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高中数学应用题专题复习讲解(教案解析完整版)

专题：高中数学应用题

所谓应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题。数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化成相应的数学问题。

解应用题的一般思路：首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，就是从实际问题出发，经过去粗取精、抽象概况、利用数学知识建立相应的数学模型。再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去。在解决时要做到“读、建、解、答”四步。

数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型。高考中一般编制一道解答题和两道选择填空题。解答这类问题的要害是深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，这就需要建立恰当的数学模

型，这当中，函数函数，，数列数列，，不等式，排列组合、概率是较为常见的模型，而三角三角，

，立几立几，

，解几，统计，算法等模型也应在复习时引起重视。下面谈谈解决应用题突破口种种，供参考。

一、突破口之一突破口之一——————学会数学建模分析的步骤

学会数学建模分析的步骤高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型，另外，估测计算型和信息迁移型也时有出现。当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化，紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色。求解应用题的一般步骤是：

1、审题：抓住问题中关键词，弄清问题的情景和变化过程，使问题数学化。

2、建模：注意问题涉及知识点或新概念、新原理，分析数量关系，运用数学符号语言、图象语言，建立问题的数学模型。

3、解题：根据数学模型，选择恰当的数学工具与方法，求得未知数或未知关系，获得问题的数学解。

4、检验：通过检验选择符合实际的解。

5、写答案：写出问题的实际解。

二、突破口之二突破口之二——————掌握数学建模分析的具体方法

掌握数学建模分析的具体方法1、关系分析法关系分析法。

。即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法。

例1、（1996年全国高考题）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现有增加22％，人均粮食产量比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，那么耕地每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？（粮食单产＝总产量耕地面积；人均粮食产量＝总产量总人口数

）分析：此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景，给出两组数据，要求考生从两条线索抽象数列模型，然后进行比较与决策。

解：1。读题：问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率，其中人均粮食占有量P ＝粮食单产×耕地面积总人口数

，主要关系是：P 实际≥P 规划。2。建模：设耕地面积平均每年至多减少x 公顷，现在粮食单产为a 吨／公顷，

现在人口数为m ，则现在占有量为a m

×104

，10年后粮食单产为a(1＋0。22)，人口数为m(1＋0。01)10，耕地面积为（104－10x ）。∴a x m (.)()(.)

102210101001410+?+≥a m ×104

（1＋0。1）即1。22（104－10x ）≥1。1×104×（1＋0。01）10

3。求解：x ≤103－

11122..×103×（1＋0。01）10∵

（1＋0。01）10＝1＋C 101×0。01＋C 102×0。012＋C 103×0。013＋…≈…≈11。1046∴x ≤103－995。9≈4（公顷）

4。评价：答案x ≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答。（答略）

另解：1。读题：粮食总产量＝单产×耕地面积；

粮食总占有量＝人均占有量×

总人口数；

而主要关系是：粮食总产量≥粮食总占有量

2。建模：设耕地面积平均每年至多减少x 公顷，现在粮食单产为a 吨／公顷，现在人口数为m ，则现在占有量为a m

×104

，10年后粮食单产为a(1＋0。22)，人口数为m(1＋0。01)10，耕地面积为（104－10x ）。

∴a(1＋0。22)22)××(1O 4－10x)10x)≥≥a m

×104×(1＋0。1)1)××m(1＋0。01)103。求解：x ≤103－

11122..×103×（1＋0。01）10∵

（1＋0。01）10＝1＋C 101×0。01＋C 102×0。012＋C 103×0。013＋…≈…≈11。1046∴x ≤103－995。9≈4（公顷）

4。评价：答案x ≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答。（答略）

说明：本题主要是抓住各量之间的关系，注重3个百分率。其中耕地面积为等差数列，总人口数为等比数列模型，问题用不等式模型求解。本题两种解法，虽都是建立不等式模型，但建立时所用的意义不同，这要求灵活掌握，还要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应用于近似计算等知识熟练。此种解法可以解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题。此种题型属于不等式模型，也可以把它作为数列模型，相比之下，主要求解过程是建立不等式模型后解出不等式。

在解答应用问题时，我们强调“评价”这一步不可少！它是解题者的自我调节，比如本题求解过程中若令1。0110≈1，算得结果为x ≤98公顷，自然会问：耕地减少

这么多，符合国家保持耕地的政策吗？于是进行调控，检查发现是错在1。0110的近似计算上。

2、作图分析法。即通过作图的方式探索问题的数学模型的方法。

例2、在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2。5km/h ，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h ，在水中游的速度为2km/h 。，问此人能否追上小船。若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？

读懂题目：由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。

建立数学模型：

解:不妨画一个图形，将文字语言翻译为图形语言，进而想法建立数学模型。

设船速为v ，显然h km v /4≥时人是不可能追上小船，当20≤≤v km/h 时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑42<

时间为t ，人在岸上跑的时间为)10(<

为t k )1(?，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形。

,||,)1(2||,4||vt OB t k AB kt OA ?==∵由余弦是理得

°???+=15cos ||||2||||||222OB OA OB OA AB 即42

64.2)()4()1(42222+???+=?vt kt vt kt t k 整理得04]8)26(2[1222=?+?+?v k v k 。

B v t 2(1－k )t 4k t 15°

要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有

112402

0)4(124]8)26(2[22≥?????+=?v v 解得h km v v /22,222max =≤<即。故当船速在]22,2(内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为h km /22，由此可见当船速为2。

5km/h 时，人可以追上小船。3、图像分析法。即通过对图像中的数量关系进行分析来建立问题数学模型的方法。例3、（西红柿种植与销售问题）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示，

（1）、写出图1表示的市场售价与时间的函

数关系式P f t =()；

图1

写出图2表示的种植成本与时间的函数

关系Q g t =()；

（2）、认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天）

读懂题目：（1）观察图像求出市场售价函数P f t =()和种植成本函数Q g t =()；（2）由“市场售价减去种植成本为纯收益”建立纯收益函数

h t f t g t ()()()

50 0 50 100 150 200 250 300 t 图2

解题思路：（1）由图1可得市场售价与时间的函数关系为

f t t t t t ()=?≤≤?<≤???30002002300200300

由图2可得种植成本与时间的函数关系为

g t t t ()()/=?+≤≤150200100

0300

2（2）解略。

4、图表分析法。即通过对图表中给出的数量关系进行分析处理来建立问题数学模型的方法。

例4、已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t(0≤t≤24，单位小时）的函数，记作y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据t （时）03691215182124

y （米）1。51。00。51。01。491

0。510。99

1。5经长期观测y=f(t)的曲线可近似地看成函数y=Acosωt+b 。

（1）、根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；

（2）、依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动。

读懂题目：（1）观察图表中给出的数据结合函数y =A cos cosω

ωt +b 的类型需对表中的数据进行适当处理。1.49 1.5,0.510.5,0.991≈≈≈。（2）理解“当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放”建立不等式。

解：（1）由表中数据，知T =12，ω=

62ππ=T 。由t =0，y =1。5得A +b =1。5。

由t =3，y =1。0，得b =1。0。所以，A =0。5，b =1。振幅A =2

1，

∴y =16

cos 21+t π(2)由题意知，当y >1时，才可对冲浪者开放。∴16cos 21+t π>1，t 6

cos π>0。∴2k π–

262ππππ+<

t ≤24。∴在规定时间内有6个小时可供冲浪者运动即上午9：00至下午15：00。

三、突破口之三突破口之三——————注意语言表达的完整性

注意语言表达的完整性数学应用题的求解不同于一般的数学运算题，有人比喻它是数学中的小作文，因此解数学应用题要做到“有头有尾”，把问题中的普通语言转化为数学语言，引入变量与字母，画出图形，将数学建模的过程详细地写出来，建立数学模型后，要准确地求解，并注意计量单位的一致，最后对于所得数据不仅要思考或检验是否与实际吻合，而且要给出完整的答案。

高中数学应用题的常见高中数学应用题的常见模型

模型一、函数模型

函数的性质及其图象是高中数学中的主要内容之一，高考命题中既重点考查函数性质及其图象的有关基础知识，因此以函数为背景的应用性问题也是命题热点之一，解这类题的方法是对问题的审读和理解，掌握用一个变量的代数式表示另一个变量，建立两个变量间的等量关系，同时从题中确定自变量的取值范围。

常涉及物价、路程、产值、环保、土地等实际问题，也常常涉及角度、长度、面积、造价、利润等最优化问题。

解决这类问题一般要利用数量关系，列出有关解析式，然后运用函数、方程、不等式等有关知识和方法加以解决，尤其对函数最值、均值定理用得较多。

例1、某商品进货单价为40元，若按50元一个销售，则能卖出50个；若销售单价每涨1元，则销售量就减少一个。为了获得最大利润，则该商品的最佳售价为元．

1、答案：70

例2、汽车在隧道内行驶时，安全车距()d m 正比于车速(/)v km h 的平方与车身长（m ）的积，且安全车距不得小于半个身长，假设车身长约为4m ，车速为60km/h ，安全车距为1。44个车身长．写出d 与v 之间的函数关系式：

2、答案：2

2,0.625v d v v ?<

①、把y 表示成x 的函数，并求出其定义域；②、如何定价，该旅馆每天净收入最多？

3、解：①依题意*N x ∈，575100>x ，所以6≥x ，当106≤≤x 时，575100?=x y ；10>x 时，由575)]10(3100[>??x x 和*N x ∈，解得38≤x ，当3810≤

综上所述，???≤<∈?+?≤≤∈?==.

3810 *, , 5751303,106 *, , 575100)(2x N x x x x N x x x f y ．②二次函数57513032?+?=x x y 的对称轴3

65)3(2130=?×?=x ，因为*N x ∈，直接计算知425)10(=f ，832)21(=f ，833)22(=f ，比较得，每床每天的租金为22元时，该旅馆每天净收入最多．

例4、某森林出现火灾，火势正以每分钟2m 100的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火2m 50，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，

另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．

（1）设派x 名消防队员前去救火，用t 分钟将火扑灭，试建立t 与x 的函数关系式；

（2）问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？

（总损失＝灭火材料、劳务津贴等费用＋车辆、器械和装备费用＋森林损失费）4、解：（1）210100501005?=?×=x x t (5)

5分（2）总损失为y ，则y ＝灭火劳务津贴＋车辆、器械和装备费＋森林损失费

y ＝125125tx tx ＋100100x x ＋60（500＋100100t

t ）……………………99分＝2

6000030000100210125?+++??

?x x x x ……………………1010分＝2

600030000)22(1002221250?+++?+?+??x x x x ＝262500)2(10031450?+?+x x ……………………1111分36450

62500100231450=×+≥……………………1212分当且仅当262500)2(100?=

?x x ，即x ＝27时，y 有最小值36450．……………………1313分答：略

……………………1414分二、不等式（组）模型

现实世界中不等关系是普遍存在的，许多现实问题很难确定（有时也不需要确定）具体的数值。但可以求出或确定这一问题中某个量的变化范围（趋势），从而对所有研究问题的面貌有一个比较清楚的认识。本节中，我们所要讨论的问题大多是要求出某个量的取值范围或极端可能性，它们涉及我们日常生活中的方方面面。

列不等式时要从题意出发，设好未知量之后，用心体会题目所规定的实际情境，从中找出不等关系。

例1、如图，一份印刷品的排版面积（矩形）为A ，它的两边

都留有宽为a 的空白，顶部和底部都留有宽为b 的空白。如何选

择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少？

1、解：设排版矩形的长和宽分别是,x y ，则xy A =纸张的面积为：

(2)(2)224S x a x b xy bx ay ab =++=++

4xy ab ≥+=+当且仅当22bx ay =

，即x y ==S 有最小值2，此时纸

张的长和宽分别为22a b ++。

答：当纸张的长和宽分别为

22a b +时，纸张的用量最少例2、某开发鱼塘项目，该项目准备购置一块占地1800平方

米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土

堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围

的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S 平方米，

其中:1:2a b =。

(Ⅰ)试用,x y 表示S ；

(Ⅱ)若要使S 最大，则,x y 的值各为多少？

2、解:(Ⅰ)由题可得：1800,2xy b a ==，

则636y a b a =++=+………………………………………………………………22分6(4)(6)(316)(316)

3y S x a x b x a x ?=?+?×=?=?16183263

x y =??………………66分(Ⅱ)方法一:16183261832183248013523S x y =??

≤?=?=………………1111分当且仅当1663

x y =，即40,45x y ==时，S 取得最大值1352。………………1414分

方法二:161800960018006321832(63S x x x x

=??×+=?+

183218324801352≤?=?=……………………1111分当且仅当96006x x

=，即40x =时取等号，S 取得最大值。此时180045y x

==。………………1414分方法三:设9600()1832(6)S f x x x

==?+

(0)x >………………………………………………………………………………88分2296006(40)(40)()6x x f x x x ?+′=?=…………………………………………………………99分令()0f x ′=得40

x =当040x <<时，()0f x ′>，当40x >时，()0f x ′<。

∴当40x =时，S 取得最大值。此时45y =。 (14)

14分例3、甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x)，g(x)以及任意的0x ≥，当甲公司投入x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x 万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险。

（Ⅰ）试解释f(0)=10，g(0)=20的实际意义；

（Ⅱ）设f(x)=14

x+10，20+，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费？

3、解：（Ⅰ）f(0)=10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有

失败的风险，至少要投入10万元宣传费。

g(0)=20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败

的风险，至少要投入20万元宣传费。 (3)

3分（Ⅱ）设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元， (4)

4分

依题意，当且仅当

(1)(2)1()104()20y f x x x g y ?≥=+???≥=?????时，双方均无失败的风险。 (8)

8分由(1)、（2）得120)104