圆周运动专题二圆周运动中的连接体问题、临界问题知识点一】圆周运动中的连接体问题
【例1】在一个水平转台上放有质量相等的A、B 两个物体，用一轻杆相连，AB连线沿半径方向． A 与平台间有摩擦，B与平台间的摩擦可忽略不计，A、 B 到平台转轴的距离分别为L 、2L.某时刻一起随平台以ω的角速度绕OO′轴做匀速圆周运动． A 与平台间的摩擦力大小为
F fA，杆的弹力大小为 F.现把转动角速度提高至2ω.A、B 仍各自在原位置随平台一起绕OO′轴匀速圆周运动，则下面说法正确的是( ) A．F fA、F 均增加为原来的4倍
B．F fA、F 均增加为原来的2倍
C．F fA大于原来的4倍，F 等于原来的2倍
D．F fA、F 增加后，均小于原来的4倍
【解析】根据牛顿第二定律，对A：F fA－F＝mω2r A ①，对B：F ＝mω 2r B ②.当ω增大到2ω时，由②式知，F 增加到原来的 4 倍；由①式知：F fA＝F ＋mω2r A，F fA增加为原来的 4 倍．故选 A.
【答案】 A
【例2】如图所示，在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，且m1＝2m2，用细线把两球连起来，当杆匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为( )
A．1:1 B．1: 2
C．2:1 D．1:2
解析：两个小球绕共同的圆心做圆周运动，它
们之间的拉力互为向心力，角速度相同．设两球所需的向心力大小为
F n，角速度为ω，则
对球m1：F n＝m1ω2r1，
对球m2：F n＝m2ω2r2，由上述两式得r1 r2＝1:2. 答案：D 例3】如图所示，轻杆长为3L，在杆的 A 、B 两端分别固
定质量均为 m 的球 A 和球 B ，杆上距球 A 为 L 处的点 O 装在光滑的水平转动轴 上，外界给予系统一定的能量后，杆和球在竖直面内转动．在转动的过程中，忽 略空气的阻力．当球 B 运动到最高点时，球 B 对杆恰好无作用力．下列说法正 确的是 ( )
A. 球B 在最高点时速度为零
B. 球 B 在最高点时，球 A 的速度也为零
C. 球 B 在最高点时，杆对水平轴的作用力为 1.5mg 15
6gL
C ［解析］ 球B 在最高点时速
度为 v0，有 mg ＝
m
2v L 20， 得 v0＝ 2gL ， A 项错 误；此时球 A 的速度为 v 2
0 v0 v 20
2
所以 FA>FB ，即 AC 线先断． 【知识点二 】临界问题
1. 与绳的弹力有关的临界问题
质量为 m 的物体被长为 l 的轻绳拴着 (如图所示 )，
D.球 B 转到最低点时，其速度为 vB ＝
1
2
2gL ，B 错误；设杆对球 A 的作用力为 FA ，则 FA
－mg ＝ m L ，得 FA ＝1.5mg ，C 项正确；设球 B 在最低点时的速度为 vB ，据
1 1 v0 1 1 机械能守恒定律有 2mgL －
mgL ＋2mv20＋2m 2 2＝－ 2mgL ＋mgL ＋2mv2B ＋2 vB m 2 2，解得 vB ＝
256
gL ，D 项错误． 【例 4】 如图所示， OO ′为竖直轴， MN 个质量相同的金属球 A 、 B 套在水平杆上， 线，C 端固定在转轴 OO ′上．当线拉直时， 若转轴的角速度逐渐增大，则 (
A ．AC 先断
B ． B
C 先断 C ．两线同时断
D ．不能确定哪根线先断 ［解析］ A 对A 球进行受力分析，
三个力作用，拉力的水平分力提供 水平方向 FAcosα＝mrAω2，同理， 为固定在 OO ′上的水平光滑杆，有两 AC 和 BC 为抗拉能力相同的两根细 A 、B 两球转动半径之比恒为 2∶1， rA 何关系，可知
rB A 球受重力、支持力和拉力 FA A 球做圆周运动的向心力，得： 对 B 球：
FBcosβ＝mrBω 2.由几 rArB
FA ＝rAcos β＝ BC ＝ AC
AC ，
cos β＝BC ，所以：
FB ＝
rBcos α＝
rBrA ＝
BC AC
.由于 AC>BC ，
且绕绳的另一端O做匀速圆周运动，当绳子的拉力达到最大值F m时，物体的
速度最大，即
2
v m Fm＝m l，
解得v m＝F m l。这就是物体在半径为l 的圆周上运动的临界速度。
2.因静摩擦力存在最值而产生的临界问题在水平转台上做圆周运动的物体，若有静摩擦力参与，则当转台的转速变化时，静摩擦力也会随之变化，当 F 静达到最大值时，对应有临界角速度和临界线速度。解决这类问题一定要牢记“静摩擦力大小有个范围，方向可以改变”这一特点。
质量为m的物体在水平面上做圆周运动或随圆盘一起转动（如图甲、乙所示）时，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大值F fm 时，物体运动的速度也达
2
v m
到最大，即F fm＝m r，解
得v m＝
这就是物体以半径r 做圆周运动的临界速度。
3.受弹簧或橡皮条约束的匀速圆周运动的临界问题用弹簧连接的物体做圆周运动，当运动状况发生改变时，往往伴随着半径的改变，从而导致
弹簧弹力发生变化。处理该类问题时关键是分析弹力的大小和方向的改变。特别是有摩擦力参与的问题更需要和静摩擦力的特点相配合，理智分析，明确半径是否改变、什么情况下改变、是伸长还是缩短等。
【例1】如图所示，在光滑的水平桌面上有一光滑小孔O，一根轻绳穿过小孔，一端连接质量为m＝ 1 kg 的小球A，另一端连接质量为M＝4 kg 的物体 B. 求：
(1) 当 A 球沿半径为R＝0.1 m 的圆做匀速圆周运动，其角速度为ω＝10
rad/s 时，B 对地面的压力为多少？
(2) 要使物体B对地面恰好无压力，A球的角速度应为多大？(g取10 m/s2)
【答案】(1) 30 N (2) 20 rad/s
【例2】如图所示，小球质量m＝0.8 kg ，用两根长均为L＝0.5 m 的细绳拴住并系在竖直杆上的A、B 两点，已知AB＝0.8 m ，当直杆转到带动小球在水平面内绕杆以ω＝40 rad/s 的角速度匀速转动时，求上、下两根绳上的张力。(g取10 m/s2)
解析】设BC绳刚好被拉直仍无拉力时，球做圆周运动的
ω0，角速度为
绳AC与杆夹角为θ，如图甲所示，
有 mgtan θ＝mω 2
0r 得
rad/s ，
由 ω >ω 0知 BC 绳已被拉直并有拉力，
标系，将 F 1、F 2正交分解，则沿 y 轴方向：F 1cosθ－mg －F 2cosθ＝
0，沿 x 轴方 向： F 1sin θ＋F 2sin θ＝mω2
r ，
代入有关数据，解得 F 1＝325 N ，F 2＝315 N. 答案】 325 N 315 N
【例 3】 如图所示，两个质量均为 m 的小木块 a 和 b(可视为质点 )放在水平 圆盘上， a 与转轴 OO ′的距离为 l ，b 与转轴的距离为 2l . 木块与圆盘的最大静 摩擦力为木块所受重力的 k 倍，重
gtan θ Lsin θ
对小球受力分析建立如图乙所示的坐 0＝
gtan θ
＝ rad/s ＝
g
Lcos
有mgtan θ＝mω
2
0r 得
力加速度大小为g. 若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω 表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
A. b 一定比 a 先开始滑动
B. a 、b 所受的摩擦力
始 终相等
C. ω＝ k 2g l
是 b 开始滑动的临界角速度 D. 当 ω＝ 23k l g 时，
a
所受摩擦力的大小为 kmg
【答案】 AC
【例 4】如图所示，细绳的一端系着质量为 M ＝2 kg 的物体，静止在水平圆 盘上，另一端通过光滑的小孔吊着质量为 m ＝0.5 kg 的物
体，M的中点与圆孔的距离为0.5 m，并已知M与圆盘的最大静摩擦力为 4 N，现使此圆盘绕中心轴线转动，求角速度ω 在什么范围内可使m处于静止状态。（取g＝10 m/s2）
【解析】当ω取较小值ω1时，M有向O点滑动趋势，此时M所受静摩擦力背离圆心O，对M有：
2
mg－F max＝Mω21r，
代入数据得：ω 1＝1 rad/s.
当ω 取较大值ω 2时，M有背离O点滑动趋势，此时M所受静摩擦力指向圆心O，对M有：
2
mg＋F max＝Mω22r
代入数据得：ω 2＝3 rad/s
所以角速度的取值范围是： 1 rad/s ≤ ω≤3 rad/s.
【答案】 1 rad/s ≤ ω≤3 rad/s
【例5】在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO′旋转，现将轻质弹簧的一端固定在圆盘中心，另一端系住一个质量为m的物块A，设弹簧劲度系数为k，弹簧原长为L. 将物块置于离圆心R处，R>L，圆盘不动，物块保持静止。现使圆盘从静止开始转动，并使转速ω 逐渐增大，物块 A 相对圆盘始终未动。
5k R－l
当ω增大到ω＝4m－R时，物块A是否受到圆盘的静摩擦力？如
果受到静摩擦力，试确定其方向
【答案】物块所受静摩擦力指向圆心
【例6】如图所示，在水平圆盘上有一过圆心的光滑小槽，槽内有两根原长、劲度系数均相同的橡皮绳拉住一质量为m的小球，一条橡皮绳拴在O点，另一条拴在O′点，其中O 为圆盘的中心，O′点在圆盘的边缘上。橡皮绳的劲度系数为k，原长为圆盘半径R的1/3 ，现使圆盘角速度由零缓慢增大，求圆盘的角速
时，小球所对应的线速度之比
审题指导】
v
答案】 29
3
答案】 D
【巩固提升 】
1.如图所示，在光滑水平面上相距 20 cm 处有两个钉子 A 和 B ，长 1.2 m 的细绳一端系着质量为 0.5 kg 的小球，另一端固定在钉子 A 上．开始时，小球 和钉子 A 、 B 在同一直线上，小球始终以 2 m/s 的速率在水平面内做匀速圆周运 动．若细绳能承受的最大拉力
是 5 N ，则从开始到细绳断开所经历的时间是 ( )
A ． 1.2 π
C ． 1.8 π
【解析】
mv 2 s B ．1.4π s D ．2π s 小球每转s 180°，转动半径就减小 x ＝0.20 m ，所需向心力 F ＝L －nx (n
＝0,1,2 ，?) ，由 细绳第 5 次碰到钉子F ≤5 N ，可得 n ≤4，即小球转动半径缩短了 4 次， 细绳断开． 从开始到细绳断开， 每转半
周小球转动
π 5L－ 10x
半径分别为 L 、L －x 、L －2x 、L －3x 、L －4x ，则运动时间 t ＝
2. 如图所示，两绳系一质量为 0.1 kg 的小球，两绳的另一端分别固定于轴 的A 、B 两处，上面绳长 2 m ，两绳拉直时与轴的夹角分别为 30°和 45°，问球 的角速度在什么范围内两绳始终都有张力？ (g 取 10
m/s 2
)
解析： 当上绳绷紧，下绳恰好伸直但无张力时，小球受力如图甲所示．
2
由牛顿第二定律得： mgtan 30 °＝ mω12
r ，又有 r ＝Lsin 30 °，解得
10 3
3 rad/s ； 当下绳绷紧，上绳恰好伸直无张力时，小球受力如图乙所示． 由牛顿第二定律得： mgtan 45 °＝ mω22r ，解得 ω 2＝ 10 rad/s ，故当 10 3
3
答案： rad/s< ω< 10 rad/s 3 半径为 R 的光滑半圆球固定在水如图所
rad/s< ω< 10 rad/s 时，两绳始终都有张力． 1＝
部有一物体 A ，现给它一个水平初速度 v 0＝ gR ，则物体将 ( )
A ．沿球面下滑至 M 点
B ．沿球面下滑至某一点 N ，便离开球面做斜下抛运动
C ．按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动
D ．立即离开半圆球做平抛运动
解析：选 D 设在顶部物体 A 受到半圆球对它的作用力为 F ，由牛顿第二定
2
律得 mg －F ＝m v R
0 ，把 v 0＝ gR 代入得 F ＝0。说明物体只受重力作用，又因物体
有水平初速度 v 0，故物体做平抛运动， D 正确
4.[ 多选]质量为 m 的小球由轻绳 a 和 b 分别系
于一轻质细 杆的 B 点和 A 点，如图所示，绳 b 在水平方向伸直时长为 l ， 绳 a 与水平方向成 θ角，当轻杆绕轴 AB 以角速度 ω匀速转动 时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是 (
A ．a 绳张力不可能为零
B ．a 绳的张力随角速度的增大而增大
C ．当角速度 ω> l tan g
θ时， b 绳将出现张力 D ．若 b 绳突然被剪断，则 a 绳的张力一定发生变化
解析：选 AC 当 b 绳中有张力时，对小球进行受力分析，竖直方 向有 T a sin θ＝mg ，由此可知， 此时 T a 与ω无关，故 A 正确，B 错误。 由圆锥摆模型知 ω较小时 b 绳中无张力，设 ω＝ω0 时 b 绳刚伸直且无
当 b 绳中无张力时，将 b 突然剪断， a 绳的张力不会发生变化，故 D 错误
5 如图所示，置于圆形水平转台边缘的小物块
随转台加速 转动，当转速达到某一数值时，物块恰
mg
张力，对小球有
tan θ
2
＝mω0
，则
ω＝ω 0＝
l tan θ
，故
C
正确。
)
好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径R＝0.5 m ，离水平地面的高度H＝
0.8 m ，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4 m 。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s 2。求：
(1) 物块做平抛运动的初速度大小v0；
圆周运动中的临界问题和周期性问题 一、圆周运动问题的解题步骤： 1、确定研究对象 2、画出运动轨迹、找出圆心、求半径 3、分析研究对象的受力情况，画受力图 4、确定向心力的来源 5、由牛顿第二定律r T m r m r v m ma F n n 222)2(π ω====……列方程求解 二、临界问题常见类型： 1、按力的种类分类： （1）、与弹力有关的临界问题：接触面间的弹力：从有到无,或从无到有 绳子的拉力：从无到有，从有到最大，或从有到无 （2）、与摩擦力有关的弹力问题：从静到动，从动到静，临界状态下静摩擦力达到最大静摩擦 2、按轨道所在平面分类： （1）、竖直面内的圆周运动 （2）、水平面内的圆周运动 三、竖直面内的圆周运动的临界问题 1、单向约束之绳、外轨道约束下的竖直面内圆周运动临界问题： 特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力 ① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用： mg=mv 2/R →v 临界=Rg （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度） 即此时小球所受重力全部提供向心力 ②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ③不能过最高点的条件：v ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动） 例1、绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg ，绳子长度为l=60cm ，求：（g 取10m/s 2） A 、最高点水不留出的最小速度？ B 、设水在最高点速度为V=3m/s ，求水对桶底的压力？ 答案：（1）s m /6 （2）2.5N
变式1、如图所示，一质量为m 的小球，用长为L 细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动.(1)若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的速度分别是多少？小球的受力情况分别如何？(2)若小球在最低点受到绳子的拉力为10mg ，则小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少？ 2、单向约束之内轨道约束下（拱桥模型）的竖直面内圆周运动的临界问题： 汽车过拱形桥时会有限速，是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度 gr v =时，汽车对弧顶的压力FN=0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动， 因为桥面不能对汽车产生拉力． 例2、半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体， 如图所示。今给小物体一个水平初速度0v = ） A.沿球面下滑至 M 点 B.先沿球面下滑至某点Ｎ，然后便离开斜面做斜下抛运动 Ｃ.按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动 D.立即离开半圆球做平抛运动 3、双向约束之轻杆、管道约束下的竖直面内圆周运动的临界问题 物体(如小球)在轻杆作用下的运动，或在管道中运动时，随着速度的变化，杆或管道对其弹力发生变化．这里的弹力可以是支持力，也可以是压力，即物体所受的弹力可以是双向的，与轻绳的模型不同．因为绳子只能提供拉力，不能提供支持力；而杆、管道既可以提供拉力，又可以提供支持力；在管道中运动，物体速度较大时可对上壁产生压力，而速度较小时可对下壁产生压力．在弹力为零时即出现临界状态． （一）轻杆模型 如图所示，轻杆一端连一小球，在竖直面内作圆周运动． (1)能过最高点的临界条件是：0v =．这可理解为恰好转过或恰好不能转过最高点的临界条件，此时支持力mg N =． (2) 当0v << mg N <<0，N 仍为支持力，且N 随v 的增大而减小，
圆周运动的实例及临界问题 一、汽车过拱形桥 1．汽车在拱形桥最高点时，向心力：F 合＝ mg －N ＝m v 2 R . 支持力：N ＝mg －mv 2 R ＜mg ，汽车处于失重状 态． 2．汽车对桥的压力N ′与桥对汽车的支持N 是一对相互作用力，大小相等，所以汽车通过最高点时的速度越大，汽车对桥面的压力就越小． 例1 一辆质量m ＝2 t 的轿车，驶过半径R ＝90 m 的一段凸形桥面，g ＝10 m/s 2 ，求： (1)轿车以10 m/s 的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？ (2)在最高点对桥面的压力等于轿车重力的一半时，车的速度大小是多少？ 解析 (1)轿车通过凸形桥面最高点时，受力分析如图所示： 合力F ＝mg －N ，由向心力公式得mg －N ＝m v 2 R ，故 桥面的支持力大小N ＝mg －m v 2R ＝(2 000×10－2 000×102 90) N ≈×104 N 根据牛顿第三定律，轿车在桥面最高点时对桥面压力的大小为×104 N. (2)对桥面的压力等于轿车重力的一半时，向心力F ′＝mg －N ′＝，而F ′＝m v ′2R ，所以此时轿 车的速度大小v ′＝错误!＝错误! m/s ≈21.2 m/s 答案 (1)×104 N (2)21.2 m/s 二、圆锥摆模型 1．运动特点：人及其座椅在水平面内做匀速圆周运动，悬线旋转形成一个圆锥面． 图1 2．运动分析：将“旋转秋千”简化为圆锥 摆模型(如图1所示) (1)向心力：F 合＝mg tan_α (2)运动分析：F 合＝mω2r ＝mω2 l sin α (3)缆绳与中心轴的夹角α满足cos α＝ g ω2l . 图6 例2 如图6所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下物理量大小关系正确的是( ) A ．速度v A ＞v B B ．角速度ωA ＞ωB C ．向心力F A ＞F B D ．向心加速度a A ＞a B 解析 设漏斗的顶角为2θ，则小球的合力为F 合 ＝mg tan θ，由F ＝F 合＝mg tan θ＝mω2 r ＝m v 2 r ＝ma ，知向心力F A ＝F B ，向心加速度a A ＝a B ，选项C 、D 错误；因r A ＞r B ，又由v ＝ gr tan θ 和ω＝ g r tan θ 知v A ＞v B 、ωA ＜ωB ，故A 对，B 错． 答案 A 三、火车转弯 1．运动特点：火车转弯时做圆周运动，具有向心加速度，需要向心力． 2．铁路弯道的特点：转弯处外轨略高于内轨，铁轨对火车的支持力斜向弯道的内侧，此支 持力与火车所受重力的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力． 例3 铁路在弯道处的内、外轨道高度是不 同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ， 如图7所示，弯道处的圆弧半径为R ，若质量为m 的火车转弯时速度等于gR tan θ，则( ) A ．内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B ．外轨对外侧车轮轮缘有挤压 C ．这时铁轨对火车的支持力等于mg cos θ D ．这时铁轨对火车的支持力大于mg cos θ
1 圆周运动的临界问题 一 ．与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最 大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有F m ＝m r v 2 ，静摩 擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 二 与弹力有关的临界极值问题 压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。 【典例1】 (多选)(2014·新课标全国卷Ⅰ，20) 如图1，两个质量均为m 的小木块a 和b ( 可视为质点 )放在水平圆盘上，a 与转轴OO′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l ，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g 。若圆盘从静止 开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 ( ) A ．b 一定比a 先开始滑动 B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等 C ．ω＝ l kg 2是b 开始滑动的临界角速度 D ．当ω＝l kg 32 时，a 所受摩擦力的大小为kmg 答案 AC 解析 木块a 、b 的质量相同，外界对它们做圆周运动提供的最大向心力，即最大静摩擦力F f m ＝km g 相同。 它们所需的向心力由F 向＝mω2r 知，F a < F b ，所以b 一定比a 先开始滑动，A 项正确；a 、b 一起
2 绕转轴缓慢地转动时，F 摩＝mω2r ，r 不同，所受的摩擦力不同，B 项错；b 开始滑动时有kmg ＝mω2·2l ，其临界角速度为ωb ＝ l kg 2 ，选项C 正确；当ω ＝l kg 32时，a 所受摩擦力大小为F f ＝mω2 r ＝3 2 kmg ，选项D 错误 【典例2】 如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O 、A 两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m 的小球上，OA ＝OB ＝AB ，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB 始终在竖直平面内，若转动过程OB 、AB 两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是( ) A ．O B 绳的拉力范围为 0～3 3 mg B ．OB 绳的拉力范围为 33mg ～3 32mg C ．AB 绳的拉力范围为 33mg ～3 32mg D ．AB 绳的拉力范围为0～3 3 2mg 答案 B 解析 当转动的角速度为零时，OB 绳的拉力最小，AB 绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为F 1，则2F 1cos 30°＝mg ， F 1＝ 3 3 mg ，增大转动的角速度，当AB 绳的拉力刚好等于零时，OB 绳的拉力最大，设这时OB 绳的拉力为F 2，则F 2cos 30°＝mg ，F 2 ＝ 332mg ，因此OB 绳的拉力范围为33mg ～3 3 2mg ，AB 绳
圆周运动的临界问题 1.圆周运动中的临界问题的分析方法 首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值． 2.竖直平面内作圆周运动的临界问题 竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题。 １．“绳模型”如图6-11-1所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。 （注意：绳对小球只能产生拉力） （1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用 mg =2 v m R v 临界 （2）小球能过最高点条件：v （当v （3）不能过最高点条件：v （实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道） ２．“杆模型”如图6-11-2所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况 （注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。） （1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg （F 为支持力） （2）当0< v F 随v 增大而减小，且mg > F > 0（F 为支持力） （3）当v 时，F =0 （4）当v F 随v 增大而增大，且F >0（F 为拉力） 注意：管壁支撑情况与杆一样。杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力． 由于两种模型过最高点的临界条件不同，所以在分析问题时首先明确是哪种模型，然后再利用条件讨论． （3）拱桥模型 如图所示，此模型与杆模型类似，但因可以离开支持面，在最高点当物体速度达v =rg 时，F N =0，物体将飞离最高点做平抛运动。若是从半圆顶点飞出，则水平位移为s = 2R 。 a b 图6-11-2 b
第 1 页 图 4 圆周运动中的临界问题 1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题 ⑴如图1、图2所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情 况 ① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用 v 临界＝ Rg ② 能过最高点的条件：v ≥ Rg ，当 v > Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产 生压力。 ③ 不能过最高点的条件：v
例 2 长度为L ＝0.5m 的轻质细杆OA，A 端有一质量为m＝ 3.0kg 的小球，如图 5 所示，小球以O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是 2.0m／s， g 取10m ／s2，则此时细杆OA 受到（） A、6.0N 的拉力 B、6.0N 的压力 C、24N 的拉力 D、24N 的压力 例3 长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O 点，上端 图5 连接着一个质量m＝2kg 的小球A，A 绕O 点做圆周运动（同图5）， 在 A 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力： ①当 A 的速率v1＝1m／s 时 ②当 A 的速率v2＝4m／s 时 2、在水平面内作圆周运动的临界问题 在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力 存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。 例 4 如图 6 所示，两绳系一质量为m ＝0.1kg 的小球，上面绳长L ＝2m ，两端都拉直时与轴的夹角分别为30 °与45 °，问球的角速度在 什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为 3 rad／s 时，上、下两绳拉力分 别为多大？ 图6
《圆周运动中的临界问题》教学设计 一、教材分析 圆周运动的临界问题继是人教版高中《物理》必修2第五章的内容。在此之前，学生已经学习了直线运动的相关内容，和曲线运动的基本知识，自然界和日常生活中运动轨迹为圆周的许多事物也为学生的认知奠定了感性基础，本节课主要是帮助学生在原有的感性基础上进一步认识圆周运动，为今后学习万有引力等知识打下基础。 二、学情分析 高一（14）班是二层次班级，学生基础、领会能力相对较弱。不过学生已经学习了圆周运动、向心加速度、向心力等圆周运动的相关知识，已基本了解和掌握了圆周运动的特点和规律，对圆周运动的临界问题的学习已打下了基础。 三、学习目标 1.通过学生讨论，小组合作，老师引导，让学生进一步熟练圆周运动问 题的解题步骤； 2.通过学生讨论，小组合作，老师讲解，达到知道临界状态的目标； 3.通过学生讨论，小组合作，老师讲解，达到知道圆周运动中的临界问 题，并能正确解题的目标。 四、教学重难点 1.重点 a圆周运动问题的解题步骤 b 竖直水平圆周运动的临界状态 c 运用所学知识解决圆周运动中的临界问题 2.难点 a 竖直水平圆周运动的临界状态 b 运用所学知识解决圆周运动中的临界问题 五、导入 播放视频—电唱机做匀速圆周运动，创设情境，导入新课 六、教学设计 (一)预习案 1.公式默写 角速度： 2v t T r θπ ω===
线速度： 运行周期： 向心加速度： 向心力： 复习巩固 (二) 探究案 1. 圆周运动问题的解题步骤 例、例. 如图所示，半径为R 的圆筒绕竖直中心轴 OO ′转动， 小物块A 靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为μ，现要 使A 不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为（ D ） 2s r v r t T πω===22r T v ππω==22222222444n v r a r v n r f r r T πωωππ======22 222222444n n v F ma m m r m v mr n mr f mr r T πωωππ====== =
圆周运动的临界问题 【例1】如图所示，质量为0.1kg 的木桶内盛水0.4kg ，用50cm 的绳子系桶，使它在竖直面内做圆周运动。如图通过最高点为9m/s ，求绳子的拉力和水对桶底的 压力。（g 取10N/kg ） 【答案】拉力105N 方向向下 压力84N ，方向向下 【练习1】如图甲所示，一长为l 的轻绳，一端穿在过O 点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O 点在竖直面内转动．小球通过最高点时，绳对小球的拉力F 与其速度平方v 2的关系如图乙所示，重力加速度为g ，下列判断正确的是 A ．图象函数表达式为mg l v m F +=2 B ．重力加速度l b g = C ．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大 D ．绳长不变，用质量较小的球做实验，图线B 点的位置不变 答案:BD 【例2】如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m 的物体A 放在 转盘上，A 到竖直筒中心的距离为r .物体A 通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B 相连，B 与A 质量相同.物体A 与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A 才能随盘转动. 【正解】由于A 在圆盘上随盘做匀速圆周运动，所以它所受的合外力必然指向圆心，而其中重力、支持力平衡，绳的拉力指向圆心，所以A 所受的摩擦力的方向一定沿着半径或指向圆心，或背离圆心.
当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力指向圆心，A的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力.即 F＋F m′＝m21ωr ① 由于B静止，故 F＝mg ② 由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即 F m′＝μF N＝μmg ③ 由①②③式解得ω1＝r （μ+ g/） 1 当A将要沿盘向圆心滑时，A所受的最大静摩擦力沿半径向外，这时向心力为 ωr ④ F－F m′＝m2 2 由②③④式解得ω2＝r （μ-要使A随盘一起转动，其角速度ω应满足 1 g/） -≤ω≤r 1 （μ + g/） r （μ g/） 1 【思维提升】根据向心力公式解题的关键是分析做匀速圆周运动物体的受力情况，明确哪些力提供了它所需要的向心力. 【例3】如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置用长L=0.1m 的细线相连接的A、B两小物块．已知A距轴心O的距离r l =0.2m，A、B的质量均为m =1kg，它们与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.3倍（g 取10m/s2)．试求： ω为多大？ （1）当细线刚要出现拉力时，圆盘转动的角速度 （2）当A、B与盘面间刚要发生相对滑动时，细线受到的拉力为多大？ 【练习2】如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO'转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度（绳子恰好伸直但无弹力），物块A到OO'轴的距离为物块B到OO'轴距离的两倍。现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，在从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是（）A．B受到的静摩擦力一直增大 B．B受到的静摩擦力是先增大后减小 C．A受到的静摩擦力是先增大后减小 D．A受到的合外力一直在增大 答案：D
《圆周运动中的临界问题》教学设计 高一物理组龙 一、教材分析 圆周运动的临界问题继是人教版高中《物理》必修2第五章的内容。在此之前，学生已经学习了直线运动的相关内容，和曲线运动的基本知识，自然界和日常生活中运动轨迹为圆周的许多事物也为学生的认知奠定了感性基础，本节课主要是帮助学生在原有的感性基础上进一步认识圆周运动，为今后学习万有引力等知识打下基础。 二、学情分析 高一（14）班是二层次班级，学生基础、领会能力相对较弱。不过学生已经学习了圆周运动、向心加速度、向心力等圆周运动的相关知识，已基本了解和掌握了圆周运动的特点和规律，对圆周运动的临界问题的学习已打下了基础。 三、学习目标 1. 通过学生讨论，小组合作，老师引导，让学生进一步熟练圆周运动问题的解题步骤； 2. 通过学生讨论，小组合作，老师讲解，达到知道临界状态的目标； 3. 通过学生讨论，小组合作，老师讲解，达到知道圆周运动中的临界问题，并能正确解题的目标。 四、教学重难点 1. 重点
a圆周运动问题的解题步骤 b 竖直水平圆周运动的临界状态 c 运用所学知识解决圆周运动中的临界问题 2. 难点 a竖直水平圆周运动的临界状态 b 运用所学知识解决圆周运动中的临界问题 五、导入 播放视频—电唱机做匀速圆周运动，创设情境，导入新课六、教学设计 (一) 预习案 1.公式默写 角速度： 线速度： 运行周期：
向心加速度： 向心力： 复习巩固 (二) 探究案 1.圆周运动问题的解题步骤
例、例. 如图所示，半径为R的圆筒绕竖直中心轴OO′转动，小物块A靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为μ，现要使A不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为（ D ） 小组讨论，得出结果，并归纳总结出圆周运动解题步骤。 解：A物体不下落，说明静摩擦力等于重力，A随着转动过程中，支持力提供向心力 即 且 联立解得
圆周运动实例分析 一、圆周运动学习情景描述? 对于大多数学生来说圆周运动是高一物理又一难点、主要原因包括以下几点： 1、对向心力和向心加速度的定义把握不牢固，解题时不能灵活的应用。? （向心力是效果力，是做圆周运动物体所受合力或者合力的一部分） 2、圆周运动线速度与角速度的关系及速度的合成与分解的综合知识应用不熟练，只是了解大概，在解题过程中不能灵活应用；?（基本公式转换有问题，需要多记多练） 3、力与运动的辩证关系认识不到位、物体受什么样的力必然做相应的运动、相反做什么样的运动反馈出物体所受的相应的力---------重点体现在四个字“受力分析”不到位 ?4、缺少生活经验，缺少仔细观察事物的经历，很多实例知道大概却不能理解本质，更不能把物理知识与生活实例很好的联系起来。?（这也是目前很多学生身上共有的弊病，学习与现实生活基本脱离） 5、教条主义，老师归结的模型、临界点等问题记结论而忘原理，出现类似的题目照搬照套 （这一点老师的讲解和引导需有待加强） 一、现阶段对于圆周运动的解题关键 方法：现阶段我们学习的圆周运动物体所受合力几乎都是指向圆心、重点理解向心力和向心加速度的定义，结合受力分析、始终抓住 r v m 2=合F R T 222m r m ）（π?== 各种模型关键在此不细讲 【例题】如图所示，半径为R 、内径很小的光滑半圆形细管竖直放置，有两个质量均为m 的小球A 、B ，以不同的速率进入管内，若A 球通过圆周最高点N 时，对管壁上部压力为3mg ，B 球通过最高点N 时， 对管壁下部压力为mg 2 ，求A 、B 两球在N 点的速度之比． 解析：分别对A 、B 在N 做受力分析 根据r v m 2=合F 得4mg=r v m 2 得 gR 2v =A 根据r v m 2=合F 得4mg=r v m 2得2 gR 2v =B 1:22:=B A V V 二、圆周运动的临界点问题
v1.0 可编辑可修改 圆周运动的实例及临界问题 一、汽车过拱形桥 1．汽车在拱形桥最高点时，向心力：F 合＝ mg －N ＝m v 2 R . 支持力：N ＝mg －mv 2 R ＜mg ，汽车处于失重状 态． 2．汽车对桥的压力N ′与桥对汽车的支持N 是一对相互作用力，大小相等，所以汽车通过最高点时的速度越大，汽车对桥面的压力就越小． 例1 一辆质量m ＝2 t 的轿车，驶过半径R ＝90 m 的一段凸形桥面，g ＝10 m/s 2 ，求： (1)轿车以10 m/s 的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大 (2)在最高点对桥面的压力等于轿车重力的一半时，车的速度大小是多少 解析 (1)轿车通过凸形桥面最高点时，受力分析如图所示： 合力F ＝mg －N ，由向心力公式得mg －N ＝m v 2 R ，故 桥面的支持力大小N ＝mg －m v 2 R ＝(2 000×10－2 000×102 90 ) N ≈×104 N 根据牛顿第三定律，轿车在桥面最高点时对 桥面压力的大小为×104 N. (2)对桥面的压力等于轿车重力的一半时，向心 力F ′＝mg －N ′＝，而F ′＝m v ′2 R ，所以此时轿 车的速度大小v ′＝错误!＝错误! m/s ≈21.2 m/s 答案 (1)×104 N (2)21.2 m/s 二、圆锥摆模型 1．运动特点：人及其座椅在水平面内做匀速圆周运动，悬线旋转形成一个圆锥面． 图1 2．运动分析：将“旋转秋千”简化为圆锥摆模型(如图1所示) (1)向心力：F 合＝mg tan_α (2)运动分析：F 合＝mω2r ＝mω2 l sin α (3)缆绳与中心轴的夹角α满足cos α＝ g ω2l . 图6 例2 如图6所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下物理量大小关系正确的是( ) A ．速度v A ＞v B
课题28圆周运动中的临界问题 一、竖直面内圆周运动的临界问题 (1)如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况： 特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力 ① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用： mg=mv 2/R →v 临界=Rg （可理解为恰好转过或 恰好转不过的速度） 即此时小球所受重力全部提供向心力 注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力提供向心力，此时临界速度V 临≠ Rg ②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ③不能过最高点的条件：v ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动） 【例题1】如图所示，半径为R 的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬时得到一个水平初速v 0，若v 0≤gR 3 10，则有关小球能够上升到最大高 度（距离底部）的说法中正确的是（ ） A 、一定可以表示为g v 220 B 、可能为3 R C 、可能为R D 、可能为 3 5R 【延展】汽车过拱形桥时会有限速，也是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度 gr v 时，汽车对弧顶的压力F N =0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为 桥面不能对汽车产生拉力． （2）如右图所示，小球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况： 特点：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力． ①当v ＝0时，F N ＝mg （N 为支持力） ②当 0＜v ＜Rg 时， F N 随v 增大而减小，且mg ＞F N ＞0，F N 为支持力． ③当v =Rg 时，F N ＝0 ④当v ＞Rg 时，F N 为拉力，F N 随v 的增大而增大（此时F N 为拉力，方向指向圆心） 典例讨论 1.圃周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点．结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程 【例题2】在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO / 旋转，现将轻质弹簧的一端固定 O O R R
科学思维系列——圆周运动中的连接体问题、临界问题 一、圆周运动中的连接体问题 圆周运动中的连接体问题，是指两个或两个以上的物体通过一定的约束绕同一转轴做圆周运动的问题．这类问题的一般求解思路是：分别隔离物体，准确分析受力，正确画出受力图，确定轨道半径，注意约束关系(在连接体的圆周运动问题中，角速度相同是一种常见的约束关系)． 【典例1】在一个水平转台上放有质量相等的A、B两个物体，用一轻杆相连，AB连线沿半径方向．A与平台间有摩擦，B与平台间的摩擦可忽略不计，A、B到平台转轴的距离分别为L、2L.某时刻一起随平台以ω的角速度绕OO′轴做匀速圆周运动．A与平台间的摩擦力大小为F f A，杆的弹力大小为F.现把转动角速度提高至2ω.A、B仍各自在原位置随平台一起绕OO′轴匀速圆周运动，则下面说法正确的是( ) A．F f A、F均增加为原来的4倍 B．F f A、F均增加为原来的2倍 C．F f A大于原来的4倍，F等于原来的2倍 D．F f A、F增加后，均小于原来的4倍 【解析】根据牛顿第二定律，对A：F f A－F＝mω2r A①，对B：F＝mω2r B②.当ω增大到2ω时，由②式知，F增加到原来的4倍；由①式知：F f A＝F＋mω2r A，F f A增加为原来的4倍．故选A. 【答案】 A 变式训练1 如图所示，在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，且m1＝2m2，用细线把两球连起来，当杆匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r 2之比为( ) A．1:1 B．1: 2 C．2:1 D．1:2 解析：两个小球绕共同的圆心做圆周运动，它们之间的拉力互为向心力，角速度相同．设
圆周运动中的临界问题 1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题 ⑴如图1、图2所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况 ①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用 v 临界＝Rg ②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。 ③不能过最高点的条件：v ＜v 临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。 ⑵如图3所示情形，小球与轻质杆相连。杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力 ①能过最高点v 临界＝0，此时支持力N ＝mg ②当0＜v ＜Rg 时，N 为支持力，有0＜N ＜mg ，且N 随v 的增大而减小 ③当v ＝Rg 时，N ＝0 ④当v ＞Rg ，N 为拉力，有N ＞0，N 随v 的增大而增大 例1 （99年高考题）如图4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动。图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是 （ ） A 、a 处为拉力，b 处为拉力 B 、a 处为拉力，b 处为推力 C 、a 处为推力，b 处为拉力 D 、a 处为推力，b 处为推力 图 1 v 0 图 2 图 3
例2 长度为L ＝0.5m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为m ＝3.0kg 的小球，如图5所示，小球以O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m ／s ，g 取10m ／s 2，则此时细杆OA 受到 （ ） A 、6.0N 的拉力 B 、6.0N 的压力 C 、24N 的拉力 D 、24N 的压力 例3 长L ＝0.5m ，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O 点，上端连接着一个质量m ＝2kg 的小球A ，A 绕O 点做圆周运动（同图5），在A 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力： ①当A 的速率v 1＝1m ／s 时 ②当A 的速率v 2＝4m ／s 时 2、在水平面内作圆周运动的临界问题 在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。 例4 如图6所示，两绳系一质量为m ＝0.1kg 的小球，上面绳长L ＝2m ，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3 rad ／s 时，上、下两绳拉力分别为多大？ 图 5 C 图 6
圆周运动中的临界问题 一、水平面内圆周运动的临界问题 关于水平面内匀速圆周运动的临界问题,涉及的就是临界速度与临界力的问题,具体来说,主要就是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力与摩擦力有关。 1、与绳的拉力有关的临界问题 例1 如图1示,两绳系一质量为kg m 1.0=的小球, 上面绳长m l 2=,两端都拉直时与轴的夹角分别为 o 30与o 45,问球的角速度在什么范围内,两绳始终张紧, 当角速度为s rad /3时,上、下两绳拉力分别为多大？ 2、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题 例2 如图2所示,细绳一端系着质量为kg M 6.0= 的物体,静止在水平面上,另一端通过光滑小孔吊着 质量为kg m 3.0=的物体,M 的中心与圆孔距离为m 2.0, 并知M 与水平面间的最大静摩擦力为N 2,现让此平面 绕中心轴匀速转动,问转动的角速度ω满足什么条件 可让m 处于静止状态。(2/10s m g =) 3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题 二、竖直平面内圆周运动的临界问题 对于物体在竖直平面内做变速圆周运动,中学物理中只研究物体通过最高点与最低点的情况,并且也经常会出现临界状态。 1、轻绳模型过最高点 如图所示,用轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况,与小球在竖直平面内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似,都属于无支撑的类型。 临界条件:假设小球到达最高点时速度为0v ,此时绳子的拉力(轨道的弹力)刚好等于零,小球的重力单独提供其做圆周运动的向心力,即 r v m mg 2 0=,gr v =0,式中的0v 就是小球过最高点的最小速度,即过最高点的临界速度。 (1)0v v = (刚好到最高点,轻绳无拉力) C 图1 图2
专题一：《圆周运动中的临界问题》 一.两种模型: (1)轻绳模型：一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球能到达最高点(刚好做圆周运 动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg ＝m r v 2 ，这时的速度是做圆周运动的最小速度v min ＝ . （绳只能提供拉力不能提供支持力）. 类此模型：竖直平面内的内轨道 (2)轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度 . （杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力.） ①当v ＝0 时，杆对小球的支持力 小球的重力； ②当0
圆周运动实例分析 一、圆周运动学习情景描述 对于大多数学生来说圆周运动是高一物理又一难点、主要原因包括以下几点： 1、对向心力和向心加速度的定义把握不牢固，解题时不能灵活的应用。 （向心力是效果力，是做圆周运动物体所受合力或者合力的一部分） 2、圆周运动线速度与角速度的关系及速度的合成与分解的综合知识应用不熟练，只是了解大概，在解题过程中不能灵活应用； （基本公式转换有问题，需要多记多练） 3、力与运动的辩证关系认识不到位、物体受什么样的力必然做相应的运动、相反做什么样的运动反馈出物体所受的相应的力---------重点体现在四个字“受力分析”不到位 4、缺少生活经验，缺少仔细观察事物的经历，很多实例知道大概却不能理解本质，更不能把物理知识与生活实例很好的联系起来。 （这也是目前很多学生身上共有的弊病，学习与现实生活基本脱离） 5、教条主义，老师归结的模型、临界点等问题记结论而忘原理，出现类似的题目照搬照套 （这一点老师的讲解和引导需有待加强） 二、现阶段对于圆周运动的解题关键 方法：现阶段我们学习的圆周运动物体所受合力几乎都是指向圆心、重点理解向心力和向心加速度的定义，结合受力分析、始终抓住 r v m 2 =合F R T 222m r m ）（π?== 各种模型关键在此不细讲 【例题】如图所示，半径为R 、内径很小的光滑半圆形细管竖直放置，有两个质量均为m 的小球A 、B ，以不同的速率进入管内，若A 球通过圆周最高点N 时，对管壁上部压力为3mg ，B 球通过最高点N 时，对管壁下部压力为mg 2 ，求A 、B 两球在N 点的速度之比． 解析：分别对A 、B 在N 做受力分析 根据r v m 2=合F 得4mg=r v m 2 得 gR 2v =A 根据r v m 2=合F 得4mg=r v m 2得2 gR 2v =B 1:22:=B A V V
圆周运动中的临界问题 教学目的:会运用受力分析及向心力公式解决圆周运动的临界问题 教学重点:掌握解决圆周运动的两种典型的临界问题 教学难点:会分析判断临界时的速度或受力特征 教学内容 一、 有关概念 1、向心加速度的概念 2、向心力的意义 （由一个力或几个力提供的效果力） 二、内容 1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题 （1）如图4－2－2和图4－2－3所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况： v 0 图4－2－2 图4－2－3 ①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg =m R v 2 v 临界=Rg ②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力； ③不能过最高点的条件：v ＜v 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）. （2）如图4－2－4的球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况： ①当v =0时，F N =mg （F N 为支持力）； ②当0＜v ＜Rg 时，F N 随v 增大而减小，且mg ＞F N ＞0，F N 为支持力； ③当v =Rg 时，F N =0； ④当v ＞Rg 时，F N 为拉力，F N 随v 的增大而增大. v 杆 图42 4 图4－2－5 若是图4－2－5的小球在轨道的最高点时，如果v ≥Rg ，此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力. 例1 长L ＝0.5m ，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O 点，上端连接着一个质量m ＝2kg 的小球A ，A 绕O 点做圆周运动（同图5），在A 通过最高点，试讨论在下列两种情况 下杆的受力： ①当A 的速率v 1＝1m ／s 时 ②当A 的速率v 2＝4m ／s 时 解析： V 0=gL ＝10×0.5 m ／s ＝ 5 m ／s 小球的速度大于 5 m ／s 时受拉力， 小于 5 m ／s 时受压力。 解法一：①当v 1＝1m ／s ＜ 5 m ／s 时，小球受向下的重力mg 和 向上的支持力N a 图 4
圆周运动连接体问题集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
18、如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A 、B 两个小物块。A 的质量为m kg A =2，离轴心r cm 120=，B 的质量为 m kg B =1，离轴心r cm 210=，A 、B 与盘面间相互作用的摩擦力最大值 为其重力的0.5倍，（g m s =102/）试求 （1）当圆盘转动的角速度ω0为多少时，细线上开始出现张力？ （2）欲使A 、B 与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？ 19、如图所示，在水平转台上放有A 、B 两个小物块，它们距离轴心O 分别为r A =0.2m ，r B =0.3m ，它们与台面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的0.4 倍，g 取10 m/s 2， （1）当转台转动时，要使两物块都不发生相对于台面的滑动，求转台转动的角速度的范围； （2）要使两物块都对台面发生滑动，求转台转动角速度应满足的条件。 18、解析：（1）ω较小时，A 、B 均由静摩擦力充当向心力，ω增大， F m r =ω2可知，它们受到的静摩擦力也增大，而r r 12>，所以A 受到的静摩擦力先达到最大值。ω再增大，AB 间绳子开始受到拉力。由F m r fm =1022ω，得：ω011111 055===F m r m g m r rad s fm ./ （2）ω达到ω0后，ω再增加，B 增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同来提供，A 增大的向心力靠增加拉力来提供，由于A 增大的向心力超过B 增加的向心力，ω再增加，B 所受摩擦力逐渐减小，直到为零，如ω再增加，B 所受的摩擦力就反向，直到达最大静摩擦力。如ω再增加，就不能维持匀速圆周运动了，A 、B 就在圆盘上滑动起来。设此时角速度为ω1，绳中张力为F T ，对A 、B 受力分析：对A 有F F m r fm T 11121+=ω对B 有F F m r T fm -=22122ω 联立解得：ω112 112252707=+-==F F m r m r rad s rad s fm fm /./ 19、（1）s rad /3 40≤ω（2）s rad /52≥ω A B
3.23物理一轮复习：高考研究（二）圆周运动及其临界问题 高考研究(二 )圆周运动及其临界问题 圆周运动的临界问题，一般有两类：一类是做圆周运动的物体，在某些特殊位置上，存在着某一速度值，小于(或大于)这个速度，物体就不能再继续做圆周运动，此速度即为临界速度；另一类是因为某种原因导致物体的受力发生变化，其运动状态随之变化，对应物 体出现相应的临界状态。 竖直平面内的圆周运动——轻绳模型及其临界问题 题型简述 如图所示，轻绳拉着小球在竖直平面内做圆周运动，或者小球在竖直放置的 光滑圆弧形轨道内侧运动。该题型的特点是小球到达最高点时没有物体支撑 小球，而轻绳或轨道对小球只能有向下的拉力或弹力。 方法突破小球做圆周运动，只要所受合外力恰好提供其做圆周运动的向心力，它便能 沿着原轨道继续运动，而绳或轨道内侧对小球只能有向着圆心的拉力或弹力， 最小拉力为零。 (1)恰能过最高点的临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用，mg ＝m v 临界2R 得v 临界＝Rg 。 (2)能过最高点的条件：v ≥v 临界，当v >Rg 时，绳对小球产生拉力，轨道对球 产生压力。 (3)不能过最高点的条件：v
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