第六章平行四边形
1.了解多边形的定义,多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念;探索并掌握多边形内角和与外角和公式.
2.理解平行四边形的概念;了解四边形的不稳定性.
3.探索并证明平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等;平行四边形的对角线互相平分.探索并证明平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形.
4.了解两条平行线之间距离的定义,能度量两条平行线之间的距离.
5.探索并证明三角形中位线定理.
6.探索平行四边形的中心对称性质.
1.经历平行四边形的性质定理和判定定理的探究过程.
2.经历三角形中位线定理的探究证明过程.
3.经历多边形的内角和定理的探究过程和外角和定理的证明过程.
1.在探究平行四边形的性质定理和判定定理、三角形中位线定理、多边形的内角和定理和外角和定理以及它们的应用中,体会一些数学思想方法,如分类讨论思想、构造思想、转化思想等.
2.在整个教学活动中,丰富学生从事数学活动的经验,进一步提高合情推理能力,增强简单的逻辑推理意识,培养学生克服困难的信心、与人交流的合作精神和养成从实践到理论再到实践的科学态度.
首先通过图形的拼、剪引入平行四边形,逐步探索平行四边形的对边、对角、对角线的有关性质以及平行四边形的判定方法,然后在直观的、现实的情境和一些探索性活动中研究三角形中位线定理,最后,通过一个十分有趣的“多边形广场”的连续情境,比较自然地呈现多边形内角和、外角和的探索过程.本章特别强调图形性质的探索过程,而不是简单地得到平行四边形的性质定理和判定定理、三角形中位线定理、多边形的内角和定理和外角和定理.
结合以上分析的教材编写思路,在教学中首先要创设使用教材中问题的情境,把教材中不动的问题情境转化为学生互动的问题情境,在教师的引导下,经过学生充分的思考、讨论,并结合大量特例,由学生自己归纳、总结发现.此外,还要根据实际情况,对不同的学生进行有针对性的指导,使不同的学生都有发展,真正把课堂还给学生,使学生真正地变为课堂学习的主人,教师只是学生学习的引导者和组织者.
【重点】
1.平行四边形的性质定理.
2.平行四边形的判定定理.
3.三角形中位线定理.
4.多边形的内角和定理.
5.多边形的外角和定理.
【难点】
1.三角形中位线定理的证明和熟练应用.
2.平行四边形的性质定理和判定定理、三角形中位线定理、多边形的内角和定理和外角和定理的综合应用.
3.在证明和解决有关问题的探究中添加适当的辅助线,使问题得以解决.
1.立足学生的生活经验和已有的数学活动经验,创设恰当的问题情境,展现图形性质的探索过程.
本章教材在引导学生探索有关结论时,设计了一些问题情境.教学中,教师可以利用教材中呈现的素材.如果条件允许,教师也可以根据实际情况创设更现实、更有趣的问题情境.
2.让学生经历“探索——发现——猜想——证明”的完整过程,加深对合情推理和演绎推理的认识.
在本章教学中,不论是平行四边形的性质定理和判定定理,还是三角形中位线定理、多边形的内角和定理与外角和定理,都建议让学生先进行自主探索,通过探索发现结论,然后进行证明.要让学生体会证明活动是探索活动的自然延续和必要发展,感受合情推理与演绎推理是相互依赖、相互补充的辩证关系.
3.重视对证明思路的启发,鼓励尝试多种证明方法.
在本章有关证明的教学中,教师应为学生的积极思考创设条件,鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法;提倡证明方法的多样性,并引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同,提高推理论证水平.同时教师在教学时也应注意教学策略的多样化,以满足学生多样化的学习需求.
回顾与思考1课时
1平行四边形的性质
探索和证明平行四边形的性质.
经历平行四边形性质的探究、归纳过程,体会通过观察、猜想、操作、论证获得数学知识的方法.
提高学生参加数学活动的积极性,注重理论和实际相结合.
【重点】平行四边形的性质的探究与应用.
【难点】平行四边形的性质的探究.
第课时
1.理解并能说出平行四边形的定义.
2.理解并能说出平行四边形的对称性和对边相等、对角相等的性质,且能够证明.
经历平行四边形性质的探究、归纳过程,体会通过观察、猜想、操作、论证获得数学知识的方法.
通过独立探索、合作交流等良好学习态度的形成,促进学生自主学习能力的提高.
【重点】
1.平行四边形的性质的探究、平行四边形的性质的应用.
2.探索和证明平行四边形的性质.
【难点】平行四边形的性质的探究.
【教师准备】多媒体课件.
【学生准备】两张全等的三角形纸板、刻度尺、量角器.
同学们,你们留意观察过阳光透过长方形窗口投在地面上的影子是什么形状吗?
学生根据自己的生活经验,可能回答:平行四边形、长方形、四边形……
【教师点评】太阳光属于平行光,长方形窗口在地面上的影子通常是平行四边形,平行四边形是我们常见的一种图形.有人说平行四边形是一种很美的图形,因为它有一种对称美.
引出本节课研究内容:板书课题——平行四边形的性质.
[设计意图]通过生活实例,既可以活跃课堂气氛,又简单易懂.通过类比让学生体会平行四边形的相关概念,自然导入本节课的教学,并且揭示了课题.
导入二:
【问题】同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张.将一张纸对折,剪下两张叠放的三角形纸片,将它们相等的一组对边重合,得到一个四边形.
(1)你拼出了怎样的四边形?与同桌交流一下;
(2)给出小明拼出的四边形,它们的对边有怎样的位置关系?说说你的理由,请用简洁的语言刻画这个图形的特征.
【学生活动】两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线.
【教师活动】平行四边形定义中的两个条件:①四边形;②两组对边分别平行,即AD∥BC且AB∥DC;平行四边形的表示为“?”.
注意:平行四边形中对边是指无公共点的边,对角是指不相邻的角,邻边是指有公共端点的边,邻角是指有一条公共边的两个角.而三角形中对边是指一个角的对边,对角是指一条边的对角.(教学时要结合图形,让学生认识清楚)
[设计意图]通过学生动手实践,引出平行四边形的定义,使学生自然过渡到新知识的学习.
导入三:
平行四边形是我们常见的图形,小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏等,都设计成平行四边形的形状.
平行四边形在生活中比比皆是,那么它有什么样的性质?又如何判断一个四边形是平行四边形呢?这就是我们这节课要学习的内容.
[设计意图]通过生活实例,既可以活跃课堂气氛,又简单易懂,自然过渡到对平行四边形的性质的学习.
实践探索:
(1)通过剪纸,拼纸片,及旋转,可以观察到平行四边形的对边、对角分别相等.
(2)可以通过推理来证明这个结论.
(平行四边形对边相等的证明)如图(1)所示,四边形ABCD是平行四边形.
求证AB=CD,BC=DA.
证明:如图(2)所示,连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,BC∥DA(平行四边形的定义).
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵AC=CA,
∴△ABC≌△CDA.
∴AB=DC,BC=DA.
学生证明:平行四边形的对角相等.
[设计意图]学生通过说理,由直观感受上升到理性分析,在操作感知的基础上提升了对平行四边形的性质的理解.
【做一做】(1)平行四边形是中心对称图形吗?如果是,你能找出对称中心并验证你的结论吗?(2)你还发现平行四边形具有哪些性质?
生1:平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心.
生2:平行四边形的对边相等,平行四边形的对角相等.
[设计意图]这个探索活动与上一环节的探索活动有所不同,是从整体的角度研究平行四边形中心对称的性质,明确了两条对角线的交点就是其对称中心,感知平行四边形的对边相等,平行四边形的对角相等的性质.
O是?ABCD对角线AC的中点.用透明纸覆盖在如图所示的图形上,描出?ABCD及其对角线AC,再用大头针钉在点O处,将透明纸上的?ABCD旋转180°.你有什么发现?
学生独立探索得到?ABCD绕点O旋转180°后与原来的图形重合.从而得到平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心.
思考:从验证?ABCD是中心对称图形的过程中,你发现平行四边形还具有哪些性质?
发现:平行四边形的对边相等、对角相等.
[设计意图]通过动手操作让学生理解平行四边形是中心对称图形.设计“思考”的目的是为了让学生通过操作更好地理解平行四边形的性质.
二、议一议
如果已知平行四边形的一个内角度数,能确定其他三个内角的度数吗?
【学生活动】学生小组内思考、议论.
【教师点评】可以确定其他三个内角的度数.
[设计意图]由平行四边形的对边分别平行得到邻角互补.因为平行四边形的对角相等,所以已知平行四边形的一个内角的度数,可以确定其他三个内角的度数.
三、例题讲解
(多媒体课件给出).
(教材例1)已知:如图所示,在?ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,并且AE=CF.
求证BE=DF.
〔解析〕本例是对所学的平行四边形的性质的简单应用.鼓励学生寻求证明思路.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD(平行四边形的对边相等),
AB∥CD(平行四边形的定义).
∴∠BAE=∠DCF.
又∵AE=CF,
∴△ABE≌△CDF.
∴BE=DF.
(补充例题)如图所示,在?ABCD中,AE=CF,求证AF=CE.
〔解析〕要证AF=CE,需证△ADF≌△CBE,由于四边形ABCD是平行四边形,因此有∠D=∠
B,AD=BC,AB=CD,又AE=CF,根据等式性质,可得BE=DF.由“边角边”可得出三角形全等,从而得到所需要的结论.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠D=∠B,AD=BC,AB=CD.
∵AE=CF,∴BE=DF.
∴△ADF≌△CBE.
∴AF=CE.
[设计意图]通过例题及补充例题,使学生进一步理解平行四边形的性质,并能进行简单的合情推理.
[知识拓展]1.平行四边形是特殊的四边形,因此上述性质是一般四边形不具备的特殊性质.
2.在学习三角形时,我们通常从边、角两方面考虑性质与判定,由于四边形有对角线,故在考虑平行四边形的性质与判定时主要从边、角、对角线三个方面着手,对角线是沟通四边形与三角形的桥梁和纽带,通过学习我们将进一步深刻体会将四边形问题化为三角形问题的转化思想的应用.
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线.
3.平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心.
4.平行四边形的对边相等.
5.平行四边形的对角相等.
1.在?ABCD中,若∠B=60°,则∠A=,∠C=,∠D=.
答案:120°120°60°
2.在?ABCD中,若∠A比∠B大20°,则∠C=.
解析:由∠A+∠B=180°,∠A-∠B=20°,解得∠A=100°,所以∠A=∠C=100°.故填100°.
3.在?ABCD中,若AB=3,BC=5,则AD=,CD=.
解析:AD=BC=5,CD=AB=3.
答案:5 3
4.(2015·梅州中考)如图所示,在?ABCD中,BE平分∠ABC,BC=6,DE=2,求?ABCD的周长.
解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AE∥BC,AD=BC,AB=CD,
∴∠AEB=∠EBC.
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,
∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE,
∴AE+DE=AD=BC=6,
∴AE+2=6,∴AE=4,
∴AB=CD=4,
∴?ABCD的周长=4+4+6+6=20.
5.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,BE=DF.求证AE=CF.
证明:∵BE=DF,
∴BE-EF=DF-EF,
∴BF=DE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC.
∴∠ADE=∠CBF.
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(SAS).∴AE=CF.
第1课时
一、平行四边形的性质
二、议一议
三、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第137页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第137页习题6.1的2,3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·衢州中考)如图所示,在?ABCD中,已知AD=12cm,AB=8cm,AE平分∠BAD交BC于点E,则CE的长等于()
A.8cm
B.6cm
C.4cm
D.2cm
2.如图所示,点E是?ABCD的边CD的中点,AD与BE的延长线相交于点F,DF=3,DE=2,则?ABCD的周长为()
A.5
B.7
C.10
D.14
3.在平行四边形ABCD中,
(1)若∠A-∠B=30°,则∠A,∠B,∠C,∠D的度数分别为;
(2)若平行四边形ABCD的周长为48,且AB∶BC=1∶2,则AB=,BC=.
4.如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则图中全等的三角形有哪几对呢?
【能力提升】
5.如图所示,在?ABCD中,∠B=110°,延长AD至F,延长CD至E,连接EF,则∠E+∠F的值为()
A.110°
B.30°
C.50°
D.70°
6.在?ABCD中,若∠A+∠C=200°,则∠B的度数是()
A.100°
B.160°
C.80°
D.60°
7.如图所示,在平行四边形ABCD中,EF∥BC,GH∥AB,EF,GH相交于点O,图中共有平行四边形的个数为
()
A.6
B.7
C.8
D.9
8.如图所示,在?ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为()
A.4
B.3
C.
D.2
【拓展探究】
9.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,∠C=60°,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.
(1)求∠EDF的度数;
(2)若AE=4,CF=7,求平行四边形ABCD的周长.
【答案与解析】
1.C(解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠DAE=∠AEB.又∵AE平分∠BAD,∴∠DAE=∠EAB.∴∠EAB=∠AEB,∴AB=BE.∵AD=12cm,AB=8cm,∴BC=12cm,BE=8cm.∴CE=BC-CE=4cm.故选C.)
2.D
3.(1)105°75°105°75°(2)816
4.解:可以找到4对全等三角形,它们是:△AOB≌△COD,△AOD≌△COB,△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB.
5.D(解析:由平行四边形的对角相等可得∠ADC=110°,再由∠ADC+∠FDC=180°,得出∠FDC=
70°,所以∠E+∠F=∠FDC=70°.)
6.C(解析:∵∠A+∠C=200°,∠A=∠C,∴∠A=100°.又AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∴∠B=180°-∠A=80°.故选C.)
7.D(解析:图中的平行四边形有:?AEOG,?BHOE,?CHOF,?OFDG,?ABHG,?CHGD,?AEFD,?BEFC,?ABCD.)
8.B(解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE.∵CE平分∠DCB,∴∠DCE=∠BCE,∴∠DEC=∠DCE,∴DE=DC=AB.∵AD=2AB,∴AD=2CD,∴AD=2DE,∴AE=DE=3,∴DC=AB=DE=3.故选B.)
9.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∠A=∠C=60°,∠C+∠B=180°.∵∠C=60°,∴∠B=180°-∠
C=120°.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEB=∠DFB=90°,∴∠EDF=360°-∠DEB-∠DFB-∠B=60°. (2)在Rt△ADE和Rt △CDF中,∠A=∠C=60°,∴∠ADE=∠CDF=30°,∴AD=2AE=8,CD=2CF=14,∴平行四边形ABCD的周长为
2×(8+14)=44.
本节教材中直观感知的活动较多,能培养学生一定的逻辑思考能力及说理能力.因此,从理性角度分析
平行四边形的性质特点是非常重要的.
在“议一议,做一做”环节中,要引导学生有条理地用数学语言叙述思考过程.
增加实际生活的例子,激发学生的学习兴趣,提高学习的效率.
随堂练习(教材第137页)
1.解:能.设一个内角的度数为x°,则其他三个内角的度数分别为:180°-x°,x°,180°-x°.
2.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ADC=∠B=56°,∠BCD=180°-∠B=124°. (2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC=25,BC=AD=30.
习题6.1(教材第137页)
1.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BCD=∠A=48°,∠B=180°-∠A=132°,AD=BC=3cm.
2.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CB,∴∠ACB=∠CAD=21°.∵∠ADC=125°,∴∠ABC=125°.∴∠
DAB=180°-∠ADC=55°,∴∠CAB=∠DAB-∠CAD=55°-21°=34°.
3.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∠B=∠D,∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF.
4.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ADC=∠ABC,∵DF平分∠ADC,∴∠CDF=∠ADC.同理,∠ABE=∠ABC,∴∠CDF=∠ABE.∵DC∥BA,∴∠CDF=∠AFD,∴∠AFD=∠ABE,∴DF∥EB.∵DE∥FB,∴四边形DEBF是平行四边形,∴BF=DE.
本节的主要内容是平行四边形的定义和平行四边形对边相等、对角相等的性质.这一节是全章的重点之一,为学好全章打下基础.
学习这一节的基础是建立在平行线的性质、全等三角形和四边形的基础之上的,课堂上可引导学生回忆有关知识.
平行四边形的定义在小学里学过,学生是不生疏的,但对于概念的本质属性的理解并不深刻,所以这里不仅要复习巩固,而且要加深理解.
为了有助于学生对平行四边形本质属性的理解,在讲平行四边形的定义前,要把平行四边形的对边、对角让学生认清楚.
讲定义时要强调“四边形”和“两组对边分别平行”这两个条件,一个“四边形”必须具备有“两组对边分别平行”时才是平行四边形;反之,平行四边形就一定是“有两组对边分别平行”的一个“四边形”.
要指出,定义既是平行四边形的一个判定方法,又是平行四边形的一个性质.
教材是先让学生用观察、度量和猜想的方法得到平行四边形的对边相等、对角相等这两条性质的,然后用两个三角形全等,证明了这两条性质.这有利于培养学生观察、分析、猜想、归纳知识的自学能力.
教学中可以通过大量的生活实例引入新课,使学生在对已有知识的认知基础上去探索数学发展的规律,达到用问题创设数学情境,提高学生的学习兴趣.
然后让学生通过具体问题的观察、猜想出一些不同于一般四边形的性质,进一步由学生归纳总结得到平行四边形的性质.同时教师整理出一种推导平行四边形性质的范式,让学生在教师的范式的引导下,初步达到演绎数学论证过程的能力.
最后通过不同层次的典型例题、习题,让学生自己理解并掌握本节课的知识.
第课时
1.进一步理解平行四边形的定义,平行四边形的对称性、对边相等、对角相等的性质.
2.理解并能够说出平行四边形的对角线互相平分的性质,且能够进行证明.
3.能够运用平行四边形的定义和性质证明或解决有关问题.
经历平行四边形的性质的探究、归纳过程,体会通过观察、猜想、操作、论证获得数学知识的方法.
通过独立探索、合作交流等良好的学习态度的形成,促进学生自主学习能力的提高.
【重点】
1.理解并能够证明平行四边形的对角线互相平分的性质.
2.应用平行四边形的性质证明和解决有关问题.
【难点】综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.
【教师准备】多媒体课件.
【学生准备】复习上节课所学内容.
导入一:
复习提问:
(1)什么样的四边形是平行四边形?
(2)平行四边形的性质:
①具有一般四边形的性质.
②角:平行四边形的对角相等,邻角互补.
③边:平行四边形的对边相等.
(3)那么平行四边形的对角线有什么特点呢?
[设计意图]复习上节课的知识点,在此基础上,引出本节课的知识点,形成一个知识体系,使学生的学习具有连贯性.
导入二:
一位饱经沧桑的老人经过一辈子的辛勤劳动, 到晚年的时候,终于拥有了一块平行四边形的土地,由于年迈体弱,他决定把这块土地分给他的四个孩子,他是按如图所示的方式分的.当四个孩子看到时,争论不休,都认为自己的地少.同学们,你认为老人这样分合理吗?为什么?
本节课,我们将继续学习平行四边形的有关性质,你将会明白老人的分法是否合理.
[设计意图]把知识融入到故事情境中,能够提高学生的学习兴趣.
一、性质总结
思路一
【探究】请学生在纸上画两个全等的?ABCD和?EFGH,并连接对角线AC,BD和EG,HF,设它们分别交于点O.把这两个平行四边形摞在一起,在点O处钉一个图钉,将?ABCD绕点O沿顺时针方向旋转180°,观察它还能和?EFGH重合吗?你能从中看出上节课所得到的平行四边形的边、角关系吗?进一步,你还能发现平行四边形的什么性质?
结论:(1)平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心;
(2)平行四边形的对角线互相平分.
[设计意图]利用实际动手操作的形式,让学生在活动中提炼出平行四边形的对角线的性质,印象深刻,容易理解.
【师生活动】请尝试证明这一结论.
(平行四边形的对角线互相平分的证明)已知:如图所示,?ABCD的对角线AC与BD相交于点O.
求证OA=OC,OB=OD.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD(平行四边形的对边相等).
AB∥CD(平行四边形的定义).
∴∠BAO=∠DCO,∠ABO=∠CDO.
∴△ABO≌△CDO.
∴OA=OC,OB=OD.
追问:你还有其他的证明方法吗?与同伴交流.
(提示:还可以证明△BOC≌△DOA)
[设计意图]通过对上节课动手操作活动的回顾,得出平行四边形对角线互相平分的性质,再通过严格的说理证明,深化对知识的理解.
[教法说明]因为有上节课的基础,学生对于定理的证明已具备一定的基础,但是在证明定理之后应该给学生强调:定理的证明只是让学生进一步理解定理,而在定理运用时则直接由平行四边形可得出其对角线互相平分.
[过渡语]看来大家对平行四边形的性质的理解已经透彻了,下面我们就一起来探究一下它的应用吧!
(补充例题)已知:如图(a)所示,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O与AB,CD分别相交于点E,F.
求证OE=OF,AE=CF,BE=DF.
〔解析〕由平行四边形的对角线互相平分,得到OA=OC,继而得到相关三角形全等,从而得证.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
又∵OA=OC(平行四边形的对角线互相平分),
∴△AOE≌△COF(AAS).
∴OE=OF,AE=CF(全等三角形的对应边相等).
∴AB-AE=CD-CF,即BE=DF.
【延伸思考】若补充例题中的条件都不变,将EF转动到图(b)所示的位置,那么补充例题的结论是否仍成立?若将EF向两方延长与平行四边形的一组对边的延长线分别相交,如图(c)和图(d)所示,补充例题的结论是否仍成立?说明你的理由.
(教材例2)已知:如图所示,?ABCD的对角线AC与BD相交于点O,过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,F.
求证OE=OF.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DO=BO(平行四边形的对角线互相平分).
AD∥BC(平行四边形的定义).
∴∠ODE=∠OBF.
∵∠DOE=∠BOF,
∴△DOE≌△BOF.
∴OE=OF.
三、做一做
如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADB=90°,OA=6,OB=3.求AD和AC的长度.
〔解析〕本题意在让学生综合运用平行四边形的性质解决简单问题,教学时还可以让学生求其他边长.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC=6,OB=OD=3,
∴AC=12.
又∠ADB=90°,
∴在Rt△ADO中,根据勾股定理,得:
OA2=OD2+AD2,
∴AD2=OA2-OD2=62-32=27.
∴AD=3.
[知识拓展]在一次数学探究活动中,小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分,使含有一组对顶角的两个图形全等.
(1)请在图(1)中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线?
(2)由上述操作,你发现所画的两条直线有什么规律?
解:(1)如图(2)所示.(答案不唯一)
(2)规律:所画的两条直线都经过平行四边形ABCD的对角线的交点.
平行四边形的性质:
(1)平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心;
(2)平行四边形的对角线互相平分.
1.判断对错:
(1)在?ABCD中,AC交BD于O,则AO=OB=OC=OD.()
(2)平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等.()
(3)平行四边形的两组对边分别平行且相等.()
(4)平行四边形是轴对称图形.()
解析:(1)在?ABCD中,AC交BD于O,AC和BD不一定相等,则AO=OB=OC=OD是错误的.(2)由三角形全等,可以证明平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等.(3)由平行四边形的性质和定义可知平行四边形的两组对边分别平行且相等.(4)平行四边形只是中心对称图形,不是轴对称图形.
答案:(1)?(2)√(3)√(4)?
2.(2015·宁波中考)如图所示,在?ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件,使△ABE≌△CDF,那么添加的条件不能为()
A.BE=DF
B.BF=DE
C.AE=CF
D.∠1=∠2
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠ABE=∠CDF.若添加BE=DF,则根据SAS可判定△ABE≌△CDF;若添加BF=DE,由等量减等量差相等得BE=DF,再根据SAS可判定△ABE≌△CDF;若添加AE=CF,不能判定△ABE≌△CDF;若添加∠1=∠2,则根据ASA可判定△ABE≌△CDF.故选C.
3.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,OA,OB,AB的长度分别为3cm,4cm,5cm,求其他各边以及两条对角线的长度.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,OA=OC,OB=OD.
又OA=3cm,OB=4cm,AB=5cm,
∴AC=6cm,BD=8cm,CD=5cm.
∵在△AOB中,32+42=52,
即AO2+BO2=AB2,
∴∠AOB=90°,
∴AC⊥BD,
∴在Rt△AOD中,OA2+OD2=AD2,
∴AD=5cm,BC=5cm.
答:这个平行四边形的其他各边长都是5cm,两条对角线的长分别为6cm和8cm.
第2课时
一、性质总结
(1)平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是对称中心;
(2)平行四边形的对角线互相平分.
二、例题讲解
三、做一做
一、教材作业
【必做题】
教材第139页随堂练习.
【选做题】
教材第139页习题6.2的1,2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在平行四边形中,周长等于48,
(1)已知一边长为12,求其他各边的长;
(2)已知对角线AC,BD交于点O,△AOD与△AOB的周长的差是10,求各边的长.
2.如图所示,在平行四边形ABCD中,∠A=150°,AB=8cm,BC=10cm,求平行四边形ABCD的面积.
3.如图所示,已知平行四边形ABOC中,A(2,1),B(4,-3),求点C的坐标.
【能力提升】
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,点D在BC上,在以AC为对角线的平行四边形ADCE 中,DE的长最小是()
A.2
B.3
C.4
D.5
5.平行四边形一边长为10,一条对角线长为6,则它的另一条对角线长a的取值范围为()
A.4 B.14 C.12 D.8 6.如图所示,在周长为20cm的平行四边形ABCD中,AB≠AD,AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于E,则△ABE的周长为() A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm 7.如图所示,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD,BC于点M,N,若△CON的面积为2,△DOM的面积为4,则△AOB的面积为. 8.如图(1)所示,在?ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,∠AEB=45°,BD=2,将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内,若点B的落点记为点B',如图(2)所示,则DB'的长为. 【拓展探究】 9.(2015·大连中考)如图所示,在?ABCD中,AC,BD相交于点O,AB=10cm,AD=8cm,AC⊥BC,则OB= cm. 10.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,AB⊥AC,∠DAC=45°,AC=2,求BD长. 【答案与解析】 1.解:(1)已知一边长为12,由性质可知对边长为12,周长等于48,可得邻边长为12,所以各边的长均为1 2. (2)已知对角线AC,BD交于点O,△AOD的周长为AO+OD+AD,△AOB的周长为AB+OB+AO,由于 BO=OD,所以AB-AD=10或AD-AB=10,所以AB=17,AD=7或AB=7,AD=17,故各边的长为17,7,17,7. 2.解:过点A作AE⊥BC于E,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠BAD+∠B=180°.∵∠BAD=150°,∴∠B=30°.在Rt△ABE中,∠B=30°,∴AE==4cm,∴平行四边形ABCD的面积=4×10=40(cm2). 3.提示:作CM⊥x轴于M,作AN∥y轴,BN∥x轴,可证△COM≌△ABN,∴OM=BN=2,CM=AN=4,∴点C的坐标为C(-2,4). 4.B(解析:∵四边形ADCE是平行四边形,∴OD=OE,OA=OC.∴当OD的长最小时,DE的长最小,此时BC⊥DE.∵AB⊥BC,∴AB∥DE.又AE∥BC,∴四边形ABDE是平行四边形,∴ED=AB=3.故选B.) 5.B(解析:两条对角线的一半和长为10的边构成一个三角形,由三角形的三边关系,得10-3<<10+3,解得14 6.) 6.D(解析:根据平行四边形的性质,得OB=OD,又EO⊥BD,根据线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,得BE=DE,故△ABE的周长=AB+AE+DE=AB+AD=×20=10(cm).故选D.) 7.6(解析:因为四边形ABCD是平行四边形,所以∠CAD=∠ACB,OA=OC,因为∠AOM=∠CON,所以△CON≌△AOM,现在可以求出S△AOD=4+2=6.再根据O是DB的中点可以求出S△AOB=S△AOD=6.) 8.(解析:将△ABC沿AC所在直线翻折180°,有对应线段BE=B'E,对应角∠AEB=∠AEB'=45°,∴∠BEB'=∠DEB'=90°.∵BE=DE=B'E=1,∴在Rt△DEB'中,DB'==.) 9.(解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴CO=AC,BC=AD=8cm.∵AB=10cm,AC⊥ BC,∴AC===6(cm),∴CO=3cm,∴BO===(cm).故填.) 10.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=AC=1,OB=OD.∵AB⊥AC,∠DAC=45°,∴AB=AC=2.在直角三角形AOB中,根据勾股定理,得OB=,∴BD=2OB=2. 本节课,以问题为载体,采取学生动手实践、自主探究的学习方式.在教学过程中,实施开放式教学,创设民主、轻松的教学氛围,最大限度地调动学生的积极性,激发他们的学习兴趣.教师成为课堂问题的激发者、有序探究的组织者、学生错误的澄清者、多角度思考的促进者,使师生成为“数学学习的共同体”. 由于学生的水平不一,可能有学生跟不上,对于综合题目理解不到位. 设计分层练习,或者组织学习小组,互相学习.例题处理时可让学生先独立完成,教师再点评鼓励学生用 不同的方法证明结论或计算结果. 随堂练习(教材第139页) 解:∵OA=3,OB=4,AB=5,∴△ABO是直角三角形.∴AC和BD互相垂直平 分,∴AB=BC=CD=DA=5,AC=2OA=6,BD=2OB=8. 习题6.2(教材第139页) 1.解:其他三边长分别为9m,16m,9m. 2.解:在Rt△ABD中,BD===6,∴OB=BD= 3.平行四边形ABCD的面积=6×8=48. 3.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,OB=OD,AB∥CD,∴∠EBO=∠FDO,∵∠BOE=∠DOF,∴△BOE≌ △DOF(ASA),∴BE=DF,∴AE=CF. 4.解:(1)所有的直线都交于一点O:对角线的交点. (2)经过平行四边形对称中心的直线将这个平行四边形分成两部分,这两部分可以绕对称中心旋转180°而相互得到. 1.本节课的主要内容是平行四边形的对角线互相平分,通过旋转得到平行四边形是中心对称图形且对 角线互相平分.这一节知识综合性较强,教学中要注意引导学生,巩固基础知识和基本技能,加强对解题思路 的分析,解题思想方法的概括. 2.教学时要讲明线段互相平分的意义和表示方法.如图所示,设四边形ABCD的对角线AC,BD相交于 点O,若AC与BD互相平分,则有OA=OC,OB=OD. 3.在平行四边形中,从一条边上的任意一点,向对边画垂线,这点与垂足间的距离(或从这点到对边垂线 段的长,或者说这条边和对边的距离),叫做以这条边为底的平行四边形的高.这里所说的“底”是相对高而言的. 4.平行四边形的面积等于它的底和高的积,即S?ABCD=a·h.其中a可以是平行四边形的任何一边,h必须是a边与其对边的距离,即对应的高,如图(1)所示.为了区别,有时也可以把高记成h a,h AB,表明它们所对应的底是a或AB.要避免学生发生如图(2),(3)的错误. 5.通过本节的学习,归纳平行四边形的性质时,可以按边、角、对角线进行总结.通过复习总结,使学生掌握这些知识,也培养学生养成复习总结的习惯,并提高他们归纳总结的能力. 如图所示,平行四边形ABCD的面积为20cm2,对角线AC,BD相交于点O;以AB,AO为邻边作平行四边形AOC1B,对角线AC1,OB相交于点O1;以AB,AO1为邻边作平行四边形AO1C2B;…;以此类推,则平行四边形AO4C5B的面积为cm2. 〔解析〕根据平行四边形的对角线互相平分,得到下一个图形的面积是上一个图形的面积的是解题的关键.∵O为平行四边形ABCD的对角线的交点,∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于平行四边形ABCD底边AB上的高的,∴平行四边形AOC1B的面积=S?ABCD.∵平行四边形AOC1B的对角线交于点 O1,∴平行四边形AO1C2B底边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的,∴平行四边形 AO1C2B的面积=×S?ABCD=,…,以此类推,平行四边形AO4C5B的面积===(cm2).故填. 2平行四边形的判定 1.理解并能够证明平行四边形的判定定理. 2.能够应用平行四边形的定义和平行四边形的判定定理判定一些相关的平行四边形. 经历平行四边形判别条件的探索过程,在有关活动中发展学生的合情推理意识. 通过平行四边形判别条件的探索,培养学生面对挑战,勇于克服困难的意志,增强学好数学的自信心. 【重点】 1.平行四边形判定方法的探究. 2.运用平行四边形的判定方法判定有关的平行四边形. 【难点】对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用. 第课时 1.理解并能够证明平行四边形的前两个判定定理,即两组对边分别相等的四边形是平行四边形和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 2.能够应用平行四边形的定义和平行四边形的前两个判定定理判定一些相关的平行四边形. 经历平行四边形判别条件的探索过程,在有关活动中发展学生的合情推理意识. 通过平行四边形判别条件的探索,培养学生面对挑战,勇于克服困难的意志,鼓励学生大胆尝试,从中获得成功的体验,激发学生的学习热情. 【重点】 1.平行四边形判定方法的探究. 2.运用平行四边形的判定方法判定有关的平行四边形. 【难点】对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用. 【教师准备】根据学生不同特长每4人分成一个学习活动研究小组. 【学生准备】每人准备两根等长的木条.
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