重庆育才中学高2023届高一（上）半期考试
数学试题
2020.11
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前，请考生将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上.
3.作答时，请将答案写在答题卡指定的区域，超出答题区域或写在试题卷、草稿纸上无效.
4.做选考题时，按要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知命题p ：x R ?∈，2210x +>，则p ?是（） A. x R ?∈，2210x +≤ B. x R ?∈，2210x +> C.x R ?∈，2210x +< D.x R ?∈，2210x +≤
2.若{
A y y ==，{
B x y ==，则（）
A. A B =
B. A
B =? C. A B ? D. B A ?
3.函数()
32x
y x x =-的图象大致是（）
A. B. C. D.
4.已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则()21f x +的定义域为（） A. []0,2
B. 11,22??
-
???
? C. []1,1- D. []1,5
5.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（） A. y x x =
B. 3
y x =-
C. 1y x =+
D. 1
y x
=
6.若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是（）
A. ()98f x x =+
B. ()32f x x =+
C. ()34f x x =--
D. ()32f x x =+或()34f x x =--
7.函数2
1
()22
f x x x =-+的值域为（） A. (]0,1
B. 10,2
?? ??
?
C. ()0,1
D. 10,2?? ???
8.若函数()y f x =在区间Ⅰ上是增函数，且函数()
f x y x
=在区间Ⅰ上是减函数，则称函数()f x 是区间Ⅰ
上的“H 函数”.对于命题：①函数()f x x =-+()0,1上的“H 函数”；②函数2
2()1x
g x x
=-是()0,1上的“H 函数”.下列判断正确的是（） A.①和②均为真命题
B.①和②均为假命题
C.①为假命题，②为真命题
D.①为真命题，②为假命题
二、多项选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，错选不得分. 9.下列不等式，其中正确的是（） A. 3
3
2
2
(,R)a b a b ab a b +≥+∈ B. ()2
32x x x R +>∈
C. 22
2
()11
f x x x =+
≥- D. 22
2(1)a b a b +≥--
10.已知幂函数()y x
R α
α=∈的图象过点()2,8，下列说法正确的是（）
A.函数y x α
=的图象过原点 B.函数y x α
=是偶函数 C.函数y x α
=是单调减函数 D.函数y x α=的值域为R
11.已知函数3
()2
bx f x ax +=+在区间()2,-+∞上单调递增，则a 、b 的取值可以是（） A. 1a =，32
b >
B. 01a <≤，2b =
C. 1a =-，2b =
D. 1
2
a =
，1b = 12.已知函数21
()21
x x f x -=+，下面说法正确的有（）
A. ()f x 的图像关于y 轴对称
B.()f x 的图像关于原点对称
C. ()f x 的值域为()1,1-
D. 12,x x R ?∈，且12x x ≠，
()()
1212
0f x f x x x -<-恒成立
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
计算2
23
(8)--?=________. 14.
函数()f x =
________.
15. 已知函数(23)1,1
(),1
x
a x x f x a x -+≥?=?
设函数()x
f x e =函数()
g x mx =，若对于[]10,1x ?∈，总[]21,2x ?∈，使得()()
12f x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是_________.
四、解答题：共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共70分. 17. 若集合124x
A x ??
=>???
?
，{},B x x m m R =≤∈，试写出： （1）A B R =的一个充要条件； （2）A B R =的一个必要不充分条件.
18. 已知0x >，0y >，22x y +=. （1）求xy 的最大值； （2）求21
x y
+的最小值.
19. 已知关于x 的不等式2
20x ax -+<的解集为{}
2x b x <<.
（1）求a ，b 的值； （2）解关于x 的不等式12
ax b
x -≤-.
20. 重庆育才中学高一年级某“博学研究小组”经过调查发现：提高鹅公岩大桥的车辆通行能力可有效改善交通状况，在一般情况下，桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米，车流密度指每千米道路上车辆的数量）的函数.当桥上的车流密度不小于210辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当30210x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. （1）求函数()v x 的表达式；
（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =?可以达到最大，并求出最大值.
21. 已知定义在R 上的函数()f x 对任意,x y R ∈都有等式()()()1f x y f x f y +=+-成立，且当0x >时，有()1f x >.
（1）求证：函数()f x 在R 上单调递增；
（2）若()34f =，关于x 不等式)3f t f +>有解，求t 的取值范围.
22. 已知函数2
()3f x x m x =+-.
（1）当0m =时，求函数()y f x =的单调递减区间；
（2）当01m <≤时，若对任意的[),x m ∈+∞，不等式(1)2()f x m f x m --≤-恒成立，求实数m 的取值范围.
（二）附加题：
23. 求正实数k 的最大值，使任意实数x ，y ，z ，不等式
4442222()0x y z x yz xy z xyz k xy yz zx +++++-++≥成立.
重庆育才中学2023届高一（上）半期考试
数学参考答案
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分. 1-5：DCBBA
6-8：BAD
9. BD 10. AD 11. ABD 12. BC 二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分. 13.
8
3
14. [)3,+∞ 15. 3,14??
???? 16. 1,2?
?-∞- ???
三、解答题：共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 解析：集合{}2A x x =>-，{}
,B x x m m R =≤∈， （1）若A B R =，则2m ≥-，
故A
B R =的一个充要条件是2m ≥-.
（2）由（1）知A B R =的充要条件是2m ≥-，
所以A
B R =的一个必要不充分条件可以是3m ≥-.
18. 解析：（1）因为0x >，0y >，所以122212x y xy xy =+≥?≤?≤，（当且仅当1x =，1
2
y =时取等号），所以xy 的最大值为1
2
； （2）因为0x >，0y >，所以
121121142(2)4222x y x y x y x y y x ????????+=++=++ ? ? ??????
?
1442?≥+= ?（当且仅当1x =，1
2y =时取等号），所以21x y +的最小值为4. 19. 解析：（1）由题意可知x b =，2是方程2
20x ax -+=的两个根.
由韦达定理可得23
221
b a a b b +==????
?
==??经检验符合题意.
（2）由（1）可知
31
1(21)(2)02x x x x -≤?+-≤-且2x ≠， ∴原不等式的解集为1,22??
-
????
. 20. 解析：（1）由题意可知，当030x ≤≤时()60v x =，当210x =时，()0v x =，又当30210x ≤≤时，
车流速度v 是车流密度x 的一次函数，故设()v x ax b =+，所以02106030a b a b =+??=+?，解得1370a b ?
=-?
??=?，故当
30210x ≤≤时，1
()703
v x x =-+.
故600301()70
3021030
210
x v x x x x ≤≤???
=-+≤≤??>??. （2）由题，2600301()()703021030
210
x
x f x x v x x x
x x ≤≤???
=?=-+≤≤??>??，故 当030x ≤≤时，()f x 最大值为()301800f =. 当30210x ≤≤时，2
1()703
f x x x =-
+开口向下且对称轴为70
105123x =-=???- ???
，故此时()f x 最大值为21
(105)1057010536753
f =-?+?=.
综上，当车流密度为105辆/小时车流量达到最大值3675.
21. 解析：（1）任取12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->，∴()211f x x ->，
()()()21211f x f x f x x =+--，∴()()21f x f x >.故函数()f x 在R 上单调递增.
（2）(3)(1)(2)1(1)1(1)(1)13(1)2f f f f f f f =+-=-++-=-，∴()12f =，
原不等式等价于)1)2(1)f t f f t f ++-=>=，
1t >
有解，令[])2,2y x =∈-，
[]244,8y =+
，∴y ?∈?
，∴()
1t ∈-+∞.
22. 解析：（1）因为0m =，所以22
23,0
()33,0x x x f x x x x x x ?-≥=-=?+
，
因为函数2
()3f x x x =-的对称轴为32x =，开口向上；所以当3
02
x ≤<时， 函数2
()3f x x x =-单调递减；当32x ≥
时，函数2
()3f x x x =-单调递增； 又函数2
()3f x x x =+的对称轴为32x =-，开口向上；所以当302x -≤<时，
函数2()3f x x x =+单调递增；当32
x <-时，函数2
()3f x x x =+单调递减；
因此，函数()y f x =的单调递减区间为：3,2??-∞-
???和30,2?? ???
； （2）由题意，不等式(1)2()f x m f x m --≤-可化为
()
2
213126x x m x x m ----≤--，
即()2461310x x m x m -+-+-+≥在[),x m ∈+∞上恒成立，令
()2()46131g x x x m x m =-+-+-+，则只需min ()0g x ≥即可；
因为01m <≤，所以112m <+≤，因此
()2
()46131g x x x m x m =-+-+-+22
792,1
34,1
x x m m x m x x m x m ?-++≤≤+=?-+->+?， 当1m x m ≤≤+时，函数2
()792g x x x m =-++开口向上，对称轴为：7
12
x m =
>+， 所以函数()g x 在[],1m m +上单调递减；当1x m >+时，函数2
()34g x x x m =-+-开口向上， 对称轴为1
12
x m =
<+； 所以函数()g x 在[)1,m ++∞上单调递增；因此2min ()(?
m 1)44g x g m m =+=+-，
由min ()0g x ≥得2440m m +-≥，解得2m ≥-+2m ≤--01m <≤，
所以21m -+≤.即实数m 的取值范围为2??-+??
.
23. 解析：当x y z ==时，不等式变形为44
69x k x ≥?，x R ∈，即23
k ≤
. 下面证明：k 的最大值为
23
. 对于,,x y z R ∈，有44422
()()3
x y z xyz x y z xy yz zx +++++≥
++， 即证：()
444233()2()x y z xyz x y z xy yz zx +++++≥++.
由不等式222a b c ab ac bc ++≥++知
444222222x y z x y y z z x ++≥++，
所以，只需证明()
222222233()2()x y y z z x xyz x y z xy yz zx +++++≥++， 即证2
2
22
2
2
()x y y z z x xyz x y z ++≥++， 此即不等式222a b c ab bc ca ++≥++， 综上，k 的最大值为
23
.