2020年东北三省三校高考数学二模试卷(理科)
2020-12-12
【关键字】方案、情况、条件、空间、矛盾、焦点、充分、执行、建立、发现、位置、标准、关系、形成、满足、方向
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x|1≤x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩（?R B）=（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|﹣2≤x＜1}C．{x|1≤x≤2}D．{x|1＜x≤2} 2．（5分）复数（i是虚数单位）的虚部为（）
A．﹣i B．﹣2i C．﹣1D．﹣2
3．（5分）已知随机变量X～N（0，σ2），若P（|X|＜2）=a，则P（X＞2）的值为（）
A．B．C．1﹣a D．
4．（5分）等差数列{a n}中，a1+a3+a5=39，a5+a7+a9=27，则数列{a n}的前9项的和S9等于（）
A．66B．99C．144D．297
5．（5分）α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m?α，n?α，且A ∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是（）
A．垂直B．相交C．异面D．平行
6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）
A．B．C．D．
7．（5分）要得到函数的图象，只需将函数
的图象（）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
8．（5分）已知偶函数f（x）的定义域为R，若f（x﹣1）为奇函数，且f（2）=3，
则f（5）+f（6）的值为（）
A．﹣3B．﹣2C．2D．3
9．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，正多边形的周长可无限逼近圆的周长，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就是著名的徽率，利用刘徽的割圆术设计的程序框图如图所示，若输出的n=96，则判断框内可以填入（）（参考数据：sin7.5°≈0.1305，sin3.75°≈0.06540，sin1.875°≈0.03272）
A．p≤3.14B．p≥3.14
C．p≥3.1415D．p≥3.1415926
10．（5分）在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有（）
A．20B．21C．22D．24
11．（5分）已知F1，F2是双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，
过点F1的直线l与E的左支交于P，Q两点，若|PF1|=2|F1Q|，且F2Q⊥PQ，则E的离心率是（）
A．B．C．D．
12．（5分）已知函数f（x）=2x+x2﹣xln2﹣2，若函数g（x）=|f（x）|﹣log a（x+2）（a＞1）在区间[﹣1，1]上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，+∞）
C．[3，+∞）D．（2，3]
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）若直线y=k（x+3）与圆x2+y2﹣2x=3相切，则k=．
14．（5分）甲乙两人从1，2，3，…，10中各任取一数（不重复），已知甲取到的数是5的倍数，则甲数大于乙数的概率为．
15．（5分）下列命题正确的是．（写出所有正确命题的序号）
①已知a，b∈R，“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件；
②已知平面向量，“且”是“”的必要不充分条件；
③已知a，b∈R，“a2+b2≥1”是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件；
④命题P：“?x0∈R，使且lnx0≤x0﹣1”的否定为￢p：“?x∈R，都有
e x＜x+1且lnx＞x﹣1”
16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a2+c2﹣b2=ac，c=2，点G满足||=且=（+），则sinA=．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．）
17．（12分）已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n﹣n+1，数列{b n}满足b1=2，b n+1=b n+a n ﹣n．
（1）证明：{a n﹣n}为等比数列；
（2）数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．
18．（12分）下表数据为某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）及对应销售价格y（单位：千元/吨）．
x12345
y7065553822
（1）若y与x有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；
（2）若每吨该农产品的成本为13.1千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润Z最大？
参考公式：．
19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，平面SAD⊥平面SCD，．
（1）求证：平面SAD⊥平面ABCD；
（2）E为线段DS上一点，若二面角S﹣BC﹣E的平面角与二面角D﹣BC﹣E的平面角大小相等，求SE的长．
20．（12分）已知F是抛物线C：x2=4y的焦点，A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线C上不同的两点，l1，l2分别是抛物线C在点A、点B处的切线，P（x0，y0）是l1，l2的交点．
（1）当直线AB经过焦点F时，求证：点P在定直线上；
（2）若|PF|=2，求|AF|?|BF|的值．
21．（12分）已知函数f（x）=sinx．
（1）当x＞0时，证明：；
（2）若当时，恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程\（共1小题，满分10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若射线θ=，θ=分别与l交于A，B两点．
（1）求|AB|；
（2）设点P是曲线C：x2+=1上的动点，求△ABP面积的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）
23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．
（1）求不等式f（x）≤6的解集；
（2）若对任意，不等式f（x）≥|2x+a|﹣4恒成立，求实数a的取值范围．
2017年东北三省三校高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x|1≤x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩（?R B）=（）
A．{x|1≤x＜2}B．{x|﹣2≤x＜1}C．{x|1≤x≤2}D．{x|1＜x≤2}【解答】解：∵A={x|1≤x＜3}，B={x|x2≥4}={x|x≤﹣2或x≥2}，
∴?R B={x|﹣2＜x＜2}，
∴（?R A）∩B={x|1≤x＜2}，
故选：A．
2．（5分）复数（i是虚数单位）的虚部为（）
A．﹣i B．﹣2i C．﹣1D．﹣2
【解答】解：由=，
得复数的虚部为：﹣1．
故选：C．
3．（5分）已知随机变量X～N（0，σ2），若P（|X|＜2）=a，则P（X＞2）的值为（）
A．B．C．1﹣a D．
【解答】解：∵随机变量X服从标准正态分布N（0，σ2），
∴正态曲线关于X=0对称，
∵P（|X|＜2）=a，
∴P（X＞2）=，
故选：A．
4．（5分）等差数列{a n}中，a1+a3+a5=39，a5+a7+a9=27，则数列{a n}的前9项的和S9等于（）
A．66B．99C．144D．297
【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1+a3+a5=39，a5+a7+a9=27，
∴3a3=39，3a7=27，解得a3=13，a7=9，
∴数列{a n}的前9项的和：
S9===．
故选：B．
5．（5分）α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m?α，n?α，且A
∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是（）
A．垂直B．相交C．异面D．平行
【解答】解：∵α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，
m?α，n?α，
∴n在平面a上，m与平面a相交
∵A∈m．A∈a
∴A是M和平面a相交的点
∴m和n 异面或相交，一定不平行．
故选：D．
6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）
A．B．C．D．
【解答】解：由三视图可知这是用轴截面分成两部分的半个圆锥，圆锥是底面半径是1，高是2，母线长是，
∴该几何体的表面积是=+2，
故选：B．
7．（5分）要得到函数的图象，只需将函数
的图象（）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【解答】解：=，
故把的图象向左平移个单位，即得函数
的图象，
即得到函数的图象．
故选：C．
8．（5分）已知偶函数f（x）的定义域为R，若f（x﹣1）为奇函数，且f（2）=3，
则f（5）+f（6）的值为（）
A．﹣3B．﹣2C．2D．3
【解答】解：∵f（x﹣1）为奇函数，
∴f（﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），
∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣x﹣1）=f（x+1）=﹣f（x﹣1），
即f（x+2）=﹣f（x），
f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=f（x），
则f（5）=f（1），
f（6）=f（2）=3，
当x=﹣1时，由f（x+2）=﹣f（x），
得f（1）=﹣f（﹣1）=﹣f（1），
即f（1）=0，
∴f（5）+f（6）=3，
故选：D．
9．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，正多边形的周长可无限逼近圆的周长，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就是著名的徽率，利用刘徽的割圆术设计的程序框图如图所示，若输出的n=96，则判断框内可以填入（）（参考数据：sin7.5°≈0.1305，sin3.75°≈0.06540，sin1.875°≈0.03272）
A．p≤3.14B．p≥3.14
C．p≥3.1415D．p≥3.1415926
【解答】解：模拟执行程序，可得：
n=48，p=48sin（）°≈3.13，
n=96，S=96×sin（）°≈3.14，
满足条件p≥3.14，退出循环，输出n的值为96．
故选：B．
10．（5分）在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用
红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有（）
A．20B．21C．22D．24
【解答】解：根据题意，要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则蓝色最多可以用3块，
分4种情况讨论：
①、6块广告牌都不用蓝色，即全部用红色，有1种情况；
②、6块广告牌有1块用蓝色，在6块广告牌选1块用蓝色即可，有C61=6种情
况；
③、6块广告牌有2块用蓝色，先将4块红色的广告牌安排好，形成5个空位，
在5个空位中任选2个，安排蓝色的广告牌，有C52=10种情况；
④、6块广告牌有3块用蓝色，先将3块红色的广告牌安排好，形成4个空位，
在4个空位中任选3个，安排蓝色的广告牌，有C43=4种情况；
则一共有1+6+10+4=21种配色方案；
故选：B．
11．（5分）已知F1，F2是双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，
过点F1的直线l与E的左支交于P，Q两点，若|PF1|=2|F1Q|，且F2Q⊥PQ，则E的离心率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：若|PF1|=2|F1Q|，且F2Q⊥PQ，
可设|F1Q|=m，可得|PF1|=2m，
由双曲线定义可得|PF2|﹣|PF1|=2a，
|QF2|﹣|QF1|=2a，
即有|PF2|=2a+2m，
|QF2|=m+2a，
在直角三角形PQF2中，
可得|PQ|2+|QF2|2=|PF2|2，
即为（3m）2+（m+2a）2=（2a+2m）2，
化简可得2a=3m，即m=a，
再由直角三角形F1QF2中，
可得|F2Q|2+|QF1|2=|F1F2|2，
即为（2a+m）2+m2=（2c）2，
即为a2+a2=4c2，
即a2=c2，
由e==．
故选：D．
12．（5分）已知函数f（x）=2x+x2﹣xln2﹣2，若函数g（x）=|f（x）|﹣log a（x+2）（a＞1）在区间[﹣1，1]上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，+∞）
C．[3，+∞）D．（2，3]
【解答】解：f′（x）=2x?ln2+2x﹣ln2=（2x﹣1）ln2+2x，
∴当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，（0，+∞）上单调递增，
令g（x）=0得|f（x）|=log a（x+2），则y=|f（x）|与y=log a x的函数图象在[﹣1，1]上有4个交点，
作出y=|f（x）|与y=log a（x+2）的大致图象如图所示：
∴log a3≤1﹣ln2，即，解得a≥3．
故选：C．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）若直线y=k（x+3）与圆x2+y2﹣2x=3相切，则k=±．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x=3的圆心为（1，0），
半径r==2，
∵直线y=k（x+3）与圆x2+y2﹣2x=3相切，
∴圆心（1，0）到直线y=k（x+3）的距离：
d==2，
解得k=±．
故答案为：．
14．（5分）甲乙两人从1，2，3，…，10中各任取一数（不重复），已知甲取到的数是5的倍数，则甲数大于乙数的概率为．
【解答】解：甲乙两人从1，2，3，…，10中各任取一数（不重复），甲取到的数是5的倍数，
基本事件总数n==18，
甲数小于乙数的基本事件有：
（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），
∴甲数大于乙数的概率为p=1﹣=．
故答案为：．
15．（5分）下列命题正确的是①③．（写出所有正确命题的序号）
①已知a，b∈R，“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件；
②已知平面向量，“且”是“”的必要不充分条件；
③已知a，b∈R，“a2+b2≥1”是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件；
④命题P：“?x0∈R，使且lnx0≤x0﹣1”的否定为￢p：“?x∈R，都有
e x＜x+1且lnx＞x﹣1”
【解答】解；对于①，已知a，b∈R，“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件，正确；
对于②，向量的加法法则可知，“且”不能得到“”；
“”，不能得到，“且”，故错；
对于③，如图在单位圆x2+y2=1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足，“a2+b2≥1”，故正确；
对于④，命题P：“?x0∈R，使且lnx0≤x0﹣1”的否定为￢p：“?x∈R，都有e x＜x+1或lnx＞x﹣1”，故错．
故答案为：①③
16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a2+c2﹣b2=ac，c=2，点G满足||=且=（+），则sinA=．
【解答】解：a2+c2﹣b2=ac，
即为cosB==，
由0°＜B＜180°，可得B=60°，
点G满足||=且=（+），
可得2=（+）2=（2+2+2?）=（c2+a2+2accosB）
=×（4+a2+2a?2?）=，
解得a=3（﹣5舍去），
由a2+c2﹣b2=ac，可得b===，
由正弦定理可得，=，
可得sinA===．
故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．）
17．（12分）已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n﹣n+1，数列{b n}满足b1=2，b n+1=b n+a n ﹣n．
（1）证明：{a n﹣n}为等比数列；
（2）数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．
=2a n﹣n+1，∴a n+1﹣（n+1）=2（a n﹣n），
【解答】（1）证明：∵a n
+1
又因为a1﹣1=2，所以{a n﹣n}是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）解：∵，
∵，
∴，
累加求和得到，
当n=1时，b1=2，∴．
∴，
∴T n=++…+
=﹣．
18．（12分）下表数据为某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）及对应销售价格y（单位：千元/吨）．
x12345
y7065553822（1）若y与x有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；
（2）若每吨该农产品的成本为13.1千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润Z最大？
参考公式：．
【解答】解：（I）计算=×（1+2+3+4+5）=3，
=×（70+65+55+38+22）=50，
x i y i=1×70+2×65+3×55+4×38+3×22=627，
=12+22+32+42+52=55；
∴回归系数=≈﹣12.3，
=50﹣（﹣12.3）×3=86.9；
∴y关于x的线性回归方程为=﹣12.3x+86.9；
（Ⅱ）年利润z=x（86.9﹣12.3x）﹣13.1x
=﹣12.3x2+73.8x；
∴当x=﹣=3时，年利润Z最大．
19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，平面SAD⊥平面SCD，．
（1）求证：平面SAD⊥平面ABCD；
（2）E为线段DS上一点，若二面角S﹣BC﹣E的平面角与二面角D﹣BC﹣E的平面角大小相等，求SE的长．
【解答】证明：（1）∵底面ABCD是边长为4的正方形，平面SAD⊥平面SCD，SA=SD=2，
∴DC⊥AD，AS⊥DS，
∴AS⊥平面SDC，∴AS⊥CD，
又AS∩AD=A，∴CD⊥平面SAD，∴CD⊥SD，
∵AD∩SD=D，∴CD⊥平面ASD，
∵CD?底面ABCD，
∴平面SAD⊥底面ABCD
解：（2）取AD中点M，连接SM，
∵SA=AD，∴SM⊥AD，
又∵平面SAD⊥底面ABCD，
∴SM⊥平面ABCD
以M为原点，方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，平面ABCD的法向量=（0，0，1），
设平面BCS的法向量=（x，y，z），
S（0，0，2），B（﹣2，4，0），C（2，4，0），
则，取y=1，得=（0，1，2），
设，∴E（2﹣2λ，0，2λ），
由上同理可求出平面BCE的法向量=（0，λ，2），
由平面BCD、BCS与平面BCE所成的锐二面角的大小相等可得：
=，即=，
解得，
∴．
20．（12分）已知F是抛物线C：x2=4y的焦点，A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线C上不同的两点，l1，l2分别是抛物线C在点A、点B处的切线，P（x0，y0）是l1，l2的交点．
（1）当直线AB经过焦点F时，求证：点P在定直线上；
（2）若|PF|=2，求|AF|?|BF|的值．
【解答】（1）证明：抛物线，则，
∴切线PA的方程为，即，
同理切线PB的方程为，
联立得点P，
设直线AB的方程为y=kx+1，代入C：x2=4y得x2﹣4kx﹣4=0．所以x1x2=﹣4
所以点P在直线y=﹣1上；
（2）证明：设直线AB的方程为y=kx+m，
代入C：x2=4y得x2﹣4kx﹣4m=0．x1+x2=4k，x1x2=﹣4m，所以P（2k，﹣m），
，
=﹣4mk2+4k2（m+1）+4﹣4k2=4．
21．（12分）已知函数f（x）=sinx．
（1）当x＞0时，证明：；
（2）若当时，恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）证明：∵函数f（x）=sinx，x＞0，∴f′（x）=cosx，
设，
则g′（x）=﹣sinx+x，g''（x）=1﹣cosx＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上是增函数，∴g′（x）＞g′（0）=0，
∴当x＞0时，．
（2）当时，恒成立，
等价于sinx+tanx＞ax，
设h（x）=sinx+tanx﹣ax，则，，
令t=cosx，由，得0＜t＜1，
设，
∴k（t）在（0，1）上是减函数，∴k（t）＞k（1）=2，
当a≤2时，h′（x）≥0，∴h（x）在上是增函数，∴h（x）＞h（0）=0成立，
当a＞2时在（0，1）仅有一根，设根为t0，设cosx=t0，，
存在唯一m有cosm=t0，
当x∈（0，m）时，，
∴h（x）在（0，m）上单调递减，∴h（x）＜h（0）=0，
这与条件矛盾，所以a＞2时不成立
综上得到实数a的取值范围是{a|a≤2}．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选
修4-4：坐标系与参数方程\（共1小题，满分10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若射线θ=，θ=分别与l交于A，B两点．
（1）求|AB|；
（2）设点P是曲线C：x2+=1上的动点，求△ABP面积的最大值．
【解答】解：（1）直线，
令，解得，
∴，
令，解得ρ=4，
∴
又∵，
∴，∴|AB|=2．
（2）∵直线，曲线，
∴=
当且仅当，即时，取“=”，
∴，
∴△ABP面积的最大值为3．
[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）
23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．
（1）求不等式f（x）≤6的解集；
（2）若对任意，不等式f（x）≥|2x+a|﹣4恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）1°当时，﹣2x﹣1﹣2x+3≤6?x≥﹣1；2°当时，2x+1﹣2x+3≤6恒成立；
3°当时，4x﹣2≤6?x≤2
综上，解集为[﹣1，2]；
（2）f（x）≥|2x+a|﹣4?|2x+a|≤8
即﹣8≤2x+a≤8?﹣7≤a≤6．