§1.1 集合及其表示法
一、概念
1、集合的概念
在现实生活和数学中，我们常常把一些对象放在一起，作为一个整体来研究，例如：
（1）崇明中学高中一年级全体学生；
（2）NBA联赛参球队的全体；
（3）所有的锐角三角形；
（4）2,4,6,8,10；
（5）不等式2x-3>1的解的全体
我们常常把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集，通常用大写字母A、B、C……表示；集合中的各个对象叫做集合的元素，通常用小写字母a、b、c……表示。
如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作：“a属于A”；
如果a不是集合A的元素，就记作a?A，读作：“a不属于A”。
2、集合的本质属性
1°确定性
对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的。也就是说，任何一个对象要么是给定集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一。
例：下列各组对象的全体不能组成集合的是（D）
（A）满足| x |＜3的整数；（B）方程x 2 +1=0的解；
（C）本校高一年级身高在1.80米以上的同学；（D）很接近0的数。
[反思]：元素的确定性是判断一组对象的全体能否组成集合的决定性条件，出现“较快”、“很小”、“很高”等不确定的条件时，一组对象就不能组成集合；
2°互异性
对于一个给定的集合，集合中的元素是互不相同的。也就是说，一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象，集合中的元素不重复出现。
3°无序性
对于一个给定的集合，集合中的元素是没有先后顺序的。也就是说，集合中的元素地位是平等的、无序的，我们可以根据需要对它们进行任何一种排列。
3、集合的分类
1°按照集合中元素的多少可以将集合分为有限集和无限集
含有有限个元素的集合叫做有限集；含有无限个元素的集合叫做无限集。
特例：不含有任何元素的集合叫做空集，记作：Φ。（空集是有限集）
2°从集合元素的属性来看，集合有数集（元素为数），点集（元素为点），…等常见的类型。
常见的数集：自然数集N，非零自然数集（正整数集）N *，整数集Z，有理数集Q，实数集R等。（方程的解集，不等式的解集等都是数集）
常见的点集：组成一条直线的点的集合，到定点的距离等于定长的点的集合，…——几何图形都可以看作点集
4、集合的表示方法
1°列举法
将集合中的元素一一列举出来（在列举时不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法。（两个元素之间用逗号分隔）
例：例1中（A）满足| x |＜3的整数所组成的集合可写为{0，1，－1，2，－2} 四大洋所组成的集合{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}
15以内的质数{2，3，5，7，11，13}
正奇数的集合{1, 3, 5, 7 , 9 ，……}
注：列举法适用于元素不多的有限集或有规律的无限集
2°描述法
⑴符号描述
在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面再写上集合中元素所共同拥有的特性。
例： 大于5的数的全体 { x | x ＞5 }，也可写成{ y | y ＞5 }…
直线y = 2 x + 1上点的全体 { (x,y) | y=2x+1 }
方程组???x + y = 4x －y = 6 的解集 描述法{（x , y ）| ???x + y = 4x －y = 6
}；列举法{（5 , －1）}
注：描述法一般适用于表示元素较多的有限集或无限集。 ⑵语言描述
{ 崇明中学高一X 班的全体学生} 3°图示法（文氏图）
画一条封闭的曲线，用它的内部表示一个集合。
另外，初中用数轴表示不等式的解集也是集合的图示法。 注：图示法一般用作解题辅助方法，多用于集合的运算。
三、供选例题
1.集合的判断
例1 下列命题正确的个数为…………………( )。
① 很小两实数可以构成集合；
② }1|{2
-=x y y 与}1|),{(2
-=x y y x 是同一集合
③ 5.0,2
1
,46,23,
1-这些数组成的集合有5个数； ④ 集合},,0|),{(R y x xy y x ∈≤是指第二、四象限内的点集；
A .0个
B .1个
C .2个
D .3个
例2、,R x ∈则}2,,3{2
x x x -中的元素x 应满足什么条件 2. 集合与元素之间的关系 例3 、用符号“∈”“?”填空 （1）2______N （2
______Q （3）0____?
（4）0______{}0
（5）0 Φ
（6）0______*
N
（7
）{x x < （8）{
}2*
3____1,x x n n =+∈N
（9）(){
}2
1,1____y y x -=
（10）()(){}2
1,1____
,x y y x -=
3.集合的表示方法
例4用列举法表示下列集合：
（1）(){},|5,,x y x y x y +=∈∈N N 答：()()()()()(){}0,5,1,4,2,3,3,2,4,1,5,0 （2）{}
2
230,x x x x --=∈R 答：{}3,1- （3）{
}
2
230,x x x x -+=∈R 答：?
（3）12,5x
x x ?
?
∈∈??-??N Z
答：{}7,1,1,3,4--
例5、用适当的方法表示下列集合
⑴大于10的所有自然数组成的集合； ⑷正偶数组成的集合；
⑵24与30的所有公约数组成的集合； ⑸被3除余2的整数组成的集合； ⑶方程x 2－4 = 0的解的集合； ⑹直角坐标平面上第二象限的点组成的集合。
北京市劲松职业高中教案 美容美发专业高一年级数学科目任课教师李世劲教案序号 1 课题名称 1.1.1集合与元素首次教学 日期 2010.9.5 教学目标知识目标. 1.通过学习使学生理解集合、元素的概念及其关系 2.并进一步掌握常用数集的字母表示 3.通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力能力目标 德育目标 教学重点集合与元素的概念及其他们之间的关系 教学难点根据对集合的描述，判断对象能否组成集合 教学方法启发式教学法，讲授法演示法 教学手段板书，多媒体辅助 教学环节教师活动学生活动教学意图 一、新课导入 二、学习新课 介绍中职阶段学习数学的 必要性，数学的学习内容、学习 方法、学习特点等等． 教师介绍说明，逐渐引导学 生认识集合。针对学生特点，举 出现实生活中的实例，让学生更 形象地认识集合。 问题： 实训基地最近进了一批货， 包括：洗发水、护发素、面膜、 润发精华素、按摩膏、粉底霜、 护发啫喱、洗面奶、眼霜、日霜、 晚霜．那么如何将这些商品放在 指定的位置？ 集合的描述：由某些确定的对 象组成的整体叫做集合，简称 学生自己举例，让学生们感受数学在现实 生活中的应用 让学生领会、了解。逐渐体会学习数学的 重要性与实用性。 让学生阅读书上对集合引入的文字，让学生 对集合有一定的认识，并根据老师举出的实 例，进行回答。 认真听老师所讲的例子，并对相应的问题进 行思考、回答。 学生把美容与美发进行分类，并放在指 定的位置。显然， 归纳 洗发水、护发素、润发精华素、护发啫喱、 烫发水、染发膏属于美发用品 要树立学生的数 学学习信心。感受 数学的乐趣以及数 学的应用与价值。 引入教学内容从实 际事例使学生自然 的走向知识点，启 发 学生体会集合概念 从实际事例使学生 自然的走向知识点
高中数学-集合的含义与表示教案 学习目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的 具体问题，感受集合语言的意义和作用； 学习重点：集合的基本概念与表示方法； 学习难点:运用集合的两种常用表示方法，即列举法与描述法,正确表示一些简单的集合；课堂探究： 一、引入课题 大家对“集合”这个词陌生吗？ 初中时学过的自然数集，有理数集等. 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念—集合，即是一些研究对象的总体. 阅读课本P2-P3内容. 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也 简称集. 2.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学 生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题. 3.关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元 素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立. （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素. （3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样. 4.元素与集合的关系； (1)如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A； （2）如果a不是集合A的元素,就说a不属于（not belong to）A,记作a?A（举例）. 5.重要数集及其记法 自然数集（或非负整数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R. 6.随堂练习 ∈或填空. 用符号? (1) 3.14＿＿Q；(2)π＿＿Q；
1.1.1集合的概念 教学目标（1）知识与技能：知道集合的含义、常用数集及其记法.会判断元素与集合的关系，明确集合元素的基本特性 （2）过程与方法：通过实例,初步体会元素与集合的”属于”关系,从观察分析集合的元素入手,正确地理解集合；学会借助实例分析、探究数学问题(如集合中元素的确定性、互异性). （3）情感、态度与价值观：在学习运用集合语言的过程中,增强学生认识事物的能力,初步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度. 重 点 集合的概念、元素与集合的关系 难 点 理解集合的元素的确定性和互异性. 教 具
教学要点：1、集合的概念2、元素与集合的关系3、集合元素的特性4、集合的分类5、常用数集符号 特别关注：元素与集合的关系集合元素的确定性和互异性 知识链接：初中代数几何对“集合”的提法以及自然数、整数、有理数的定义精华作业: 教材第5页B组第1题 教学流程： 一、创设情境： 一位教授有一个上幼儿园的女儿，一天教授问放学回家的女儿：“今天在学校学什么了？”女儿说：“集合”。教授问：“怎么讲得集合啊？”女儿回答：“老师班里所有的男生站起来，所有站起来的男生就构成了一个集合，老师又让班里所有地女生站起来，所有站起来的女生构成一个集合。”于是，教授问：“那所有的土豆能构成一个集合么？”女儿想了想说：“如果土豆能够站起来的话，就可以构成集合。”那么本节课我们就来研究所有的土豆是否构成一个集合。 设计意图：设疑激趣，导入课题。 二、复习引入 师：在初中代数、几何中曾涉及“集合”的提法，有谁知道么？都是哪些？生：不等式的解集以及几何中“圆”的描述。 三、概念形成 师：请大家看几个例子(构成集合)有什么特点? (1)“小于10”的正整数1,2, (9) (2)所有平行四边形; (3)满足3x>x+2的全体实数; (4)我校高一所有学生. 学生讨论交流，可能得出集合的要点：确定的，不同的对象。也可能得不出，此时教师总结。 师：根据集合的要点，我们来归纳一下集合的定义。 1、集合：一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是 由这些对象的全体构成的集合(或集)。 2、集合的元素：
【课题】1.1集合与元素 【教学目标】 1、理解集合的概念及元素与集合的关系； 2、掌握集合的构成原则，能准确判断一些对象能否构成集合； 3、了解集合的分类和常用数集及其记法。 【教学重点】 元素与集合之间的关系 【教学难点】 元素与集合之间“属于”、“不属于”关系的区分 【教学设计】 1、通过生活中的实例导入集合与元素的概念； 2、引导学生自然地认识集合与元素的关系。 【课时安排】 1课时（45分钟） 【教学过程】 ?揭示课题 在生活中，我们会遇到不计其数的物品，通过对这些物品的分类，能够加强我们对事物的认识，更好地解决问题。例如：超市中货物的分类摆放能让顾客准确有效地找到想要的东西。 对分类后的事物，我们该用怎样的数学语言进行描述呢？接下来我们就一起来学习今天的课题——1.1集合与元素 ?创设情景兴趣导入 问题：某商店进了一批货，包括：面包、饼干、笔、橡皮、果冻、薯片、尺子、本子。那么如何将这些商品放在指定的篮筐里？ 解决：显然，面包、饼干、果冻、薯片放在食品篮筐；笔、橡皮、本子、尺子放在文具篮筐。 归纳：面包、饼干、果冻、薯片组成了食品集合，也是食品集合的元素；而笔、橡皮、本子、尺子组成了文具集合，它们是文具集合的元素。 ?动脑思考探索新知
概念：一般的，由某些确定的对象组成的整体叫做集合，一般采用大写英文字母A ，B ，C ，…表示。 集合中的每个确定的对象叫做这个集合的元素，小写英文字母a ，b ，c ，…表示集合的元素。 拓展：集合中的元素具有下列特点： 1、互异性：一个给定的集合中的元素都是互不相同的； 2、无序性：一个给定的集合中的元素排列无顺序； 3、确定性：一个给定的集合中的元素必须是确定的。 不能确定的对象，不能组成集合。 例如：某班个子高的同学，不能组成集合，到底多少身高才算高个子，没有确定的标准； 某班个子高于180cm 的同学，可以组成集合。 关系：元素a 是集合A 的元素，记作a A ∈（读作“a 属于A ”）；如果a 不是集合A 的元素，记作a A ?（读作“a 不属于A ”）。 例题讲解：书上P3，例 集合类型： 由有限个元素组成的集合，叫做有限集； 由无限个元素组成的集合叫做无限集； 不含任何元素的集合叫做空集，记作?； 由数组成的集合叫做数集。方程的解集与不等式的解集都是数集。 所有自然数组成的集合叫做自然数集，记作N ；（最小的自然数0） 所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作*N 或+ Ζ； 所有整数组成的集合叫做整数集，记作Z ； 所有有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q ；（有理数包括整数和分数） 所有实数组成的集合叫做实数集，记作R 。 （书上常用数集的表示要记住，做题的时候经常会遇到） ? 运用知识 强化练习 书P4，练习和习题 ? 课后作业 一点通P4，课堂检测单和课后巩固单
模块纵览 课标要求 1.知识与技能 认识和理解集合、映射、函数、幂函数、指数函数、对数函数等概念,认识和理解它们的有关性质和运算.具有一定的把函数应用于实际的能力. 2.过程与方法 通过背景的给出,通过经历、体验和实践探索过程的展现,通过数学思想方法的渗透,让学生体会过程的重要,并在过程中学习知识,同时领会一定的数学思想和方法. 3.情感、态度与价值观 教育的根本目的是育人.通过对本模块内容的教学,使学生在学习和运用知识的过程中提高对数学学习的兴趣,并在初中函数的学习基础上,对数学有更深刻的感受,提高说理、批判和质疑精神,形成锲而不舍追求真理的科学态度和习惯,树立良好的情感态度和价值观. 内容概述 本模块共三章:第一章集合与函数概念;第二章基本初等函数(Ⅰ);第三章函数的应用. 本模块为了用集合与对应的语言刻画函数概念,先在第一章给出集合的有关概念、表示、关系和运算等;然后从函数实例出发深化函数概念及其表示,并研究映射概念;进而又给出了函数的性质:单调性、最值、奇偶性,这也是对函数的深化;接下来再回到特殊的函数——几个基本初等函数,继续认识函数,本模块重点涉及了指数函数、对数函数、幂函数;最后专门给出了函数在数学和实际中的一些应用实例,使函数的价值得到体现,也是进一步巩固函数的概念,更加强了数学应用. 概括地说,本模块的核心内容是“函数”.函数是描述现实世界最重要、最常用的数学模型,是贯穿整个高中数学的纽带,是学生进一步学习的准备,是未来公民的必需,因此,整个模块以函数作为中心,以函数思想作为指导思想. 本模块无论是数还是形都用函数观点来研究,研究它们的变化及其规律.对方程的认识和研究,也是从函数出发,把它与两个函数相结合,把它的解看成两个函数图象的交点的横坐标.这里把函数作为整体来认识,方程则被看成是包含于函数的局部. 教学建议 教师,对数学应该有自己深入的想法,只有教师深入了才能有教学的浅出;教师,对于教学也应该有自己的想法,唯其有自己的想法,才能发挥自己的特长,教出具有独到想法的学生. 1.抓住核心,重点突破 由于函数是本模块的重点和核心,因此教师要重视函数的教学,向学生贯彻函数的数学思想,逐步让学生掌握学会函数,更会用函数的思想去解决数学和实际问题.函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质,教学中可引导学生联系生活常识,尝试列举具体函数,构建函数的一般定义.要注意：①构成函数的要素和相同函数的含义,②函数的三种表示法的联系、区别与适用性,③分段函数的意义,④映射的概念和判断.教学中应强调对函数概念本质的理解,在求函数定义域、值域时,要控制难度. 2.用课本教,而非教课本 《普通高中数学课程标准》是在《基础教育课程改革纲要(试行)》的指导下编写的,是数学学科教育目标的具体化,体现数学学科对学生最起码的要求,是编制高考大纲的依据,是数学教学和培养学生数学素质的主要依据,具有指导性.《普通高中数学课程标准》的目标是包含“双基”在内的三维发展目标:知识与技能,过程与方法,情感、态度与价值观.在这种教学过程中,课本仅仅是一种学习工具,是课程标准的具体化,课本内容仅仅是帮助学生实现三维发展目标的一种载体,并不要求学生将课本内容全部掌握.由于高中数学课本版本的多样化,高考数学
《集合的概念》教案 教材分析 集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛． 教学目标 【知识与能力目标】 1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； 2．知道常用数集及其专用记号； 3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性； 4．会用集合语言表示有关数学对象； 5．培养学生抽象概括的能力． 【过程与方法目标】 1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义． 2．让学生归纳整理本节所学知识． 【情感态度价值观目标】 使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣． 教学重难点 【教学重点】 集合的含义与表示方法． 【教学难点】 对待不同问题，表示法的恰当选择． 课前准备 学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标． 教学过程 （一）创设情景，揭示课题 请分析以下几个实例： 1．正整数1，2，3， ； 2．中国古典四大名著； 3．2018足球世界杯参赛队伍；
4．《水浒》中梁山108好汉； 5．到线段两端距离相等的点． 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体． （二）研探新知 1．集合的有关概念 （1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）． 思考：上述5个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？ 练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？ ①很小的数②不超过30的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④π的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2的整数 ⑧正三角形全体 （2）关于集合的元素的特征 （a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a，则a或者是集合A的元素，或者不是集合A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素． （c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关． （3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题． 答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．（b）不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的． （4）元素与集合的关系； （a）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A （b）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a?A 例如：A表示方程x2＝1 的解．2?A，1∈A （5）集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列
1.1.1 集合 教学目标: 1、理解集合的概念和性质. 2、了解元素与集合的表示方法. 3、熟记有关数集. 4、培养学生认识事物的能力. 教学重点:集合概念、性质 教学难点:集合概念的理解 教学过程: 1、定义： 集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）. 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 由此上述例中集合的元素是什么？ 例（1）的元素为1、3、5、7， 例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点， 例（3）的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x， 例（4）的元素为所有直角三角形， 例（5）为高一·六班全体男同学. 一般用大括号表示集合，{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为…… 为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5} 2
（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性. 3、元素与集合的关系：隶属关系 元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?（? 也可表示为 ）两种。 如A={2，4，8，16}，则4∈A ，8∈A ，32 A. 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集A 记作 a ?A （或a A ） 注：1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q …… 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q …… 2、“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写。 4 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。 （2）非负整数集内排除0的集。记作N *或N + 。Q 、Z 、R 等其它数集内排除0 的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 请回答：已知a+b+c=m ，A={x|ax 2+bx+c=m}，判断1与A 的关系。 1.1.2 集合间的基本关系 教学目标：1.理解子集、真子集概念； 2.会判断和证明两个集合包含关系； 3 . 理解 ”、“?”的含义； 4.会判断简单集合的相等关系； 5.渗透问题相对的观点。 教学重点：子集的概念、真子集的概念 教学难点：元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算 教学过程： 观察下面几组集合，集合A 与集合B 具有什么关系？ (1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}. (2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}. (3) A={正方形}，B={四边形}. (4) A=?，B={0}. ∈?∈
§集合的概念与运算 【2014高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力． 【复习备考要这样做】 1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解． 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 2. (1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A?B(或B?A)． (2)真子集：若A?B，且A≠B，则A?B(或B?A)． (3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，??B(B≠?)． (4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个． (5)集合相等：若A?B，且B?A，则A＝B. 3．集合的运算 4. 并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. 交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. 补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A. [难点正本疑点清源] 1．正确理解集合的概念 正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误． 2．注意空集的特殊性
空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A ?B ，则需考虑A ＝?和A≠?两种可能的情况． 3． 正确区分?，{0}，{?} ?是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{?}是含有一个元素?的集合．??{0}，??{?}，?∈{?}，{0}∩{?}＝?. 题型一 集合的基本概念 例1 (1)下列集合中表示同一集合的是 ( B ) A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)} B ．M ＝{2,3}，N ＝{3,2} C ．M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝1}，N ＝{y|x ＋y ＝1} D ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)} 例如： (2)设a ，b∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝? ????? 0，b a ，b ，则b －a ＝___2_. 思维启迪：解决集合问题首先要考虑集合的“三性”：确定性、互异性、无序性，理解集合中元素的特征． 解析 (1)选项A 中的集合M 表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N 表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M 与N 不是同一个集合．选项C 中的集合M 表示由直线x ＋y ＝1上的所有的点组成的集合，集合N 表示由直线x ＋y ＝1上的所有的点的纵坐标组成的集合，即N ＝{y|x ＋y ＝1}＝R ，故集合M 与N 不是同一个集合．选项D 中的集合M 有两个元素，而集合N 只含有一个元素，故集合M 与N 不是同一个集合．对选项B ，由集合元素的无序性，可知M ，N 表示同一个集合． (2)因为{1，a ＋b ，a}＝ ? ????? 0，b a ，b ，a≠0， 所以a ＋b ＝0，得b a ＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2. 探究提高 (1)用描述法表示集合时要把握元素的特征，分清点集、数集；(2)要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最容易被忽视，因此要对计算结果进行检验，防止所得结果违背集合中元素的互异性． 若集合A ＝{x|ax 2 －3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝ 0或98_. 解析 ∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素． 当a ＝0时，x ＝2 3 符合要求． 当a≠0时，Δ＝(－3)2 －4a×2＝0，∴a＝98.故a ＝0或98. 题型二 集合间的基本关系 例2 已知集合A ＝{x|－2≤x≤7}，B ＝{x|m ＋1 学习内容：：集合的表示法 学习目标： 1、知道集合的两个表示法—列举法和描述法 2、能根据给出的实例，选用适当的方法表示元素的集合 重点、难点： 重点：集合的表示法 难点：正确选用两个表示法来表示集合 一．学前预习、体验感悟 1．什么是列举法？什么是描述法？ 2．列举法和描述法的特点是什么？ 3．你会选用这两个表示法吗？ 预习疑难摘要： ． 二．合作探索、建构数学 问题1：对于下列给定的对象所组成的集合，分别指出它们的元素是哪些？ （1）1，4，7，10 （2）小于5的正整数； （3）江苏省的地级市。 怎样表示这些集合呢？ 用列举法表示集合要注意些什么？ 思考：用列举法表示那类集合最方便？ 问题2：对于小于3的所有实数组成集合，你能用列举法表示吗？在数轴上怎样表示呢？ 如果x是上述集合中的元素，x具有怎样的特征呢？ 三．合作交流、应用数学 例1：用列举法表示下列集合： （1）由1，2，3，4，5，6组成的集合； （2）方程x-1=0的解组成的集合； （3）小于100的所有自然数组成的集合。 例2：用描述法表示下列集合： （1）大于6的所有实数组成的集合； （2）不等式2x-3<0的解组成的集合； （3）所以三角形组成的集合。 例3：用列举法表示下列集合： （1）{x|x=2k+1，k∈N}； （2）{x| x是中华人民共和国的首都}； （3）{x| x是等腰直角三角形内角的度数}。 例4：用适当的方法表示下列集合： （1）大于-1且小于3的整数组成的集合； （2）不等式4x-5<3的解集； （3）平面直角坐标系中，直线y=x上的点组成的集合。例5：用“∈”或“?”填空： 1.1.2 集合的表示方法 【学习要求】 1.掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)． 2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 【学法指导】 通过由用自然语言描述数学概念到用集合语言描述数学概念的抽象过程，感知用集合语言思考问题的方法；体会将实际问题数学化的过程. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在花括号“{ }”内表示集合的方法．当集合中的元素 较少 时，用列举法表示方便． 2.描述法：一般地，如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质p(x)，而不属于集合A 的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A 的一个特征性质，于是集合A 可以用它的特征性质p(x)描述 {x ∈I|p(x)} . 3.列举法常用于集合中的元素较少时的集合表示，描述法多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 上节课我们学习了用大写字母表示常用的几个数集，但是这不能体现出集合中的具体元素是什么，并且还有大量的非常用集合不能用大写字母表示，事实上表示一个集合关键是确定它包含哪些元素，为此我们有必要学习集合的表示方法还有哪些？分别适用于什么情况？ 探究点一 列举法表示集合 问题1：在初中学正数和负数时，是如何表示正数集合和负数集合的？如表示下列数中的正数 4.8，－3，2，－0.5，1 3 ，73，3.1. 答 ：方法一 图示法： 方法二 列举法：???? ??4.8，2，13，73，3.1 问题2： 列举法是如何定义的？怎样的集合适用列举法表示？ 答 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法．当集合中的元素较少时，用列举法表 示方便．例：x 2－3x ＋2＝0的解集可表示为{1,2}． 问题3： 由book 中的字母组成的集合能否表示为：{b ，o ，o ，k}? 答 不能，由集合元素的互异性知，可表示为{b ，o ，k}． 问题4： 有些集合元素的个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可用列举法表示，如何用列举法表示从1到100的所有整数组成的集合及自然数集N. 答 分别表示为{1,2,3，…，100}，{1,2,3,4，…，n ，…}． 问题5： 怎样区分?，{?}，{0}等符号的含义？ 答 ?表示空集；{?}表示只含有一个元素为?的集合；{0}表示只含有0这个元素的一个集合． 例1 用列举法表示下列集合： (1)A ＝{x∈N|0 §1．1集合的含义与表示 李宁陕西师范大学附属中学 710061 【教材版本】北师大版 【教材分析】 1．知识内容与结构分析 集合论是现代数学的一个重要的基础．在高中数学中，集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础，集合论以及它所反映的数学思想在越来越广泛的领域中得到应用．课本从学生熟悉的集合（自然数集合、有理数的集合等）出发，结合实例给出了元素、集合的含义，学生通过对具体实例的抽象、概括发展了逻辑思维能力．2．知识学习意义分析 通过自主探究的学习过程，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择合适的语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 3．教学建议与学法指导 由于本节新概念、新符号较多，虽然内容较为浅显，但不应讲得过快，应在讲解概念的同时，让学生多阅读课本，互相交流，在此基础上理解概念并熟悉新符号的使用．通过问题探究、自主探索、合作交流、自我总结等形式，调动学生的积极性． 【学情分析】 在初中，学生学习过一些点的集合或轨迹，如：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（圆）；到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合（线段的垂直平分线）．这对学生学习本节课的知识有一定的帮助，只不过现在我们要把这个“集合”推广，它不仅仅是点的集合或图形的集合，而是“指定的某些对象的全体”．集合语言是现代数学的基本语言，使用这种语言，不仅有助于简洁、准确地表达数学内容，还可以用来刻画和解决生活中的许多问题．学习集合，可以发展同学们用数学语言进行交流的能力． 【教学目标】 1．知识与技能 （1）学生通过自主学习，初步理解集合的概念，理解元素与集合间的关系，了解集合元素的确定性、互异性，无序性，知道常用数集及其记法； （2）掌握集合的常用表示法——列举法和描述法． 2．过程与方法 通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择合适的语言（如自然语言、图形语言、集合语言）描述不同的具体问题，提高语言转换和抽象概括能力，树立用集合语言表示数学内容的意识． 3．情态与价值 在掌握基本概念的基础上，能够解决相关问题，获得数学学习的成就感，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的应用意识． 【重点难点】 1．教学重点：集合的基本概念与表示方法． 2．教学难点：选择合适的方法正确表示集合． 【教学环境】 ◆多媒体教室 ◆课件 【教学思路】 通过实例以及学生熟悉的数集，引入集合的概念，进而给出集合的表示方法，学生通过自我体会、自主学习、自我总结达到掌握本节课内容的目的．教学过程按照“提出问题——学生讨论——归纳总结——获得新知——自我检测”环节安排． 【教学过程】 一、导入新课 师：同学们，我们在初中时最开始接触到的有理数的分类大家应该还很熟悉．下面我们来看一个当时我们常见的很简单的题目： 问题1：将下列各数填入相应的图形中： 第一章集合与函数概念 §1．1集合 教学目标： (1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； 教学重点.难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 1.1.1 （一）集合的有关概念 ⒈定义：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对 象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 5.常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集. 整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R； 6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大 的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2} ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： 创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 1.1.1集合的概念（必修1） 一、教学目标 1、知识技能目标： (1)初步理解集合的概念，集合元素的三个特征,知道常用数集及其记法。 (2)初步了解“属于”关系的意义。 (3)初步了解有限集、无限集、空集的意义。 2、过程方法目标： (1) 从观察分析集合的元素入手，正确的理解集合.通过实例，初步体会 元素与集合的“属于”关系。 (2)观察关于集合的几组实例，初步感受集合语言在描述客观现实和数学 对象中的意义。 3、情感态度目标： (1)在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力。 (2)培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度。 二、知识点 1、集合等有关概念及其表示方法 2、集合与元素之间的关系 3、集合元素的三个特征 4、集合分类（注意空集 ） 5、常用数集的表示法 三、教学重点： 集合的基本概念与表示方法，集合元素的三个特征. 四、教学难点： 集合与元素的关系，空集的意义 五、课程引入与简单回顾： 从前有个渔夫对数学非常感兴趣，但是就是不理解集合，偶然碰到了一位数学家，他就问这位数学家，集合是什么？数学家让这位渔夫去撒网打渔，当网收起时，大大小小的鱼被一网打尽，数学家笑着说，这就是集合！ （强调集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件。通过学生喜欢的故事导入课题，使学生明确本章学习的重要性） 六、新授课 1、概念: （1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象。 如：教室里的桌子可以称作是对象 咱们的教科书可以称作为对象 某某笔袋里的文具也可以看作是对象 …… （2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合。 （3）元素：构成集合中每个对象叫做这个集合的元素。 例 1、小于10的自然数0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的各个数都分别看作对象，所有 这些对象汇集在一起构成一个整体，我们说这些对象构成一个集合，该集合的元素有：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 2、书P3举几个集合的例子 （1）、参加亚特兰大奥运会的所有中国代表团的成员构成的集合（2）、方程x2=1的解的全体构成的集合 （3）、平行四边形的全体构成的集合 创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 1集合的概念和表示方法教材分析 集合概念的基本理论，称为集合论．它是近、现代数学的一个重要基础．一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识．这节内容是初中有关内容的深化和延伸．首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子．本节的重点是集合的基本概念与表示方法，难点是运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法正确表示一些简单的集合． 教学目标 1.初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法． 2.初步了解“属于”关系的意义，理解集合中元素的性质． 3.掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言），培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力． 任务分析 这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念．介绍集合的概念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受．在引出概念时，从实例入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念．集合的表示方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生掌握． 教学设计 一、问题情境 1.在初中，我们学过哪些集合？ 2.在初中，我们用集合描述过什么？ 学生讨论得出： 在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合”，“负数的集合”；在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集． 在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合． 3.“集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？ 学生讨论得出： “全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”，…… 4.请写出“小于10”的所有自然数． 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．这些可以构成一个集合． 5.什么是集合？ 二、建立模型 1.集合的概念（先具体举例，然后进行描述性定义） （1）某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集． （2）集合中的每个对象叫作这个集合的元素． （3）集合中的元素与集合的关系： a是集合A中的元素，称a属于集合A，记作a∈A； a不是集合A中的元素，称a不属于集合A，记作a A． 例：设B＝｛1，2，3｝，则1∈B，4B． 2.集合中的元素具备的性质 （1）确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了．如上例，给出集合B，4不是集合的元素是可以确定的． （2）互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的． 例：若集合A＝｛a，b｝，则a与b是不同的两个元素． （3）无序性：集合中的元素无顺序． 【省中职数学骨干教师培训】 《集合与元素》说课稿 各位老师， 大家好！ 我是县职业中专的老师，我今天说课的题目是：《集合与元素》．下面我将从教学内容、教学目标、教学重点与难点、学情分析、教法与学法、教学过程、教学评价、教学反思八个方面进行说课。 一、教材分析： 《集合与元素》是江苏教育出版社，中职《数学》基础模块上册第一章第一节的内容。 本节课的主要内容：集合以及与集合有关的概念，元素与集合间的关系．初中数学课本中已出现了一些数和点的集合，如：自然数的集合，有理数的集合，不等式解的集合，线段的垂直平分线是到线段的两个端点距离相等的点的集合，但学生并不清楚“集合”在数学中的含义． 集合是一个基础性概念，也是高中数学的开篇，是我们后续学习的重要工具，如用集合语言表示函数的定义域、值域，方程与不等式的解集，曲线上点的集合等．通过本章的学习，能让学生领会到集合语言的简洁和准确，帮助学会用集合语言描述客观，发展学生运用数学语言交流的能力。 二、教学目标 根据教学大纲及上述对教材的分析，我确定本节课的教学目标为： 知识目标： 1.通过实例，了解集合的含义，理解集合以及与有关的概念； 2.初步体会元素与集合的“属于”关系，掌握元素与集合关系的表示方法； 能力目标： 1.让学生感知数学知识与实际生活的密切联系，培养解决实际问题的能力； 2.学会借助实例分析、探究数学问题，发展学生的观察、归纳能力； 情感目标： 1.通过联系生活，提高学生学习数学的积极性，形成积极的学习态度； 2.通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨． 三、重点和难点 根据上述对教材的分析，确定的教学目标，本节课的教学重点定位为：集合的概念，元素与集合的关系； 考虑到学生已有的知识基础与认知能力，教学难点定位为集合的含义。教学中从学生已有的知识和经验入手，结合现实生活中的例子、教师引导、学生自主探索等活动，让学生亲自参与概念、结论的逐步形成过程，达到化难为易，突破难点。 四、学情分析： 高中阶段是学生智力发展的关键年龄，学生逻辑思维从经验型逐步走向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随之迅速发展． 心理方面：高中学生有着强烈的好奇心，有表现的欲望，也有探索原理、明白方法的理性愿望，他们希望平等交流研讨，厌烦空洞的说教．对刚进入中职的学生来说，学生的数学基础相对薄弱，他们还没具备一定的观察、分析、理解、推理、解决实际问题的能力． 五．教法与学法： 提升训练1.1 集合及其表示方法 一、选择题 1．下列给出的对象中，能表示集合的是（ ）． A ．一切很大的数 B ．无限接近零的数 C ．聪明的人 D ．方程的实数根 2．已知集合A={x ∈N|-1＜x ＜4}，则集合A 中的元素个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3．用列举法表示集合{}2|40A x x =-=正确的是（ ） A. ?2,2 B. {?2} C. {2} D. {?2,2} 4．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是( ) A ．9 B ．5 C ．3 D ．1 5．下列说法正确的是（ ） A ．我校爱好足球的同学组成一个集合 B ． 是不大于3的自然数组成的集合 C ．集合和表示同一集合 D ．数1，0，5，，，， 组成的集合有7个元素 6．集合{x |x ≥2}表示成区间是 A ．（2，+∞） B ．[2，+∞） C ．（–∞，2） D ．（–∞，2] 7．集合A ＝{x ∈Z|y ＝，y ∈Z}的元素个数为( ) A ．4 B ．5 C ．10 D ．12 8．不等式的解集用区间可表示为 A ．（–∞，） B ．（–∞，] C ．（，+∞） D ．[，+∞） 9．下列说法正确的是（ ） A ．0与{}0的意义相同 B ．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合 C ．集合(){},|32,A x y x y x N = +=∈是有限集 D ．方程2210x x ++=的解集只有一个元素 10．方程组 的解集不可以表示为( ) A ．{(x ，y)| } B ．{(x ，y)| } C ．{1,2} D ．{(1,2)} 11．下列选项中，表示同一集合的是 A ．A={0，1}，B={（0，1）} B ．A={2，3}，B={3，2} C ．A={x|–1集合的表示法-中职数学基础模块教案设计
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