第4课时简单的三角恒等
变换
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝；
(2)cos2α＝＝－1＝1－；
(3)tan2α＝
2tanα
1－tan2α
(α≠
kπ
2＋
π
4且
α≠kπ＋π2)．
4．由cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得降幂公式：cos2α
＝；sin2α＝；升幂公式cos2α＝
1．(2013·大同调研)已知sinα＝2 3，
则cos(π－2α)＝()
A．－
5
3 B．－
1
9
C.1
9 D.
5
3
解析依题意得cos(π－2α)＝－
cos2α＝2sin2α－1＝2×(2
3)
2－1＝－1
9，选
B.
2．(2013·郑州质检)已知sin10°＝a，则sin70°等于()
A．1－2a2B．1＋2a2
C．1－a2D．a2－1
解析由题意可知，sin70°＝cos20°
＝1－2sin210°＝1－2a2.故选A.
3．已知x∈(－π
2，0)，cos x＝
4
5，则
tan2x＝()
A．－24
7B．－
7
24
C.7
24 D.
24
7
答案 A
解析方法一∵x∈(－π
2，0)，∴
sin x<0，∴sin x＝－3
5.∴sin2x＝2sin x cos x＝
－24
25，cos2x＝2cos
2x－1＝7
25.∴tan2x＝
sin2x
cos2x＝－24 7.
方法二 由方法一知：sin x ＝－35，∴
tan x ＝－34.∴tan2x ＝2tan x 1－tan 2x
＝－247. 4．已知θ是第三象限的角，且sin 4
θ
＋cos 4θ＝59，那么sin2θ的值为________．答案 223
解析 ∵sin 2θ＋cos 2
θ＝1， ∴(sin 2θ＋cos 2θ)2＝sin 4θ＋2sin 2θcos 2θ＋cos 4θ＝1.
∴2sin 2θcos 2θ＝49，∴(sin2θ)2＝89. ∵2k π＋π<θ<2k π＋3π2，∴4k π＋
2π<2θ<4kπ＋3π(k∈Z)．
∴sin2θ>0，∴sin2θ＝22 3.
求值：
(1)sin6°sin42°sin66°sin78°；
(2)(tan10°－3)sin40°.
【解析】(1)原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°
＝24sin6°cos6°cos12°cos24°cos48°
24cos6°
＝23sin12°cos12°cos24°cos48°
24cos6°
＝22sin24°cos24°cos48°
24cos6°
＝2sin48°cos48°24cos6°
＝sin96°24cos6°＝cos6°24cos6°＝116.
例2 已知cos(π4－α)＝35，－3π2<α<
－π2.
求cos(2α－π4)的值．
【解析】 方法一 cos2(α－π4)＝
2cos 2
(π4－α)－1 ＝2×(35)2－1＝－725.
∵－7π4<α－π4<－3π4，且cos(π4－α)＝35
>0，
sin2(α－π4)＝2sin(α－π4)cos(α－π4)＝
2425
， cos(2α－π4)＝cos[2(α－π4)＋π4] ＝22[cos2(α－π4)－sin2(α－π4)]＝－3150
2. 从而sin(α－π4)＝45，根据2cos αsin α
＝－725<0及－3π2<α<－π2，
知－3π2<α<－π，所以cos α<0，sin α>0.
故有cos α－sin α＝－425.
①×②，得cos2α＝－2425.
cos(2α－π4)＝22(cos2α＋sin2α)＝－3150
2. 1．(2011·辽宁理)设sin(π4＋θ)＝13，
则sin2θ＝ A ．－79 B ．－19 C.19 D.79
解析 sin2θ＝－cos(π2＋2θ)＝
2sin 2
(π4＋θ)－1＝2×(13)2－1＝－79.
简单三角恒等变换复习 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )s i n (s i n c o s c o s s i n βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )c o s (s i n s i n c o s c o s βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )t a n t a n 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα22 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 c o s 2c o s 12αα=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2c o s 24c o s 12=+ 或 αα2c o s 24c o s 12 =+】 α α αααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2s i n 2c o s 12αα=- 或 2 s i n 2c o s 12αα=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2s i n 24c o s 12 =- 或 αα2s i n 2 4c o s 12=-】
第25讲 简单的三角恒等变换 思维导图 知识梳理 题型归纳 题型1 三角函数式的化简 【例1-1】（2020春?临渭区期末）已知(0,)απ∈(1sin cos )(cos sin ) 2 α α αα+ +-= ． 【分析】由条件利用二倍角公式、以及三角函数在各个象限内的符号，化简要求的式子，可得结果．
【解答】解：(0,)απ∈， ∴ 2(1sin cos )(cos sin )(12sin cos 2cos 1)(cos sin )2ααααααα αα++-++--= 2cos (sin cos )(cos sin )2cos cos 2 22222cos |2cos |2cos 22 α α αα αα αααα +-= ==， 故答案为：cos α． 【跟踪训练1-1】（2019秋?淮安期末）设4 2 x π π ，则 ( + ) A ．2sin x B ．2cos x C ．2sin x - D ．2cos x - ，然后结合已知角的范围进行化简即可． 【解答】解： 4 2 x π π ， sin cos sin cos 2sin x x x x x =++-=． 故选：A ． 【跟踪训练1-2】（2019秋?徐州期末）若α可以化简为( ) A ．2 sin α - B ． 2 cos α C ．2 tan α - D ．2tan α- 【分析】由a 为第四象限角，结合已知条件利用同角三角函数基本关系式求解． 【解答】解：α为第四象限角， ∴ 1sin 1sin 2sin 2tan cos cos cos ααα αααα -+--==-． 故选：D ． 【名师指导】 1．三角函数式的化简要遵循“3看”原则
『高考复习·精推资源』『题型归纳·高效训练』
第25讲 简单的三角恒等变换（达标检测） [A 组]—应知应会 1．（2020?赤峰模拟）1 tan15(tan15?-=? ) A ．B ．C ．-D ．4 【分析】把正切转化为正弦和余弦，再结合二倍角公式的逆用即可求解结论． 【解答】解：因为221sin15cos151515cos30tan151tan15cos15sin15cos15sin15sin 302 sin cos ???-?-? ?- =-===-?????? 故选：C ． 2．（2020?赣州模拟）若cos78m ?=，则sin(51)(-?= ) A ．B ．C D 【分析】由已知利用诱导公式可得cos102m ?=-， 利用二倍角的余弦函数公式可求sin51?=，进而根据诱导公式化简所求即可求解sin(51)-?的值． 【解答】解：cos78m ?=， cos(18078)cos102cos78m ∴?-?=?=-?=-，可得212sin 51cos102m -?=?=-， 21sin 512 m +∴?= ，解得：sin51?= sin(51)∴-?= 故选：A ． 3．（2019秋?临沂期末）若θ ( ) A ．2tan θ B ．2 tan θ - C ．2tan θ- D ． 2 tan θ 【分析】因为θ为第四象限角，所以sin 0θ<，再利用221cos sin θθ-=化简即可． 【解答】解：θ为第四象限角，sin 0θ∴<， ∴ 原式1cos 1cos 2cos 2 sin sin sin tan θθθθθθθ -+=-==--， 故选：D ． 4．（2019秋?沙坪坝区校级期末） sin53sin 23cos30(cos23?-?? =? )
第20讲：简单的三角恒等变换 【学习目标】 1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧； 3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化； 4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力； 5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力． 【要点梳理】 要点一：升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-= 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2 α α-= 要点诠释： 利用二倍角公式的等价变形：2 1cos 2sin 2α α-=，2 1cos 2cos 2 α α+=进行“升、降幂”变 换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 要点二：辅助角公式 1．形如sin cos a x b x +的三角函数式的变形： sin cos a x b x + x x ??? 令cos ??= = sin cos a x b x + )sin cos cos sin x x ??+ )x ?+ （其中?角所在象限由,a b 的符号确定，?角的值由tan b a ?= 确定， 或由sin ?= 和cos ?= 2．辅助角公式在解题中的应用 通 过 应 用 公 式 sin cos a x b x + = )x ?+（或 sin cos a x b x + =)α?-），将形如sin cos a x b x +（,a b 不同时为零）收缩为一
简单的三角恒等变换 【学习目标】 1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧； 3．了解积化和差、和差化积公 式的推导过程，能初步运用公式进行互化； 4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会 换元思想的作用，发展推理能力和运算能力； 5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理 问题的能力． 要点梳理】 要点一：升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式： 22 1 cos2 2cos ， 1 cos2 2sin 降幂公式： 2 1 cos 2 2 1 cos2 cos ， sin 22 要点诠释： 利用二倍角公式的等价变形： 1 cos 2sin 2 ， 1 cos 2cos 2 进行“升、降幂”变换，即由左边的 22 “一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为 “降幂”变换． 要点二：辅助角公式 1．形如 asinx b cosx 的三角函数式的变形： asin x bcosx asin x b cosx = a 2 b 2 sin x cos a 2 b 2 sin(x ) （其 中 角所在 象限由 a,b 的 符号确 定， 角的值 由 tan b 确定， 或由 sin b 和 a 确定， 或由 a 2 b 2 a cos 共同确定．） a 2 b 2 2．辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式 asinx bcosx = a 2 b 2 sin （x ）（或 asinx bcosx = a 2 b 2 cos （ ） ），将形如 asinx bcosx （ a, b 不同时为零）收缩为一个三角函数 a 2 b 2 sin （x ）（或 a 2 b 2 cos （ ））．这种 恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数， 这样做有利于函数式的化 简、求值等． a a 2 b 2 sinx cosx 令 cos a a 2 b 2 ,sin cosxsin b a 2 b 2 b
第25讲 倍角公式及简单的三角恒等变换 1．sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°的值为(C) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32 原式＝sin (30°＋17°)－sin 17°cos 30°cos 17° ＝ sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17° ＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12 . 2.(2017·山西太原4月模拟)已知α为锐角，若sin(α－π6)＝13，则cos(α－π3 )＝(A) A.26＋16 B.3－28 C.3＋28 D.23－16 (方法1)因为α为锐角，sin(α－π6)＝13 ， 所以cos(α－π6)＝223 ， 所以cos(α－π3)＝cos[(α－π6)－π6 ] ＝cos(α－π6)cos π6＋sin(α－π6)sin π6 ＝223×32＋13×12＝26＋16 . (方法2)令α－π6＝θ，则sin θ＝13，cos θ＝223 ， 所以cos(α－π3)＝cos(θ－π6 ) ＝ 32×cos θ＋12×sin θ＝26＋16 . 3. (2018·佛山一模)已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2(θ＋π4)＝(C ) A .12 B .13 C .14 D .15 由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ ＝4， 即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，所以sin θcos θ＝14，
所以cos 2(θ＋π4)＝1＋cos （2θ＋π2）2＝1－sin 2θ2 ＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14 . 4．(2018·全国卷Ⅰ·文)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝2 3，则|a －b|＝(B ) A .15 B .5 5 C .25 5 D ．1 由cos 2α＝2 3，得cos 2α－sin 2α＝2 3， 所以cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝2 3， 所以tan α＝±5 5，即b －a 2－1＝±55，所以|a －b|＝5 5. 5．(经典真题)设θ为第二象限角，若tan(θ＋π4)＝12，则sin θ＋cos θ＝ －10 5 . 因为tan(θ＋π4)＝12，所以1＋tan θ1－tan θ＝1 2， 解得tan θ＝－1 3， 所以(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ sin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋2tan θ＋1tan 2θ＋1＝19－2 3＋1 19＋1 ＝2 5， 因为θ为第二象限角，tan θ＝－1 3， 所以sin θ＋cos θ<0， 所以sin θ＋cos θ＝－10 5. 6．(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin (ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝ 2 ，b ＝ 1 . 因为2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋ 2sin (2x ＋π 4)， 所以1＋ 2sin(2x ＋π 4)＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，
简单三角恒等变换 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )cos(sin sin cos cos βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα2 2 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 cos 2cos 12α α=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα 2cos 2 4cos 12=+】 α ααααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是 2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2 sin 2cos 12α α=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα 2sin 2 4cos 12=-】
3.2 简单的三角恒等变换 一、填空题 1．若 25π＜α＜411π，sin2α=－54，求tan 2α________________ 2．已知sin θ=－ 53，3π＜θ＜2π7，则tan 2θ的值为___________． 4．已知α为钝角、β为锐角且sin α= 54，sin β=1312，则cos 2-βα的值为____________． 5． 设5π＜θ＜6π，cos 2θ=a ，则sin 4θ的值等于________________ 二、解答题 6．化简 θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+． 7．求证：2sin （ 4π－x ）·sin （4 π+x ）=cos2x ． 8．求证： αααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-?-a ．
9．在△ABC 中，已知cos A =B b a b B a cos cos ?--?，求证：b a b a B A -+=2tan 2tan 2 2 ． 10． 求sin15°，cos15°，tan15°的值． 11． 设－3π＜α＜－ 2 π5，化简2)πcos(1--α． 12． 求证：1+2cos 2θ－cos2θ=2． 13． 求证：4sin θ·cos 2 2θ=2sin θ+sin2θ． 14． 设25sin 2x +sin x －24=0，x 是第二象限角，求cos 2 x 的值． 15． 已知sin α= 1312，sin （α+β）=54，α与β均为锐角，求cos 2β．
参考答案 一、填空题 1． 2 15+． 2．－3 4． 65657 5．－21a - 二、解答题 6．解：原式=θ θθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+ =1) -(+?+)-(-?+θθθθθθ22cos 2cos sin 21sin 21cos sin 21 =θ θθθθθ22cos 2cos sin 2sin cos sin 2+?2+? =) cos (sin cos 2sin cos sin 2θθθθθθ+?)+(? =tan θ． 7．证明：左边=2sin （ 4π－x ）·sin （4π+x ） =2sin （ 4π－x ）·cos （4π－x ） =sin （2 π－2x ） =cos2x =右边，原题得证． 8．证明：左边=α ααα22sin cos cos sin 21-?- =) sin (cos )sin (cos cos sin 2sin cos 22αααααααα+?-?-+ =) sin )(cos sin (cos )sin (cos 2 αααααα+-- = ααααsin cos sin cos +- =α αtan 1tan 1+- =右边，原题得证．
简单的三角恒等变换(一) 张掖中学 宋娟 一、教学目标 知识与技能：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用； 过程与方法：通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、方程、逆向使用公式的数学思想，提高学生推理能力； 情感、态度与价值观：通过例题的讲解，让学生体会化归、变形使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生推理能力. 二、教学重、难点 教学重点：利用公式进行简单的恒等变换； 教学难点：利用倍角公式推出半角公式，并利用变形的方法解决问题. 三、教学方法：探究式教学法. 四、教学类型：新授课. 五、教学内容 复习引入(学生组织完成) 问题1：和差角的正弦、余弦、正切公式(六个)； 问题2：二倍角的正弦、余弦、正切公式(三个)； 问题3：二倍角的变形公式(四个). 新课讲解 思考1(学生组织完成)：如何用cos α表示222sin cos tan 222 ααα、、？ 分析：观察α与2 α 的关系是2倍的关系，所以我们要利用刚刚学过的二倍角的 变形公式. 解：α是2α的二倍角.在倍角公式2cos 212sin αα=-中，以α代替2α，以2 α 代 替α，即得2cos 12sin 2 α α=-， 所以21cos sin 22 αα -=； ① 在倍角公式2cos 22cos 1αα=-中，以α代替2α，以2 α 代替α，即得 2cos 2cos 12 α α=-， 所以21cos cos 22 αα +=. ② 将①②两个等式的左右两边分别相除，即得 21cos tan 21cos ααα-=+. 思考2：若已知cos α，如何计算sin cos tan 222 ααα、、？
§3.2 简单的三角恒等变换（一） 学习目标：⒈熟练掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式的正用、逆用． ⒉能灵活应用和（差）角公式、二倍角公式进行简单三角恒等变形． 教学重点：以推导积化和差、和差化积、半角公式作为基本训练，学习三角变 换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计， 不断提高从整体上把握变换过程的能力． 教学方法：讲练结合． 教具准备：多媒体投影． 教学过程： （Ⅰ）复习引入： 师：前面一段时间，我们学习了三角函数的和（差）角公式、二倍角公式等十一个公式，请同学们默写这些公式． 生：（默写公式）． 师：学习了上述公式以后，我们就有了研究三角函数问题的新工具，从而使三角函数的内容、思路和方法更加丰富，为我们提高推理、运算能力提供了新的平台 本节课我们将利用已有的这十一个公式进行简单的三角恒等变换，了解三角恒等变换在数学中的应用． （Ⅱ）讲授例题： 例1试以cos α表示2 sin 2α，2cos 2α，2tan 2α． 分析：α是2 α的二倍角，因此在仅含α的正弦、余弦的二倍角公式(2)C α中，以2 α代替α就可以得到2sin 2α、2cos 2α，然后运用同角三角函数的基本关系可得2tan 2 α． 解：略． 师：例1的结果还可以表示为：
sin 2α =cos 2α=tan 2α=， 有些书上称之为半角公式，其符号由角2 α终边的位置确定． 师：由例题1和以往的经验，你认为代数式变换与三角变换有什么不同？ 生：代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的角之间的联系． 师：由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此以式子所包含的角之间的关系为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的特点． 例2求证： ⑴1sin cos [sin()sin()]2 αβαβαβ=++-； ⑵sin sin 2sin cos 22 θ?θ?θ?+-+=． 分析：对于⑴我们可以从其中右式出发，利用和（差）的正弦公式展开、合并即可得出左式．我们也可以从两个式子结构形式的不同点考虑，发现 sin cos αβ与和（差）的正弦公式之间的联系．记sin cos x αβ=，cos sin y αβ=， 则有sin()x y αβ+=+，sin()x y αβ-=-，由此解出x ，即求出了sin cos αβ． ⑵的证明可以直接利用⑴的结果，令αβθ+=，αβ?-=，解出α、β后代如即可． 证明：略 师：在此例中，如果不利用⑴的结果，怎样证明⑵？大家可以从角与角之间的关系入手考虑． 生：将22θ?θ?θ+-=+，22 θ?θ??+-=-代入左边，然后利用和（差）的正弦公式展开、合并即可得出右式． 师：在例2的证明中，把sin cos αβ看成x ，cos sin αβ看成y 把等式看作x ， y 的方程，通过解方程组求得x ，是方程思想的体现；把αβ+看作θ，αβ-看作?，从而把包含α、β的三角函数式变换成θ、?的三角函数式，是换元思想的应用．
简单三角恒等变换复习、公式体系
(1) sin( ) sin cos cos sin sin cos cos sin sin( ) (2) cos( )cos cos sin sin cos cos sin sin cos( ) (3) tan( tan tan 去分母得 tan tan i tan( )(1 tan tan ) 1 tan tan tan tan tan( )(1 tan tan 、倍角公式的推导及其变形： (1) sin 2 sin( ) sin cos cos sin 2 sin cos sin 1 . cos — sin 2 2 2 1 sin 2 (sin cos (2) cos 2 cos( ) cos cos sin sin cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 (cos sin )(cos sin ) cos 2 2 ? 2 cos 厶 sin 2 2 COS (1 cos ) 把1移项得 1 cos2 2 cos 2 或 -4- GQS -2- c 2 cos 2 1 2 【因为 是-的两倍，所以公式也可以写成 2 cos 2 cos 2 一 1 或 1 cos 2 cos 2 或 - 1 cos — cos 2 2 2 2 2 因为4 是2的两倍，所以公式也可以写成 cos 4 2 cos 2 2 1 或 1 2 Once 厶 或 nee? O 1 2 cos 2 2 2 cos sin (1 sin 2 ) sin 2 把1移项得1 cos 2 2s in 2 或 -4- 1 2sin 2 2 【因为 是—的两倍，所以公式也可以写成 2 cos 1 2 sin 2— 或 1 cos 2 sin 2 或 4 ---- eos- sin 2 2 2 2 2 因为4 是2 的两倍，所以公式也可以写成 2 1、和差公式及其变形: 2 ) ) 2 sin 2
3.2 简单的三角恒等变换（3个课时） 一、课标要求： 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用． 二、编写意图与特色 本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 三、教学目标 通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点 教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断实用文档
实用文档 提高从整体上把握变换过程的能力． 五、学法与教学用具 学法：讲授式教学 六、教学设想： 学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容． 例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222α α α ． 解：我们可以通过二倍角2 cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2 cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12α α=-，可以得到21cos cos 22 α α+=． 又因为222 sin 1cos 2tan 21cos cos 2α α ααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三
简单的三角恒等变换(一) 张掖中学 宋娟 一、教学目标 知识与技能：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用； 过程与方法：通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、方程、逆向使用公式的数学思想，提高学生推理能力； 情感、态度与价值观：通过例题的讲解，让学生体会化归、变形使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生推理能力. 二、教学重、难点 教学重点：利用公式进行简单的恒等变换； 教学难点：利用倍角公式推出半角公式，并利用变形的方法解决问题. 三、教学方法：探究式教学法. 四、] 五、 教学类型：新授课. 六、教学内容 复习引入(学生组织完成) 问题1：和差角的正弦、余弦、正切公式(六个)； 问题2：二倍角的正弦、余弦、正切公式(三个)； 问题3：二倍角的变形公式(四个). 新课讲解 思考1(学生组织完成)：如何用cos α表示22 2 sin cos tan 2 2 2 α α α 、、 分析：观察α与 2 α 的关系是2倍的关系，所以我们要利用刚刚学过的二倍角的变形公式. 解：α是2α的二倍角.在倍角公式2cos 212sin αα=-中，以α代替2α，以2α 代 替α，即得2 cos 12sin 2 α α=-， | 所以2 1cos sin 22 α α -= ； ① 在倍角公式2cos 22cos 1αα=-中，以α代替2α，以2 α 代替α，即得 2 cos 2cos 12 α α=-， 所以2 1cos cos 22 α α += . ② 将①②两个等式的左右两边分别相除，即得 21cos tan 21cos αα α -= +.
简单的三角恒等变换专题 一、选择题 1．已知sin α＝2 3 ，则cos(π－2α)＝( ) A ．－53 B ．－19 C.19 D.53 2． 2cos10°－sin20° sin70° 的值是( ) A.12 B.3 2 C. 3 D. 2 3．若sin76°＝m ，用含m 的式子表示cos7°为( ) A.1＋m 2 B.1－m 2 C ．±1＋m 2 D.1＋m 2 4．若 cos2αsin ? ? ? ??α＋7π4＝－2 2，则sin α＋cos α的值为( ) A ．－22 B ．－12 C.12 D.7 2 5．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1 sin x 2cos x 2 ，则f ? ?? ?? π12的值为( ) A ．4 3 B.83 3 C ．4 D ．8 6．已知cos ? ????π6－α＋sin α＝45，则cos ? ? ? ??α＋2π3的值是( ) A ．－25 B.25 C.4315 D ．－43 15
7．已知α，β∈? ?? ?? 0，π2，满足tan(α＋β)＝4tan β，则tan α的最大值是( ) A.14 B.34 C.34 2 D.3 2 8．已知tan α＝4，则1＋cos2α＋8sin 2αsin2α 的值为( ) A ．4 3 B.654 C ．4 D.23 3 9．已知sin2α＝－ 2425，且α∈? ?? ?? 3π4，π，则sin α＝( ) A.35 B.45 C ．－35 D ．－4 5 10．已知α∈(0，π)，cos ? ? ???α＋π6＝22 ，则tan2α＝( ) A.33 B ．－3 3 C. 3 D ．－ 3 二、填空题 11． 3tan12°－3 (4cos 212°－2)sin12°＝________. 12．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2 3.2 简单的三角恒等变换 整体设计 教学分析 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的应用.本节的内容都是用例题来展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力. 本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点. 三维目标 1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力. 2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用. 3.通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力. 重点难点 教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练. 2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点. 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力. 课时安排 2课时 教学过程 第1课时 导入新课 简单的三角恒等变换 第二十四中学 王珏 一．教学目标 1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。 2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。 3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 二、教学重点与难点 教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，推导半角公式、积化和差、和差化积公式。 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。 三、教学过程 1、复习公式： ()βαβαβαsin sin cos cos cos +=- ()βαβαβαs i n s i n c o s c o s c o s -=+ ()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ ()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- ()β αβαβαtan tan 1tan tan tan +-= - ()βαβαβαtan tan 1tan tan tan -+= + sin 22sin cos ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 22tan tan 21tan α αα= - 公式变形： ααα2sin 21 cos sin = 第25讲 简单的三角恒等变换（达标检测） [A 组]—应知应会 1．（2020?赤峰模拟）1tan15(tan15?- =? ) A ． B ． C ．- D ．4 2．（2020?赣州模拟）若cos78m ?=，则sin(51)(-?= ) A ． B ． C D 3．（2019秋?临沂期末）若θ( ) A ．2tan θ B ．2tan θ- C ．2tan θ- D ．2tan θ 4．（2019秋?沙坪坝区校级期末） sin53sin 23cos30(cos23?-??=? ) A ．1 B ．12 C D 5．（2019秋?丽水期末）若1cos sin 4x y += ，则2sin sin x y -的取值范围是( ) A ．[1-，2] B ．5[,1]4- C ．7[,1]16- D ．9[,1]16 - 6．（2020?来宾模拟）若tan()34 πα+=-，则2sin 2cos (αα-= ) A ．35 B ．25- C ．1- D ．3 7．（2020?宜宾模拟）已知(0,)2 πα∈，且223sin 5cos sin 20ααα-+=，则sin 2cos2(αα+= ) A ．1 B ．2317- C ．2317-或1 D ．1- 8．（2020?陕西二模）已知 sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-，则21cos sin 2(2αα+= ) A ．25- B ．3 C ．3- D ．25 9．（2020?沈阳三模）被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科 研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比m 的近似值，黄金分割比还可以表示成 2sin18?(= ) A ．4 B 1 C ．2 D 1- 简单的三角恒等变换练习题 3.2 简单的三角恒等变换 一、填空题 1．若2 5π＜α＜4 11 π，sin2α=－ 5 4，求 tan 2 α________________ 2．已知sin θ=－53，3π＜θ＜2π7，则tan 2θ的值 为___________． 4．已知α为钝角、β为锐角且sin α=54 ，sin β=13 12，则cos 2 -β α的值为____________． 5． 设5π＜θ＜6π，cos 2θ=a ，则sin 4θ的值等于________________ 二、解答题 6．化简θ θθ θ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+． 7．求证：2sin （4π－x ）·sin （4π+x ）=cos2x ． 8．求证：α ααααtan 1tan 1sin cos cos sin 212 2 +-= -?-a ． 9．在△ABC 中，已知cos A =B b a b B a cos cos ?--?，求证：b a b a B A -+=2tan 2tan 2 2 ． 10． 求sin15°，cos15°，tan15°的值． 11． 设－3π＜α＜－2π5，化简2 ) πcos(1--α． 12． 求证：1+2cos 2θ－cos2θ=2． 13． 求证：4sin θ·cos 22 θ =2sin θ+sin2θ． 14． 设25sin 2x +sin x －24=0，x 是第二象限 角，求cos 2x 的值． 15． 已知sin α=1312，sin （α+β）=5 4 ，α与β均为锐角，求cos 2 β． 参考答案 一、填空题 1． 2 1 5+． 2．－3 4． 65 657 5．－ 2 1a - 二、解答题 6．解：原式=θ θθ θ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+ =1) -(+?+)-(-?+θθθθθθ22cos 2cos sin 21sin 21cos sin 21 = θ θθθθθ22cos 2cos sin 2sin cos sin 2+?2+? =) cos (sin cos 2sin cos sin 2θθθθθθ+?)+(? 一、填空题 1．若25π＜α＜411π，sin2α=－54，求tan 2 α________________ 2．已知sin θ=－53，3π＜θ＜2π7，则tan 2 θ的值为___________． 4．已知α为钝角、β为锐角且sin α= 54，sin β=1312，则cos 2-βα的值为____________． 5． 设5π＜θ＜6π，cos 2θ=a ，则sin 4θ的值等于________________ 二、解答题 6．化简 θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+． 7．求证：2sin （ 4π－x ）·sin （4π+x ）=cos2x ． 8．求证： α ααααtan 1tan 1sin cos cos sin 21+-=-?-a ． 9．在△ABC 中，已知cos A =B b a b B a cos cos ?--?，求证：b a b a B A -+=2tan 2tan 2 2 ． 10． 求sin15°，cos15°，tan15°的值． 11． 设－3π＜α＜－ 2 π5，化简2)πcos(1--α． 12． 求证：1+2cos 2θ－cos2θ=2． 13． 求证：4sin θ·cos 2 2θ=2sin θ+sin2θ． 14． 设25sin 2x +sin x －24=0，x 是第二象限角，求cos 2x 的值． 15． 已知sin α=1312，sin （α+β）=54，α与β均为锐角，求cos 2 β． 参考答案 一、填空题1． 2 15+． 2．－3 4． 65657 5．－21a - 二、解答题 6．解：原式=θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+=1)-(+?+)-(-?+θθθθθθ22cos 2cos sin 21sin 21cos sin 21=θ θθθθθ22cos 2cos sin 2sin cos sin 2+?2+? =) cos (sin cos 2sin cos sin 2θθθθθθ+?)+(?=tan θ． 7．证明：左边=2sin （4π－x ）·sin （4π+x ）=2sin （4π－x ）·cos （4 π－x ）=sin （2π－2x ） =cos2x =右边，原题得证． 8． 证明：左边=α ααα22sin cos cos sin 21-?-=)sin (cos )sin (cos cos sin 2sin cos 22αααααααα+?-?-+=)sin )(cos sin (cos )sin (cos 2αααααα+-- =ααααsin cos sin cos +-=α αtan 1tan 1+-=右边，原题得证． 9．证明：∵cos A = B b a b B a cos cos ?--?，∴1－cos A =B b a B b a cos )cos 1()(?--?+， 1+cos A =B b a B b a cos )cos 1()(?-+?-．∴)cos 1()()cos 1()(cos 1cos 1B b a B b a A A +?--?+=+-． 而2tan 2cos 22sin 2cos 1cos 1222 A B A A A ==+-，2 tan cos 1cos 12B B B =+-， ∴tan 2)()(2b a b a A -+=·tan 22B ，即b a b a B A -+=2 tan 2tan 2 2． 10．解：因为15°是第一象限的角，所以 sin15°=4264)26(434823222312 30cos 12-=-=-=-=-=?-， cos15°= 4264)26(43482322231230cos 12+=+=+=+=+=?+，简单的三角恒等变换教案.
简单的三角恒等变换—教案
第25讲 简单的三角恒等变换(达标检测)(学生版) 备战2021年新高考数学考点精讲与达标测试
简单的三角恒等变换练习题
简单的三角恒等变换练习(含答案)
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