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北京汇文中学数学二次函数单元测试卷(含答案解析)

北京汇文中学数学二次函数单元测试卷（含答案解析）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝1 2 x

﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．

（1）求此二次函数的表达式；

（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；

（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝1

x2﹣

x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值

为4；（3）Q的坐标为（5

，﹣

）或（﹣

，

）．

【解析】

【分析】

（1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；

（2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，1

x2﹣

x﹣2），进而根据S

＝S△PHB+S△PHC＝1

PH?（x B﹣x C），进行计算即可求解；

（3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解．

【详解】

解：（1）对于直线y＝1

x﹣2，

令x＝0，则y＝﹣2，

令y＝0，即1

x﹣2＝0，解得：x＝4，

故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），

将点C的坐标代入上式并解得：a＝1

，

故抛物线的表达式为y＝

﹣

x﹣2①；

（2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H，

设点P（x，

x2﹣

x﹣2），则点H（x，

x﹣2），

S＝S△PHB+S△PHC＝

PH?（x B﹣x C）＝

×4×（

x﹣2﹣

x2+

x+2）＝﹣x2+4x，

∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；

（3）①当点Q在BC下方时，如图2，

延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形，

则点C是RQ的中点，

在△BOC中，tan∠OBC＝

＝

＝tan∠ROC＝

，

则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB22

(2)

x x

5＝BQ，

在△QRB中，S△RQB＝

×QR?BC＝

BR?QK，即

2x?2x＝

K5，

解得：KQ

∴sin∠RBQ＝

＝

，则tanRBH＝

，

在Rt △OBH 中，OH ＝OB?tan ∠RBH ＝4×

43＝163，则点H （0，﹣16

），由点B 、H 的坐标得，直线BH 的表达式为y ＝4

（x ﹣4）②，联立①②并解得：x ＝4（舍去）或53

，当x ＝

53时，y ＝﹣289，故点Q （53，﹣289）； ②当点Q 在BC 上方时，

同理可得：点Q 的坐标为（﹣113，929

）；综上，点Q 的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929

）．【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、面积的计算等，注意分类讨论思维的应用，避免遗漏．

2．对于函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），若存在实数x0，使得a 2

0x +（b+1）x 0+b ﹣2＝x0成立，则称x 0为函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点．（1）当a ＝2，b ＝﹣2时，求y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；

（2）若对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，且直线y ＝﹣x+2121

a 是线段AB 的垂

直平分线，求实数b 的取值范围．

【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）b 的取值范围是﹣

≤b ＜0．【解析】【分析】

（1）将a ＝2，b ＝﹣2代入函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），得y ＝2x 2﹣x ﹣4，然后令x ＝2x 2﹣x ﹣4，求出x 的值，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；

（2）对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）时，对于任何实数b 都有△＞0，然后再设t ＝△，即可求得a 的取值范围；

（3）根据y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，可知点A 和点B 均在直线y ＝x 上，然后设出点A 和点

B 的坐标，从而可以得到线段AB 的中点坐标，再根据直线y ＝﹣x+2121

a +是线段AB 的垂

直平分线，从而可以求得b 的取值范围．【详解】

解：（1）当a ＝2，b ＝﹣2时，函数y ＝2x 2﹣x ﹣4，令x ＝2x 2﹣x ﹣4，化简，得x 2﹣x ﹣2＝0 解得，x 1＝2，x 2＝﹣1，

即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点是﹣1或2；（2）令x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2，整理，得 ax 2+bx+b ﹣2＝0，

∵对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点， ∴△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＞0，

设t ＝b 2﹣4a （b ﹣2）＝b 2﹣4ab+8a ，对于任何实数b ，t ＞0，故（﹣4a ）2﹣4×1×8a ＜0，解得，0＜a ＜2，

即a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）由题意可得，点A 和点B 在直线y ＝x 上，设点A （x 1，x 1），点B （x 2，x 2），

∵A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点， ∴x 1，x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2＝0的两个根， ∴x 1+x 2＝﹣

b a

， ∵线段AB 中点坐标为（122x x +，122

x x

+）， ∴该中点的坐标为（2b a -，2b a

-）， ∵直线y ＝﹣x+2

121

a +是线段AB 的垂直平分线，

∴点（2b a -，2b

a -）在直线y ＝﹣x+2121

a +上， ∴2b

a -

＝21221

b a a ++

∴﹣b ＝

a a ≤

+4，（当a ＝2

时取等号）

∴0＜﹣b≤

，

∴﹣2

≤b＜0，

即b的取值范围是﹣2

≤b＜0．

【点睛】

本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

3．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2

(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）

(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．

【解析】

试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；

（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH

垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；

（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．

试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．

解得：，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；

（2）∵y=﹣x2+x+2，

∴y=﹣（x﹣）2+，

∴抛物线的对称轴是x=．

∴OD=．

∵C（0，2），

∴OC=2．

在Rt△OCD中，由勾股定理，得

CD=．

∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，

∴CP1=CP2=CP3=CD．

作CH⊥x轴于H，

∴HP1=HD=2，

∴DP1=4．

∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；

（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2

∴x1=﹣1，x2=4，

∴B（4，0）．

设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得

，

解得：，

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．

如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．

∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD?OC+EF?CM+EF?BN，

=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），

=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．

=﹣（a﹣2）2+

∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，

∴E（2，1）．

考点：1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值

4．如图，在平面直角坐标系x O y中，抛物线y = ax2+ bx + c经过A、B、C三点，已知点A （-3，0），B（0，3），C（1，0）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；

（3）在直线x = -2上是否存在点M，使得∠MAC = 2∠MCA，若存在，求出M点坐标．若不存在，说明理由．

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）点（-

，

），△PDE的周长最大；（3）点M（-2，3）或（-2，3

【解析】

【分析】

（1）将A、B、C三点代入，利用待定系数法求解析式；

（2）根据坐标发现，△AOB是等腰直角三角形，故只需使得PD越大，则△PDE的周长越大.联立直线AB与抛物线的解析式可得交点P坐标；

（3）作点A关于直线x=-2的对称点D，利用∠MAC = 2∠MCA可推导得MD=CD，进而求得ME的长度，从而得出M坐标

【详解】

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（0，3），C（1，0），

∴

930

a b c

-+=

?++=

，解得：

，

所以，抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；

（2）∵A（-3，0），B（0，3），

∴OA=OB=3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°，

∵PF⊥x轴，∴∠AEF=90°-45°=45°，

又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形，

∴PD越大，△PDE的周长越大，易得直线AB的解析式为y=x+3，

设与AB平行的直线解析式为y=x+m，

联立2

y x m y x x =+??=--+?，消掉y 得，x 2+3x+m-3=0，当△=9-4（m-3）=0，即m=21

时，直线与抛物线只有一个交点，PD 最长，此时x=-32，y=15

4，∴点（-32

，154），△PDE 的周长最大；

（3）设直线x=-2与x 轴交于点E ，作点A 关于直线x=-2的对称点D ，则D （-1，0），连接MA ，MD ，MC ．

∴MA=MD ，∠MAC=∠MDA=2∠MCA ， ∴∠CMD=∠DCM

∴MD=CD=2 ， ∴ME=3 ∴点M （-2，3）或（-2，-3）．【点睛】

本题是动点和最值的考查，在解决动点问题时，寻找出不变量来分析是解题关键，最值问题，通常利用对称来简化分析

5．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，-1)，且与y 轴交于点C(0，3)，与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的右侧)，点P 是该抛物线上的一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动(点P 与A 不重合)，过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ． (1)求该抛物线的函数关系式；

(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；

(3)在题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) y=x 2﹣4x +3；(2) P 1（1，0），P 2（2，﹣1）；(3) F 1（22，1），F 2

（2，1）．

【解析】

【分析】

（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；

（2）由于PD∥y轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考虑两种情况：

①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），由此可求出P点的坐标；

②以点A为直角顶点，易知OA=OC，则∠OAC=45°，所以OA平分∠CAP，那么此时D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P 点的坐标；

（3）很显然当P、B重合时，不能构成以A、P、E、F为顶点的四边形，因为点P、F都在抛物线上，且点P为抛物线的顶点，所以PF与x轴不平行，所以只有（2）②的一种情况符合题意，由②知此时P、Q重合；假设存在符合条件的平行四边形，那么根据平行四边形的性质知：P、F的纵坐标互为相反数，可据此求出F点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标．

【详解】

（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），

∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，

将C（0，3）代入上式，得：

3=a（0﹣2）2﹣1，a=1；

∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；

（2）分两种情况：

①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；

令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3；

∵点A在点B的右边，

∴B（1，0），A（3，0）；

∴P1（1，0）；

②当点A为△AP2D2的直角顶点时；

∵OA=OC，∠AOC=90°，

∴∠OAD2=45°；

当∠D 2AP 2=90°时，∠OAP 2=45°， ∴AO 平分∠D 2AP 2；又∵P 2D 2∥y 轴， ∴P 2D 2⊥AO ，

∴P 2、D 2关于x 轴对称；

设直线AC 的函数关系式为y=kx+b （k≠0）．将A （3，0），C （0，3）代入上式得：

3k b b +=??

，解得13k b =-??=?

；

∴y=﹣x+3；

设D 2（x ，﹣x+3），P 2（x ，x 2﹣4x+3），则有：（﹣x+3）+（x 2﹣4x+3）=0，即x 2﹣5x+6=0；

解得x 1=2，x 2=3（舍去）；

∴当x=2时，y=x 2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1； ∴P 2的坐标为P 2（2，﹣1）（即为抛物线顶点）． ∴P 点坐标为P 1（1，0），P 2（2，﹣1）；

（3）由（2）知，当P 点的坐标为P 1（1，0）时，不能构成平行四边形；当点P 的坐标为P 2（2，﹣1）（即顶点Q ）时，平移直线AP 交x 轴于点E ，交抛物线于F ； ∵P （2，﹣1）， ∴可设F （x ，1）； ∴x 2﹣4x+3=1，

解得x 1=22，x 22； ∴符合条件的F 点有两个，

即F 1（22，1），F 2（2，1）．

【点睛】

此题主要考查了二次函数的解析式的确定、直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大.

6．如图，已知抛物2

(0)y ax bx c a =++≠经过点,A B ，与y 轴负半轴交于点C ，且

OC OB =，其中B 点坐标为(3,0)，对称轴l 为直线12

x =

． (1)求抛物线的解析式；

(2) 在x 轴上方有一点P ，连接PA 后满足PAB CAB ∠=∠，记PBC ?的面积为S ，求当10.5S =时点P 的坐标

(3)在(2)的条件下，当点P 恰好落在抛物线上时，将直线BC 上下平移，平移后的

10.5S =时点P 的坐标；直线y x t =+与抛物线交于,C B ''两点(C '在B '的左侧)，若以点

,,C B P ''为顶点的三角形是直角三角形，求出t 的值．

【答案】（1）211

322

y x x =--（2）(2,6)（3）19或32 【解析】【分析】

（1）确定点A 的坐标，再进行待定系数法即可得出结论；

（2）确定直线AP 的解析式，用m 表示点P 的坐标，由面积关系求S 和m 的函数关系式

即可求解；

（3）先确定点P 的坐标，当'''90B PC ∠=，利用根与系数的关系确定'''B C 的中点E 的坐标，利用''2B C PE =建立方程求解，当''''90PC B ∠=时，确定点G 的坐标，进而求出直线''C G 的解析式，得出点''C 的坐标即可得出结论．【详解】

（1）∵OC OB =，且B 点坐标为(3,0)， ∴C 点坐标为(0,3)-．

设抛物线解析式为2

1()2

y a x k =-+．

将B 、C 两点坐标代入得2504

134a k a k ?

=+????-=+??，解得12258a k ?=????=-

．

∴抛物线解析式为22112511

()-322822

y x x x =

-=--．（2）如图1，设AP 与y 轴交于点'C ．

∵PAB CAB ∠=∠，OA OA =，90AOC AOC ∠'=∠=?， ∴AOC ?≌AOC ?'， ∴3OC OC ='=， ∴(0,3)C '． ∵对称轴l 为直线12

x =， ∴(2,0)A -， ∴直线AP 解析式为3

y x =+， ∵(3,0)B ，(0,-3)C ， ∴直线BC 解析式为-3y x =， ∴31

3(3)622PF x x x =

+--=+， ∴13

924

PBC S OB PF x ?=

??=+， ∵10.5S =，∴3

910.54

x +=， ∴2x =．

此时P 点的坐标为(2,6)．

（3）如图2，由211

-322

y x x y x ?=-??

?=+??得6,12P （），

当90C PB ∠=''?时，取''B C 的中点E ，连接PE ．则2B C PE ''=,即224B C PE =''．设1122(,),(,)B x y C x y ''．

由211-322y x x y x t

?=-???=+?得23(26)0x x t --+=， ∴12123,(26)x x x x t +==-+， ∴点33

)22

E t +， 22222

1212121212()()2()2()41666B C x x y y x x x x x x t ??=-+-=-+-=+?=?''，

222233261(6)(1221222

PE t t t =-+-=-+），

∴2

261

16664(21)2

t t t +=-+

，解得：19t =或6（舍去），

当90PC B ''''∠=?时，延长C P ''交BC 于H ，交x 轴于G ．则90,45BHG PGO ∠=?∠=?，

过点P 作PG x ⊥轴于点Q ，则12GQ PQ ==， ∴(18,0)G ，

∴直线C G ''的解析式为18y x =-+，

由

-3

-18

y x x

y x

?=+

得

或

（舍去），

∴(7,25)

C'-

'，

将(7,25)

C'-

'代入y x t

=+中得32

t=．

综上所述，t

的值为19或32．

【点睛】

本题主要考查了待定系数法、全等三角形的判定和性质、三角形面积的计算方法、根与系数的关系、直角三角形的性质，属于二次函数综合题．

7．如图，已知二次函数1L：()

22311

y mx mx m m

=+-+≥和二次函数

L：()2341

y m x m

=--+-()1

m≥图象的顶点分别为M、N，与x轴分别相交于A、B 两点（点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边），

（1）函数()

22311

y mx mx m m

=+-+≥的顶点坐标为______；当二次函数

L，

L的y 值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是_______；

（2）判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）；

（3）抛物线1L，2L均会分别经过某些定点；

①求所有定点的坐标；

②若抛物线1L位置固定不变，通过平移抛物线2L的位置使这些定点组成的图形为菱形，则

抛物线2L 应平移的距离是多少？【答案】（1）()1,41m --+，13x

；（2）四边形AMDN 是矩形；（3）①所有定

点的坐标，1L 经过定点()3,1-或()1,1，2L 经过定点()5,1-或()1,1-；②抛物线2L 应平移

的距离是4+4-．【解析】【分析】

（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M 的坐标；结合函数图象填空；（2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A 、D 、M 、N 的横坐标，可得AD 的中点为（1，0），MN 的中点为（1，0），则AD 与MN 互相平分，可证四边形AMDN 是矩形；

（3）①分别将二次函数的表达式变形为1:(3)(1)1L y m x x =+-+和2:(1)(5)1L y m x x =----，通过表达式即可得出所过定点；

②根据菱形的性质可得EH 1=EF=4即可，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解．【详解】

解：（1）12b

x a

=-，顶点坐标M 为(1,41)m --+，由图象得：当13x 时，二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大．

故答案为：(1,41)m --+；13x

；

（2）结论：四边形AMDN 是矩形．

由二次函数21:231(1)L y mx mx m m =+-+和二次函数22:(3)41(1)L y m x m m =--+-解析式可得：

A 点坐标为(1-0)，D 点坐标为(3+，0)，顶点M 坐标为(1,41)m --+，顶点N 坐标为(3,41)m -，

AD ∴的中点为(1,0)，MN 的中点为(1,0)，

AD ∴与MN 互相平分，

∴四边形AMDN 是平行四边形，

又

AD MN =，

∴□AMDN 是矩形；

（3）①

二次函数21:231(3)(1)1L y mx mx m m x x =+-+=+-+，

故当3x =-或1x =时1y =，即二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，

二次函数22:(3)41(1)(5)1L y m x m m x x =--+-=----，

故当1x =或5x =时1y =-，即二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点， ②

二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数

22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，

如图：四个定点分别为(3,1)E -、(1,1)F ，(1,1)H -、(5,1)G -，则组成四边形EFGH 为平行四边形，

∴FH ⊥HG ，FH=2，HM=4-x ，

设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，则EH 1=EF=H 1M=4，

由勾股定理可得：FH 2+HM 2=FM 2，即22242(4)x =+-，解得：423x =±，

抛物线1L 位置固定不变，通过左右平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是423+或423-．

【点睛】

本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

8．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C．

（1）求这个二次函数的关系解析式；

（2）求直线AC的函数解析式；

（3）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

【答案】（1）y=﹣

x2﹣

x+2；（2）

y x

=+；（3）存在，(

【解析】

【分析】

（1）直接用待定系数法即可解答；

（2）先确定C点坐标，设直线AC的函数解析式y=kx+b，最后用待定系数法求解即可；（3）连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，然后求出△ACP面积的表达式，最后利用二次函数的性质求最值即可．

【详解】

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2过点A（﹣3，0），B（1，0），

∴

0932

a b

=-+

=++

解得

?=-

，

∴二次函数的关系解析式为y=﹣

x2﹣

x+2；

（2）∵当x=0时，y=2，

∴C（0，2）

设直线AC的解析式为y kx b

=+，把A、C两点代入得

0=3

k b

解得

∴直线AC的函数解析式为

y x

=+；

（3）存在．

如图: 连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N

设点P坐标为（m，n）,则n=2

m m

--+），PN=-m，AO=3

当x=0时，y=2

002

-?-?+=2，

∴点C的坐标为（0,2），OC=2

∵

PAC PAO PCO ACO

S S S S

=+-

12411

322()32

23322

m m m

=??--++??--??

=23

m m

∵a=-1<0

∴函数S△PAC=-m2-3m有最大值

∴b当m=()

212

-?-

∴当m=

-时，S△PAC有最大值n=

2423435

3332322

m m

--+=-?-?+=

∴当△ACP的面积最大时，P的坐标为（

-）．

【点睛】

本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数极值等知识点，根据题意表示出△PAC的面积是解答本题的关键．

9．如图，已知顶点为M（

，

）的抛物线过点D（3，2），交x轴于A，B两点，交y 轴于点C，点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P 在直线AD 上方时，求△PAD 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标；（3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q '．是否存在点P ，使Q '恰好落在x 轴上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）213

222

y x x =-++；（2）最大值为4，点P （1，3）；（3）存在，点P 139313

-+）．【解析】【分析】

（1）用待定系数法求解即可；

（2）由△PAD 面积S ＝S △PHA +S △PHD ，即可求解；

（3）结合图形可判断出点P 在直线CD 下方，设点P 的坐标为（a ，213

222

a a -

++），当P 点在y 轴右侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．【详解】

解：（1）设抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣h ）2+k ＝a （x ﹣32）2+25

，将点D 的坐标代入上式得：2＝a （3﹣32）2+25

，解得：a ＝﹣

， ∴抛物线的表达式为：213

222y x x =-

++；（2）当x ＝0时，y ＝﹣1

2x 2+32

x +2＝2，

即点C 坐标为（0，2），

同理，令y ＝0，则x ＝4或﹣1，故点A 、B 的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0），

北京汇文中学2019-2020年八年级下数学期中试题

北京汇文中学2019-2020年八年级下数学期中试题 -4 一、选择 1. 下列方程是一元二次方程的是（） A.0512=+-x x B.x(x-1)=x 2-3 C.x 2+y-1=0 D. 51 331 22-=+x x 2. 菱形和矩形一定具备的性质是（） A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.每条对角线平分一组对角 3. 若a-b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为（） A.0 B.-1 C.1 D.2 4. 若b b -=-3)3(2，则b 的取值范围是（） A.b ＞3 B.b ＜3 C.b ≥3 D.b ≤3 5．使式子55-=-a a a a 成立的条件是（） A.a ≥5 B.a ＞5 C.0≤a ≤5 D. 0≤a ＜5 6.关于x 的方程ax 2-2x+1=0中，如果a ＜0，那么方程根的情况是（） A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 7.若顺次连结四边形ABCD 各边中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是（） A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形 C.矩形 D. 对角线相等的四边形 8.关于x 的方程x 2-(a 2-2a-15)x+a-1=0的两根互为相反数，则a 的值是（） A.-3 B.5 C.5或-3 D.1 9.李明的作业本上有五道题：①a a a =3；②x x x x x 45=-； ③

a a a a a =?=112；④636 124=+；⑤a a a 223-=-，如果你是他的数学老师，请摘除他做错的题有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.在△ABC 中，AB ＞AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，点F 在BC 边上，连结DE 、DF 、EF ，则添加下列哪个条件后，仍无法判定△BFD 与△EDF 全等的是（） A.EF ∥AB B.BF=CF C.∠A=∠DFE D.∠B=∠DEF 二、填空题 11.下列数据5,3,6,7,6,3,3,4,7,3,6的众数是，中位数是。 12.已知O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，AB=20cm ，BC=12cm ，则△AOB 的周长比△AOD 的周长多 cm 。 13.关于x 的一元二次方程 (a-2)x 2+x+a 2-4=0有一个根是0，则a 的值为。 14.已知x ＜1，则122+-x x 化简的结果是。 15.已知关于x 的一元二次方程(k+1)x 2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是。 16.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，过点D 作DF ⊥BC 于F ，若AD=2，BC=4，DF=2，则DC 的长为。 17.菱形ABCD 中，AB=4，高DF 垂直平分边AB ，则BD= ，AC= 。 18.如果x 2-2(m+1)x+m 2+5是一个完全平方式，则m= 。 19.某校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的180名同学中任选10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，如下表所示： F B B C

初三数学二次函数单元测试题及答案

远航教育初三寒假第一次诊断试题 (测试时间：120分钟，满分：150分) 姓名: 成绩：一、选择题(每题5分，共50分) 1. sin30°值为( ) A.1／3 B.1／2 C.1 D. 0 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是()

9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=-1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线上的点，且-1

九年级二次函数单元测试卷附答案

九年级二次函数单元测试卷附答案一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A，C，连接CD．（1）求抛物线和直线AC的解析式：（2）若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2 y x2x3 =-++；3 y x =-+；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3）【解析】【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，求出b，c得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A，C坐标代入直线AC的解析式中，即可得出结论；（2）利用抛物线的对称性得出BD＝AD，进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等，即可得出结论；（3）分点Q在x轴上方和在x轴下方，构造全等三角形即可得出结论．【详解】解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bc+c中，得 930 10 b c b c -++= ? ? --+= ? ， ∴ 2 3 b c = ? ? = ? ， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3， ∴点C的坐标是（0，3），把A（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b1中，得1 1 30 3 k b b += ? ? = ? ， ∴ 1 1 3 k b =- ? ? = ? ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3；

【10套试卷】北京汇文中学小升初一模数学精选及答案

六年级下册数学练习题及答案人教版(1) 一．选择题（共4小题，满分8分，每小题2分） 1．（2分）下列叙述正确的是（） A ．a 的倒数是 B ．一桶油用去千克，还剩下 C ．一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数 2．（2分）两根3米长的绳子，第一根用去米，第二根用去，两根绳子剩余的部分相比（） A ．第一根长 B ．第二根长 C ．两根同样长 3．（2分）小明和爸爸、妈妈去看电影，每张电影票78元，带（）元够了． A ．100元 B ．200元 C ．240元 4．（2分）将直角三角形ABC 以BC 为轴旋转一周，得到的圆锥体积是V ，那么V ＝（） A ．16π B ．12π C ．25π D ．48π 二．填空题（共9小题，满分18分，每小题2分） 5．（2分）填上千克或克： 1个乒乓球重约3 ． 2袋盐重1 ．一瓶矿泉水重500 ．一头奶牛约重200 ． 6．（2分），把这个线段比例尺改写成数值比例尺是． 7．（2分）男生比女生多，则女生比男生少；男生人数的等于女生人数的，男女生人数比是． 8．（2分）一个车轮的直径是40厘米，车轮转动一周大约前进了厘米．如果车轮每分钟转动80周，5分钟车轮可以走米．

9．（2分）有一个三角形的三个内角的度数之比是2：5：2，这个三角形按边分，属于三角形，按角分，属于三角形． 10．（2分）水族箱里有红、黑两种金鱼共18条．其中黑金鱼的条数是红金鱼的．红金鱼有条，黑金鱼有条． 11．（2分）千克表示把平均分成份，表示这样的4份；还表示把平均分成份，表示这样的份． 12．（2分）一栋楼每层有18个台阶，从一楼到六楼，要爬个台阶． 13．（2分）用含有字母的式子或方程表示下面的数量关系． 5减x的差除以3 160减5个a x的3倍等于57 x除以5等于1.6 三．计算题（共5小题，满分32分） 14．（16分）选择合理的方法进行计算（1）2﹣﹣﹣ （2）0.8++0.2 （3）15﹣5÷12﹣ （4）68﹣7.5+32﹣2.5 （5）﹣（﹣） 15．（4分）解方程． x÷4.5＝1.2 （4x﹣6）×5＝4.8 6x+1.6x＝22.8 3.4x﹣6×8＝26.8 16．（4分）解比例 3：5＝x：15 ＝

二次函数单元测试卷(含答案)

二次函数单元测试卷一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 当-2≤ x ≦1,二次函数y=-（x-m ）2 + m 2 +1有最大值4，则实数m 值为（） A.-4 7 B. 3或-3 C.2或-3 D. 2或3或- 4 7 2. 函数 2 2y mx x m =+-（m 是常数）の图像与x 轴の交点个数为（） A. 0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 3. 关于二次函数 2 y ax bx c =++の图像有下列命题：①当0c =时，函数の图像经过原点；②当0c >，且函数の图像开口向下时，方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等の实根；③函数图像最高点の纵坐标是 2 44ac b a -；④当0b =时，函数の图像关于y 轴对称．其中正确命题の个数是（） A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4. 关于x の二次函数 2 2(81)8y mx m x m =+++の图像与x 轴有交点，则m の范围是（） A ． 1 16m <- B ． 116m - ≥且0m ≠ C ． 1 16m =- D ． 1 16m >- 且0m ≠ 5. 下列二次函数中有一个函数の图像与x 轴有两个不同の交点，这个函数是（） A ．2 y x = B ．24y x =+ C ．2325y x x =-+ D ．2 351y x x =+- 6. 若二次函数2 y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（） A ．a c + B ．a c - C ．c - D ．c 7. 下列二次函数中有一个函数の图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（） A ．1x y 2 —= B ．24y x =+ C ．1x 2x y 2+=— D ．2 351y x x =+- 8. 抛物线2 321y x x =-+-の图象与坐标轴交点の个数是（） A ．没有交点 B ．只有一个交点 C ．有且只有两个交点 D ．有且只有三个交点 9. 函数2 y ax bx c =++の图象如图所示，那么关于x の一元二次方程2 30ax bx c ++-=の根の情况是（） A ．有两个不相等の实数根 B ．有两个异号の实数根

北京汇文中学物理物态变化实验单元测试卷(含答案解析)

一、初二物理物态变化实验易错压轴题（难） 1．小明探究水沸腾时温度变化的特点，实验装置如图甲所示。（1）加热一定时间后，温度计的示数如图所示，此时水的温度是_____℃。（2）水在沸腾过程中虽然温度不再升高，但酒精灯要持续加热，这说明液体在沸腾过程中要_____；（3）图乙中能正确表示实验过程中水温度变化的图象是_____（填“A”“B”“C”或“D”）。（4）如图丙所示，温度计的正确读法是_____。（5）当水沸腾时，若水中有一个气泡从A位置（体积为V A）上升至B位置（体积为V B），则V A_____V B，（选填“>”“<”或“=”下同）。气泡在A、B两位置受到水的压强分别为p A和p B，则p A_____p B。（6）以下表格中的内容是小明记录的实验数据，则水的沸点是___℃．时间/min012345678 温度/℃909294969898989898 （7）完成实验后，烧杯内水的质量与实验前相比_____（选填“变大”“不变”或“变小”）．【答案】89吸热A乙<>98变小【解析】【详解】（1）温度计的每一个大格表示10℃，每一个小格表示1℃，所以温度计的示数为89℃；（2）水在沸腾过程中虽然温度不再升高，但水在各个部位都要汽化，需要不断的吸热，所以酒精灯要持续加热；（3）水在沸腾前，温度不断升高，沸腾后继续吸热但温度不变，所以A图能正确表示实验过程中水温度的变化；（4）温度计的正确读法是视线垂直刻度线读数，所以乙的读数方法正确；（5）当水沸腾时，水在各个部位汽化，因此大量气泡会在上升过程中逐渐得到补充，并且

越往水面水的压强越小，因此气泡会越变越大，所以A B p p ；（6）观察表中数据，可以看出，水的沸点是98℃；（7）烧杯瓶口敞开，在烧水的过程中，水不断蒸发，所以完成实验后，烧杯内水的质量与实验前相比变小。答案：89；吸热；A ；乙；<；>；98；变小。 2．在做“观察水沸腾”的实验时。（1）A 组同学用的是如图甲所示装置，他们测出的水温将偏______选填“高”或“低”）。（2）图乙是B 组同学在实验某时刻温度计的示数，此时水的温度是_____℃。（3）B 、C 两组同学虽然选用的实验装置相同，但将水加热到沸腾用的时间不同，他们绘制的温度随时间变化的图像如图丙所示。分析图像可知：水的沸点是_____℃；B 、C 组得到b 、c 两种不同图像的原因可能是水的_____不同;从图像中还可以得出水沸腾时的特点是_________。【答案】高 92 98 质量温度不变【解析】【详解】解：(1)由图甲知，温度计的玻璃泡碰到了容器底，受容器底部温度的影响，测量值将偏高； (2)由图乙知，温度计的分度值为1℃，所以示数为92℃． (3)由图丙知，时间不同的原因可能是水的质量不同导致的，水在沸腾过程中温度保持98℃不变，所以水的沸点是98℃，从图像中还可以得出水沸腾时的特点是温度不变。故答案为： (1)高；(2)92；(3)98；质量；温度不变【点睛】在使用温度计时，温度计的玻璃泡要完全浸没在水中，不能碰到容器底或容器壁，否则温度计的示数会受烧杯底部的影响；认清温度计的分度值，然后读数；根据温度随时间变化的图象判断出时间不同的原因；根据水沸腾的条件进行分析：达到沸点并要继续吸热．探究水的沸腾实验中，考查温度计的使用及读数也要掌握；学会从图象上分析水的沸点，并掌握影响加热时间的因素，能够应用进行分析． 3．在“观察水的沸腾”的实验中：