A
B Q
O x
y
A B C
E F
O
第一中学自主招生考试数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
1. 若M ＝3x 2－8xy ＋9y 2－4x ＋6y ＋13(x ，
，y 是实数)，则M 的值一定是（ ）． （A ） 零 （B ） 负数 （C ） 正数 （D ）整数
2.已知sin α＜cos α，那么锐角α的取值范围是 （ ）
（A ）300 ＜α＜450 （B ） 00 ＜α＜450 （C ） 450 ＜α＜600 （D ） 00 ＜α＜900 3．已知实数a 满足2008a -2009a -a ，那么a －20082值是 （ ） （A ）2009 （B ） 2008 （C ） 2007 （D ） 2006 4．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个实数，
且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式b c
a
-的值等于（ ）
． A .43-
（B ）6- （C ）4
3
（D ）6 5.二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，)2,(n Q 是 图象上的一点，且BQ AQ ⊥，则a 的值为（ ）．
A .13- （
B ）1
2- （C ）－1 （D ）－2
6.矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝4cm ，现将纸片折叠压平，使A 与C 重合， 设折痕为EF ，则重叠部分△AEF 的面积等于（ ）．
A .
73757375
.
..8
81616
B C D
7．若a b c
t b c c a a b
===+++，则一次函数2y tx t =+的图象必定经过的象限是（ ）
（A ）第一、二象限 （B ）第一、二、三象限 （C ）第二、三、四象限
（D ）第三、四象限
8．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，
设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB ＝4，AO ＝26，那么
AC 的长等于( ) （A ） 12
（B ） 16
（C ） 3（D ） 82 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
9.已知012=--x x ，那么代数式123
+-x x 的值是_____．
10.已知z y x ,,为实数，且3,5=++=++zx yz xy z y x ，则z 的取值范围为______． 11.已知点A （1，3），B （5，－2），在x 轴上找一点P ，使│AP －BP │最大，则满足条件的点P 的坐标是____________． 12．设，，，321x x x … ，2007x 为实数，且满足
321x x x …2007x ＝321x x x -…2007x ＝321x x x -…2007x ＝…＝321x x x …20072006x x -＝1，
则2000x 的值是___________． 13．对于正数x ，规定f （x ）＝ x
1x
+， 计算f （
1001）＋ f （991）＋ f （981
）＋ …＋ f （13）＋ f （12
）＋ f （1）＋ f （2）＋ f （3）
＋…＋f（98）＋f（99）＋f（100）＝__________．
B
A C M N
P
E
F Q D
G 14.如果关于x 的方程()012122
=++++a x a x 有一个小于1的正数根，那么实数a 的 取值范围是________．
15.在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.若以C 点为圆心， r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是_________________．
三、解答题：
16. （本小题10分） 某超市去年12月份的销售额为100万元，
今年2月份的销售额比今年1月份的销售额多24万元，若
去年12月份到今年2月份每个月销售额增长的百分数相同．
求：（1）这个相同的百分数；（2）2月份的销售额．
17．（本小题13分）如图，AB ∥CD 、AD ∥CE ，F 、G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB 、AD 、CD 、CE 于点M 、 N 、P 、Q ，求证：MN ＋PQ ＝2PN ．
18．（本小题13分）如图，已知点P 是抛物线
2
114y x =
+上的任意一点，
记点P 到x 轴距离为1d ，点P 与点(0,2F ）的距离为2d
（1）证明1d ＝2d
；
（2）若直线PF 交此抛物线于另一点Q (异于P 点)， 试判断以PQ 为直径的圆与x 轴的位置关系，并说明理由．
19．（本小题14分）如图，已知?ABC 中，AB ＝a ，点D 在AB 边上移动（点D 不与A 、B 重合），DE //BC ，交AC 于E ，连结CD ．设S S S S ABC DEC ??==，1． （1）当D 为AB 中点时，求S S 1：的值； （2）若AD x S S
y ==，
1
，求y 关于x 的函数关系式 及自变量x 的取值范围； （3）是否存在点D ，使得S S 11
4
>
成立？ 若存在，求出D 点位置；若不存在，请说明理由．
20．（本小题10分）已知4
2
++=m m y ，若m 为整数，在使得y 为完全平方数的所有m 的值中，设m 的最大值为a ，最小值为b ，次小值为c ．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，
那么我们就称这个数为完全平方数．） （1）求c b a 、、的值；
（2）对c b a 、、22一个数不变，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2008？证明你的结论．
答案
一、选择题：CBAABDAB 二、填空题：9.2；103131≤
≤-z ；11_（13，0）12. 1，或253±-；13.__9921；14. 2
1
1-<<-a
15. _3＜r ≤4或r ＝2.4
三、解答题：
16.（1）100(x ＋1)2＝100(x ＋1)＋24 . x ＝0.2 ＝20％.（2） 2月份的销售额：100×1.22＝144万元. ．
17、延长BA 、EC ，设交点为O ，则四边形OADC 为平行四边形． ∵ F 是AC 的中点，∴ DF 的延长线必过O 点，且
3
1
=OG DG ． ∵ AB ∥CD ，∴ DN
AN
PN MN =
．∵ AD ∥CE ， ∴ DN CQ PN PQ =．∴ +PN MN =PN PQ DN AN DN CQ +
＝DN CQ AN +． 又 =OQ DN 3
1=OG DG ，∴ OQ ＝3DN ． ∴ CQ ＝OQ －OC ＝3DN －OC ＝3DN －AD ，AN ＝AD －DN ， 于是，AN ＋CQ ＝2DN ，
∴ +PN MN =
PN PQ DN
CQ
AN +＝2，即 MN ＋PQ ＝2PN ． 18．（1）证明：设点),(00y x P 是2
114y x =+上的任意一点，则2
00104x y =+>，∴10d y =．
由勾股定理得2d ＝PF =2
0044x y =-，
∴
201
d y d ===．
（2）解：①以PQ 为直径的圆与x 轴相切.
取PQ 的中点M ，过点P 、M 、Q 作x 轴的垂线，垂足分别为'P 、C 、'Q ， 由（1）知，','PP PF QQ QF ==，
∴''PP QQ PF QF PQ +=+=. 而MC 是梯形''PQQ P 的中位线，
∴MC ＝
21(PP ’＋QQ ’)＝21(PF ＋QF )＝2
1
PQ ． ∴以PQ 为直径的圆与x 轴相切. 19、解：（1） DE BC D AB //，为的中点，
2
1
==??∴AC AE AB AD ABC ADE ，∽．
∴==S S AD AB ADE ?()214
S S AE EC ADE ?11=
=， ∴41
1=S S ． （2） ∵ AD ＝x ，y S
S ＝1，∴ x x
a AD DB AE EC S S ADE -＝＝＝△1． B
A
C
M
N P E
F
Q
D
G
O
又∵ 22
2
a
x AB AD S S ADE ＝＝△??? ??，
∴ S △ADE ＝22a x ·S ∴ S 1＝??? ??-x x a 22
a
x
S ∴ 221a ax x S S +-=， 即y ＝－x a
21＋x a 1
自变量x 的取值范围是：0＜x ＜a ．
（3）不存在点D ，使得S S 114>成立． 理由：假设存在点D ，使得S S 11
4
>成立，那么
S S y 11414
>>，即． ∴－21a
x 2＋a 1x ＞41
，∴（a 1x －21）2＜0 ∵（a 1x －21）2≥ ∴x 不存在，
即不存在点D ，使得S S 11
4
>成立．
20.（1）设224k m m =++（k 为非负整数），则有042
2=-++k m m ，
由m 为整数知其△为完全平方数（也可以由△的公式直接推出）， 即2
2)4(41p k =--（p 为非负整数），
得,15)2)(2(=-+p k p k 显然：p k p k ->+22，
所以21521
k p k p +=-=???或2523k p k p +=-=???，解得7=p 或1=p ，
所以12
p m -±=
，得：1,0,4,34321-==-==m m m m ，
所以1,4,3-=-==c b a ．
（2
）因为22
2222
a b a b c a b c ++=+++-，
即操作前后，这三个数的平方和不变， 而2
2
2
3(4)(1)2008+-+-≠．
所以，对c b a 、、进行若干次操作后，不能得到2008．
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