指数函数单调性的应用
朱林佳 教学目标
1. 体会数学中具体到一般的讨论方式以及数形结合的思想；
2. 培养学生分析问题、解决问题的能力. 教学重点、难点
教学重点、难点：指数函数的单调性质及其应用. 教学方法
采用观察、分析、归纳、自主探究，合作交流的教学方法.
教学过程
一. 复习引入
1. f(x)=2x 定义域为_______，值域_______，单调性_______，f(1) ____f(2) （用＜或﹥填空）
2. f(x)=(21)x 定义域为_______，值域_______，单调性_______，f(21)___ f(31) （用＜或﹥填空）
二. 应用举例
题组1：比较下列各题中的两个值的大小
(1) . 23与24 （2）.5.22 与 23
(3) .0.10.8
-与0.20.8- （4）.2.33与7
.231-??? ??
变式:（1）已知 ， 则m____n （用＜或﹥填空） （2）已知 ，则m____n （用＜或﹥填空）
题组2：已知下列不等式 , 比较 m, n 的大小
（1）
（2） n m 2.02.0>)1(>>a a a n m n
m 22<)
10(<<>a a a n m
变式: 已知 ，试讨论m,n 的大小。
题组3：比较大小
(1) 6.24.0____ 1; 0.82.4_____1 (用＜或﹥填空）;
(2) 1.70.3 与 0.93.1 (3) 0.92.1 与 9.01.2
三. 能力提升：
1. 已知0.70.90.80.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列为( ).
A. a ＜c ＜b
B. b ＜a ＜c
C. a ＜b ＜c A. b ＜c ＜a
2 利用指数函数的单调性解不等式:
(1) (2)
3. 比较1132a a 与的大小（a ＞0且a ≠1）.
四．小结
指数函数比较大小的方法：
1. 构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同底不同指（包括可以化为同底．．．．．．．．．．．．．．．．．．．的）．．，若底数是参变量要注意分类讨论。
2. 搭桥比较法：用别的数如0或1做桥。数的特征是不同底不同指．．．．．．．．．．．
。 五.作业布置
教材P59 .7 《名师指津》P35-36
213)51()51(+->x x )10(≠>>a a a a
n m 且1)3(12<+x
函数的单调性 1.单调性与单调区间： 例1.下列函数中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x ”的是（ ） A ．()f x =1x B ．()f x =2(1)x - C ．()f x =x e D ．()ln(1)f x x =+ 演变1.给定函数：①1 2y x =，②12 log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间 (0,1)上单调递减的函数序号是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 例2.函数2()21 x f x x -= -的单调区间为__________ 演变1.函数25---=a x x y 在),1(+∞-上单调递增，则a 的取值范围是__________ 例3.函数267)(x x x f --=的单调递增区间为__________ 演变1. 函数()f x =__________ 例4.函数2()2||3f x x x =--的单调递增区间为__________ 演变1.函数|32|)(2--=x x x f 的单调递增区间为__________ 2.利用单调性求参数范围： 例1.已知函数2)1(22+-+=x a x y 在)4,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_______ 演变1.若ax x x f 2)(2+-=与1 )(+=x a x g 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是__________ 例2.已知函数(31)4(1)()log (1)a a x a x f x x x -+
安阳师范学院人文管理学院 本科毕业论文（设计） 学号： 函数单调性的应用 系别 专业 班级 姓名 指导教师 2013年5月8日
摘要 函数单调性是函数的重要性质之一，同时也是解决实际问题求最值的重要方法。本课题从函数单调性的概念与定义入手，主要介绍函数单调性的若干性质和判别方法，然后深入探讨和总结单调性在数学领域的相关应用，继而联系实际，分析单调性在解决实际问题中的重要作用，从而总结出函数单调性所适用的条件，应用的围等。所以，无论是从研究教学来讲，还是实际应用来讲，研究函数的单调性都具有重要理论意义和现实意义。 关键词：函数单调性，判别，导数，应用 Abstract Monotonic function not only is one of the important natures of the function , but also is an important method for the practical problems. This project plan to start with the concept and definition of the function monotonicity, mainly introduces some properties of monotone functions and discriminant methods, and then further discussed and summarized monotonic related applications in the field of mathematics, and then contact with practice, analysis what’s the important role of monotonic in solving practical problems, thus summed the conditions applied, the application scope and so on. So, whether it is from research and teaching, or from its practical application, monotonicity also has important theoretical and practical significance. Keywords：Monotonic function,Distinguish,Derivative,Application
（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑， 同时a等于0函数无意义一般也不考虑。 （2）指数函数的值域为大于0的实数集合。 （3）函数图形都是下凹的。 （4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。 （5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 （6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。 （7）函数总是通过（0，1）这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b) （8）显然指数函数无界。 （9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 （10）当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。 底数的平移： 对于任何一个有意义的指数函数： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 即“上加下减，左加右减” 底数与指数函数图像： （1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。 （2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。 （3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。 幂的大小比较： 比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A 与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。 比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意： （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。例如：y1=3^4,y2=3^5，因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大，对应的y值越大），因为5大于4，所以y2大于y1. （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。 例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1，所以函数图像在定义域上单调递增，在x=0是两个函数图像都过（0，1）然后随着x的增大，y1图像下降，而y2上升，在x等于4时，y2大于y1. （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。如： <1> 对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。
函数单调性的应用 一、比较大小 例1 若函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，对任意实数x 都有f (2－x )＝f (2＋x )成立，试比较f (－1)，f (2)，f (4)的大小. 解 依题意可知f (x )的对称轴为x ＝2， ∴f (－1)＝f (5). ∵f (x )在[2，＋∞)上是增函数， ∴f (2) (3)利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错. 三、求参数的值或取值范围 例3 已知a>0，函数f(x)＝x3－ax是区间[1，＋∞)上的单调函数，求实数a的取值范围. 解任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1 《函数单调性的应用》教案 一、教材分析-----教学内容、地位和作用 本课是北师大版新课标普通高中数学必修一第二章第三节《函数的单调性》的内容，该节中内容包括：函数的单调性、函数的最值。总课时安排为3课时，《函数单调性的应用》是本节中的第三课时。 函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、最值，比较两个函数值的大小或自变量的大小、求参变量的取值范围以及解函数不等式等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性的应用考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 在本节课是以函数的单调性的应用为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；这是本节课的重点内容。 二、学情分析 教学目标的制定与实现，主要取决于我们对学习者掌握的程度。只有了解学习者原来具有的认知结构，学习者的准备状态，学习风格，情感态度等，我们才能制定合适的教学目标，安排合适的教学活动与评价标准。不同的教学环境，不同的学习主体有着不同的学习动机和学习特点。 我所教授的班级的学生具体学情具体到我们班级学生而言有以下特点：学习习惯不太好，需要不断的引导和规范；数学基本功不太扎实，演算不能做到又准又快；独立解决问题能力弱，畏难情绪严重，探索精神不足。只有少部分学生学习习惯良好，学风严谨，思维缜密。 三、教学目标： 根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标： (一)三维目标 1 知识与技能： （1）.会利用函数单调性求最值或值域. （2）.会利用函数单调性比较两个函数值或两个自变量的大小. （3）.会利用函数单调性求参变量的取值范围. （4）.会利用函数单调性解函数不等式. （5) .通过函数单调性应用的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力； 2 过程与方法： （1）通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。 （2）通过合作探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。 3 情感，态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离，培养学生对数学的兴趣。。（二）重点、难点 重点：利用函数单调性求最值或值域，求参变量的取值范围 指数函数 1．指数函数の定义： 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数の图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 の图象. 我们观察y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征，就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且の图象和性质。 a>1 0 ()x f c の大小关系是_____． 分析：先求b c ，の值再比较大小，要注意x x b c ，の取值是否在同一单调区间． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x の对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小の常用方法有：作差法、作商法、利用函数の单调性或中间量等．②对于含有参数の大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x の取值围是___________． 分析：利用指数函数の单调性求解，注意底数の取值围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得1 4x >．∴x の取值围是14 ??+ ??? ， ∞． 评注：利用指数函数の单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同の指数式，并判断底数与1の大小，对于含有参数の要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x の定义域是(]2-， ∞． 令26x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． ∴函数の值域是[)01， ． 实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}．值域{y|y ＞0且y ≠1}． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为{|y|y ≥0}． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 1.指数函数Y=ax （a>0且a ≠1）的定义域是R ，值域是（0，+∞） 2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】（基础题）指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C．b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b 解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c． 【例3】（基础题）比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 对数函数的单调性及其性质 一、相关内容 1、当0 2、选择题 1) 若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．122lg x x x >> B ．122lg x x x >> C ．122lg x x x >> D ．1 2lg 2x x x >> 2) 若b a ,是任意实数,且b a >，则（ ） A 22b a > B 1-b a D b a ??? ??0 B ．a 1－a >1 C ．log a (1－a )<0 D ．(1－a )2>a 2 6) 设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10 C ．20 D ．100 7) 已知log 12b 《指数型复合函数单调性》进阶练习 一，选择题 1.若函数y=（2a-1）x 在R 上为单调减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A.a ＞1 B. C.a≤1 D. 2.函数21()3x y =的值域是（ ） A.（0，+∞） B.（0，1） C.（0，1] D.[1，+∞） 3.函数 11 ()2x y -=的值域是（ ） A.（0，+∞） B.（-1，+∞） C.（1，+∞）． D.（-1，1） 二，填空题 4.设指数函数()(1)x f x a =-是R 上的减函数，则a 的取值范围是 ______ ． 5.不等式的解为 ______ ． 参考答案 1.B 2.C 3.A 4.1＜a＜2． 5.（-∞，-1]． 解析： 1.解： 函数y=（2a-1）x在R上为单调减函数， ∴0＜2a-1＜1解得＜a＜1 故选 B 指数函数y=a x，当0＜a＜1时为定义域上的减函数，故依题意只需0＜2a-1＜1，即可解得a 的范围 本题主要考查了指数函数的单调性，通过底数判断指数函数单调性的方法，属基础题 2. 解： 由题意令t=x2≥0∴y=≤=1∴0＜y≤1故选C 本题是一个复合函数，求其值域可以分为两步来求，先求内层函数的值域，再求函数的值域，内层的函数是一个二次型的函数，用二次函数的性质求值域，外层的函数是一个指数函数，和指数的性质求其值域即可． 本题考查指数函数的定义域和值域、定义及解析式，解题的关键是掌握住复合函数求值域的规律，由内而外逐层求解．以及二次函数的性质，指数函数的性质． 3. 解： ∵1-x∈R ∴， 故函数的值域为（0，+∞） 故选A. 先根据1-x∈R结合指数函数的性质，进而求得函数的值域． 本题主要考查了函数的值域．作为函数的基础题型，应掌握一些求函数定义域和值域的方法． 函数奇偶性与单调性的综合应用 专题 【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感谢现在拼命努力的自己！】 教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质； 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质. 【复习旧识】 1.函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？ 2.函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？ 3.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？ 【新课讲解】 一、常考题型 1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小； 2.当题目中出现“ 2 121) ()(x x x f x f --＞0（或＜0）”或“)(x xf ＞0（或＜0）”时，往 往还是考察单调性； 3.证明或判断某一函数的单调性； 4.证明或判断某一函数的奇偶性； 5.根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“)(x f ＞0（或＜0）”时x 的取值范围）； 6.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值范围. 二、常用解题方法 1.画简图（草图），利用数形结合； 2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化； 3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论. 三、误区 1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关； 2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称； 3.奇函数若在“0=x ”处有定义，必有“0)0(=f ”； 4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异； 5.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值范围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤： （1） 根据题意在区间上设 ； （2） 比较大小 ； （3） 下结论 . 函数奇偶性证明的步骤： （1）考察函数的定义域 ； 若a ＝)3 1(log 2 f ，b ＝)2 1 (log 3 f ，c ＝)2(-f ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a ＞＞ B ．a c b ＞＞ C ．b a c ＞＞ D ．a b c ＞＞ 【考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质. 【解析】 因为log 2 3 函数的性质——单调性 欧阳光明（2021.03.07） 【教学目的】使学生了解增函数、减函数的概念，掌握判断函数增减性的方法步骤； 【重点难点】重点：函数的单调性的有关概念； 难点：证明或判断函数的单调性 一、增函数与减函数 ⒈增函数与减函数定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2. ⑴若当x1 说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集； ⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在x 1,x 2那样的特定位置上，虽然使得 f(x 1)<(fx 2)，但显然此图象表示的函数不是一 个单调函数； ⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“f(x 1)<(fx 2) 或f(x 1)>(fx 2) ”改为“f(x 1)≤(fx 2) 或f(x 1)≥(fx 2)”即可； ⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减. ②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数. ⒊ 例题 例1图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数. 练习：1、函数11-=x y 的增减性的正确说 法是： A ．单调减函数 B.在)0,(-∞上是减函数,在),0(+∞上是减函 导数应用：含参函数的单调性讨论(一) 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 二、典例讲解 例1 讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立， 此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)(' a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或 此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数， )(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ; )(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间 解：x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(1)('>+=+ =x x a x x a x f (它与a x x g +=)(同号) I ）当0≥a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立， 此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数， 浅说指数函数单调性证明的理论依据 巴中市第五中学 王晓军 在人教版高中数学第一册（上）中，根据指数函数的图像归纳出了指数函数的单调性。在教师教学用书中，以“当1>a 时,若0>x ，则1>x a ；当10<x ，则10< 指数函数的概念及其性质 一、单选题(共11道，每道9分) 1.若函数满足，则的值为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的解析式及运算 2.若函数是指数函数，则的值为( ) A.2 B. C. D.-2 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的解析式及运算 3.函数的定义域是( ) A.(-∞，2] B.["0，2"] C.(-∞，2) D.(0，2] 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的定义域 4.函数的值域是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的值域 5.若，则函数的值域是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的值域 6.若函数的图象恒过定点(1，2)，则b的值 A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质 7.不论a是何值，函数恒过一定点，这个定点坐标是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质 8.若函数的图象在第一、三、四象限，则有 A.， B.， C.， D.， 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质 9.函数在上是( ) A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值 C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用 10.函数在上的最小值为( ) A.-1 B.0 C.2 D.10 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用 11.已知函数，，若有，则b的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数综合题 指数函数和函数单调性以及集合的练习题 选择题： 1.（2010届·广东高三六校联考（理））1．已知集合，，则集合 （ ） A ． B ． C ． D ． 2.在下列对应关系中，哪些能构成A 到B 的映射？, 3．若A ＝{1，3，x }，B ＝{x 2，1}，且B A ，则这样的x 的值有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4.函数y ＝1x ＋1 的定义域是 …………………………………( ) ［－1，＋∞ ［－1,0) －1，＋∞ －1,0) 5．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数， 则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 6．设f (x )＝|x －1|－|x |，则f [f ()]＝ （ ） A ． － B ．0 C ． D ．1 7..已知f(x)＝1x 2－1 ，g(x)＝x ＋1，则f(g(x))的表达式是…………………… ( ) 1x 2＋2x x 2 x 2－1 x 2x 2＋2x 1x 2－1 8.函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是 （ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞ B ．),1[],0,(+∞-∞ C ．]1,(),,0[-∞+∞ D ),1[),,0[+∞+∞ 9.（2005福建理5）函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是 （ ） A ．0,1<>b a B ．0,1>>b a C ．0,10><5 1 11.函数()2()1x f x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A 、1>a B 、2,则#A B 为（ ）. A. {}|02x x << B.{}|12x x <≤ C.{}|012x x x ≤≤≥或 D.{}|012x x x ≤≤>或 填空题： 13.对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是______． 14.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是 ，值域是 . 15.函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 函数单调性的应用 授课人：刘晓健 教学内容：函数单调性的应用 教学目的：利用单调性解决二次函数最值，含参数的函数问题，及解决抽 象函数问题。 教学重点：含参数问题的讨论，抽象函数问题。 教学难点：单调性的综合应用。 教学过程： 一 ．教材预知 1. 用定义证明函数单调性的步骤是（1） ，（2） ， （3） ，（4） ，（5） 。 2. 若函数y=f(x)在某区间上是增（减）函数，则y=- f(x)在这个区间上为 函数；若函数y=f(x) 和 y=g(x)在某个公共区间上都是增（减）函数，则y=f(x)+g(x)在这个区间上是 函数。 3. 若函数y=f(x) 在闭区间[a, b]上具有单调性，则它在这个区间上必取得最大值和最小值，当 f(x)在[a, b]上递增时，y max = ,y min = ;当f(x)在[a, b]上递减时, y max = ,y min = 。 二．基础自测 1. 已知f(x) , g(x)定义在同一区间上，f(x)是增函数，g(x)是减函数，且g(x)≠0，则（ ） A. f(x) + g(x) 为减函数 B. f(x) - g(x)为增函数 C ．f(x)·g(x)是减函数 D. f(x) g(x) 是增函数 2. 函数y=f(x) 在R 上单调递增，且f(m 2)>f(-m)，则实数m 的取值范围是（ ） A. (-∞,-1 ) B. ( 0,+∞) C.(-1,0 ) D. (-∞,-1 )∪( 0,+∞) 3.已知x ∈[0,1]，则函数y=2x+2-1-x 的最大值为 ，最小值 为 。 三．例题精选 类型一 函数的最值问题 例1：函数f(x)= ax 2-2ax+2+b (a ≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2，求a, b 的值. 解题过程（略） 点评：二次函数在某个区间[a ,b]上的最值只可能在两个端点或顶点处取得。 即时突破：已知函数f(x)= -4x 2+4ax-4a-a 2在[0,1]内有最大值-5，求a 的值。 类型二 已知单调性求参数值或取值范围 例2：已知函数f(x)=x-a /x+a /2在( 1,+∞)上是增函数，求实数a 的取值范围。 解题过程（略） 点评：已知函数f(x)在区间A 上是增（减）函数，确定某个与该函数有关的参数值或取值范围问题，基本思路是：（1）设x 1 指数函数单调性考法题型 题型一 比较指数式的大小 【典例1】 (2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b 0的解集为________． 【解析】 ∵f (x )为偶函数， 当x ＜0时，－x >0，则f (x )＝f (－x )＝2－x －4. ∴f (x )＝? ???? 2x －4， x ≥0，2－x －4，x ＜0， 当f (x －2)＞0时，有????? x －2≥0，2x －2－4＞0或????? x －2＜0，2－x ＋2－4＞0， 解得x ＞4或x ＜0. ∴不等式的解集为{x |x >4或x <0}． 【答案】 {x |x >4或x <0} 【解题技法】简单的指数方程或不等式问题的求解策略 (1)a f (x )＝a g (x )?f (x )＝g (x )． (2)a f (x )>a g (x )，当a >1时，等价于f (x )>g (x )；当0 浅谈函数单调性的应用 贵州省习水县第一中学袁嗣林 摘要：函数的单调性是函数的一条重要性质，本文概括、总结了五种方法判断函数的单调性. 同时对每种方法的特点及适用范围、注意事项采用举例的方式作了具体的介绍，这有助于读者更好地理解和掌握这些方法，从而能轻松的解决有关函数单调性的问题. 函数的单调性是函数的一条重要性质，反映了函数值的变化规律. 在高考中历考弥新，考查的深度远远高于课本。 在讨论函数单调性时必须在其定义域内进行，因此要研究函数的单调性就必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集. 接下来我就来谈谈函数单调性的应用。 一、函数单调性的判别 单调性是函数最重要的性质之一．导数的引入虽然给单调性的研究带来了极大的方便，但是它并不能解决与单凋性有关的所有问题．本文结合近几年的试题谈谈判断单调性的几种方法。． 1.定义法（自变量增大函数值变小为减函数；反之，为增函数） 例1 判断函数的单调性 解因为==，显然当为正数且逐 渐增加时, 也逐渐增加，则其倒数逐渐减小，即函数值逐渐减小，所以函数 在区间(0，+∞)上为减函数． 2.函数变换法 由上面的定义法我们不难得到单调函数运算后的一些结论：在同一个区间上，若f(x)、g(x)都是单凋增(减)函数，则f(x)+g(x)也是单凋增(减)函数；若f(x)单凋递增，g(x)单凋递减，则f(x)-g(x)单调递增；若f(x)单凋递减，g(x)单凋递增，则f(x)-g(x )单调递减. 例2 判断函数的单调性. 解设，显然当x>0时，函数g(x)单凋递增，而函数f(x)单调递减．由上面的运算法则知函数f(X)在区间(0，+∞)上为增函数. 3.复合函数法 设函数f(x)由两个函数g(x)与h(X)复合而成，则g(x)与h(x)单调性相同时，f(x)单调递增；g( x)与h(x)单调性不同时，f(x)单调递减，即通常所说的同增异减．多层复合，依此类推． 例3已知函数y=f(x)的图象与函数的图象关于直线对称，记，若y=g(x)在区间[ 1/2，2]上是增函数，则实数a的取值范围( ) (A)（０，+∞） (B)（0，1)U(1，2) (C) (D) 解因为， 所以-1函数单调性的应用 教案
指数函数经典例题(问题详细讲解)
指数函数典型例题详细解析汇报
对数函数的单调性及其应用
《指数型复合函数单调性》进阶练习(一)
函数奇偶性与单调性的综合应用--专题
2021年函数单调性的定义与应用
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指数函数单调性思路
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指数函数和函数单调性练习题
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