2题任选一题,4分) 1、 1、 数值积分公式形如 ?'+'++=≈1 )1()0()1()0()()(f D f C Bf Af x S dx x xf (1) (1) 试确定参数D C B A ,,,使公式代数精度尽量高;(2)设 ]1,0[)(4 C x f ∈,推导余项公式 ?-=1 ) ()()(x S dx x xf x R ,并估计误差。 2、 2、 用二步法 )],()1(),([111101---+-+++=n n n n n n n y x f y x f h y y y θθαα 求解常微分方程的初值问题? ? ?=='00)(),(y x y y x f y 时,如何选择参数θαα,,10使方法阶数尽可能 高,并求局部截断误差主项,此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题:(共16分,每小题2分) 1、若A 是n n ?阶非奇异阵,则必存在单位下三角阵L 和上三角阵U ,使LU A =唯一 成立。 ( ) 2、当8≥n 时,Newton -cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。( ) 3、形如 ) ()(1 i n i i b a x f A dx x f ∑?=≈的高斯(Gauss )型求积公式具有最高代数精确度的次 数为12+n 。 ( ) 4、矩阵?? ??? ??=210111012A 的2-范数2A =9。( ) 5、设?? ??? ??=a a a a A 000002,则对任意实数0≠a ,方程组b Ax =都是病态的。(用∞?) ( ) 6、设n n R A ?∈, n n R Q ?∈,且有I Q Q T =(单位阵),则有2 2QA A =。( ) 7、区间[]b a ,上关于权函数)(x W 的直交多项式是存在的,且唯一。( ) 8、对矩阵A 作如下的Doolittle 分解: ?? ??? ??????? ??-=????? ??-=6001032211012001542774322b a A ,则b a ,的值分别为=a 2,=b 2。( ) 二、填空题:(共20分,每小题2分) 1、设102139)(248+++=x x x x f ,则均差 =]2,,2,2[810Λf __________, =]3,,3,3[910Λf __________。 2、设函数)(x f 于区间[]b a ,上有足够阶连续导数,[]b a p ,∈为)(x f 的一个m 重零点, Newton 迭代公式 )() ('1k k k k x f x f m x x -=+的收敛阶至少是 __________阶。 3、区间[]b a ,上的三次样条插值函数)(x S 在[]b a ,上具有直到__________阶的连续导 数。 4、向量T X )2,1(-=,矩阵 ? ??? ??--=1327A ,则 =1AX __________,=∞)(A cond __________。 5、为使两点的数值求积公式:? -+≈1 1 10) ()()(x f x f dx x f 具有最高的代数精确度,则 其求积基点应为=1x __________,=2x __________。 6、设n n R A ?∈,A A T =,则)(A ρ(谱半径)__________2A 。(此处填小于、大于、 等于) 7、设????? ?????=214102 1 A ,则=∞→k k A lim __________。 三、简答题:(9分) 1、 1、 方程x x 24-=在区间[]2,1内有唯一根* x ,若用迭代公式: 2ln /)4ln(1k k x x -=+ ),2,1,0(Λ=k ,则其产生的序列{}k x 是否收敛于*x ?说明 理由。 2、 2、 使用高斯消去法解线性代数方程组,一般为什么要用选主元的技术? 3、 3、 设001.0=x ,试选择较好的算法计算函数值2 cos 1)(x x x f -= 。 四、(10分)已知数值积分公式为: )] ()0([)]()0([2)(''20 h f f h h f f h dx x f h -++≈? λ,试确定积分公式中的参数λ,使 其代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数。 五、(8分)已知求)0(>a a 的迭代公式为: Λ 2,1,00)(2101=>+= +k x x a x x k k k 证明:对一切a x k k ≥ =,,2,1Λ,且序列{}k x 是单调递减的, 从而迭代过程收敛。 六、(9分)数值求积公式 ? +≈30 )] 2()1([23 )(f f dx x f 是否为插值型求积公式?为什么?其 代数精度是多少? 七、(9分)设线性代数方程组b AX =中系数矩阵A 非奇异,X 为精确解,0≠b ,若向 量~ X 是b AX =的一个近似解,残向量~ X A b r -=,证明估计式: b r A cond X X X ) (~ ≤-(假定所用矩阵范数与向量范数相容)。 八、(10分)设函数)(x f 在区间[]3,0上具有四阶连续导数,试求满足 )(x H 九、(9分)设)(x n 是区间],[b a 上关于权函数)(x w 的直交多项式序列,)1,,,2,1(+=n n i x i Λ为{})(1x n +?的零点, )1,,,2,1)((+=n n i x l i Λ是以{}i x 为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基函数, ∑? +=≈11 ) ()()(n k k k b a x f A dx x w x f 为高斯型求积公式,证明: (1)(1)当j k n j k ≠≤≤,,0时,0 )()(1 1=∑+=i j i k n i i x x A ?? (2) ?≠=b a j k j k dx x w x l x l ) (0 )()()( (3)∑? ?+==1 1 2)()()(n k b a b a k dx x w dx x w x l 十、(选做题8分) 若)())(()()(101n n x x x x x x x x f ---==+Λω, ),,1,0(n i x i Λ=互异,求],,,[10p x x x f Λ的值,其中1+≤n p 。 数值计算方法试题三 一、(24分)填空题 (1) (1) (2分)改变函数f x x x ()= +-1 (x >>1)的形式,使计算结果较精确 。 (2) (2) (2分)若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根,要求精确到第3位小 数,则需要对分 次。 (3) (3) (2分)设 ()? ??? ??+=212 221x x x x x f ,则()=x f ' (4) (4) (3分)设 ()???≤≤+++≤≤=21,10,22 3 3x c bx ax x x x x S 是3次样条函数,则 a= , b= , c= 。 (5) (5) (3分)若用复化梯形公式计算 ?10 dx e x ,要求误差不超过6 10-,利用余项公 式估计,至少用 个求积节点。 (6) (6) (6分)写出求解方程组? ? ?=+-=+24.01 6.12121x x x x 的Gauss-Seidel 迭代公式 ,迭代矩阵为 , 此迭代法是否收敛 。 (7) (7) (4分)设 A =?? ??? 5443,则=∞A ,()Cond ∞=A 。 (8) (8) (2分)若用Euler 法求解初值问题()10,10'=-=y y y ,为保证算法的绝对 稳定,则步长h 的取值范围为 二. (64分) (1) (1) (6分)写出求方程()1cos 4+=x x 在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式,并证 明其收敛性。 (2) (2) (12分)以100,121,144为插值节点,用插值法计算115的近似值,并利用 余项估计误差。 (3) (3) (10分)求()x e x f =在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。 (4) (4) (10分)用复化Simpson 公式计算积分 ()? =1 0sin dx x x I 的近似值,要求误 差限为5 105.0-?。 (5) (5) (10分)用Gauss 列主元消去法解方程组: ??? ??=++=++=++27 62345324 24321 321321x x x x x x x x x (6) (6) (8分)求方程组 ? ???? ??=???? ??????? ? ?12511213121x x 的最小二乘解。 (7) (7) (8分)已知常微分方程的初值问题: ?? ?=≤≤=2)1(2 .11,y x y x dx dy 用改进的Euler 方法计算y (.)12 的近似值,取步长2.0=h 。 三.(12分,在下列5个题中至多选做3个题) (1) (1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足: ()151=p ,()201'=p ,()301''=p ,()572=p ,()722'=p (2) (2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式,并求出其代数精度: ()()121101 f A f A dx x xf +??? ??≈? (3) (3) (6分)用幂法求矩阵 ? ??? ??=11110A 的模最大的特征值及其相应的单位特征向量,迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05,取特征向量的初始近似值 为()T 0,1。 (4) (4) (6分)推导求解常微分方程初值问题 ()()()()0,,,'y a y b x a x y x f x y =≤≤= 的形式为 ()1101-+++=i i i i f f h y y ββ,i=1,2,…,N 的公式,使其精度尽量高,其中()i i i y x f f ,=, ih a x i +=, i=0,1,…,N, ()N a b h -= (5) (5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题 ()()()()()?? ?==≤≤=+++0,0',0'''b y a y b x a x r y x q y x p y 所得到的三对角线性方程组。 数值计算方法试题三 一、(24分)填空题 (9) (1) (2分)改变函数f x x x ()= +-1 (x >>1)的形式,使计算结果较精确 。 (10) (2) (2分)若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根,要求精确到第3位小 数,则需要对分 次。 (11) (3) (2分)设 ()? ??? ??+=212 221x x x x x f ,则()=x f ' (12) (4) (3分)设 ()???≤≤+++≤≤=21,10,22 3 3x c bx ax x x x x S 是3次样条函数,则 a= , b= , c= 。 (13) (5) (3分)若用复化梯形公式计算 ? 10 dx e x ,要求误差不超过6 10-,利用余项公 式估计,至少用 个求积节点。 (14) (6) (6分)写出求解方程组? ? ?=+-=+24.016.12121x x x x 的Gauss-Seidel 迭代公式 ,迭代矩阵为 , 此迭代法是否收敛 。 (15) (7) (4分)设 A =?? ??? 5443,则=∞A ,()Cond ∞=A 。 (16) (8) (2分)若用Euler 法求解初值问题()10,10'=-=y y y ,为保证算法的绝对 稳定,则步长h 的取值范围为 二. (64分) (8) (1) (6分)写出求方程()1cos 4+=x x 在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式,并证 明其收敛性。 (9) (2) (12分)以100,121,144为插值节点,用插值法计算115的近似值,并利用 余项估计误差。 (10) (3) (10分)求()x e x f =在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。 (11) (4) (10分)用复化Simpson 公式计算积分 ()? =1 0sin dx x x I 的近似值,要求误 差限为5 105.0-?。 (12) (5) (10分)用Gauss 列主元消去法解方程组: ??? ??=++=++=++27 62345324 24321 321321x x x x x x x x x (13) (6) (8分)求方程组 ? ???? ??=???? ??????? ? ?12511213121x x 的最小二乘解。 (14) (7) (8分)已知常微分方程的初值问题: ?? ?=≤≤=2)1(2 .11,y x y x dx dy 用改进的Euler 方法计算y (.)12 的近似值,取步长2.0=h 。 三.(12分,在下列5个题中至多选做3个题) (6) (1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足: ()151=p ,()201'=p ,()301''=p ,()572=p ,()722'=p (7) (2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式,并求出其代数精度: ()()121101 f A f A dx x xf +??? ??≈? (8) (3) (6分)用幂法求矩阵 ? ??? ??=11110A 的模最大的特征值及其相应的单位特征向量,迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05,取特征向量的初始近似值 为()T 0,1。 (9) (4) (6分)推导求解常微分方程初值问题 ()()()()0,,,'y a y b x a x y x f x y =≤≤= 的形式为 ()1101-+++=i i i i f f h y y ββ,i=1,2,…,N 的公式,使其精度尽量高,其中()i i i y x f f ,=, ih a x i +=, i=0,1,…,N, ()N a b h -= (10) (5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题 ()()()()()?? ?==≤≤=+++0,0',0'''b y a y b x a x r y x q y x p y 所得到的三对角线性方程组。 数值计算方法试题一答案 一、填空题(每空1分,共17分) 1、( 10 ) 2、()0,22(- )22,0() 3、a =( 3 ),b =( 3 ),c =( 1 ) 4、( 1 )、 ( j x )、( 324++x x ) 5、 6 、25.2364945 26!77==? 6、 9 7、 0 8、1 22 , 22- )、( 0>ii l ) 二、选择题(每题2分) 1、((2)) 2、((1)) 3、((1)) 4、((3)) 三、1、(8分)解:},1{2 x span =Φ ??? ???=22 2 2 38312519 1111 T A []3.730.493.320.19=T y 解方程组 y A AC A T T = 其中 ??????=3529603339133914A A T ??????=7.1799806.173y A T 解得: ??????=0501025.09255577.0C 所以 9255577.0=a , 0501025.0=b 2、(15分)解:001302 .07681 81121)(12][022==??≤''--=e f h a b f R T η ] )()(2)([2)8(7 1∑=++=k k b f x f a f h T ]36787947.0)41686207.047236655.05352614.060653066.07788008.08824969.0(21[16 1 ++++++?+= 6329434.0= 四、1、(15分)解:(1)32 1(31 )(-+=')x x ?,118.05.1<=')(?,故收敛; (2) x x x 1 121 )(2+ - ='?,117.05.1<=')(?,故收敛; (3)23)(x x ='?, 15.135.12>?=')(?,故发散。 选择(1):5.10=x ,3572.11=x ,3309.12=x ,3259.13=x ,3249.14=x , 32476.15=x ,32472.16=x Steffensen 迭代: k k k k k k k x x x x x x x +--- =+)(2))(())((2 1 ???? 1 1211)1(333 2 3++-++-+- =k k k k k x x x x x 计算结果:5.10=x ,324899.11=x ,324718.12=x 有加速效果。 2、(8分)解:Jacobi 迭代法:?? ???????=+-=+-=-=+++Λ,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41) (2)1(3)(3)(1)1(2) (2)1(1k x x x x x x x k k k k k k k Gauss-Seidel 迭代法:?? ???????=+-=+-=-=+++++Λ,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41) 1(2)1(3)(3)1(1)1(2) (2)1(1k x x x x x x x k k k k k k k ????? ? ????? ?--=+-=-0430430 430430)(1 U L D B J , 790569 .0)4 10 (85)(==或J B ρ SOR 迭代法:?? ???????=+-+-=+-+-=-+-=+++++Λ,3,2,1,0)24(4)1()330(4)1()324(4)1() 1(2)(3)1(3)(3)1(1)(2)1(2) (2)(1)1(1k x x x x x x x x x x k k k k k k k k k k ωωωωωω 五、1、(15分)解:改进的欧拉法: ??? ??+=++=+=+=++++095.0905.0)],(),([21.09.0),() 0(111) 0(1n n n n n n n n n n n n y y x f y x f h y y y y x hf y y 所以1)1.0(1==y y ; 经典的四阶龙格—库塔法: ?? ??? ?? ??? ? ++=++=++==++++=+),()2,2()2,2(),(]22[6 342312143211 hk y h x f k k h y h x f k k h y h x f k y x f k k k k k h y y n n n n n n n n n n 04321====k k k k ,所以1)1.0(1==y y 。 2、(8分)解:设 )(3x H 为满足条件 ?? ?='='=1,0)()()()(3 3i x f x H x f x H i i i i 的Hermite 插值多项式, 则 2 1203)()()()(x x x x k x H x p --+= 代入条件)()(22x f x p =得: 212202232)()()()(x x x x x H x f k ---= 六、(下列2题任选一题,4分) 1、解:将3 2 ,,,1)(x x x x f =分布代入公式得: 201 ,301,207,203-==== D B B A 构造Hermite 插值多项式)(3x H 满足?? ? ='='=1,0)()()()(33i x f x H x f x H i i i i 其中1,010==x x 则有:?=103)()(x S dx x xH , 2 2)4(3)1(!4)()()(-=-x x f x H x f ξ dx x x f dx x S x f x x R 21 03 )4(1 0)1(!4)(])()([)(-=-=??ξ 1440)(60!4)()1(!4)()4()4(1023)4(ηηηf f dx x x f = ?=-=? 2、解: ] )(!3)(!2)()()(1()([) )(! 3)(!2)()(()()(!3)(!2)()()() 4(323 2103 211,ΛΛΛ +-'''+''-'-+'-+'''-''+'---+'''+''+'+=-=++n n n n n n n n n n n n n n n n h n x y h x y h x y h x y x y h x y h x y h x y h x y x y x y h x y h x y h x y y x y R θθαα ) ()()21661()()1221() ()11()()1(41312110h O x y h x y h x y h x y n n n n +'''--++''-+-+'+-+--=θαθαααα 所以?????? ?=-+-==--012210011110θαααα ???? ???===?23 0110θαα 主项:) (1253 n x y h ''' 该方法是二阶的。 数值计算方法试题二答案 一、判断题:(共10分,每小题2分) 1、( Ⅹ ) 2、( ∨ ) 3、( Ⅹ ) 4、( ∨ ) 5、( Ⅹ ) 6、( ∨ )7、( Ⅹ ) 8、( Ⅹ ) 二、填空题:(共10分,每小题2分) 1、!89?、0 2、__二___ 3、__二___4、_16 、90__5、31 ,3 1 -6、 = 7、0 三、简答题:(15分) 1、 解:迭代函数为2ln /)4ln()(x x -=? 12ln 1 2412ln 141)('---= x x ? 2、 答:Gauss 消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素) (k kk a 全不为0,如果在消 元过程中发现某个主元素为0,即使0)det(≠A ,则消元过程将无法进行;其次, 即使主元素不为0,但若主元素) (k kk a 的绝对值很小,用它作除数,将使该步消元的 乘数绝对值很大,势必造成舍入误差的严重扩散,以致于方程组解的精确程度受到 严重影响,采用选主元的技术,可避免主元素) (k kk a =0或) (k kk a 很小的情况发生,从 而不会使计算中断或因误差扩大太大而使计算不稳定。 3、 解:ΛΛ+-+-+-=)!2()1(!4!21cos 242n x x x x n n ΛΛ+-++-=--)!2()1(!4!2cos 12142n x x x x n n ΛΛ+-++-=--)!2()1(!4!21)(2212n x x x f n n 四、解:1)(=x f 显然精确成立; x x f =)(时, ] 11[]0[22220-++==? h h h h xdx h λ; 2)(x x f =时,12122]20[]0[2332 2302 = ?-=-++==?λλλh h h h h h h dx x h ; 3)(x x f =时,]30[121]0[24223403h h h h h dx x h -++==?; 4)(x x f =时,6]40[121]0[25532450 4 h h h h h h dx x h = -++≠=?; 所以,其代数精确度为3。 五、证明: Λ 2,1,0221)(211==???≥+= +k a x a x x a x x k k k k k 故对一切a x k k ≥=,,2,1Λ。 又1)11(21 )1(2121=+≤+=+k k k x a x x 所以k k x x ≤+1,即序列{}k x 是单调递减有下界, 从而迭代过程收敛。 六、解:是。因为)(x f 在基点1、2处的插值多项式为 )2(121 )1(212)(f x f x x p ?--+?--= ?+=3 0)]2()1([23 )(f f dx x p 。其代数精度为1。 七、证明:由题意知:r b X A b AX -==~ , r A X X r A X X r X X A 1~ 1 ~ ~)(--≤-?=-?=- 又 b A X X A AX b b AX ≤? ≤=?=1 所以 b A A cond b r A A X X X ) (1~ =≤ --。 八、解:设)2)(1()()(2--+=x x ax x N x H ) 1)(0(21 21)1)(0](2,1,0[)0](1,0[)0()(2----=--+-+=x x x x x f x f f x N 所以) 2)(1()1(21 21)(--+---=x x ax x x x x H 由3)0(' =H 得: 41=a 所以 134541)(2 3-+-= x x x x H 令)()()(x H x f x R -=,作辅助函数 )2)(1()()()()(2 ----=t t t x k t H t f t g 则)(t g 在]3,0[上也具有4阶连续导数且至少有4个零点:21 ,0,,x t = 反复利用罗尔定理可得: !4)()() 4(ξf x k = ,)0)(() 4(=ξg Θ 所以 ) 2)(1(!4)()2)(1()()()()(2 )4(2 --=--=-=x x x f x x x x k x H x f x R ξ 九、证明:形如 ) ()()(1 1 k b a n k k x f A dx x w x f ? ∑+=≈的高斯(Gauss )型求积公式具有 最高代数精度2n+1次,它对)(x f 取所有次数不超过2n+1次的多项式均精确成立 1) )()()()()(11 ?∑==+=b a j k i j i k n i i dx x w x x x x A ???? 2)因为)(x l i 是n 次多项式,且有 ?? ?=≠=j i j i x l j i 10)( 所以 )()()()()(1 1 ==?∑+=i j i k b a n i i j k x l x l A dx x w x l x l (j k ≠) 3)取)()(2x l x f i =,代入求积公式:因为)(2 x l i 是2n 次多项式, 所以 i j i b a n j j i A x l A dx x w x l ==? ∑+=21 1 )]([)()( ∑??∑+=+===1 1 1 1 2)()()(n k b a b a n k k k dx x w A dx x w x l 故结论成立。 十、解: n p x x x f x x x f p i p i j j j i i p ≤=-=∑ ∏=≠=0) () (],,,[0 010Λ 1 )!1() (],,,[) 1(110=+= ++n f x x x f n n ξΛ 数值计算方法试题三答案 一.(24分) (1) (2分) ()x x x f ++= 11 (2) (2分) 10 (3) (2分) ???? ??1221 22x x x x (4) (3分) 3 -3 1 (5) (3分) 477 (6) (6分) ()() ()()Λ,1,0,4.026.1111 12 211=???+=-=+++k x x x x k k k k ???? ??--64.006.10 收敛 (7) (4分) 9 91 (8) (2分) h<0.2 二. (64分) (1) (6分) ()()[]n n n x x x cos 141 1+= =+φ,n=0,1,2,… ()()141 sin 41'<≤= x x φ ∴ 对任意的初值]1,0[0∈x ,迭代公式都收敛。 (2) (12分) 用Newton ≈11510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121) =10.7227555 ()2 5 83'''- =x x f ()()()()00163.029******* 3 61144115121115100115! 3'''25 ≈???≤---= -ξf R (3) (10分)设()()()x c c x c x c x 212211+=+=φφφ ()()()()()()??? ? ??=???? ?????? ??212122122111,,,,,,φφφφφφφφφφf f c c , ()1 ,1 011==?dx φφ, ()21 ,1 021==?xdx φφ, ()3 1,1 0222==?dx x φφ, ()1)ex p(,101-==?e dx x f φ, ()1 )ex p(,102==?dx x x f φ ???? ??-=???? ?????? ??1112121121e c c , ???? ? ?=???? ??690.18731.021c c ,()x x 690.18731.0+=φ ()()x e e x 618104-+-=φ=0.873127+1.69031x (4) (10分) ()()0.9461458812140611=???? ??+??? ??+=f f f S ()()0.94608693143421241401212=???? ??+??? ??+??? ??+??? ??+= f f f f f S 5-12210933.0151 ?=-≈ -S S S I 94608693.02=≈S I 或利用余项:()()Λ -+-+-==!9!7!5!31sin 8 642x x x x x x x f ()Λ-?+?-=!49!275142) 4(x x x f ()51 )4(≤ x f ()()5 4) 4(4 5 10 5.05288012880-?≤?≤ -= n f n a b R η,2≥n ,Λ=≈2S I (5) (10分) 3.0000 1.0000 5.0000 3 4.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 3 4.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 0.0000 0.0000 1.9375 9.6875 ()T x 0000.5,0000.3,0000.2= (6) (8分) ()b A x A A T T =,???? ??=???? ?????? ? ?2081466321x x , ???? ??-=0000.23333.1x 若用Householder 变换,则: ()?? ? ?? ??------→52073.236603.1052073.136603.0061880.446410.373205.1,b A ???? ? ??---→81650.00082843.241421.1061880.446410.373205.1 最小二乘解: (-1.33333,2.00000)T . (7) (8分) ()5.0,001==y x f k ,()()0.52380955.02.021.1,1012=?+=+=hk y x f k ()()1071429.25238095.05.01.0222101=+?+=++ =k k h y y 三. (12分) (1) 差分表: ()()()()()()4 323 3 2 2345211711512015x x x x x x x x x x p ++++=--+-+-+-+= 其他方法:设()()()()()b ax x x x x p +-+-+-+=3 2 111512015 令()572=p ,()722'=p ,求出a 和b (2) 取f(x)=1,x ,令公式准确成立,得: 2110= +A A ,312110=+A A 310=A ,61 1=A f(x)=x 2时,公式左右=1/4; f(x)=x 3时,公式左=1/5, 公式右=5/24 ∴ 公式的代数精度=2 (3) ①???? ??==11001Av u , ()00.10,01)1(1==v u λ, ???? ??==09950.09950.021 11u u v ②???? ??==095.105.1012Av u , ()108.10,12)2(1==v u λ, ???? ??==1083.09941.02222u u v , 05 .011.0) 2(1)1(1>=-λλ ③???? ??==102.105.1023Av u , ()110.10,23)3(1==v u λ, ???? ??==1090.09940.02333u u v , 05 .0002.0)3(1)2(1<=-λλ ∴11.101≈λ, ???? ??≈1090.09940.01x (4) 局部截断误差=()11++-i i y t y ()()()() ()()()()()[ ] ()()()() 3 2 1103 21103 2 ''21'1''''''2 'h O x y h x hy h O x y h x hy x hy x y h O x y h x hy x y i i i i i i i i i +?? ? ??++--=+-++-+++=ββββββ 令0110=--ββ,0211=+β得 230=β,211 -=β, 计算公式为 ()1132-+-+ =i i i i f f h y y ,i=0,1,2,… ( 局部截断误差=()() 4 3 '''125h O x y h i + ) (5) 记N a b h )(-=,ih a x i +=,()i i x p p =,()i i x q q =,()i i x r r =, ()i i x y y =,i=0..N ()()i i i i i i i i i r y q y y h p y y y h -=+-++--++-111122121, i=1..N-1 即() i i i i i i i r h y p h y q h y p h 2 12121221-=??? ??+++-+??? ??-+-, i=1..N-1 (1) 043210=-+-y y y ,与(1)取i=1的方程联立消去y 2 得 ()()121112012222r h y hp q h y p -=+++-- (2) 0=N y ,与(1)取i=N-1的方程联立消去y N 得 () 12 11222221------=+-+??? ??-N N N N N r h y q h y p h (3) 所求三对角方程组:方程(2),方程组(1)(i=1..N-2),方程(3) 数值分析上机实验报告 选题:曲线拟合的最小二乘法 指导老师: 专业: 学号: 姓名: 课题八曲线拟合的最小二乘法 一、问题提出 从随机的数据中找出其规律性,给出其近似表达式的问题,在生产实践和科学实验中大量存在,通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。 在某冶炼过程中,根据统计数据的含碳量与时间关系,试求含碳量y 与时间t 的拟合曲线。 二、要求 1、用最小二乘法进行曲线拟合; 2、近似解析表达式为()33221t a t a t a t ++=?; 3、打印出拟合函数()t ?,并打印出()j t ?与()j t y 的误差,12,,2,1 =j ; 4、另外选取一个近似表达式,尝试拟合效果的比较; 5、*绘制出曲线拟合图*。 三、目的和意义 1、掌握曲线拟合的最小二乘法; 2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组; 3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。 四、计算公式 对于给定的测量数据(x i ,f i )(i=1,2,…,n ),设函数分布为 ∑==m j j j x a x y 0)()(? 特别的,取)(x j ?为多项式 j j x x =)(? (j=0, 1,…,m ) 则根据最小二乘法原理,可以构造泛函 ∑∑==-=n i m j i j j i m x a f a a a H 1 10))((),,,(? 令 0=??k a H (k=0, 1,…,m ) 则可以得到法方程 ???? ??????? ?=????????????????????????),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1010101111000100m m m m m m m m f f f a a a ????????????????????? 求该解方程组,则可以得到解m a a a ,,,10 ,因此可得到数据的最小二乘解 ∑=≈m j j j x a x f 0)()(? 曲线拟合:实际工作中,变量间未必都有线性关系,如服药后血药浓度与时间的关系;疾病疗效与疗程长短的关系;毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据,并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。 五、结构程序设计 在程序结构方面主要是按照顺序结构进行设计,在进行曲线的拟合时,为了进行比较,在程序设计中,直接调用了最小二乘法的拟合函数polyfit ,并且依次调用了plot 、figure 、hold on 函数进行图象的绘制,最后调用了一个绝对值函数abs 用于计算拟合函数与原有数据的误差,进行拟合效果的比较。 注:1、教师命题时题目之间不留空白; 2、考生不得在试题纸上答题,教师只批阅答题册正面部分,若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案 一.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分) 1.设有节点012,,x x x ,其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ,则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。 2.设()2f x x =,则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。 3.设110111011A -????=--????-??,233x ?? ??=?? ???? ,则1A = ,1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。 二.简答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分) 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解?为什么说平方根法计算稳定? 2. 什么是不动点迭代法?()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点? 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ,请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三.求一个次数不高于3的多项式()3P x ,满足下列插值条件: i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y ' 3 并估计误差。(10分) 四.试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1 01 1I dx x =+? 。(10分) 五.用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。(10分) 六.试用Doolittle 分解法求解方程组: 注:1、教师命题时题目之间不留空白; 2、考生不得在试题纸上答题,教师只批阅答题册正面部分,若考 12325610413191963630 x x x -?????? ??????-=?????? ??????----?????? (10分) 七.请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324 812231530 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 的迭代格式,并 判断其是否收敛?(10分) 八.就初值问题0(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。(10分) 数值分析上机题 第一章 17.(上机题)舍入误差与有效数 设∑=-= N j N j S 2 2 11 ,其精确值为)111-23(21+-N N 。 (1)编制按从大到小的顺序1 -1 ···1-311-21222N S N +++=,计算N S 的通用 程序; (2)编制按从小到大的顺序1 21 ···1)1(111 222-++--+ -=N N S N ,计算N S 的通用程序; (3)按两种顺序分别计算210S ,410S ,610S ,并指出有效位数(编制程序时用单精度); (4)通过本上机题,你明白了什么? 解: 程序: (1)从大到小的顺序计算1 -1 ···1-311-21222N S N +++= : function sn1=fromlarge(n) %从大到小计算sn1 format long ; sn1=single(0); for m=2:1:n sn1=sn1+1/(m^2-1); end end (2)从小到大计算1 21 ···1)1(111 2 22 -++--+-= N N S N function sn2=fromsmall(n) %从小到大计算sn2 format long ; sn2=single(0); for m=n:-1:2 sn2=sn2+1/(m^2-1); end end (3) 总的编程程序为: function p203() clear all format long; n=input('please enter a number as the n:') sn=1/2*(3/2-1/n-1/(n+1));%精确值为sn fprintf('精确值为%f\n',sn); sn1=fromlarge(n); fprintf('从大到小计算的值为%f\n',sn1); sn2=fromsmall(n); fprintf('从小到大计算的值为%f\n',sn2); function sn1=fromlarge(n) %从大到小计算sn1 format long; sn1=single(0); for m=2:1:n sn1=sn1+1/(m^2-1); end end function sn2=fromsmall(n) %从小到大计算sn2 format long; sn2=single(0); for m=n:-1:2 sn2=sn2+1/(m^2-1); end end end 运行结果: 《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案:, 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 , 拉格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ); ( 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y ),y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为 ( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y ); 10、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( ); 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f ),代数精 度为( 5 ); 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ,1 ,进行两步后根的所在区间为 , 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ,用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ,梯形公式的代数精度为 1 ,辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ,该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ,)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高,具 有( 12+n )次代数精度。 第一章 一、题目 设∑ =-= N N j S 2 j 2 1 1,其精确值为)11 123(21+--N N 。 1) 编制按从大到小的顺序1 1 13112122 2-+??+-+-=N S N ,计算S N 的通用程序。 2) 编制按从小到大的顺序1 21 1)1(111222-+ ??+--+-= N N S N ,计算S N 的通用程序。 3) 按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。(编制程序时用单精度) 4) 通过本次上机题,你明白了什么? 二、通用程序 N=input('Please Input an N (N>1):'); AccurateValue=single((0-1/(N+1)-1/N+3/2)/2); Sn1=single(0); for a=2:N; Sn1=Sn1+1/(a^2-1); end Sn2=single(0); for a=2:N; Sn2=Sn2+1/((N-a+2)^2-1); end fprintf('The value of Sn (N=%d)\n',N); fprintf('Accurate Calculation %f\n',AccurateValue); fprintf('Caculate from large to small %f\n',Sn1); fprintf('Caculate from small to large %f\n',Sn2); disp('____________________________________________________') 三、结果 从结果可以看出有效位数是6位。 感想:可以得出,算法对误差的传播有一定的影响,在计算时选一种好的算法可以使结果更为精确。从以上的结果可以看到从大到小的顺序导致大数吃小数的现象,容易产生较大的误差,求和运算从小数到大数所得到的结果才比较准确。 期末考试试卷(A 卷) 2007学年第二学期 考试科目: 数值分析 考试时间:120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题(每小题2分,共10分) 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时,应按照n 从小到大的顺序相加。 ( ) 2. 为了减少误差,进行计算。 ( ) 3. 用数值微分公式中求导数值时,步长越小计算就越精确。 ( ) 4. 采用龙格-库塔法求解常微分方程的初值问题时,公式阶数越高,数值解越精确。( ) 5. 用迭代法解线性方程组时,迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关,与常数项无关。 ( ) 二、填空题(每空2分,共36分) 1. 已知数a 的有效数为0.01,则它的绝对误差限为________,相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____,2x =______,Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高,应使1A = ,2A = ,3A = ,此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时,使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时,系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩 数值分析上机题目 1、 分别用不动点迭代与Newton 法求解方程250x x e -+=的正根与负根。 2、 Use each of the following methods to find a solution in [0.1,1] accurate to within 10^-4 for 4326005502002010x x x x -+--= a. Bisection method b. Newton’s method c. Secant method d. Method of False Position e. Muller’s method 3、 应用Newton 法求f (x )的零点,e=10^-6,这里f (x )=x-sin (x )。 再用求重根的两种方法求f (x )的零点。 4、 应用Newton 法求f (x )的零点,e=10^-6,f(x)=x-sin(x) 再用Steffensen’s method 加速其收敛。 5、 用Neville’s 迭代差值算法,对于函数2 1 (),11125f x x x = -≤≤+进行lagrange 插值。取不同的等分数n=5,10,将区间[-1,1]n 等分,取等距节点。把f(x)和插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较。 6、 画狗的轮廓图 7、 Use Romberg integration to compute the following approximations to ? a 、 Determine R1,1,R2,1,R3,1,R4,1and R5,1,and use these approximations to predict the value of the integral. b 、 Determine R2,2 ,R3,3 ,R4,4 ,and R5,5,and modify your prediction. c 、 Determine R6,1 ,R6,2 ,R6,3 ,R6,4 ,R6,5 and R6,6,and modify your prediction. 【 数值计算方法试题一 一、 填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在( )。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数, 则 a =( ), b =( ), c =( )。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数,则 ∑== n k k x l 0)(( ), ∑== n k k j k x l x 0 )(( ),当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 ; 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ,5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x ?,则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时,SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 数值计算方法I 上机实验考试题(两题任选一题) 1.小型火箭初始质量为900千克,其中包括600千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉,由此产生30000牛顿的恒定推力.当燃料用尽时引擎关闭。设火箭上升的整个过程中,空气阻力与速度平方成正比,比例系数为0.4(千克/米).重力加速度取9.8米/秒2. A. 建立火箭升空过程的数学模型(微分方程); B. 求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度,及火箭到达最高点的时间和高度. 2.小型火箭初始质量为1200千克,其中包括900千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉,由此产生40000牛顿的恒定推力.当燃料用尽时引擎关闭。设火箭上升的整个过程中,空气阻力与速度平方成正比,比例系数记作k ,火箭升空过程的数学模型为 0)0(,0,01222==≤≤-+?? ? ??-==t dt dx x t t mg T dt dx k dt x d m 其中)(t x 为火箭在时刻t 的高度,m =1200-15t 为火箭在时刻t 的质量,T (=30000牛顿)为推力,g (=9.8米/秒2)为重力加速度, t 1 (=900/15=60秒)为引擎关闭时刻. 今测得一组数据如下(t ~时间(秒),x ~高度(米),v ~速度(米/秒)): 现有两种估计比例系数k 的方法: 1.用每一个数据(t,x,v )计算一个k 的估计值(共11个),再用它们来估计k 。 2.用这组数据拟合一个k . 请你分别用这两种方法给出k 的估计值,对方法进行评价,并且回答,能否认为空气阻力系数k=0.5(说明理由). 数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字,求绝对误差限。(4分) 解: 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ (6分) 解: {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= (6分) ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时,)(1k k x x ?=+ (k=0,1……)产生的序列{}k x 收敛于2 解: ①Newton 迭代格式为: x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ,其中:? ??=1 3A ??? 22,??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α(k=0,1……)求解Ax=b ,问取什么实数α,可使迭代收 敛 (8分) 解: 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即,解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意,须使1)( 《数值计算方法》上机实验报告华北电力大学 实验名称数值il?算方法》上机实验课程名称数值计算方法专业班级:电力实08学生姓名:李超然学号:200801001008 成绩: 指导教师:郝育黔老师实验日期:2010年04月华北电力大学实验报告数值计算方法上机实验报吿一. 各算法的算法原理及计算机程序框图1、牛顿法求解非线性方程 *对于非线性方程,若已知根的一个近似值,将在处展开成一阶 xxfx ()0, fx ()xkk 泰勒公式 "f 0 / 2 八八,fxfxfxxxxx 0 0 0 0 0 kkkk2! 忽略高次项,有 ,fxfxfxxx 0 ()()(),,, kkk 右端是直线方程,用这个直线方程来近似非线性方程。将非线性方程的 **根代入,即fx ()0, X ,* fxfxxx 0 0 0 0, ,, kkk fx 0 fx 0 0, 解出 fX 0 *k XX,, k' fx 0 k 水将右端取为,则是比更接近于的近似值,即xxxxk, Ik, Ik fx ()k 八XX, Ikk* fx()k 这就是牛顿迭代公式。 ,2,计算机程序框图:,见, ,3,输入变量、输出变量说明: X输入变量:迭代初值,迭代精度,迭代最大次数,\0 输出变量:当前迭代次数,当前迭代值xkl ,4,具体算例及求解结果: 2/16 华北电力大学实验报吿 开始 读入 l>k /fx()0?,0 fx 0 Oxx,,01* fx ()0 XX,,,?10 kk, ,1,kN, ?xx, 10 输出迭代输出X输出奇异标志1失败标志 ,3,输入变量、输出变量说明: 结束 例:导出计算的牛顿迭代公式,并il ?算。(课本P39例2-16) 115cc (0), 求解结果: 10. 750000 10.723837 10. 723805 10. 723805 2、列主元素消去法求解线性方程组,1,算法原理: 高斯消去法是利用现行方程组初等变换中的一种变换,即用一个不为零的数乘 -个 方程后加只另一个方程,使方程组变成同解的上三角方程组,然后再自下而上 对上三角 3/16 华北电力大学实验报告方程组求解。 列选主元是当高斯消元到第步时,从列的以下(包括)的各元素中选出绝 aakkkkkk 对值最大的,然后通过行交换将其交换到的位置上。交换系数矩阵中的 两行(包括常ekk 数项),只相当于两个方程的位置交换了,因此,列选主元不影响求解的结 ,2,计算机程序框图:,见下页, 输入变量:系数矩阵元素,常向量元素baiji 输出变量:解向量元素bbb,,12n 数值分析上机题1 设2 21 1N N j S j ==-∑ ,其精确值为1311221N N ??-- ?+?? 。 (1)编制按从大到小的顺序222 111 21311 N S N = +++---,计算N S 的通用程序。 (2)编制按从小到大的顺序22 21111(1)121 N S N N =+++----,计算N S 的通用程序。 (3)按两种顺序分别计算210S ,410S ,610S ,并指出有效位数。(编制程序时用单精度) (4)通过本上机题,你明白了什么? 程序代码(matlab 编程): clc clear a=single(1./([2:10^7].^2-1)); S1(1)=single(0); S1(2)=1/(2^2-1); for N=3:10^2 S1(N)=a(1); for i=2:N-1 S1(N)=S1(N)+a(i); end end S2(1)=single(0); S2(2)=1/(2^2-1); for N=3:10^2 S2(N)=a(N-1); for i=linspace(N-2,1,N-2) S2(N)=S2(N)+a(i); end end S1表示按从大到小的顺序的S N S2表示按从小到大的顺序的S N 计算结果 通过本上机题,看出按两种不同的顺序计算的结果是不相同的,按从大到小的顺序计算的值与精确值有较大的误差,而按从小到大的顺序计算的值与精确值吻合。从大到小的顺序计算得到的结果的有效位数少。计算机在进行数值计算时会出现“大数吃小数”的现象,导致计算结果的精度有所降低,我们在计算机中进行同号数的加法时,采用绝对值较小者先加的算法,其结果的相对误差较小。 数值计算方法试题 重庆邮电大学数理学院 一、填空题(每空2分,共20分) 1、用列主元消去法解线性方程组 1、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有 ,,,,,,,收 敛 2、迭代过程(k=1,2,…)收敛的充要条件是 2、已知y=f(x)的数据如下 ,,, x 0 2 3 3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有 f(x) 1 3 2 效数字是,,, 4、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组求二次插值多项式及f(2.5) 3、用牛顿法导出计算的公式,并计算,要求迭代误差不超过 。 4、欧拉预报--校正公式求解初值问题的迭代格式中求 ,,,,,,,,,,,,, , 5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足,,,,,,取步长k=0.1,计算 y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位. ,,则p(x)是不超过二次的多项式 三、证明题 (20分每题 10分 ) 6、对于n+1个节点的插值求积公式 1、明定 积分近似计算的抛物线公式 具有三次代数精度至少具有,,,次代 数精度. 7、插值型求积公式的求积 2、若,证明用梯形公式计算积分所 系数之和,,, 得结果比准确值大,并说明这个结论的几何意义。 参考答案: T8、 ,为使A可分解为A=LL, 其中L一、填空题 1、局部平方收敛 2、< 1 3、 4 为对角线元素为正的下三角形,a的取值范围, 4、 5、三阶均差为0 6、n 7、b-a 9、若则矩阵A的谱半径(A)= ,,, 8、 9、 1 10、二阶方法 10、解常微分方程初值问题的梯形二、计算题 格式 1、是,,,阶方法 二、计算题(每小题15分,共60分) 修德博学求实创新 李华荣 1 重庆邮电大学数理学院 2、 右边: 3、 ?1.25992 (精确到 ,即保留小数点后5位) 故具有三次代数精度 4、y(0.2)?0.01903 A卷三、证明题 实验报告一 题目:非线性方程求解 摘要:非线性方程的解析解通常很难给出,因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。 前言:(目的和意义) 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。 数学原理: 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法:二分法和Newton法。 对于二分法,其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x),其在[a,b]上连续,f(a)f(b)<0,且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*,取区间中点c,若,则c恰为其根,否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个,从而得出新区间,仍称为[a,b]。重复运行计算,直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。 Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0,然后根据其迭代公式 产生逼近解x*的迭代数列{x k},这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快,但是当x0选择不好时,可能会发散,因此初值的选取很重要。另外,若将该迭代公式改进为 其中r为要求的方程的根的重数,这就是改进的Newton法,当求解已知重数的方程的根时,在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计: 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式,如下 function y=f(x); y=-x*x-sin(x); 写成如上形式即可,下面给出主程序。 二分法源程序: clear %%%给定求解区间 b=1.5; a=0; %%%误差 R=1; k=0;%迭代次数初值 while (R>5e-6) ; c=(a+b)/2; if f12(a)*f12(c)>0; a=c; else b=c; end R=b-a;%求出误差 k=k+1; end x=c%给出解 Newton法及改进的Newton法源程序:clear %%%% 输入函数 f=input('请输入需要求解函数>>','s') %%%求解f(x)的导数 df=diff(f); 1. 设?+=1 05dx x x I n n , (1) 由递推公式n I I n n 1 51+-=-,从0I 的几个近似值出发,计算20I ; 解:易得:0I =ln6-ln5=0.1823, 程序为: I=0.182; for n=1:20 I=(-5)*I+1/n; end I 输出结果为:20I = -3.0666e+010 (2) 粗糙估计20I ,用n I I n n 51 5111+- =--,计算0I ; 因为 0095.05 6 0079.01020 201 020 ≈<<≈??dx x I dx x 所以取0087.0)0095.00079.0(2 1 20=+= I 程序为:I=0.0087; for n=1:20 I=(-1/5)*I+1/(5*n); end I 0I = 0.0083 (3) 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。 首先分析两种递推式的误差;设第一递推式中开始时的误差为000I I E '-=,递推过程的舍入误差不计。并记n n n I I E '-=,则有01)5(5E E E n n n -==-=-Λ。因为=20E 20020)5(I E >>-,所此递推式不可靠。而在第二种递推式中n n E E E )5 1(5110-==-=Λ,误差在缩小, 所以此递推式是可靠的。出现以上运行结果的主要原因是在构造递推式过程中,考虑误差是否得到控制, 即算法是否数值稳定。 2. 求方程0210=-+x e x 的近似根,要求4 1105-+?<-k k x x ,并比较计算量。 (1) 在[0,1]上用二分法; 程序:a=0;b=1.0; while abs(b-a)>5*1e-4 c=(b+a)/2; 数值计算方法试题一 数值计算方法试题一 一、 填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程043 =-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次。 2、迭代格式)2(2 1 -+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在( )。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2 110)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数,则 a =( ),b =( ),c =( )。 4、)(,),(),(1 x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数,则 ∑== n k k x l 0)(( ), ∑== n k k j k x l x 0 )(( ),当 2 ≥n 时 = ++∑=)()3(20 4 x l x x k k n k k ( )。 5、设1326)(2 4 7 +++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[1 n x x x f 和=?0 7 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ,5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0 )(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0 =x ?,则 ?= 1 4 )(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2 21121b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时,SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ?? ? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 10、设?? ?? ? ?????=11001a a a a A ,当∈a ( )时,必有分解式T LL A =,其中L 为下三角阵,当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足( )条件时,这种分解是唯一的。 二、 选择题(每题2分) 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+) () 1(收敛的充要条件是( )。 (1)1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式: ?∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中,当系数) (n i C 是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当( )时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 (1)8≥n , (2)7≥n , (3)10≥n , (4)6≥n , x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 数值计算方法上机实习题 1. 设?+=1 05dx x x I n n , (1) 由递推公式n I I n n 1 51+ -=-,从I 0=0.1824, 0=0.1823I 出发,计算20I ; (2) 20=0I ,20=10000I , 用n I I n n 51 5111+- =--,计算0I ; (3) 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。 答:第一个算法可得出 e 0=|I 0?I 0 ?| e n =|I n ?I n ?|=5n |e 0| 易知第一个算法每一步计算都把误差放大了5倍,n 次计算后更是放大了5n 倍,可靠性低。 第二个算法可得出 e n =|I n ?I n ?| e 0=(15 )n |e n | 可以看出第二个算法每一步计算就把误差缩小5倍,n 次后缩小了5n 倍,可靠性高。 2. 求方程0210=-+x e x 的近似根,要求41105-+?<-k k x x ,并比较计算量。 (1) 在[0,1]上用二分法; 计算根与步数程序: fplot(@(x) exp(x)+10*x-2,[0,1]); grid on; syms x; f=exp(x)+10*x-2; [root,n]=EFF3(f,0,1); fprintf('root=%6.8f ,n=%d \n',root,n); 计算结果显示: root=0.09057617 ,n=11 (2) 取初值00=x ,并用迭代10 21 x k e x -=+; (3) 加速迭代的结果; (4) 取初值00 x ,并用牛顿迭代法; 一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有( )和( )位有效数字. A .4和3 B .3和2 C .3和4 D .4和4 2. 已知求积公式 ,则=( ) A . B . C . D . 3. 通过点 的拉格朗日插值基函数满足( ) A . =0, B . =0, C .=1, D . =1, 4. 设求方程 的根的牛顿法收敛,则它具有( )敛速。 A .超线性 B .平方 C .线性 D .三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 作第一次消元后得到的第3个方程( ). A . B . C . D . π()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? A 1613122 3()()0011,,,x y x y ()()01,l x l x ()00l x ()110l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =()0 f x =12312312 20 223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=?232 x x -+=232 1.5 3.5 x x -+=2323 x x -+= 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 二、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设, 则 , . 2. 一阶均差 3. 已知时,科茨系数 ,那么 4. 因为方程 在区间 上满 足 ,所以 在区间内有根。 5. 取步长,用欧拉法解初值问题 的计算公 式 . 填空题答案 230.5 1.5 x x -=-T X )4,3,2(-==1||||X 2||||X =()01,f x x = 3n =()()() 33301213,88C C C === () 3 3C =()420 x f x x =-+=[]1,2()0 f x =0.1h =()211y y y x y ?'=+?? ?=? 如有帮助欢迎下载支持 数值分析上机题 姓名:陈作添 学号: 040816 习题 1 20.(上机题)舍入误差与有效数 N 1 1 3 1 1 设 S N ,其精确值为 。 2 2 2 N N 1 j 2 j 1 (1)编制按从大到小的顺序 1 1 1 ,计算 S 的通用程序。 S N 1 32 1 N 2 1 N 2 2 (2)编制按从小到大的顺序 1 1 1 ,计算 S 的通用程序。 S N 1 (N 1)2 1 22 1 N N 2 (3)按两种顺序分别计算 S 102 , S 104 , S 106 ,并指出有效位数。 (编制程序时用单精度) (4)通过本上机题,你明白了什么? 按从大到小的顺序计算 S N 的通用程序为: 按从小到大的顺序计算 S N 的通用程序为: #include数值分析上机作业
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