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线性代数讲义

线性代数讲义第一讲基本概念

1．线性方程组的基本概念

线性方程组的一般形式为:

11x

+…+a

21x

+…+a

…………

m1x

+…+a

其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.

线性方程组的解是一个n维向量(k

1,k

, …,k

)(称为解向量),它满足:当每个方程中的

未知数x

i 都用k

替代时都成为等式.

线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.

对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.

b 1=b

=…=b

=0的线性方程组称为齐次线性方程组.

n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).

把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.

2.矩阵和向量

(1)基本概念

矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.

由m?n个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m?n 型矩阵.例如

2 -1 0 1 1

1 1 1 0 2

2 5 4 -2 9

3 3 3 -1 8

是一个4?5矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵

11 a

… a

A= a21 a22… a2n 和(A|β)= a21 a22… a2n b2…………………

m1 a

… a

为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.

一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.

元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.

两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.

由n 个数构成的有序数组称为一个n 维向量,称这些数为它的分量.

书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a 1,a 2,? ,a n 的向量可表示成 a 1

(a 1,a 2,? ,a n )或 a 2 , ┆ a n

请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1?n 矩阵,右边是n ?1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)

一个m ?n 的矩阵的每一行是一个n 维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m 维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A 的列向量组为α1, α2,? ,αn 时(它们都是表示为列的形式!)可记A =(α1, α2,? ,αn ).

矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量α和β相等(记作α=β),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.

(2) 线性运算和转置

线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.

加(减)法:两个m ?n 的矩阵A 和B 可以相加(减),得到的和(差)仍是m ?n 矩阵,记作 A +B (A -B ),法则为对应元素相加(减).

数乘: 一个m ?n 的矩阵A 与一个数c 可以相乘,乘积仍为m ?n 的矩阵,记作c A ,法则为A 的每个元素乘c.

这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律: ① 加法交换律: A +B =B +A .

② 加法结合律: (A +B )+C =A +(B +C ).

③ 加乘分配律: c(A +B )=c A +c B .(c+d)A =c A +d A . ④ 数乘结合律: c(d)A =(cd)A . ⑤ c A =0? c=0 或A =0.

转置:把一个m ?n 的矩阵A 行和列互换,得到的n ?m 的矩阵称为A 的转置,记作A T

(或A '). 有以下规律: ① (A T )T = A . ② (A +B )T =A T +B T .

③ (c A )T =c A T .

转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当α是列向量时, α T 表示行向量, 当α是行向量时,α T 表示列向量.

向量组的线性组合:设α1, α2,…,αs 是一组n 维向量, c 1,c 2,…,c s 是一组数,则称 c 1α1+c 2α2+…+c s αs

为α1, α2,…,αs 的(以c 1,c 2,…,c s 为系数的)线性组合. n 维向量组的线性组合也是n 维向量.

(3) n 阶矩阵与几个特殊矩阵

行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.

把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)

下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.

对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.

单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).

数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E.

上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.

下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.

对称矩阵:满足A T=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.

(反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)

3. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵

矩阵有以下三种初等行变换:

①交换两行的位置.

②用一个非0的常数乘某一行的各元素.

③把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)

类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.

阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:

①如果它有零行,则都出现在下面.

②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.

把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.

简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,特点为:

③台角位置的元素为1.

④并且其正上方的元素都为0.

每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.

请注意: 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.

2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.

4. 线性方程组的矩阵消元法

线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).

线性方程组的同解变换有三种:

①交换两个方程的上下位置.

②用一个非0的常数乘某个方程.

③把某个方程的倍数加到另一个方程上.

以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.

线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法.

对非齐次线性方程组步骤如下:

(1)写出方程组的增广矩阵(A|β),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|γ).

(2)用(B|γ)判别解的情况:

如果最下面的非零行为(0,0, ?,0|d),则无解,否则有解.

有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r

(推论:当方程的个数m

(3)有唯一解时求解的初等变换法:

去掉(B|γ)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0|γ0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|η),则η就是解.

对齐次线性方程组:

(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.

(2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r

讨论题

1.设A是n阶矩阵,则

(A) A是上三角矩阵?A是阶梯形矩阵.

(B) A是上三角矩阵?A是阶梯形矩阵.

(D) A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直接的因果关系.

2.下列命题中哪几个成立?

(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵.

(2) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵.

(3) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.

(4) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.

(5) 如果 A 是阶梯形矩阵,则A和B都是阶梯形矩阵.

第二讲行列式

一.概念复习

1. 形式和意义

形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:

11 a

… a

a 21 a

… a

……… .

a n1 a

… a

如果行列式的列向量组为α1, α2, … ,αn ,则此行列式可表示为|α1, α2, … ,αn |. 意义:是一个算式,把这n 2

个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.

请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.

当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)

每个n 阶矩阵A 对应一个n 阶行列式,记作|A |.

行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0.

2. 定义(完全展开式) 2阶和3阶行列式的计算公式: a 11 a 12

a 21 a 22 = a 11a 22-a 12a 21 .

a 11 a 12 a 13

a 21 a 22 a 23 = a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 13a 22a 31- a 11a 23a 32-a 12a 21a 33. a 31 a 32 a 33

一般地,一个n 阶行列式 a 11 a 12 … a 1n

a 21 a 22 … a 2n

… … … a n1 a n2 … a nn

的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n 个元素的乘积,其一般形式为:

n nj j j a a a 2121,

这里把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项.

所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定τ(j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n 的逆序

数(意义见下面),则项n

nj j j a a a 2

21所乘的是.)

1()

(21n j j j

τ-

全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.

逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:

023********, τ(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 至此我们可以写出n 阶行列式的值: a 11 a 12 … a 1n

a 21 a 22 … a 2n =.)

1(21212121)

(n n n

nj j j j j j j j j a a a τ-∑

… … … a n1 a n2 … a nn

这里

∑

j j j 21表示对所有n 元排列求和.称此式为n 阶行列式的完全展开式.

用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.

2. 化零降阶法

把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij 的余子式,记作M ij .称A ij =(-1)i+j

M ij 为元素a ij 的代数余子式.

定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.

命题第三类初等变换(倍加变换)不改变行列式的值.

化零降阶法用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.

化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握.

3.其它性质

行列式还有以下性质:

① 把行列式转置值不变,即|A T |=|A | . ② 某一行(列)的公因子可提出.

于是, |c A |=c n

|A |.

③ 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量α=β+γ ,则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量α换为β或γ 所得到的行列式.例如

|α,β1+β2,γ |=|α,β1,γ |+|α,β2,γ |.

④ 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.

⑤ 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.

⑥ 某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0. ⑦ 如果A 与B 都是方阵(不必同阶),则 A * = A O =|A ||B |. O B * B

范德蒙行列式：形如

1 1 1 … 1 a 1 a

2 a

3 … a n

a 12 a 22 a 32 … a n 2

… … … …

a 1n-i a 2n-i a 3n-i … a n n-i

的行列式(或其转置).它由a 1,a 2 ,a 3,…,a n 所决定,它的值等于 ).(i j j

i a a -∏<

因此范德蒙行列式不等于0? a 1,a 2 ,a 3,…,a n 两两不同.

对于元素有规律的行列式(包括n 阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.

4.克莱姆法则

克莱姆法则应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为

1/D, D

/D,?,D

/D),

这里D是系数行列式的值, D

是把系数行列式的第i个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.

说明与改进:

按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断,而在这方面法则不够. 法则的改进:系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.

实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A|β)作初等行变换,使得A变为单位矩阵: (A|β)→(E|η),

η就是解.

用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A|≠0.

二. 典型例题

1.利用性质计算元素有规律的行列式

例1① 2 a a a a ② 1+x 1 1 1 ③ 1+a 1 1 1 a 2 a a a 1 1+x 1 1 2 2+a 2 2

a a 2 a a . 1 1 1+x 1 . 3 3 3+a 3 .

a a a 2 a 1 1 1 1+x 4 4 4 4+a

a a a a 2

例2 1 2 3 4 5

2 3 4 5 1

3 4 5 1 2 .

4 5 1 2 3

5 1 2 3 4

例3 1+x

1 1 1

1 1+x

1 1 .

1 1 1+x

1 1 1 1+x

例4 a 0 b c

0 a c b .

b c a 0

c b 0 a

例5 1-a a 0 0 0

-1 1-a a 0 0

0 -1 1-a a 0 . (96四)

0 0 -1 1-a a

0 0 0 -1 1-a

2. 测试概念与性质的题

例6 x3-3 1 -3 2x+2

多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数和最高次项的系数. X+3 -1 3

3x 2

-2

9 x 3 6 -6

例7 求 x-3 a -1 4

f(x)= 5 x-8 0 –2 的x 4和x 3的系数.

0 b x+1 1 2 2 1 x

例8 设4阶矩阵A =(α, γ1, γ2 ,γ3),B =(β, γ1, γ2 ,γ3),|A | =2, |B |=3 ,求|A +B | . 例9 a b c d

已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A 11=-9,A 12=3,A 13=-1,A 14=3,求x,y,z. 1 -z x+3 y y-2 x+1 0 z+3

例10 求行列式 3 0 4 0 的第四行各元素的余子式的和.(01) 2 2 2 2 0 -7 0 0 5 3 -2 2

3.几个n 阶行列式

两类爪形行列式及其值:

例11 a 1 a 2 a 3 … a n-1 a n b 1 c 2 0 … 0 0

证明 0 b 2 c 3 0 0 =11111

(1)n

i i i i n i b b a c c --+=-∑ .

… … … …

0 0 0 … b n-1 c n

提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出). 例12 a 0 a 1 a 2 … a n-1 a n

b 1

c 1 0 … 0 0

证明 b 2 0 c 2 … 0 0 =01111

i i i i i n i i a c c c a b c c -+==-∑∏ .

… … … … b n 0 0 … 0 c n

提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出). 另一个常见的n 阶行列式: 例13 证明

a+b b 0 … 0 0 a a+b b … 0 0

… … … … = 1

n n n

n i

i a

b a b

++-=-=

-∑(当a ≠b 时).

0 0 0 … a+b b 0 0 0 a a+b

提示:把第j列(行)的(-1)j-1倍加到第1列(行)上(j=2,…,n),再对第1列(行)展开.

4.关于克莱姆法则的题

例14

设有方程组

x 1+x

=a+b+c,

1+bx

+cx

=a2+b2+c2,

bcx

1+acx

+abx

=3abc.

(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c两两不等.

(2)在此情况求解.

参考答案

例1 ①(2+4a)(2-a)4.② x3(x+4). ③ a3(a+10).

例2 1875.

例3 x

例4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c). 例5 1-a+a2-a3+a4-a5.

例6 9,-6

例7 1,-10.

例8 40.

例9 x=0,y=3,z=-1.

例10 -28.

例14 x

1=a,x

=b,x

=c..

第三讲矩阵

一．概念复习

1. 矩阵乘法的定义和性质

定义2.1 当矩阵A的列数和B的行数相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.

设 a

11 a

… a

… b

… c

A= a21 a22... a2n B= b21 b22... b2s C=AB=c21 c22 (2)

………………………

a m1 a

… a

, b

… b

, c

… c

则

c ij =a

+…+a

矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:

① 矩阵乘法有条件.

② 矩阵乘法无交换律.

③ 矩阵乘法无消去律,即一般地由AB =0推不出A =0或B =0.

由AB =AC 和A ≠0推不出B =C .(无左消去律)

由BA =CA 和A ≠0推不出B =C . (无右消去律)

请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.

矩阵乘法适合以下法则:

① 加乘分配律 A (B +C )= AB +AC , (A +B )C =AC +BC . ② 数乘性质 (c A )B =c(AB ). ③ 结合律 (AB )C = A (BC ). ④ (AB )T

=B T

A T

2. n 阶矩阵的方幂和多项式

任何两个n 阶矩阵A 和B 都可以相乘,乘积AB 仍是n 阶矩阵.并且有行列式性质: |AB |=|A ||B |.

如果AB =BA ,则说A 和B 可交换.

方幂设k 是正整数, n 阶矩阵A 的k 次方幂A k 即k 个A 的连乘积.规定A 0=E . 显然A

的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则: ① A k A h = A k+h .

② (A k

= A kh

但是一般地(AB )k 和A k B k 不一定相等! n 阶矩阵的多项式

设f(x)=a m x m +a m-1x m-1+…+a 1x+a 0,对n 阶矩阵A 规定 f(A )=a m A m +a m-1A m-1+…+ a 1A +a 0E .

称为A 的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E .

乘法公式一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是乘法交换的,则乘法公式成立.例如

当A 和B 可交换时,有: (A ±B )2=A 2±2AB +B 2;

A 2-

B 2=(A +B )(A -B )=(A +B )(A -B ). 二项展开式成立: B A

B A -

=∑=

)

(等等.

前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.

同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n 阶矩阵的多项式可以因式分解.

3. 分块法则

矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵A 和B ,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵(一切A 的纵向切割和B 的横向切割一致!),再用它们来作乘法.

(1)两种常见的矩阵乘法的分块法则

A11 A12 B11 B12 = A11B11+A12B21 A11B12+A12B22

A21 A22 B21 B22 A21B11+A22B21 A21B12+A22B22

要求A ij的列数B jk和的行数相等.

准对角矩阵的乘法:

形如

A1 0 0

A= 0 A2 0

………

0 0 …A n

的矩阵称为准对角矩阵,其中A1,A2,…,A k都是方阵.

两个准对角矩阵

A1 0 ... 0 B1 0 0

A= 0 A2 ... 0 , B= 0 B2 0

………………

0 0 …A k 0 0 …B k

如果类型相同即A i和B i,则

A1B1 0 0

AB = 0 A2B2 … 0 .

………

00 …A k B k

(2)乘积矩阵的列向量组和行向量组

设A是m?n矩阵B是n?s矩阵.A的列向量组为α1,α2,…,αn,B的列向量组为β1, β2,…,βs, AB的列向量组为γ1, γ2,…,γs,则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形):

①AB的每个列向量为:γi=Aβi,i=1,2,…,s.

即A(β1, β2,…,βs)=(Aβ1,Aβ2,…,Aβs).

②β=(b1,b2,…,b n)T,则Aβ= b1α1+b2α2+…+b nαn.

应用这两个性质可以得到:如果βi=(b1i,b2i,…,b ni)T,则

γi=AβI=b1iα1+b2iα2+…+b niαn.

即:乘积矩阵AB的第i个列向量γi是A的列向量组α1, α2,…,αn的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量βi的各分量.

类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量.

以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.

(1) 当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.

(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:

用对角矩阵Λ从左侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行

向量; 用对角矩阵Λ从右侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.

数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.

两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.

求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.

(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.

例如设A=(α,β,γ), C=(α+2β-γ,3α-β+γ,α+2γ),令

1 3 1

B= 2 -1 0 ,则C=AB.

-1 1 2

(4) 初等矩阵及其在乘法中的作用

对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.

有三类初等矩阵:

E(i,j):交换E的i,j两行(或列)所得到的矩阵.

E(i(c)):用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵.也就是把E的对角线上的第i 个元素改为c.

E(i,j(c))(i≠j):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩阵, 也就是把E的(i,j)位的元素改为c.

命题对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.

4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)

(1) 矩阵方程

矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:

(I) AX=B.(II) XA=B.

这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)

当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B有s列,设 B=(β1, β2,…,βs),则 X也应该有s列,记X=(X1,X2,…,X s),则有AX i=βi,i=1,2,…,s,这是s个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX=B有唯一解.

这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得

(I)的解法:

将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时B变为解X.

(A|B)→(E|X)

(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T=B T.再用解(I)的方法求出X T,转置得X..

(A T|B T)→(E|X T)

矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.

(2) 可逆矩阵的定义与意义

定义设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵.

此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.

如果A可逆,则A在乘法中有消去律:

AB=0?B=0；AB=AC?B=C.(左消去律)；BA=0?B=0；BA=CA?B=C. (右消去律)

如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):

AB=C?B=A-1C. BA=C?B=CA-1.

由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:

(I) AX=B的解X=A-1B .(II) XA=B的解X= BA-1.

这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).

(3) 矩阵可逆性的判别与性质

定理 n阶矩阵A可逆?|A|≠0.

证明“?”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A|≠0. (并且|A-1|=|A|-1.) “?”因为|A|≠0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E, CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.

推论如果A和B都是n阶矩阵,则AB=E?BA=E.

于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.

可逆矩阵有以下性质:

①如果A可逆,则

A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.

A T也可逆,并且(A T)-1=(A-1)T.

当c≠0时, c A也可逆,并且(c A)-1=c-1A-1.

对任何正整数k, A k也可逆,并且(A k)-1=(A-1)k.

(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)

②如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)

初等矩阵都是可逆矩阵,并且

E(i,j)-1= E(i,j), E(i(c))-1=E(i(c-1)), E(i,j(c))-1= E(i,j(-c)).

(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵

①计算逆矩阵的初等变换法

当A可逆时, A-1是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换求A-1:

(A|E)→(E|A-1)

这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.

②伴随矩阵

若A是n阶矩阵,记A ij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为

11 A

… A

A*= A12 A22… A n2 =(A ij)T.

………

A 1n A

… A

请注意,规定n阶矩阵A的伴随矩阵并没有要求A可逆,但是在A可逆时, A*和A-1有密切关系.

基本公式: AA*=A*A=|A|E.

于是对于可逆矩阵A,有

A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.

因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.

和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵

a b * d -b

c d = -c a ,

因此当ad-bc≠0时,

a b -1 d -b

c d = -c a (ad-bc) .

伴随矩阵的其它性质:

①如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.

② |A*|=|A|n-1.

③ (A T)*=(A*)T.

④ (c A)*=c n-1A*.

⑤ (AB)*=B*A*；(A k)*=(A*)k.

⑥当n>2时,(A*)*=|A|n-2A； n=2时,(A*)*=A.

二典型例题

1.计算题

例1 α=(1,-2,3) T,β=(1,-1/2,1/3)T, A=αβ T,求A6.

讨论:(1)一般地,如果n阶矩阵A=αβ T,则A k=(βTα)k-1A=(tr(A ))k-1A .

(2)乘法结合律的应用:遇到形如βTα的地方可把它当作数处理.

① 1 -1 1

ααT= -1 1 -1 ，求αTα.（2003一）

1 -1 1

②设α=(1,0,-1)T, A=ααT,求|a E-A n|.

③ n维向量α=(a,0,?,0,a)T, a<0, A=E-ααT, A-1=E+a-1αα T,求a. (03三,四)

④ n维向量α=(1/2,0,?,0,1/2)T, A=E-αα T, B=E+2αα T,求AB. (95四)

⑤ A=E-αβ T,其中α,β都是n维非零列向量,已知A2=3E-2A,求αTβ.

例2(1999三) 1 0 1

设A = 0 2 0 ，求A n-2A n-1.(n>1)

1 0 1

例3 1 0 0

设A = 1 0 1 ，(1)证明当n>1时A n=A n-2+A2-E. (2) 求A n.

0 1 0

例4 设A为3阶矩阵, α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组,满足

Aα1=α1+α2+α3, Aα2=2α2+ α3, Aα3=2α2+3α3.

求作矩阵B,使得A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B. (2005年数学四)

例5设3阶矩阵A=(α1,α2,α3),|A|=1,B=(α1+α2+α3,α1+2α2+3α3,α1+4α2+9α3),求|B|.(05)

例6 3维向量α1, α2, α3, β1, β2, β3满足

α1+α3+2β1-β2=0, 3α1-α2+β1-β3=0, -α2+α3-β2+β3=0,

已知|α1, α2, α3|=a,求| β1, β2, β3|.

例7设A是3阶矩阵, α是3维列向量,使得P=(α,Aα,A2α)可逆,并且A3α=3Aα-2A2α.又3阶矩阵B满足A=PBP-1.

(1)求B.(2)求|A+E|.(01一)

2 1 0

例8 3阶矩阵A,B满足ABA*=2BA*+E,其中A= 1 2 0 ,求|B|.(04一)

0 0 1

例9 3 -5 1

设3阶矩阵A= 1 -1 0 , A-1XA=XA+2A,求X.

-1 0 2

例10 1 1 -1

设3阶矩阵A= -1 1 1 , A*X=A-1+2X,求X.

1 -1 1

例11 4阶矩阵A,B满足ABA-1=BA-1+3E,已知

1 0 0 0

A*= 0 1 0 0 ,求B. (00一)

1 0 1 0

0 -3 0 8

例12 3 0 0 1 0 0

已知A= 2 1 0 , B= 0 0 0 , XA+2B=AB+2X,求X11.

2 1

3 0 0 -1

例13设α1=(5,1,-5)T, α2=(1,-3,2)T, α3=(1,-2,1)T,矩阵A满足

Aα1=(4,3) T, Aα2=(7,-8) T, Aα3=(5,-5) T,

求A.

2.概念和证明题

例14 设A是n阶非零实矩阵,满足A*=A T.证明:

(1)|A|>0.

(2)如果n>2,则 |A|=1.

例15 设矩阵A=(a ij)3?3满足A*=A T,a11,a12,a13为3个相等的正数,则它们为

3.(B) 3. (C)1/3. (D) 3. (2005年数学三)

(A) 3/

例16 设A和B都是n阶矩阵,C= A 0 ,则C*=

0 B

(A) |A|A* 0 . (B) |B|B * 0 .

0 |B|B * 0 |A|A*

0 |B|A* 0 |A|B*

例17 设A是3阶矩阵,交换A的1,2列得B,再把B的第2 列加到第3 列上,得C.求Q,使得C=AQ.

例18 设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,则

(A) 交换A*的1,2行得到B*.

(B) 交换A*的1,2列得到B*.

(D) 交换A*的1,2列得到-B*.(2005年)

例19 设A是n阶可逆矩阵, 交换A的i,j行得到B.

(1) 证明B可逆.

(2) 求AB-1.

例20设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.

(1)证明A可逆,并且求A-1.(2)证明对任何整数c,A-c E可逆.

讨论: 如果f(A)=0,则

(1) 当f(x)的常数项不等于0时,A可逆.

(2) f(c)≠0时,A-c E可逆.

(3) 上述两条的逆命题不成立.

例21设α是n维非零列向量,记A=E-ααT.证明

(1) A2=A?αTα =1.

(2) αTα =1? A不可逆. (96一)

讨论: (2)的逆命题也成立.

例22 设A,B都是n阶矩阵,证明

E-AB可逆? E-BA可逆.

例23设3阶矩阵A,B满足AB=A+B.

(1) 证明A-E可逆.

(2) 设 1 -3 0

B= 2 1 0 ,求A.

0 0 2 (91)

例24设A,B是3阶矩阵, A可逆,它们满足2A-1B=B-4E.

(1) 证明A-2E可逆.

(2) 设 1 -2 0

B= 1 2 0 ,求A.

0 0 2 (2002)

例25设n阶矩阵A,B满足AB=a A+b B.其中ab≠0,证明

(1) A-b E和B-a E都可逆.

(2) A可逆? B可逆.

(3) AB=BA.

例26设A,B都是n阶对称矩阵, E+AB可逆,证明(E+AB)-1A也是对称矩阵.

例27 设A,B都是n阶矩阵使得A+B可逆,证明

(1) 如果AB=BA,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.

(2) 如果A.B都可逆,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.

(3) 等式B(A+B)-1A=A(A+B)-1B总成立.

例28设A,B,C都是n阶矩阵,满足B=E+AB,C=A+CA,则B-C为

(A) E.(B) -E. (C) A. (D) -A. (2005年数学四)

参考答案

1 -1/

2 1/3

例135A=35 -2 1 –2/3 .

3 -3/2 1

① 3.② a2(a-2n). ③ -1. ④ E. ⑤ 4.

例2 O.

例3 (1)提示: A n=A n-2+A2-E?A n-2(A2-E)=A2-E ? A(A2-E)=A2-E.

(2)n=2k时, 1 0 0

A n = k 1 0 .

k 0 1

n=2k+1时, 1 0 0

A n = k+1 0 1 .

k 1 0

例 4 1 0 0

B= 1 2 2 .

1 1 3

例5 2.

例 6 –4a.

例 7 0 0 0

B= 1 0 3 . |E+A|=-4

0 1 -2

例8 1/9.

例 9 -6 10 4

X= -2 4 2 .

-4 10 0

例 10 1 1 0

(1/4) 0 1 1 . 1 0 1 例 11 6 0 0 0

B = 0 6 0 0 . 6 0 6 0 0 3 0 -1

例 12 1 0 0

2 0 0 .

6 -1 -1 例 13 2 -1 1 -4 -2 -5 .

例15 (A). 例16 (D).

例 17 0 1 1

Q = 1 0 0 .

0 0 1

例18 (D).

例19 E (i,j). 例22 提示:用克莱姆法则.例如证明?,即在E -AB 可逆时证明齐次方程组(E -BA )X =0只有零解.

例23 1 1/2 0

A = -1/3 1 0 .

0 0 2 例 24 0 2 0

A = -1 -1 0 .

0 0 -2

例25 提示:计算(A -b E )(B -a E ).

例28 (A).

第四讲向量组的线性关系与秩

一.概念复习

1. 线性表示关系

设α1,α2,…,αs 是一个n 维向量组.

如果n 维向量β等于α1,α2,…,αs 的一个线性组合，就说β可以用α1,α2,…,αs 线性表示.如果n 维向量组β1, β2,…,βt 中的每一个都可以可以用α1,α2,…,αs 线性表示,就说向量 β1,β2,…,βt 可以用α1,α2,…,αs 线性表示.

判别“β是否可以用α1, α2,…,αs 线性表示? 表示方式是否唯一？”就是问：向量方程

x 1α1+ x 2α2+…+x s αs =β 是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以(α1, α2,…,αs |β)为增广矩阵的线性方程组.反之,判别“以(A |β)为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？”的问题又可转化为“β是否可以用A 的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题.

向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系: 乘积矩阵AB 的每个列向量都可以

表示为A 的列向量组的线性组合,从而AB 的列向量组可以用A 的列向量组线性表示;反之,如果向量组β1,β2,…,βt 可以用α1,α2,…,αs 线性表示,则矩阵(β1,β2,…,βt )等于矩阵(α1,α2,…,αs )和一个s ?t 矩阵C 的乘积. C 可以这样构造: 它的第i 个列向量就是βi 对α1,α2,…,αs 的分解系数(C 不是唯一的).

向量组的线性表示关系有传递性,即如果向量组β1,β2,…,βt 可以用α1,α2,…,αs 线性表示,而α1,α2,…,αs 可以用γ1,γ2,…,γr 线性表示,则β1,β2,…,βt 可以用γ1,γ2,…,γr 线性表示.

当向量组α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βt 互相都可以表示时,就说它们等价,并记作{α1,α2,…,αs }?{β1,β2,…,βt }.

等价关系也有传递性.

2. 向量组的线性相关性

(1) 定义(从三个方面看线性相关性)

线性相关性是描述向量组内在关系的概念,它是讨论向量组α1, α2,…,αs 中有没有向量可以用其它的s-1个向量线性表示的问题.

定义设α1,α2,…,αs 是n 维向量组,如果存在不全为0的一组数c 1,c 2,…,c s 使得

c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,

则说α1,α2,…,αs 线性相关,否则(即要使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,必须c 1,c 2,…,c s 全为0)就说它们线性无关.

于是, α1,α2,…,αs “线性相关还是无关”也就是向量方程x 1α1+ x 2α2+…+x s αs =0“有没有非零解”,也就是以(α1,α2,…,αs )为系数矩阵的齐次线性方程组有无非零解.

当向量组中只有一个向量(s=1)时,它相关(无关)就是它是(不是)零向量. 两个向量的相关就是它们的对应分量成比例.

(2) 性质

① 当向量的个数s 大于维数n 时, α1, α2,…,αs 一定线性相关.

如果向量的个数s 等于维数n,则 α1, α2,…,αn 线性相关?| α1, α2,…,αn |=0. ② 线性无关向量组的每个部分组都无关(从而每个向量都不是零向量).

③ 如果α1,α2,…,αs 线性无关,而α1,α2,…,αs ,β线性相关,则β可用α1,α2,…,αs 线性表示.

④ 如果β可用α1,α2,…,αs 线性表示,则表示方式唯一?α1,α2,…,αs 线性无关.

⑤ 如果β1,β2,…,βt 可以用α1,α2,…,αs 线性表示，并且t>s,则β1,β2,…,βt 线性相关. 推论如果两个线性无关的向量组互相等价,则它们包含的向量个数相等.

3.向量组的极大无关组和秩

(1) 定义

向量组的秩是刻画向量组相关“程度”的一个数量概念.它表明向量组可以有多大(指包含向量的个数)的线性无关的部分组.

定义设α1,α2,…,αs 是n 维向量组,(I)是它的一个部分组.如果 ① (I) 线性无关.

② (I) 再扩大就线性相关.

就称(I)为α1,α2,…,αs 的一个极大无关组.

条件②可换为:任何αI 都可用(I) 线性表示,也就是(I) 与α1,α2,…,αs 等价.

当α1,α2,…,αs 不全为零向量时,它就存在极大无关组,并且任意两个极大无关组都等价,从而包含的向量个数相等.

定义如果α1,α2,…,αs 不全为零向量,则把它的极大无关组中所包含向量的个数(是一个正整数)称为α1,α2,…,αs 的秩,记作r(α1,α2,…,αs ).如果α1,α2,…,αs 全是零向量,则规定r(α1,α2,…,αs )=0.

由定义得出: 如果r(α1,α2,…,αs )=k,则

i) α1,α2,…,αs 的一个部分组如果含有多于k 个向量,则它一定的相关. ii) α1,α2,…,αs 的每个含有k 个向量的线性无关部分组一定是极大无关组.

(2) 应用

① α1,α2,…,αs 线性无关? r(α1,α2,…,αs )=s.

② β可用α1,α2,…,αs 线性表示?r(α1,α2,…,αs ,β)=r(α1,α2,…,αs ).

(事实上若β不可用α1,α2,…,αs 线性表示,则r(α1,α2,…,αs ,β)=r(α1,α2,…,αs )+1.) 推论1: β可用α1,α2,…,αs 唯一线性表示?r(α1,α2,…,αs ,β)=r(α1,α2,…,αs )=s.

推论2: 如果r(α1,α2,…,αs )=维数n,则任何n 维向量β都可以用α1,α2,…,αs 线性表示. ③ β1,β2,…,βt 可以用α1,α2,…,αs 线性表示?

r(α1,α2,…,αs ,β1,β2,…,βt )=r(α1,α2,…,αs ).

推论: 如果 β1,β2,…,βt 可以用α1,α2,…,αs 线性表示,则 r(β1,β2,…,βt )≤r(α1, α2,? ,αs ). ④ α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βt 等价?

r(α1,α2,…,αs )= r(α1,α2,…,αs , β1,β2,…,βt )= r(β1,β2,…,βt ).

极大无关组和秩的概念可以推广到向量集合上(即包含的向量的个数不必有限),所有性质仍然成立.

4. 秩的计算,有相同线性关系的向量组

两个向量个数相同的向量组α1,α2,…,αs ,和 β1,β2,…,βs 称为有相同线性关系,如果向量方程

x 1α1+x 2α2+…+x s αs =0和x 1β1+x 2β2+…+x s βs =0

同解,即齐次线性方程组(α1,α2,…,αs )X =0和( β1,β2,…,βs )X =0同解.

当α1,α2,…,αs 和 β1,β2,…,βs 有相同线性关系时,

(1)它们的对应部分组有一致的线性相关性.

(2)它们的极大无关组相对应,从而它们的秩相等. (3)它们有相同的内在线性表示关系.

例如,当A 经过初等行变换化为B 时, AX =0和BX =0同解,从而A 的列向量组和B 的列向量组有相同线性关系.于是它们的极大无关组相对应,秩相等.

这样,就产生了计算一个向量组α1,α2,…,αs 的秩和极大无关组的方法:把此向量组作为列向量组构造矩阵(α1,α2,…,αs ),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B ,则B 的非零行数就是α1,α2,…,αs 的秩, B 的各台角所在列号对应的部分组是α1,α2,…,αs 的的一个极大无关组.

线性代数讲义2

第二章矩阵矩阵是线性代数的重要组成部分，也是以后各章中计算的重要工具.在矩阵的理论中，矩阵的运算起着重要的作用.我们在这一章里，将要介绍矩阵的基本概念及其运算. §2.1 矩阵的定义一、矩阵的定义首先看几个例子. 例1 设有线性方程组 ??? ????=++-=+-+=++--=--+7 7391833 32154321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个矩形阵列如下： ????? ???????------77391111833312111151 这个阵列决定着给定方程组是否有解？以及如果有解，解是什么等问题.因此对这个阵列的研究很有必要. 例2 某企业生产5种产品，各种产品的季度产值（单位：万元）如表2-1. 这个排成4行5列的产值阵列? ? ??? ???? ???768082708880909075907684857098 6478755880具体描述了这家企业各种产品各季

度的产值，同时也揭示了产值随季节变化规律的季增长率及年产量等情况. 例3 生产m 种产品需用n 种材料，如果以ij a 表示生产第i 种产品（m i ，， 2,1=）耗用第j 种材料（n j ，， 2,1=）的定额，则消耗定额可以用一个矩形表表示，如表2-2. 表2-2 这个由行列构成的消耗定额阵列 ? ? ??? ???????mn m m n n a a a a a a a a a 2 1 2222111211 描述了生产过程中产出的产品与投入材料的数量关系. 类似这样的数表，我们在自然科学、工程技术和经济管理等不同领域中经常遇到.这种数表在数学上就叫做矩阵.下面我们给出矩阵的定义. 定义由n m ?个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==排成m 行n 列的数表 ? ? ??? ???????=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 (2-1-1) 叫做m 行n 列矩阵，简称n m ?矩阵.这n m ?个数叫做矩阵A 的元素，ij a 叫做矩阵A 的第i 行第j 列元素. 一般情形下，用大写字母A ，B ，C ，…表示矩阵.为了标明矩阵的行数m 和列数n ，可用n m A ?表示，或记作() n m ij a ?.

线性代数讲义

线性代数讲义线性代数攻略线性代数由两部分组成: 第一部分:用矩阵解方程组(判断解的存在性,用有限个解表示所有的解)第二部分:用方程组解矩阵(求特征值,特征向量,对角化,化简实二次型)主观题对策 1. 计算题精解计算题较之选择题与填空题难度几乎没有增加,但计算量大大增加,故出错的机会大幅增长,因此应力求用简便方法解决问题. 一.行列式的计算: 单纯计算行列式的题目大概永远不会出现.所以需要结合其它的知识点. l 核心内容范德蒙行列式/余子式/代数余子式/Cramer法则: l 典型方法降阶法(利用Gauss消元法化为三角矩阵:常常是将所有的行或列加到一起)/特征值法(矩阵的行列式等于其特征值之积)/行列式的其它性质(转置矩阵/逆矩阵/伴随矩阵/矩阵之积) 例1 计算下述三个n阶矩阵的行列式： . 解先算|B|=xn;再算|A|：故|C|= |A|(-1)(1+?+n)+[(n+1)+…+(2n)] |B-1| =(-1)(1+2n)n(n+x)/x. 例2(2004-4) 设矩阵 ,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,则|B|=[ ]. 分析化简可得(A-2E)BA*=E；于是|A-2E||B||A*|=1. 又|A*|=9,|A-2E|=1,所以|B|=1/9. (切忌算B=(A-2E)-1(A*)-1.) 例3 设4×4矩阵A=(x,a,b,g), B=(h,b,g,a). 若|A|=1, |B|=2,则行列式|A+B|=[ ].

正解：|A+B|=|x+h, a+b, b+g, g+a|=|x+h, 2(a+b+g), b+g, g+a|=2|x+h, a+b+g, b+g, g+a| =2|x+h, a, b+g, g+a|=2|x+h, a, b+g, g|=2|x+h, a, b, g|=2(|x, a, b, g|+|h, a, b, g|)=2(|A|+|B|)=6. 巧解:正解令人羡慕,但可能想不起来.于是令A=E,则.但|B|=2,所以取最简单的 .于是 ,故|A+B|=6. 例4 若四阶方阵A的特征值分别为-1,1,2,3,则行列式|A-1+2A*|=[ ]. 解此题考查对特征值的理解.特征值的性质中最重要(也是最简单的)的有两条，即所有特征值的和等于矩阵的迹(=对角线元素之和),而所有特征值的积等于矩阵的行列式.因此|A|= -6!剩余的就是简单的变形了: A-1+2A* = A-1 (E+2A A*) = A-1 (E+2|A|E)=-11A-1. 故|A-1+2A*|=|-11A-1|=(-11)4|A-1|=-114/6. 本题有巧解,你想到了吗?对!就让A是那个满足条件的最简单的矩阵! 例2(上海交大2002) 计算行列式其中,. 本题只要对特征多项式有一定认识,则易如反掌.所求行列式对应的矩阵A=xE+B, 其中B=(aibj)的任意两行均成比例,故其秩为1(最重要的矩阵类型之一)或0,但由题中所给条件,B10,于是,B至少有n-1个特征值为0,另有一特征值等于trB= a1b1+ a2b2+…+ anbn10. 从而,A有n-1个特征值x,另有一个特征值x+trB.OK 例3(2001) 设A为三阶矩阵,X为三维向量,X,AX, A2X线性无关,A3X=4AX-3A2X.试计算行列式|2A2+3E|. 很多人觉得此题无从下手,实在冤枉了出题人.由A3X=2AX-3A2X可知, A(A2+3A-4E)X=0.由此知, |A|=0:否则,A可逆,X,AX, A2X将线性相关,矛盾!从而(A2+3A-4E)X=0:故X是齐次线性方程组(A2+3A-4E)Y=0的非零解.于是|A2+3A-4E|=0.故A的三个特征值为0,1,-4.于是2A2+3E的三个特征值为3,5,35.所以, |2A2+3E|=3′5′35=525. 例4(1995) 设n阶矩阵A满足AA￠=I,|A|<0,求|A+I|. 解首先, 1=|AA￠|=|A|2,所以|A|=-1. 其次, |A+I|=|A+AA￠|=|A||I+A￠|=|A||I+A|=-|I+A|, 故|A+I|=0. (涉及的知识点: |A|=|A￠|, (A+B)￠=A￠+B￠.) 例5(1999)设A是m′n矩阵,B是n′m矩阵,则

考研数学线性代数讲义

1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E. 2.若涉及到A.B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 3.若题设n阶方阵A满足f（A）=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。 4.若要证明一组向量a1，a2，…，as线性无关，先考虑用定义再说。 5.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。 6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 7.若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。 8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 2010考研基础班线性代数主讲：尤承业第一讲基本概念线性代数的主要的基本内容：线性方程组矩阵向量行列式等一．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为: 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n个数 C,2C, …, n C构成,它满足:当每个方程中 1 的未知数1x都用1C替代时都成为等式. 对线性方程组讨论的主要问题两个:

(1)判断解的情况. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。 (2)求解,特别是在有无穷多解时求通解. 齐次线性方程组: 021====n b b b 的线性方程组.0,0,…,0 总是齐次线性方程组的解,称为零解. 因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 二.矩阵和向量 1.基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展. 矩阵由数排列成的矩形表格, 两边界以圆括号或方括号, m 行n 列的表格称为m ?n 矩阵. 这些数称为他的元素,位于第i 行j 列的元素称为(i,j)位元素. 5401 23-是一个2?3矩阵. 对于上面的线性方程组,称矩阵 mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211=和m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A 21212222111211)(=β

[线性代数电子讲义] [1] 行列式的定义

[线性代数]第一章行列式 1 二阶与三阶行列式的引入 2n阶行列式的定义 3行列式的性质 4余子式与代数余子式 5行列式的展开定理 6线性方程组的Gramer 法则 7典型例题回顾

用消元法解二元线性方程组: ?? ?=+=+, ,22221211212111b x a x a b x a x a :2x 消去◇二阶行列式 2 122211211b b a a a a ,)(212221*********b a a b x a a a a -=-:1x 消去, )(211211*********a b b a x a a a a -=-时，当021122211≠-a a a a ，211222112122211a a a a b a a b x --=. 21 12221121 12112a a a a a b b a x --=1.二阶与三阶行列式的引入

22 211211a a a a [定义1]22 2112 11a a a a 21 122211a a a a -=: 记号主对角线副对角线 [二阶行列式计算:对角线法则] 2211a a =21 12a a -22 2112 11a a a a : 224列的数表行个数排成设有，211222112122211a a a a b a a b x --=. 21 12221121 12112a a a a a b b a x --=21122211a a a a -代数式称为该数表所确定的二阶行列式.

,22 21 12 11a a a a D = ?? ?=+=+. ,22221211212111b x a x a b x a x a 二元方程组: [系数行列式] [二元方程组的Gramer 法则] ?? ?=+=+. , 22221211212111b x a x a b x a x a 22211211a a a a D =,222 12 1 1a b a b D = ?211222112 122211a a a a b a a b x --=D D x 1 1=

自考04184线性代数(经管类)讲义

自考高数线性代数课堂笔记第一章行列式线性代数学的核心容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。 1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。注意：在线性代数中，符号不是绝对值。例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。（主对角线减次对角线的乘积）例如（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0 三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。例如：（1） =1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0 （2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如

例1a为何值时， [答疑编号10010101：针对该题提问] 解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时， [答疑编号10010102：针对该题提问] 解：解得0

线性代数英文讲义

Chapter 4 Linear Transformations In this chapter, we introduce the general concept of linear transformation from a vector space into a vector space. But, we mainly focus on linear transformations from n R to m R. §1 Definition and Examples New words and phrases Mapping 映射 Linear transformation 线性变换 Linear operator 线性算子 Dilation 扩张 Contraction 收缩 Projection 投影 Reflection 反射 Counterclockwise direction 反时针方向 Clockwise direction 顺时针方向 Image 像 Kernel 核 1.1 Definition ★Definition A mapping(映射) L: V W is a rule that produces a correspondence between two sets of elements such that to each element in the first set there corresponds one and only one element in the second set. ★Definition A mapping L from a vector space V into a vector space W is said to be a linear transformation（线性变换）if

线性代数讲义-01行列式

第一章行列式第一节行列式的定义. 一排列的逆序数将数n ,,2,1 按照某个顺序排成一行, 称为一个n 阶排列. 记作n p p p 21. 共有!n 种不同的n 阶排列. 按照从小到大的顺序称为标准顺序. 而排列n 12称为标准排列. 定义1.1 如果在一个排列中, 某两个数的先后顺序与标准顺序相反, 则称有一个逆序. 这个排列的逆序的总数称为该排列的逆序数. 在n 阶排列中, 标准排列的逆序数最小, 等于0. 而排列1)1( -n n 的逆序数最大, 等于2/)1(-n n . 定义1.2 如果一个排列的逆序数是奇数(偶数), 则称其为奇排列(偶排列). 例如, 共有6个三阶排列, 其中123, 231, 312是偶排列, 而132, 213, 321是奇排列. 定义 1.3 在排列中, 将任意两个数对调, 其余数不动, 这种产生新排列的过程称为对换. 将两个相邻的数对换, 称为相邻对换. 定理1.1 一个排列中的任意两个数对换, 排列改变其奇偶性. 证如果这两个数相邻, 进行对换时, 只改变这两个数的先后顺序. 因此, 逆序数或者增加1, 或者减少1. 即进行相邻对换时, 奇偶性改变. 考虑排列n k i i i p p p p p ++11, 其中1>k . 为完成i p 与k i p +的对换, 其余数不动,可按照下面方式进行. 先将i p 与1+i p 对换, 再将i p 与2+i p 对换, 继续进行, 直至i p 与k i p +相邻. 在这个过程中, i p 逐渐向后移动, 而其他数的先后顺序不变. 如此共进行1-k 次对换, 得到排列n k i i i p p p p p ++11. 然后将k i p +与i p 对换, 再将k i p +与1-+k i p 对换, 继续进行, 直至k i p +向前移动到1+i p 的左边为止. 此时恰好得到排列n i i k i p p p p p 11++.如此又进行k 次相邻对换. 总计进行12-k 次相邻对换, 因此, 必然改变奇偶性. 如果用定义计算一个排列的逆序数, 需要观察任意一对数的先后顺序, 比较繁琐. 考虑n ,,2,1 的一个排列n p p p 21, 任取一个数i p , 如果有i t 个比i p 大的数排在i p 的前面, 则称i t 是i p 的逆序数. 所有数的逆序数的和就是排列的逆序数. 例1.1 求排列32514的逆序数. 解按照上面的方法, 得逆序数为513010=++++. 例1.2 设1>n , 求证: 在n 阶排列中, 奇排列与偶排列各占一半. 证将一个奇排列中的数1与2对换, 产生一个偶排列. 反之, 将一个偶排列中的数1与2对换, 产生一个奇排列. 如此建立奇排列与偶排列之间的一一对应. 因此, 在n 阶排列中, 奇排列与偶排列的个数相等. 二行列式定义以前学过二阶与三阶行列式: 2112221122 21 1211a a a a a a a a -=;

线性代数知识点归纳(1)

线性代数知识点归纳（1）第一部分行列式 1、排列的逆序数 2、行列式按行（列）展开法则 3、行列式的性质及行列式的计算行列式的定义 1、行列式的计算：①（定义法） ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和、推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零、③（化为三角型行列式）上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积、④ 若都是方阵（不必同阶），则⑤关于副对角线：⑥范德蒙德行列式： ⑦型公式：⑧（升阶法）在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法、⑨（递推公式法）对阶行列式找出与或，之间的一种关系一一称为递推公式，其中，，等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法、（拆分法）把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算、⑩（数学归纳法） 2、对于阶行列式，恒有：，其屮为阶主子式；

3、证明的方法：①、；②、反证法；③、构造齐次方程组，证明其有非零解；④、利用秩，证明；⑤、证明0是其特征值、 4、代数余子式和余子式的关系：第二部分矩阵 1、矩阵的运算性质 2、矩阵求逆 3、矩阵的秩的性质 4、矩阵方程的求解 1、矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵、记作：或同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等、矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等、矩阵运算&、矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）、b、数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为、c、矩阵与矩阵相乘：设，，则，其中注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律，即公式不成立、8、分块对角阵相乘：，b、用对角矩阵乘一个矩阵，相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量；c、用对角矩阵乘一个矩阵，相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量、d、两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘、④方阵的幕的性质：，⑤矩阵的转置：把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作、8、对称矩阵和反对称矩阵：是对称矩阵、是反对称矩阵、b、分块矩阵的转置矩阵：⑥伴随矩阵：，为屮各个元素的代数余子式、，，、分块对角阵的伴随矩

2014汤家凤线性代数辅导讲义

文都教育2014年考研数学春季基础班线性代数辅导讲义主讲：汤家凤第一讲行列式一、基本概念定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1 的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i τ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。定义3 行列式—称nn n n n n a a a a a a a a a D 21 2222111211 = 称为n 阶行列式，规定 n n n nj j j j j j j j j a a a D 21212121) ()1(∑-= τ 。定义4 余子式与代数余子式—把行列式nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221112 11 = 中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。二、几个特殊的高阶行列式 1、对角行列式—形如 n a a a 000 0021 称为对角行列式， n n a a a a a a 2121 00 00 0=。 2、上（下）三角行列式—称 nn n n a a a a a a 00 022211211及 nn n n a a a a a a 21 222111 0为上（下）三角行

列式， nn nn n n a a a a a a a a a 221122211211 00 0=， nn nn n n a a a a a a a a a 221121222111 0=。 3、 ||||B A B O O A ?=， ||||B A B O C A ?=， ||||B A B C O A ?=。 4、范得蒙行列式—形如1121 121211 11 ),,,(---= n n n n n n a a a a a a a a a V 称为n 阶范得蒙行列式，且 n i j j i n n n n n n a a a a a a a a a a a V ≤<≤----== 11121 12 121)(1 11 ),,,(。【注解】0),,,(21≠n a a a V 的充分必要条件是n a a a ,,,21 两两不等。三、行列式的计算性质（一）把行列式转化为特殊行列式的性质 1、行列式与其转置行列式相等，即T D D =。 2、对调两行（或列）行列式改变符号。 3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。推论1行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。推论2行列式某两行（或列）相同，行列式为零。推论3行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。 4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即 nn n n in i i n nn n n in i i n nn n n in in i i i i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a 2 121112112 121112 11212 21 111211 +=+++。

线性代数讲义

目录第一讲基本概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的情况的判别基础解系和通解第六讲特征向量与特征值相似与对角化特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程组的解集的关系附录四06,07年考题第一讲基本概念 1．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为: a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1, a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2, ………… a m1x1+a m2x2+…+a mn x n= b m, 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, …,k n)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i都用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b1=b2=…=b m=0的线性方程组称为齐次线性方程组. n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. 2.矩阵和向量 (1)基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展. 由m?n个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m?n型矩阵.例如 2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2 9 3 3 3 -1 8

大学线性代数必过复习资料

复习重点：第一部分行列式 1．排列的逆序数（P.5 例4；P.26 第2、4 题） 2．行列式按行（列）展开法则（P.21 例13；P.28 第9 题）3．行列式的性质及行列式的计算（P.27 第8 题）第二部分矩阵 1．矩阵的运算性质 2．矩阵求逆及矩阵方程的求解（P.56 第17、18 题；P.78 第5 题） 3．伴随阵的性质（P.41 例9；P.56 第23、24 题；P.109 第 25 题）、正交阵的性质（P.116） 4．矩阵的秩的性质（P.69 至71；P.100 例13、14、15）第三部分线性方程组 1．线性方程组的解的判定（P.71 定理3；P.77 定理4、5、6、7），带参数的方程组的解的判定（P.75 例13；P.80 第16、 17、18 题） 2．齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） 3．非齐次线性方程组的解的结构（通解）

第四部分向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换） 1 .向量组的线性表示 2.向量组的线性相关性 3.向量组的秩第五部分方阵的特征值及特征向量 1.施密特正交化过程 2.特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8 9、10; P.135 第7至13题） 3.矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（P.135第15、16、19、23 题）要注意的知识点：线性代数 1、行列式 1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2?代数余子式的性质： ①、A j和a,的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ；

线性代数知识点总结(第1、2章)上课讲义

线性代数知识点总结（第1、2章）（一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。（6）两行成比例，行列式的值为0。（二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明

★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开 9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如

线性代数讲义-复习知识树

线性代数绪论一、线性代数研究的核心问题代数——用字母代替数；代数学——关于字母运算的学说，研究的中心内容：解方程。初等代数（用字母代替数）： )1( 一元一次方程 )2(

行列式解法消元法四元一次方程组三元一次方程组二元一次方程组无一般根式解一元五次及更高次方程根式解或求根公式一元四次方程一元三次方程一元二次方程??????????????????→? ?? ???)2()1( 问题一：如何求解含更多个未知数的一次方程组？ 1．Varga ，1962年提到在Bettis 原子能实验室已经解了108000个未知数的方程组； 2．70年代末，我国“全国天文大地网首次整体平差计算”课题，核心部分是求解一个含16万个未知数31万个方程式的矛盾方程组。一般地，如何求解含n 个未知数m 个一次方程的方程组：

? ?????=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 其中未知数之间的关系由加法与数乘来实现，称这种关系为线性关系，称相应的方程组为线性方程组。线性代数如何求解线性方程组发展??→? 线性代数研究的核心问题——求解线性方程组。字母——代替代数量（如行列式、向量、矩阵、张量等）。线性代数定义——研究具有线性关系的代数量的一门学科。问题二：一元高次方程及多元高次方程组（简称为代数方程（组））的有关问题，如：根的个数、根的性质（实根、虚根、重根等）、根的分布（上界与下界、分布区域等）、根的近似计算、公共根等。研究代数方程（组）??→?发展多项式代数

线性代数讲义

线性代数（Linear Algebra ）引言（Introduction ） 1. 数学数学（數學、mathematics ）在我国古代叫算（筭、祘）术，后来叫算学或数学；直到1939年6月，为了划一才确定统一用数学．“数学是研究现实世界的量的关系和空间形式的科学”，分为代数、几何等． 2. 代数代数(algebra)分为古典代数和近世代数．古典代数(ancient algebra)基本上就是方程论，以方程的解法为中心．如：一元一次方程 )0(≠=a b ax 的解为b a x 1 -=；一元二次方程 )0(02 ≠=++a c bx ax 的解为)2/()4(22,1a ac b b x -±-=；一元三、四次方程也有类似的求根公式（16世纪）；但是，一元n 次方程当n ≥5时却无一般的“求根公式”（参见数学史或近代数）；根式求解条件的探究导致群概念的引入，这最早出现在Lagrange 1770年和1771年的著作中；1799年Ruffini 给出“证明”（群论思想）；Abel 进一步给出严格的证明，开辟了近世代数方程论的道路（1824年和1826年），包括群论和方程的超越函数解法；Galois 引入代换群彻底解决了代数方程根式可解的条件，开辟了代数学的一个崭新的领域——群论．从而使代数的研究对象转向研究代数结构本身，此即近世代数．近世代数(modern algebra)又称抽象代数（abstract algebra ）包括代数数论、超复数系、线性代数、群论、环论、域论、格论、李（Lie ）群、李代数、代数几何、代数拓扑，等等． 3. 线性代数如果保持一元一次方程中未知量的指数（一次的）不变，而增加未知量及方程的个数，即得到线性（一次）方程组．先看下面三个例子：例1 （《孙子算经》卷下第31题）“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问

线性代数讲义1

线性代数与解析几何讲义（部分）引言（Introduction ） 1. 数学数学（數學、mathematics ）在我国古代叫算（筭、祘）术，后来叫算学或数学；直到1939年6月，为了划一才确定统一用数学．“数学是研究现实世界的量的关系和空间形式的科学”，分为代数、几何等． 2. 代数代数(algebra)分为古典代数和近世代数．古典代数(ancient algebra)基本上就是方程论，以方程的解法为中心．如：一元一次方程 )0(≠=a b ax 的解为b a x 1-=；一元二次方程 )0(02 ≠=++a c bx ax 的解为)2/()4(2 2,1a ac b b x -± -=；一元三、四次方程也有类似的求根公式（16世纪）；但是，一元n 次方程当n ≥5时却无一般的“求根公式”（参见数学史或近代数）；根式求解条件的探究导致群概念的引入，这最早出现在Lagrange 1770年和1771年的著作中；1799年Ruffini 给出“证明”（群论思想）；Abel 进一步给出严格的证明，开辟了近世代数方程论的道路（1824年和1826年），包括群论和方程的超越函数解法；Galois 引入代换群彻底解决了代数方程根式可解的条件，开辟了代数学的一个崭新的领域——群论．从而使代数的研究对象转向研究代数结构本身，此即近世代数．近世代数(modern algebra)又称抽象代数（abstract algebra ）包括代数数论、超复数系、线性代数、群论、环论、域论、格论、李（Lie ）群、李代数、代数几何、代数拓扑，等等． 3. 线性代数如果保持一元一次方程中未知量的指数（一次的）不变，而增加未知量及方程的个数，即得到线性（一次）方程组．先看下面三个例子：例1 （《孙子算经》卷下第31题）“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二．”

考研数学春季基础班线性代数辅导讲义汤家凤

2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义- 主讲：汤家凤第一讲行列式一、基本概念定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1 的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为 )(21n i i i τ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。定义3 行列式—称nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 11211 = 称为n 阶行列式，规定 n n n nj j j j j j j j j a a a D 21212121)()1(∑ -= τ。定义4 余子式与代数余子式—把行列式nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 11211 = 中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。二、几个特殊的高阶行列式 1、对角行列式—形如 n a a a 000 21 称为对角行列式，n n a a a a a a 2121 00 =。

2、上（下）三角行列式—称 nn n n a a a a a a 0 022211211 及 nn n n a a a a a a 21 2221 11 0为上（下）三角行列式， nn nn n n a a a a a a a a a 2211222112110 0=，nn nn n n a a a a a a a a a 2211212221 11 0=。 3、 ||||B A B O O A ?=， ||||B A B O C A ?=， ||||B A B C O A ?=。 4、范得蒙行列式—形如1121 121211 11 ),,,(---= n n n n n n a a a a a a a a a V 称为n 阶范得蒙行列式，且 n i j j i n n n n n n a a a a a a a a a a a V ≤<≤----== 11121 121 21)(1 11 ),,,(。【注解】0),,,(21≠n a a a V 的充分必要条件是n a a a ,,,21 两两不等。三、行列式的计算性质（一）把行列式转化为特殊行列式的性质 1、行列式与其转置行列式相等，即T D D =。 2、对调两行（或列）行列式改变符号。 3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。推论1行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。推论2行列式某两行（或列）相同，行列式为零。推论3行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。 4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即 nn n n in i i n nn n n in i i n nn n n in in i i i i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a 2 121112112 121112 11212 21 111211 +=+++。 5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即

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