导数单元测试题
班级
姓名
一、选择题
x ＝ x 2 ＋ ，则在 x ＝ ， x ＝ 时， y 的值为
．已知函数 y ＝f
( )
0.1
(
)
1
1 2
A ．0.40
B ． 0.41
C ．0.43
D ． 0.44
．函数 f (x ＝ x 2
－ 1 在区间 (1,1 ＋ x 上的平均变化率
y
等
于
(
)
2
) 2 ) x
A ． 4
B
． 4＋ 2 x
C
．4＋ 2( x ) 2
D ． 4
f ′(x 0
y ＝ f
x 在点
x 0
x
3．设 ) ＝ ，则曲线
( ( x 0 ， f
( 处的切线
(
)
)
))
A ．不存在
B ．与 x 轴平行或重合
．与 x
轴垂直
D ．与
x 轴相交但不垂直
C
1
)
4．曲线 y ＝－ 在点 (1 ，－ 1) 处的切线方程为 (
．y ＝x － x y ＝ x ．y ＝ x ＋
．y ＝－ x － 2
B
．
C
2
2 A
D
．下列点中，在曲线 y ＝x 2 上，且在该点处的切线倾斜角为 π的是
(
)
5
4
1 1
1 1
A ．(0,0)
B ．(2,4) C
． ( 4，16)
D ． ( 2，4)
．已知函数 f ( x 1 f ′ － 3) ＝ (
)
＝，则
6 ) x
(
1
1
1
A ．4 B. 9 C ．－ 4 D ．－ 9
7．函数 f ( x) ＝( x － 3)e x 的单调递增区间是 ( )
A ．( －∞， 2)
B ． (0,3) C
．(1,4) D ．(2 ，＋∞) 8．“函数 y ＝ f ( x) 在一点的导数值为 0”是“函数 y ＝f ( x) 在这点取极值”的 ()
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a ，b) ，导函数 f ′(x) 在( a ， b) 内的图象如图所示，则
函数 f x ) 在开区间 (
a ，
b 内的极小值点有
(
)
(
)
A ．1 个
B ． 2 个
C ．3 个
＝－ x
D ．4 个
上的最大值和最小值分
10．函数
f ( x
2
＋ x ＋ ，在 x ∈
[3,5]
) 4 7
别是 ( ．f ) ，f
．f ，f f
， f ．f ，f
(2) (3)
(3)(5) (2)(5) D (5)(3)
A
B C ．
11．函数 f x ＝x 3－ x 2－ x ＋k 在区间 [ －
4,4] 上的最大值为 ，则其最小值 ( ) 3 9 10 ()
A ．－ 10
B ．－ 71
C ．－ 15
D ．－ 22
12． 一点沿直线运动， 如果由始点起经过 t
秒运动的距离为 s 1t 4 5t 3 t 2
，那
＝4 －3 ＋2 速度为零的时刻是 ( ) A ． 1 秒末 B ．0 秒 C ．4 秒末 D ．0,1,4 秒末 二、填空题 y ＝f x ＝ax 2＋ x ，若 f ′ ＝ ，则 a ＝
．设函数 ( (1) ________.
13 ) 2 4 ．已知函数 y ＝ax 2＋b 在点 处的切线斜率为 b
14 x 的最小值为 (1,3) 2，则 a ＝________.
．函数 y ＝ x
________．
15 e
16．有一长为 16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积
2
是________m.
三、解答题 y ＝ x
．求下列函数的导数：
(1) y ＝ x 2＋x cos x ； (2) ； (3)y ＝ lg x － x 17 3 1＋x
e
18．已知抛物线 y ＝ x 2＋ 4 与直线 y ＝x ＋10，求：
(1) 它们的交点； (2) 抛物线在交点处的切线方程．
1 3
19．已知函数 f ( x) ＝3x － 4x ＋4.(1) 求函数的极值；
(2) 求函数在区间 [ －3,4] 上的最大值和最小值．
导数单元测试题答案
班级
姓名
一、选择题
1．已知函数 y ＝ f ( x ) ＝ x 2
＋ 1，则在 x ＝ 2， x ＝ 0.1 时，
y 的值为 (
)
A ． 0.40
B ． 0.41
C ． 0.43
D ． 0.44
解析：选 B. y ＝ f (2.1)
－ f (2) ＝ 2.1 2
－22
＝0.41.
2．函数 f ( x ) ＝ 2x 2－ 1 在区间 (1,1 ＋
x ) 上的平均变化率
y
等于
(
)
x
A ． 4
B ． 4＋2 x
C ． 4＋2( x ) 2
D ． 4x
2
2
2
y
解析：选 B. 因为 y ＝ [2(1 ＋ x ) － 1] －(2 ×1－ 1) ＝4 x ＋2( x ) ，所以
x ＝ 4＋2
x ，故选 B.
3．设 f ′(x 0) ＝ 0，则曲线 y ＝ f ( x ) 在点 ( x 0， f ( x 0)) 处的切线 ( ) A ．不存在 B ．与 x 轴平行或重合 C ．与 x 轴垂直 D ．与 x 轴相交但不垂直 解析：选 B. 函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．
1
4．曲线 y ＝－ x 在点 (1 ，－ 1) 处的切线方程为 ( )
A ． y ＝ x － 2
B ． y ＝x
C ． y ＝ x ＋ 2
D ． y ＝－ x － 2
1 1
解析：选 A. f ′(1) ＝ li －
1＋ x ＋
1
1
＝ 1，则在 (1 ，－ 1) 处的切线方程为 y ＋1＝
m
x
＝ li m
1＋ x
x →0
x →0
x － 1，即 y ＝ x － 2.
5．下列点中，在曲线 y ＝ x 2
上，且在该点处的切线倾斜角为 π
4 的是 (
)
A ． (0,0)
B ． (2,4) 1 1
1 1
C ． ( 4， 16)
D ． ( 2， 4)
故选 D.
1
)
6．已知函数 f ( x ) ＝ ，则 f ′( － 3) ＝ (
x
1
A ． 4
B. 9
1
1
C ．－ 4
D ．－ 9
解析：选 D. ∵ ′( ) ＝－
1
f ′( － 1
2
，∴
3) ＝－ .
f x
x
9
7．函数 f ( x ) ＝ ( x －3)e x
的单调递增区间是 (
)
A ． ( －∞， 2)
B ． (0,3)
C ． (1,4)
D ． (2 ，＋∞)
解析：选 D. f ′(x ) ＝ ( x －3) ′e x ＋( x － 3)(e x ) ′＝ ( x －2)e x ， 令 f ′( )>0 ，解得 x >2，故选 D.
x
8．“函数 y ＝ f ( x ) 在一点的导数值为 0”是“函数 y ＝ f ( x ) 在这点取极值”的 (
)
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选 B. 对于 f ( x ) ＝x 3，f ′(x ) ＝ 3x 2，f ′(0) ＝ 0，不能推出 f ( x ) 在 x ＝ 0 处取极值，反之立．故选 B.
9．函数 f ( x ) 的定义域为开区间 ( a ，b ) ，导函数 f ′(x ) 在 ( a ，b ) 内的图象如图所示， 则函数 f 在开区间 ( ， ) 内的极小值点有 ( )
a b
A ． 1 个
B ．2 个
C ． 3 个
D ．4 个
解析：选 A. 函数 f ( x ) 的定义域为开区间 ( a ， b ) ，导函数 f ′(x ) 在 ( a ， b ) 内的图象如题图所示函数 f ( x ) 在开区间 ( a ，b ) 内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点， 其导数值为由负到正的点只有 1 个． 2＋ 4 10．函数 f ( x ) ＝－ x ＋ 7，在 x ∈ [3,5] 上的最大值和最小值分别是 ( )
x
A ． f (2) ， f (3)
B ．f (3) ， f (5)
C ． f (2) ， f (5)
D ．f (5) ， f (3)
解析：选 B. ∵ f ′(x ) ＝－ 2x ＋ 4， ∴当 x ∈ [3,5] 时， f ′(x )<0 ， 故 f ( x ) 在 [3,5] 上单调递减，
故 f ( x ) 的最大值和最小值分别是 f (3) ， f (5) ．
11．函数 f ( x ) ＝ x 3－3 2－ 9 x ＋ k
在区间 [ －4,4] 上的最大值为
10，则其最小值为 ()
x
A ．－ 10
B ．－ 71
C ．－ 15
D ．－ 22
解析：选 B. f ′(x ) ＝ 3x 2
－6x － 9＝3( x － 3)( x ＋ 1) ．
由 f ′(x ) ＝ 0 得 x ＝ 3，－ 1.
又 f ( － 4) ＝ k －76， f (3) ＝ k － 27， f ( － 1) ＝ k ＋ 5，f (4) ＝ k － 20.
由 f ( x ) max ＝k ＋ 5＝ 10，得 k ＝ 5，
∴ f ( x ) min ＝ k － 76＝－ 71.
1 4
5
3 2
12．一点沿直线运动，如果由始点起经过
t 秒运动的距离为
s ＝4t － 3t ＋ 2t ，那么速度为零的时
是 ( )
A ． 1 秒末
B ． 0 秒
C ． 4 秒末
D ． 0,1,4
秒末
解析：选
3 2
＝0， t
＝ 1，t ＝ 4，此时的函数值最大，故选D.
D.∵ s ′＝ t － 5t ＋ 4t ，令 s ′＝ 0，得 t
1 2
3
二、填空题
∴抛物线与直线的交点坐标为 ( － 2,8) 或 (3,13) ．
13．设函数 y ＝ f ( x ) ＝ ax 2＋ 2x ，若 f ′(1) ＝ 4，则 a ＝ ________. (2) ∵ y ＝ x 2＋4， 2
＋ 4－ x 2＋ 4
答案： 1
∴ y ′＝ lim x ＋
x
b
x
2
x →0
14．已知函数 y ＝ ax ＋b 在点 (1,3) 处的切线斜率为
2，则 a ＝ ________.
＝ lim
x
2
＋ 2x ·Δ x ＝ lim ( x ＋ 2x ) ＝2x .
答案： 2
x →0
x
x →0
15．函数 y ＝ x e x 的最小值为 ________．
x ＝－ 2
x ＝ 3
解析：令 y ′＝ ( x ＋ 1)e x ＝0，得 x ＝－ 1.
∴ y ′|
＝－ 4， y ′| ＝6，
即在点 ( － 2,8) 处的切线斜率为－ 4，在点 (3,13) 处的切线斜率为
当 x <－ 1 时， ′<0；当 x >－ 1 时， y ′>0.
∴在点 ( － 2,8) 处的切线方程为
4 x ＋ y ＝ 0；
y
1
在点 (3,13) 处的切线方程为 6 － y － 5＝0.
∴ y
min ＝ f ( －1) ＝－ e .
x
19．已知函数 f ( x ) ＝ 1
x 3－ 4x ＋4.
1
3
答案：－ e
________m 2.
(1) 求函数的极值； 16．有一长为 16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 (2) 求函数在区间 [ － 3,4] 上的最大值和最小值． 解析：设矩形的长为
x m ，
解： (1) f ′(x ) ＝ x 2－ 4，解方程 x 2－ 4＝ 0，
16－ 2
得
x 1＝－ 2，
2＝ 2.
则宽为
x
x <8) ，
x
＝ (8 － x ) m(0<
当 x 变化时， f ′(x ) ， f ( x ) 的变化情况如下表：
2
∴S ( x ) ＝ x (8 － x ) ＝－ x 2＋ 8x
x
( －∞，－ 2)
－ 2 ( － 2,2)
∴ ′( ) ＝－ 2 x ＋ 8，令 ′( ) ＝ 0，
f ′( )
＋
－
S
x
S
x
x
则 x ＝ 4，
28
又在 (0,8) 上只有一个极值点，
f ( x )
3
且 x ∈ (0,4) 时， S ( x ) 单调递增，
6.
2 (2 ，＋∞)
0 ＋
4
－ 3
x ∈ (4,8) 时， S ( x ) 单调递减，
故 S ( x ) max ＝ S (4) ＝ 16.
答案： 16 三、解答题
17．求下列函数的导数：
x
(1) y ＝ 3 2＋ cos ； (2) y ＝ ； (3) y ＝lg x － e x .
x x x 1＋ x
解： (1) y ′＝ 6 x ＋ cos x － x sin x .
(2) y ′＝ 1＋ x －x
2
＝
1 2
.
1＋ x
1＋ x
x
1
x
(3) y ′＝ (lg x ) ′－ (e ) ′＝ x ln10 －e .
18．已知抛物线 y ＝x 2＋ 4 与直线 y ＝ x ＋10，求：
(1) 它们的交点；
(2) 抛物线在交点处的切线方程．
y ＝ x 2＋ 4，
解： (1) 由 得 x 2＋ 4＝ 10＋ x ，
y ＝ x ＋ 10，
即 x 2－ x － 6＝0，
∴x ＝－ 2 或 x ＝ 3. 代入直线的方程得
y ＝8 或 13.
从上表可看出，当
x ＝－ 2 时，函数有极大值，且极大值为
28
；而当 x ＝ 2 时，函数有极小值，
3 且极小值为－
4
.
3
1
3
(2) f ( － 3) ＝ 3×( － 3) －4×( － 3) ＋ 4＝ 7，
1 3
28
f (4) ＝3×4－4×4＋ 4＝ 3 ，
28
4
与极值比较，得函数在区间 [ － 3,4] 上的最大值是
3 ，最小值是－ 3.
导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2 ＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2 运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ． 6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ． 2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 7．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程 为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋ 2 D ．y ＝－x －2 8．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，1 16) D ．(12，1 4) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝ 1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－ 1 D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ． 6 D ．9 12．已知函数f (x )＝1 x ，则f ′(－3)＝( ) A ． 4 B.1 9 C ．－14 D ．－1 9 13．函数y ＝x 2 x ＋3 的导数是( )
高二文科数学《变化率与导数及导数应用》专练（十） 一、选择题 1. 设函数f （x ）存在导数且满足，则曲线y=f （x ）在点 （2，f （2））处的切线斜率为（ ） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．1 D ．2 2. 函数()1x f x e =-的图像与x 轴相交于点P ，则曲线在点P 处的切线的方程为( ) A ．1y e x =-?+ B ．1y x =-+ C ． y x =- D ．y e x =-? 3. 曲线)0(1 )(3>-=x x x x f 上一动点))(,(00x f x P 处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3 B ．3 C. 32 D ．6 4. 设P 为曲线2 :23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范 围为0,4π?? ???? ，则点P 的横坐标的取值范围为（ ） A ． []0,1 B ．[]1,0- C ．11,2??--???? D ．1,12?? ???? 5. 已知2 3 ()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++++L ，则(0)f '=（ ）． A ． n B ．1n - C ． (1)2 n n - D ． 1 (1)2 n n + 6. 曲线y=2lnx 上的点到直线2x ﹣y+3=0的最短距离为（ ） A ． B ．2 C ．3 D ．2
7. 过点(0,8)作曲线32()69f x x x x =-+的切线，则这样的切线条数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8. 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）= +6x ﹣1的极值点，则log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9. 已知函数()x f x e mx =-的图像为曲线C ，若曲线C 不存在与直线1 2 y x =垂直的切线，则实数m 的取值范围是（ ） A. 12m ≤- B. 1 2 m >- C. 2m ≤ D. 2m > 10. 函数y=f （x ）的图象如图所示，则导函数 y=f'（x ）的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 11..设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =，当0x >时，有2 '()() 0xf x f x x -<恒成立，则不等式()0xf x >的解集为（ ） A ．(－2,0)∪(2,+∞) B ． (－∞,－2)∪(0,2) C. (－∞,－2)∪(2,+∞) D． (－2,0)∪(0,2) 12.设f （x ）=cosx ﹣sinx ，把f （x ）的图象按向量=（m ，0）（m ＞0）平移后，图象恰好为函数y=﹣f′（x ）的图象，则m 的值可以为（ ）