第七章振动和波动
基本要求：
1. 熟练掌握简谐振动的基本特征、矢量图解法、复数解法以及确定振动状态的三个特征量的物理意义；
2. 掌握在同一直线上的两个简谐振动合成的一般规律，特别是对于两个同频率简谐振动合成的物理图象和所得结论应熟练掌握，了解拍现象的成因和应用；
3. 掌握两个互相垂直的简谐振动合成的一般规律，特别是对于两个同频率简谐振动合成的物理图象和所得结论应熟练掌握；
4. 理解阻尼振动、受迫振动和共振的一般规律；
5. 在明确关于波动的几个基本概念的基础上，熟练掌握平面简谐波波函数的几种表示，并明确其物理意义；理解波的叠加原理和惠更斯原理的基本内容；
6. 掌握一维波动方程的推导过程及其解的一般形式；
7. 掌握相干波条件以及干涉加强和干涉减弱的条件、驻波的形成和规律，初步懂得千涉现象是波独具的重要特征之一；
8. 了解声波一般性质和声强的量度，理解多普勒效应成因，了解多普勒效应的应用。
基本概念：
1、振动：物体在一定的位置附近作往返运动，或者任何一个物理量在某一定位置附近作反复变化。
2、机械振动：物体位置随时间的变更的运动。
3、机械波/弹性波：依靠弹性介质质点的机械振动。
§7-1简谐振动
简谐振动是最简单、最基本的振动，任何复杂的振动都可由两个或多个简谐振动合成而得到。我们的讨论就从简谐振动开始。
一、简谐振动的基本特征
1、平衡位置在一个光滑的水平面上，有一个一端被固定的轻弹簧，弹簧的另一端系一小球，如图7-1所示。当弹簧呈松弛状态时，小球在水平方向不受力的作用，此时小球处于点o，该点称为平衡位置。若将小球向右移至点m，弹簧被拉长，这时小球受到弹簧所产生的、方向指向点o的弹性力f的作用。将小球释放后，小球就在弹性力f的作用下左右往返振动起来，并永远振动下去。
2、运动方程为了描述小球的这种运动，我们取小球的平衡位置o为坐标原点，取通过点o的水平线为x 轴。如果小球的位移为x，它所受弹性力f可以表示为
(7-1)
式中k为所取轻弹簧的劲度系数，负号表示弹性力f的方向与位移的方向相反。如果小球的质量为m，根据牛顿第二定律，小球的运动方程可以表示为
(7-2)
将式(7-1)代入式(7-2)，得
或者改写为
(7-3)
式中(7-4)
式(7-3)是小球的运动方程。这个方程显示了小球受力的基本特征，即在运动过程中，小球所受力的大小与它的位移的大小成正比，而力的方向与位移的方向相反。具有这种性质的力称为线性回复力。
3、简谐振动由运动方程可以解得小球在振动过程中位移x与时间t的关系。式(7-3)的解可以写为以下两种形式
(7-5)
或(7-6)
式中a和?都是积分常量，在振动中它们都具有明确的物理意义，对此我们以后再作讨论。式(7-5)和式(7-6)在物理上具有同样的意义，以后我们只取式(7-5)的形式。
上面我们分析了由轻弹簧和小球所组成的振动系统作无摩擦振动的例子，这样的振动系统称为弹簧振子。弹簧振子的振动是典型的简谐振动，它表明了简谐振动的基本特征。从分析中可以看出，物体只要在形如f=-kx的线性回复力的作用下运动，其位移必定满足微分方程式(7-3)，而这个方程的解就一定是时间的余弦(或正弦)函数。简谐振动的这些基本特征在机械运动范围内是等价的，其中的任何一项都可以作为判断物体是否作简谐振动的依据。但是，由于振动的概念已经扩展到了物理学的各个领域，任何一个物理量在某定值附近作往返变化的过程，都属于振动，于是我们可对简谐振动作如下的普遍定义：任何物理量x的变化规律若满足方程式
并且ω是决定于系统自身的常量，则该物理量的变化过程就是简谐振动。
二、描述简谐振动的特征量
振幅、周期(或频率)和相位是描述简谐振动的三个重要物理量，若知道了某简谐振动的这三个量，该简谐振动就完全被确定了，故称描述简谐振动的特征量。
1. 振幅振动物体离开平衡位置的最大幅度称为振幅。在简谐振动
中，a就是振幅。在国际单位制中，机械振动振幅的单位是m (米)。
2. 周期
振动物体完成一次振动所需要的时间, 称为振动周期, 常用t表示；在1秒时间内所完成振动的次数, 称为振动频率, 常用ν表示。振动物体在2π秒内所完成振动的次数, 称为振动角频率, 就是式(7-5)中的ω。显然角频率ω、频率ν和周期t三者的关系为
(7-7) 在国际单位制中，周期t、频率ν和角频率ω的单位分别是s(秒)、Hz(赫兹)和rad ? s-1(弧度/秒)。
3. 相位和初相位
在式(7-5)中的ωt+?称为简谐振动的相位，单位是rad (弧度)。在振幅一定、角频率已知的情况下，振动物体在任意时刻的运动状态(位置和速度)完全取决于相位ωt+?。这从下面的分析中会看得更清楚。将式(7-5)两边对时间求一阶导数，可以得到物体振动的速度
(7-8)
由式(7-5)和式(7-8)两式可以看出，在振幅a和角频率ω已知的情况下，振动物体的位置和速度完全由相位ωt+?所决定。我们已经知道，位置和速度是表示一个质点在任意时刻运动状态的充分而必要的两个物理量。相位中的?称为初相位，在振幅a和角频率ω已知的情况下，振动物体在初始时刻的运动状态完全取决于初相位?。在式(7-5)和式(7-8)中令t = 0, 则分别成为下面的形式
(7-9)
式中x0和v0分别是振动物体在初始时刻的位移和速度, 这两个量表示了振动物体在初始时刻的运动状态, 也就是振动物体的初始条件。
4、振幅和初相位是初始条件决定的：振幅a和初相位?，在数学上它们是在求解微分方程(7-3)时引入的两个积分常量，而在物理上，它们是由振动系统的初始状态所决定的两个描述简谐振动的特征量, 这是因为由初始条件(7-9)可以求得
(7-10)
例题：1、一个运动质点的位移与时间的关系为 m ,其中x的单位是m，t的单位是s。试求：
(1)周期、角频率、频率、振幅和初相位；(2) t = 2 s时质点的位移、速度和加速度。
解(1)将位移与时间的关系与简谐振动的一般形式
相比较，可以得到
角频率
s-1, 频率
, 周期
, 振幅, 初相位
.
(2) t = 2 s时质点的位移
t = 2 s时质点的速度
t = 2 s 时质点的加速度
2、求图6-6所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为m ，两个轻弹簧的劲度系数分别为k 1 和k 2。 解 以平衡位置O 为坐标原点，建立如图6-6所示的坐标系。当物体由原点O 向右移动x 时，弹簧1伸长了x 1 ，弹簧2伸长了x 2 ，并有
物体所受的力为
式中k 是两个弹簧串联后的劲度系数。由上式可得
于是，物体所受的力可另写为
由上式可得
所以
装置的振动角频率为
装置的振动频率为
三、简谐振动的矢量图解法和复数解法
简谐振动可以用一个旋转矢量来描绘。在坐标系o-xy 中，以Ｏ为始端画一矢量a ，末端为Ｍ点，如图6-2所示。若矢量a 以匀角速度ω绕坐标原点Ｏ作逆时针方向转动时，则矢量末端m 在x 轴上的投影点p 就在x 轴上于点o 两侧往返运动。如果在t =0时刻，矢量a 与x 轴的夹角为?，那么这时投影点p 相对于坐标原点o 的位移可以表示为
式中a 为矢量a 的长度。在任意时刻t , 矢量a 与x 轴的夹角变为ωt+?, 则投影点p 相对于坐标原点o 的位移为
所以, 当矢量a 绕其始点(即坐标原点)以匀角速度ω旋转时，其末端在x 轴上的投影点的运动, 必定是简谐振动。图6-2(b)所描绘的曲线，是点p 的位移与时间的关系曲线，称为简谐振动曲线。
以上是用一个旋转矢量末端在一条轴线上的投影点的运动来表示简谐振动，这种方法称为简谐振动的矢量图解法。这种方法以后在电学和光学中都要用到。
简谐量x 还可以用复数来代表：若把一个复数表示为
(7-11)
显然，简谐量x就是这个复数的实部，并且简谐量的振幅与复数的模相对应，简谐量的相位与复数的辐角相对应。若要对多个简谐量进行某种运算, 可以对代表这些简谐量的复数进行相同的运算, 在运算过程中，实部和虚部、模和辐角总是分别运算而不会相混，所得复数的实部就是这些简谐量进行该运算的最后结果。因此，简谐量的复数表示法也是常用方法。
例如，求振动速度和加速度，可以用复数进行运算。取位移的复数形式为
振动速度的复数则为
取速度复数的实部，就是振动速度的真正表示式
用同样的方法可以计算振动加速度
加速度的真正表示式为
由上面的计算可见，用复数来代表简谐量，运算过程也是十分简便的。
四、简谐振动的能量
从机械运动的观点看，在振动过程中，若振动系统不受外力和非保守内力的作用，则其动能和势能的总和是恒定的。现在让我们以弹簧振子为例，研究简谐振动中能量的转换和守恒问题。
弹簧振子的位移和速度分别由下式给出
x = a cos (ω t+?) v = -aω sin (ω t+?)
在任意时刻，系统的动能为
(7-12) 除了动能以外，振动系统还具有势能。对于弹簧振子来说，系统的势能就是弹力势能，并可表示为
(7-13) 由式(7-12)和式(7-13)可见，弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性变化。当位移最大时，速度为零，动能也为零，
而势能达到最大值；当在平衡位置时，势能为零，而速度为最大值，所以动能也达到最大值。
弹簧振子的总能量为动能和势能之和，即
因为, 所以上式可化为
(7-14) 由上式可见, 尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时间作周期性变化, 但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方成正比。
由公式
可以得到
(7-15) 上式明确地表示了弹簧振子中物体的速度与位移的关系：在平衡位置处，x = 0, 速度为最大；在最大位移处，x = ±a, 速度为零。
例题3、长度为l的弹簧，上端被固定，下端挂一重物后长度变为l + s，并仍在弹性限度之内。若将重物向上托起，使弹簧缩回到原来的长度，然后放手，重物将作上下运动。
(1)证明重物的运动是简谐振动；
(2)求此简谐振动的振幅、角频率和频率；
(3)若从放手时开始计时，求此振动的位移与时间的关系(向下为正)。
解
(1)以悬挂了重物后的平衡位
置O为坐标原点，建立如图6-7所
示的坐标系。因为当重物处于坐标
原点O时重力与弹力相平衡，即
(1)
当重物向下移动x时，弹簧的形变量为(s + x )，物体的运动方程可以写为
将式(1)代入上式，得
即
. (2)
重物的运动满足这样的微分方程式，所以必定是简谐振动。
(2)令
, (3)
方程式(2)的解为
. (4)
振幅可以根据初始条件求得：当t = 0 时，x0 = -s，v0 = 0，于是
角频率和频率可以根据式(3)求得：
图6-7
(3)位移与时间的关系：由
, 以及
当t = 0 时，x0 = -s，v0 = 0，根据式(4)，可以得到
由以上两式可解得故有
例题4、量为10 g的物体作简谐振动，其振幅为24 cm，周期为1.0 s，当t = 0时，位移为+24 cm，求：
(1) 时物体的位置以及所受力的大小和方向；
(2)由起始位置运动到x = 12 cm处所需要的最少时间；
(3)在x = 12 cm处物体的速度、动能、势能和总能量。
解首先根据已知条件得出位移与时间关系的具体形
式。一般形式为
将,
, , 各
量代入上式，同时，根据时，求得
, ，于是得到简谐振动的具体形式为
(1) 物体的位置为
所受力的大小为
方向沿x轴的反方向。
(2)由起始位置运动到x = 12 cm处所需要的最少时间
题目要求最少时间，上式中应取正号。所以
(3)在x = 12 cm处
物体的速度为
物体的动能为
物体的势能为
所以物体的总能量
例题5、（6-9）一个物体放在一块水平木板上，此板在水平方向上以频率ν作简谐振动。若物体与木板之间的静摩擦系数为μ0 ，试求使物体随木板一起振动的最大振幅。
解设物体的质量为m，以平衡位置O为坐标原点建立如图6-8所示的坐标系。