【最新】广东仲元中学高一下期中数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．120-°的角所在象限是 （ ）
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角 2．已知一个扇形的周长是半径的4倍，则该扇形的圆心角的弧度数为（ ） A ．
2
1
B ．1
C ．2
D ．4 3．在四边形ABCD 中，AC AB AD =+，则下列结论一定正确的是（ ） A ．ABCD 一定是矩形 B ．ABCD 一定是菱形
C ．ABC
D 一定是正方形 D ．ABCD 一定是平行四边形
4．已知角α的终边经过点)4,3(-P ，则αsin 的值为（ ）
A ．53-
B ．53
C ．5
4
- D ．54 5．已知角[]πα,0∈，若2
1
sin ≥α，则α的取值范围是（ ）
A ．????
??2,6ππ B ．??????2,3ππ C ．??????65,6ππ D ．??
????32,3ππ 6．已知3
1
cos sin =
+αα，则=α2sin （ ） A ．91- B ．92 C ．98- D ．3
2
7．向量)1,2(),2,1(=-=，则（ ） A ．a ∥b B ．a ∥b C ．a 与b 的夹角为60° D ．a 与b 的夹角为30°
8．在边长为2的正方形ABCD 中，点M 满足λ=,10<<λ,则AM AB ?的
最大值（ ）
A ．4
B ．2
C ．λ2
D ．λ2-
9．函数
x x y 2
2sin cos -=是（ ） A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π2的偶函数
C ．最小正周期为π的奇函数
D ．最小正周期为π2的奇函数
10．若函数x x f 2sin )(=，则)(x f 图象的一个对称中心的坐标为（ ）
A ．)0,4(π
B ．)0,3(π
C ．)0,2(π
D ．)0,(π
11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ）
A ．向右平移
4π
个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4π
个单位，再向下平移1个单位
C ．向右平移2π
个单位，再向上平移1个单位
D ．向左平移2
π
个单位，再向下平移1个单位
12．已知P 是ABC ?所在平面内一点，D 为AB 的中点，若
PB PA PC PD ++=+)1(2λ，且PBA ?与PBC ?的面积相等，则实数λ的值为
（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
二、填空题
13．已知平面向量(2,1)a =-，则a =_________．
14．计算22sin 15°＋22
sin 75°＝________．
15．已知向量
与向量
平行，则锐角
等于 ．
16．已知ABC ?，D 是线段BC 上一点，且2=,若R ∈+=μλμλ,,,则=λ ，=μ ．
三、解答题
17．已知函数)6
sin()(π
+
=x x f .
（1）利用“五点法”画出函数()f x 在闭区间??
?
???-611,6ππ上的简图（先在答题卡中所给的表格中填上所需的数值，再画图）；
（2）当[]π,0∈x 时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值． 18．已知向量),4,3(),2,(),3,1(===c m b a 且c b a ⊥-)3( （1）求实数m 的值； （2）求向量a 与b 的夹角θ．
19．已知某海滨浴场海浪的高度y （米）是时间t （0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作：y ＝f （t ），下表是某日各时的浪高数据：
经长期观测，y ＝f （t ）的曲线可近似地看成是函数b t A y +=ωcos
（1）根据以上数据，求函数b t A y +=ωcos 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； （2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8∥00时至晚上20∥00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 20．已知向量)1,2(),sin ,(cos -==θθ （1）若⊥，求
θ
θθ
θcos sin cos sin +-的值；
（2??
?
??∈=2,
0,2πθb a ，求)4sin(πθ+的值．
21．已知(3sin ,1)a x =，(cos ,2)b x =
（1）若//a b ，求tan 2x 的值； （2）若()()f x a b b =-?，求()f x 的单调递增区间．
22．已知函数x x x x f 2
cos 2cos sin 32)(+=
（1）求)24
(
π
f 的值；
（2）若函数)(x f 在区间[]m m ,-上是单调递增函数，求实数m 的最大值；
（3）若关于x 的方程0)(=-a x f 在区间??
?
??2,
0π内有两个实数根)(,2121x x x x <，分别求实数a 与2
111x x +的取值范围．
参考答案
1．C 【解析】
试题分析：由象限角得定义可知，120-°的角所在象限是第三象限角. 考点：象限角. 2．C 【解析】
试题分析：设该扇形的半径为r ，由弧度制的定义可知，该扇形的圆心角的弧度数为
422r r
r
-=. 考点：弧度制. 3．D 【解析】
试题分析：在四边形ABCD 中，∥AC AB AD AC AB BC =+=+，
，AD BC =，即//AD BC ，且AD BC =，如图所示；
∥四边形ABCD 是平行四边形． 考点：向量的加法及其几何意义． 4．D 【解析】
试题分析：由任意角的三角函数公式可知，()
2
2
4
sin 5
34α=
=
-+. 考点：任意角的三角函数. 5．C 【解析】
试题分析：作出函数sin y x =的图象，
∥21sin ≥
α，由图知， 52266
k k k Z πππαπ+≤≤+∈，．又[]πα,0∈，所以0k =，可得α的取值范围是???
???65,6ππ. 考点：正弦函数的单调性． 6．C 【解析】 试题分析：()2
1118sin cos ,sin cos 1sin 2sin 23999
αααααα+=∴+=?+=∴=-，
故选C.
考点：1.同角的基本关系；2.正弦的二倍角公式. 7．B 【解析】 试题分析：
(1,2),(2,1)(1,2)(2,1)0a b a b a b =-=∴?=-?=∴⊥.
考点：平面向量的数量积的坐标运算. 8．A 【解析】 试
题
分
析
：
()()()()()
11AM AB AD DM AB AD DC AB AD AB AB λλ?=+?=+-?=+-?AD AB =?
()2
1AB λ+-?()41λ=-，10<<λ，所以当0λ=时，AM AB ?的最大值为4.
考点：平面向量的数量积. 9．A 【解析】
试题分析：
22()cos sin ()()cos 2()f x x x x R f x x x R =-∈∴=∈，所以函数()f x 是
最小正周期为π的偶函数.
考点：1.余弦的二倍角公式；2.三角函数的性质. 10．C 【解析】
试题分析：令22,x k k Z ππ=+∈，所以,2
x k k Z π
π=
+∈，所以()f x 图象的一个对称中
心的坐标为)
0,2(π
.
考点：正弦函数的性质. 11．B 【解析】
试题分析：函数cos 21sin 212y x x π?
?
=-=+
- ??
?
，所以只需把函数x y 2sin =的图象，向左平移
4π个长度单位，再向下移动1各单位，即可得到函数sin 21cos 21
2y x x π?
?=+-=- ??
?的图象．
考点：函数()sin y A x ω?=+的图象变换．
【思路点睛】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意诱导公式的合理运用．先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数x y 2sin =到函数12cos -=x y 的图像，即可得到选项． 【方法点睛】三角函数图象变换： （1）振幅变换 R x x y ∈=,sin ??????????????→
?<<>倍
到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,sin A
（2）周期变换 R
x x y ∈=,sin ??????????????→
?<<>倍
到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ω
ωω1
1)(01)(R x x y ∈=,sin ω
（3）相位变换 R
x x y ∈=,sin ????????????→
?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(sin ?
（4）复合变换 R
x x y ∈=,sin ????????????→
?<>个单位长度
平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(sin ?
??????????????→?<<>倍
到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ω
ωω1
1)(01)(R x x y ∈+=),sin(?ω
??????????????→
?<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(?ω.
12．B 【解析】
试题分析：∥D 为AB 的中点，∥2PD PA PB =+ ，又∥()21PD PC PA PB λ+=++ ，∥()1PA PB PC PA PB λ++=++ ，∥PC PA λ= ，又∥PBA 与PBC 的面积相等，∥P 为AC 的中点，即1λ=-，故选：B ．
考点：平面向量的基本定理及其意义．
【思路点睛】本题考查平面向量的基本定理，通过D 为AB 的中点可得2PD PA PB =+，利用()21PD PC PA PB λ+=++化简可得PC PA λ=，通过PBA 与PBC 的面积相等可得P 为AC 的中点，进而可得结论． 13．5 【解析】 试题分析：()2
2215a =+-=
考点：向量的模. 14．
2
3
【解析】 试
题
分
析
：
()75sin 4515sin 60?+?=?+?=?+?=?= 考点：三角恒等变换. 15．
【解析】
试题分析：向量共线得12sinαcosα=6,∴sin2α=1,α=π
4 考点：共线向量的坐标运算． 16．
31，3
2
【解析】
试题分析：∥2=；∥()
2AD AB AC AD -=- ；∥1
322
AC AB AD =-+ ； ∥12,33AD AB AC =
+又R ∈+=μλμλ,,；∥=λ31，=μ3
2． 考点：平面向量的基本定理及其意义．
【分析】本题主要考查平面向量数乘、减法的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．根据向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算便可由2=得到
1322 AC AB AD =-+，这即可得到12
,33
AD AB AC =+，从而可以求出λ和μ的值．
17．（1）详见解析；（2）函数()f x 取得最大值时对应的x 的值为3
π
，取得最小值时对应的x
的值为π． 【解析】
试题分析：（1）利用“五点作图法”即可列出表格，作出图像； （2）[],
,0π∈x 6
116
6
π
π
π
≤
+
≤∴
x ， 由图像可知，当2
6
π
π
=
+
x ，即3
π
=
x 时，函数()f x 取得最大值1，当6
116
π
π
=
+
x ，即π=x 时，函数()f x 取得最小值1-.
试题解析：解：（1）列表如下
（2）[],,0π∈x 6
6
6
≤
+≤∴x 由图像可知，当2
6
π
π
=
+x ，即3
π
=
x 时，函数()f x 取得最大值1，
当6
116π
π
=
+
x ，即π=x 时，函数()f x 取得最小值1-，
∴函数()f x 取得最大值时对应的x 的值为3
π
，函数()f x 取得最小值时对应的x 的值为π．
考点：1.五点法作函数()y Asin x ω?=+ 的图象；2.正弦函数的图象．
【方法点睛】∥函数sin y x =的图象在[0,2]π上的五个关键点的坐标为：(0,0)，(
,1)2
π
，
(,0)π，3(
,1)2π
-，(2,0)π；函数cos y x =的图象在[0,2]π上的五个关键点的坐标为：(0,1)，(,0)2π，(,1)π-，3(,0)2π
，(2,1)π．
18．（1）1m =-；（2） 【解析】
试题分析：（1）由已知首先求出 3a b - 的坐标，然后利用向量垂直的数量积公式关于m 的方程，解之，即可求出结果；（2）由（1）可知(1,3),=a (1,2)=-b ,然后利用数量积公式求夹角．
试题解析：解: （1）∥(1,3),(,2),(3,4)m ==a b c =, ∥3(1,3)(3,6)(13,3)m m -=-=--a b ． ∥
(3)-⊥a b c ,
∥(3)(13,3)(3,4)m -?--?a b c = 3(13)(3)4m =-+-? 990m =--=
解得1m =-．
（2）由（1）知(1,3),=a (1,2)=-b , ∥5b =a ,
10,5
==a b ,
∥2
cos 105b θ=
==?b a a ．
∥
[0,]θπ∈，
∥
4π
θ=
．
考点：数量积表示两个向量的夹角． 19．（1）1cos 126
y t π
=+；
（2）上午9∥00至下午3∥00． 【解析】
试题分析：（1）设函数()()si 0(0)n f t A t k A ω?ω=++>>，，从表格中找出同(6)0.5，和(12)1.5，是同一个周期内的最小值点和最大值点，由此算出函数的周期12T =并得到
6
π
ω=
，算出1
2
A =
和1k =，最后根据6x =时函数有最小值0.5解出2π?=，从而得到
函数()y f t =近似表达式；
（2）根据（1）的解析式，解不等式()0.75f t >，可得124124()k t k k z -+∈<<，取
012k =、、，将得到的范围与[8]20，对照，可得从8点到16点共8小时的时间可供冲浪者进
行运动．
试题解析：解： （1）由表中数据知周期T ＝12，∥
2126ππ
ω=
=
，
由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5.由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0.
∥A ＝0.5，b ＝1，∥
16cos 21+=
t y π．
（2）由题知，当y ＞1时才可对冲浪者开放，∥cos t ＋1＞1，
∥cos
t ＞0，∥2kπ－＜t ＜2kπ＋，k∥Z ，即12k －3＜t ＜12k ＋3，k∥Z.∥
∥0≤t≤24，故可令∥中k 分别为0,1,2，得0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t≤24． ∥在规定时间上午8∥00至晚上20∥00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动， 即上午9∥00至下午3∥00．
考点：三角函数的图像与性质．
20．（1）1 3
；（2）
72
10
【解析】
试题分析：（1）由b
a⊥可知，0
sin
cos
2=
-
=
?θ
θ
b
a，所以θ
θcos
2
sin=，然后再利用同角的基本关系，即可求出结果；（2）由)1
sin
,2
(cos+
-
=
-θ
θ
b
a可得，b
a-64cos2sin2
θθ
=-+=，化简可得0
sin
cos
2
1=
+
-θ
θ，∥，又1
sin
cos2
2=
+θ
θ，且
?
?
?
?
?
∈
2
,0
π
θ∥，可解得
?
?
?
??
?
?
=
=
5
4
cos
5
3
sin
θ
θ
，再利用两角和公式即可求出结果.
试题解析：解：（1）由b
a⊥可知，0
sin
cos
2=
-
=
?θ
θ
b
a，所以θ
θcos
2
sin=，
所以
（2）由)1
sin
,2
(cos+
-
=
-θ
θ
b
a可得，
b
a-2
2)1
(sin
)2
(cos+
+
-
=θ
θ64cos2sin2
θθ
-+=，
即0
sin
cos
2
1=
+
-θ
θ，∥
又1
sin
cos2
2=
+θ
θ，且?
?
?
?
?
∈
2
,0
π
θ∥，
由∥∥可解得
?
?
?
??
?
?
=
=
5
4
cos
5
3
sin
θ
θ
，
所以
10
2
7
)
5
4
5
3
(
2
2
)
cos
(sin
2
2
)
4
sin(=
+
=
+
=
+θ
θ
π
θ．
考点：1.同角的基本关系；2.两角和差的正弦公式.
21．（1）
43
11
；（2）,
63
k k k Z
ππ
ππ
??
-++∈
??
??
【解析】
试题分析：（1）//23sin cos 0a b x x ?-=，化简可得tan x =的
正
切
公
式
即
可
求
出
结
果
；
（
2
）
215()()3sin cos cos 22cos 2222
f x a b b x x x x x =-?=--=
--5
sin(2)62x π=--
然后再根据正弦函数的性质，即可求出结果.
试题解析：解：（1）//23sin cos 0a b x x ?-=，
故tan 6
x =
；
所以22tan tan 21tan 11
x x x =
=
-
（2）215
()()3sin cos cos 22cos 222
f x a b b x x x x x =-?=
--=
-- 5
sin(2)62x π=--
令222,,2
6
2
6
3
k x k k Z k x k k Z
π
π
π
π
π
ππππ-
+≤-
≤
+∈?-
+≤≤
+∈
所以()f x 的单调递增区间是,63k k k Z
ππππ??
-
++∈????
考点：1.平行向量平行的坐标运算公式；2.三角函数的性质.
【方法点睛】三角函数()sin y A x k ω?=++的一般性质研究：1.周期性：根据公式2T π
ω
=
可求得；2.单调性：令22,2
2
k x k k Z π
π
πω?π-+≤+≤
+∈，解出不等式，即可求出函数
的单调递增区间；令
322,2
2
k x k k Z π
π
πω?π+≤+≤
+∈，解出不等式，即可求出函数的单调递减区间；3.令2,2
x k k Z π
ω?π+=
+∈或2,2
x k k Z π
ω?π+=-
+∈，即可求出函
数取最大或最小值时的x 取值集合.
22．（11 ；（2）6
π
；（3）(2,3)
【解析】
试题分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，代入24
x π
=
即可．（2）
根据三角函数的图象与性质求得函数的增区间，进而确定m 的范围．（3）把方程的根的问题转化为两函数图象交点的问题，确定a 的范围，根据函数的对称，求得12x x +的值，进而表示出
2
11
1x x +的表达式，利用二次函数的性质确定其范围． 试题解析：解：（1）
∥()2cos 21f x x x =++
1
2cos2)12
x x =++ 2sin(2)1
6x π
=++
∥(
)2sin()12sin 11241264f ππππ
=++=+=
（2）由222,262
k x k k Z πππ
π-≤+≤π+∈ 得,36
k x k k Z ππ
π-
≤≤π+∈ ∥()f x 在区间,()36k k k Z ππ?
?π-π+∈????上是增函数
∥当0k =时，()f x 在区间,36ππ??
-????
上是增函数
若函数()f x 在区间[,]m m -上是单调递增函数，则[,][,]
36m m ππ
-?- ∥630m m m π?≤??
π?
-≥-??
?>??
， 解得06m π<≤
∥m 的最大值是
6π
（3）解法1：方程()0f x a -=在区间(0,)2π
内有两实数根1212,()x x x x <等价于
直线y a =与曲线()2sin(2)16f x x π=++（02
x π
<<）有两个交点.
∥当02x π<<时， 由（2）知()2sin(2)16f x x π=++在0,6π?? ???上是增函数，在,62ππ??
????
上是
减函数，
…9分
且(0)2,()3,()0,62
f f f ππ
===
∥ 23a << 即实数a 的取值范围是(2,3) ∥函数()f x 的图象关于6x π=
对称 ∥123
x x π
+=． ∥12x x <，∥106
x π<<． ∥1221212121111
11333()33x x x x x x x x x x x x πππ
++====ππ???--+. ∥函数23
y x x π
=-+
在(0,)6π内递增
∥2
11(0,)336
x x ππ-+∈2 ∥121112(,)x x +∈+∞π
所以
2
111x x +的取值范围为12
(,)+∞π．
解法2：设2(0)62t x x ππ=+<<，则()2sin 1g t t =+，(,)66t π7π
∈
方程()0f x a -=在区间(0,)2π
内有两实数根1212,()x x x x <等价于
直线y a =与曲线()2sin 1g t t =+，(,)66
t π7π
∈有两个交点.
()2sin 1g t t =+在,62ππ??
???
上是增函数，在,26π7π??????上是减函数，
且()2,()3,()0,626
g f f ππ7π
===
∥ 23a <<，即实数a 的取值范围是(2,3)
考点：1.函数中的恒等变换应用；2.三角函数的单调性．