高中数学必修5不等式知识点总结与题型归纳经典学案学案

§不等式与不等关系

1）用不等式表示不等关系

引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是： 40v ≤

引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%，写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%

2.3%f p ≤??

≥?

问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。

问题2：某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高元，销售量就可能相应

减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢 解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5

(80.2)0.1

x x --? 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式

…

2.5

(80.2)200.1

x x --

?≥

问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢

解：假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根。根据题意，应有如下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;

（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负。

要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤??≥?

?≥?

?≥?

§不等式与不等关系

\

回忆初中不等式的的基本性质。

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；即若a b a c b c >?±>±

（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；即若,0a b c ac bc >>?> （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。即若,0a b c ac bc >

1、不等式的基本性质：

证明以上的不等式的基本性质

证明：1）∵(a ＋c)－(b ＋c)＝a －b ＞0，∴a ＋c ＞b ＋c 2）()()0a c b c a b +-+=->，∴a c b c +>+． *

实际上，我们还有,a b b c a c >>?>，（证明：∵a ＞b ，b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0．根据两个正数的和仍是正数，得(a －b)＋(b －c)＞0，即a －c ＞0，∴a ＞c ．于是，我们就得到了不等式的基本性质： （1）,a b b c a c >>?> （2）a b a c b c >?+>+

（3）,0a b c ac bc >>?> （4）,0a b c ac bc >

思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质： （1）,a b c d a c b d >>?+>+； （2）0,0a b c d ac bd >>>>?>；

（3

）0,,1n n

a b n N n a b >>∈>?>>

[

证明：

1）∵a ＞b ，∴a ＋c ＞b ＋c ． ①,∵c ＞d ，∴b ＋c ＞b ＋d ．②,由①、②得 a ＋c ＞b ＋d ．

2）

bd ac bd bc b d c bc ac c b a >??

??

>?>>>?>>0,0,

3）反证法）假设n

n b a ≤

，则：若

a b a b

?=这都与b a >矛盾， ∴n

n b a >

．

[范例]：

例1、已知0,0,a b c >><求证 c c a b >。 证明：以为0a b >>，所以ab>0,10ab >。于是 11a b ab ab ?>?，即11b a >,由c<0 ，得c c a b

> 3.随堂练习1

#

2、在以下各题的横线处适当的不等号：

(1)（3＋2）2 ６＋26；（2）（3－2）2 （6－1）2； （3

；(4)当a ＞b ＞0时，log 21a log 2

1b

答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜

[补充例题]

例2、比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小。

分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。 解：由题意可知： @

（a ＋3）（a －５）－（a ＋2）（a －4）＝（a 2－2a －1５）－（a 2－2a －８）＝－７＜0 ∴（a ＋3）（a －５）＜（a ＋2）（a －4）

随堂练习2

1、 比较大小：（1）（x ＋５）（x ＋７）与（x ＋６）2 （2）2

2

56259x x x x ++++与

4.小结

学习不等式的性质，并用不等式的性质证明一些简单的不等式，研究如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：

第一步：作差并化简，其目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式； 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论

-

§一元二次不等式及其解法

2.新课

1）一元二次不等式的定义

象2

50x x -<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 2）探究一元二次不等式2

50x x -<的解集 怎样求不等式（1）的解集 探究：

（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系

<

容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5x x ==,二次函数有两个零点：120,5x x == 于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。 （2）观察图象，获得解集

画出二次函数2

5y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知： 当 x<0，或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即2

50x x ->； 当0

50x x -<；

所以，不等式2

50x x -<的解集是{}|05x x <<，从而解决了本节开始时提出的问题。

3）探究一般的一元二次不等式的解法

：

任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：2

2

0,(0)0,(0)ax bx c a ax bx c a ++>>++<>或 一般地，怎样确定一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2

<0的解集 总结讨论结果：

（l ）抛物线 =y c bx ax ++2（a> 0）与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 c bx ax ++2

=0的判别式ac b 42

-=?三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论 （2）a<0可以转化为a>0

分Δ>O ，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2

<0的解集 一元二次不等式()0002

2

≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：

设相应的一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42

-=?，

—

则不等式的解的各种情况如下表：

0>?

0=?

》

二次函数

c bx ax y ++=2

（0>a ）的图象

c bx ax y ++=2

"

c bx ax y ++=2

c bx ax y ++=2

一元二次方程

()的根

00

2

>=++a c bx ax

有两相异实根

)(,2121x x x x <

|

有两相等实根

a

b

x x 221-

==

无实根 的解集

)0(02

>>++a c bx ax

{}2

1

x x x x x ><或

????

??-≠a b x x 2

-

R

的解集

)0(02><++a c bx ax

{}21x x x

x <<

?

?

[范例]

例2 求不等式01442

>+-x x 的解集.

￥

解：因为21

0144,0212

===+-=?x x x x 的解是方程.,所以，原不等式的解集是?

??

???≠21x x 例3解不等式0322

>-+-x x .

解：整理，得0322

<+-x x .,因为032,02

=+-

所以不等式0322

<+-x x 的解集是?.，从而，原不等式的解集是?.

4.小结

解一元二次不等式的步骤：

① 将二次项系数化为“+”：A=c bx ax ++2

>0(或<0)(a>0) ② 计算判别式?，分析不等式的解的情况：

】

ⅰ.?>0时，求根1x <2x ，?

??<<<><>.002121x x x A x x x A ，则若；或，则若

ⅱ.?=0时，求根1x ＝2x ＝0x ，??

?

??=≤∈<≠>.

00000x x A x A x x A ，则若；，则若的一切实数；

，则若φ

ⅲ.?<0时，方程无解，?

??∈≤∈>.00φx A R x A ，则若；

，则若

③ 写出解集.

§一元二次不等式及其解法

2.新课

[范例]

例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系：

'

2

1120180

s x x =

+ 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆汽车刹车前的速度是多少（精确到0.01km/h ） 解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h ，根据题意，我们得到2

1139.520180

x x +> 移项整理得：2

971100x x +-> 显然

0>，方程2971100x x +-=有两个实数根，即

1288.94,79.94x x ≈-≈。所以不等式的解集为{}|88.94,79.94x x x <->或

在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.

例4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （辆）与创造的价值y （元）之间有如下的关系：2

2220y x x =-+，若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车

#

解：设在一个星期内大约应该生产x 辆摩托车，根据题意，我们得到2

22206000x x -+>

移项整理，得211030000x x -+<，因为1000=>，所以方程2

11030000x x -+=有两个实数根，

1250,60x x ==，由二次函数的图象，得不等式的解为：50

因为x 只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51—59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益。 [补充例题] （1） 应用一（一元二次不等式与一元二次方程的关系）

例：设不等式2

10ax bx ++>的解集为13{|1}x x -<<，求a b

（2） 应用二（一元二次不等式与二次函数的关系）

例：设2

2

{|430},{|280}A x x x B x x x a =-+<=-+-≤，且A B ?，求a 的取值范围.

￥

改：设2

280x x a -+-≤对于一切(1,3)x ∈都成立，求a 的范围.

改：若方程2

280x x a -+-=有两个实根12,x x ，且13x ≥，21x ≤，求a 的范围.

随堂练习2

1、已知二次不等式20ax bx c ++<的解集为11

32{|}x x x <>或，求关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集.

2、若关于m 的不等式2

(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集，求m 的取值范围. 改1：解集非空

改2：解集为一切实数 4.小结

（

进一步熟练掌握一元二次不等式的解法

一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系

§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域

2.新课

1．建立二元一次不等式模型 把实际问题 转化 数学问题：

设用于企业贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元。

|

（把文字语言 转化 符号语言）

（资金总数为25 000 000元）?25000000x y +≤ （1）

（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上）?(12%)x+(10%)y 30000≥ 即

12103000000x y +≥ （2）

（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）?0,0x y ≥≥ （3） 将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：

25000000121030000000,0x y x y x y +≤??

+≥??≥≥?

2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义

（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。 。

（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。

（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x 和y 的取值构成有序实数对（x,y ），所有这样的有序实数对（x,y ）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。 （4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：

二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。 3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形 （1）回忆、思考

回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间 思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形

—

（2）探究

从特殊到一般：

先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。

如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类： 第一类：在直线x-y=6上的点；

第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点； 第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。

在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；

,

类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域； 直线叫做这两个区域的边界 由特殊例子推广到一般情况： （3）结论：

二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相

同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 【应用举例】

例1 画出不等式44x y +<表示的平面区域。

.

解：先画直线44x y +=（画成虚线）.。取原点（0，0），代入x +4y -4,∵0+4×0-4=-4＜0,∴原点在44x y +<表

示的平面区域内，不等式44x y +<表示的区域如图：

归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当0≠C 时，常把原点作为此特殊点。

变式1、画出不等式1234≤-y x 所表示的平面区域。 变式2、画出不等式1≥x 所表示的平面区域。 例2 用平面区域表示.不等式组312

2y x x y

<-+??

分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

解：不等式312y x <-+表示直线312y x =-+右下方的区域，2x y <表示直线2x y =右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。

归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。 、

变式1、画出不等式04)(12(<+-++）y x y x 表示的平面区域。

变式2、由直线02=++y x ，012=++y x 和012=++y x 围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 。 3.随堂练习

§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域

2.新课

【应用举例】

例3 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为学段 《

班级学生人数

配备教师数

硬件建设/万元

教师年薪/万元

初中 45 2 26/班 '

2/人

高中

40

3

54/班

2/人

分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。

解：设开设初中班x 个，开设高中班y 个，根据题意，总共招生班数应限制在20-30之间，所以有2030x y ≤+≤

（

考虑到所投资金的限制，得到265422231200x y x y ++?+?≤。即 240x y +≤ 另外，开设的班数不能为负，则0,0x y ≥≥

把上面的四个不等式合在一起，得到：203024000x y x y x y ≤+≤??+≤?

?≥??≥?

用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（阴影部分）

例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t ；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t 、硝酸盐66t ，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。

解：设x,y 分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：

41018156600x y x y x y +≤??+≤?

?

≥??≥?

在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。 ?

[补充例题]

例1、画出下列不等式表示的区域

(1) 0)1)((≤---y x y x ； (2) x

y x 2≤≤

分析：(1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不等式的传递性，由x x 2≤，得0≥x ，又用y -代y ，不等式仍成立，区域关于x 轴对称。 解：(1)100

10≤-≤???

?≤--≥-y x y x y x 或??

?≥-≤-10

y x y x 矛盾无解，故点),(y x 在一带形区域内（含边界）。 (2) 由x x 2≤，得0≥x ；当0>y 时，有?

??≥-≤-020

y x y x 点),(y x 在一条形区域内(边界)；当0≤y ，由对称性得

出。

指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解

{

例2、利用区域求不等式组??

?

??<--<-+>--0155306320

32y x y x y x 的整数解

分析：不等式组的实数解集为三条直线032:1=--y x l ，0632:2=-+y x l ，01553:3=--y x l 所围成的

三角形区域内部(不含边界)。设A l l =?21，B l l =?31，C l l =?32，求得区域内点横坐标范围，取出x 的所有整数值，再代回原不等式组转化为y 的一元不等式组得出相应的y 的整数值。

解：设032:1=--y x l ，0632:2=-+y x l ，01553:3=--y x l ，A l l =?21，B l l =?31，C l l =?32，∴)43,815(

A ，)3,0(-

B ，)19

12,1975(-C 。于是看出区域内点的横坐标在)1975

,0(内，取x ＝1，2，3，当x ＝1时，代入原不等式组有???

?

?

?

???

-><-<512341y y y ?1512-<<-y ，得y ＝－2，∴区域内有整点(1,-2)。同理可求得另外三个整点

(2,0)，(2,-1)，(3,-1)。 3.随堂练习2

1．（1）1+>x y ； （2）．y x >； （3）．y x >

2．画出不等式组????

???<≤≥-≥-+5

3006x y y x y x 表示的平面区域

、

§3.3.2简单的线性规划

2.新课

1、有关与生产安排的一个问题：

引例：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么

（1）用不等式组表示问题中的限制条件：

设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组：

￥

2841641200

x y x y x y +≤??≤??

≤??≥?≥?? ……………………………………………………………….（1） （2）画出不等式组所表示的平面区域：

如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。 （3）提出新问题：

进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大 （4）尝试解答：

设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样，上述问题就转化为：

当x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少

~

把z=2x+3y 变形为233

z y x =-

+，这是斜率为2

3-，在y 轴上的截距为3z 的直线。当z 变化时，可以得到一

族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2）），就能确定

一条直线（2833y x =-+）

，这说明，截距3z 可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线233

z

y x =-+与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距3

z

最大时，z 取得最大值。因此，问题可以转化

为当直线233

z

y x =-+与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P ，使直线经过点P 时

截距3

z

最大。

（5）获得结果：

由上图可以看出，当实现233

z

y x =-+金国直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M （4，2）时，截距

3z 的值最大，最大值为14

3

，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。

2、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x 、y 的一次式z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题： ；

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 1、 变换条件，加深理解

（1） 在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产

品获利2万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润在换几组数

x y (12,12

)x-y=0

B O

21-1

-2123

据试试。

（2） 有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗

^

3.随堂练习

1．掌握图解法解决简单的线性规划问题.

（1）求z =2x +y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件??

?

??-≥≤+≤.1,1,y y x x y

解：不等式组表示的平面区域如图所示：

当x =0,y =0时，z =2x +y =0。点（0，0）在直线0l :2x +y =0上. 作一组与直线0l 平行的直线l :2x +y =t ,t ∈R .

可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点A （2，-1）的直线所对应的t 最大.所以z m ax =2×2-1=3.

（2）求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件??

?

??≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x

'

解：不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线3x +5y =t 在经过不等式组所表示的公共区域内

的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t 最小，以经过点（8

17

,89）的直线所对应的t 最大. 所以z m in =3×(-2)+５×(-1)==3×

89+5×8

17=14

§3.3.2简单的线性规划

2． 若实数x ，y 满足13

11

x y x y ≤+≤??

-≤-≤? 求4x +2y 的取值范围．

错解：由①、②同向相加可求得： 0≤2x ≤4 即 0≤4x ≤8 ③，由②得 —1≤y —x ≤1，将上式与①同向相加得0≤2y ≤4 ④，③十④得 0≤4x 十2y ≤12 以上解法正确吗为什么

[辨析]上述解法中，确定的0≤4x ≤8及0≤2y ≤4是对的，但用x 的最大(小)值及y 的最大(小)值来确定4x 十2y 的最大(小)值却是不合理的．X 取得最大（小）值时，y 并不能同时取得最大（小）值。由于忽略了x 和 y 的相互制约关系，故这种解法不正确．

%

正解：因为 4x+2y=3(x+y)+(x-y)，且由已有条件有：33()9x y ≤+≤（5），11x y -≤-≤（6）， 将（5）（6）两式相加得 2423()()10x y x y x y ≤+=++-≤，所以24210x y ≤+≤ 3.随堂练习1

1、求y x z -=的最大值、最小值，使x 、y 满足条件??

?

??≥≥≤+002y x y x

2、设y x z +=2，式中变量x 、y 满足 ??

?

??≥≤+-≤-1255334x y x y x

4.小结

[结论一]线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.

[结论二]线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．

！

§基本不等式2

a b

ab +≤

2.新课

3．给出.2)(2

2

ab b a ≥+证明

证明：因为222)(2b a ab b a -=-+。当22

,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时

所以，0)(2

≥-b a ，即.2)(2

2

ab b a ≥+

4．1）特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，通常我们把上式写作：

(a>0,b>0)2

a b

ab +≤

2）从不等式的性质推导基本不等式2

a b

ab +≤ 用分析法证明：

…

要证

2

a b

ab +≥ (1)

只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3）

要证（3），只要证 （ - ）2

（4） 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。 3）理解基本不等式2

a b

ab +≤

的几何意义 探究： 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。你能利用这个图形得出基本不等式2

a b

ab +≤

的几何解释吗 易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB 。即ＣD ＝ab .

；

这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab b

a ≥+2

，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立.

2

a b

+≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把

2

b

a +看作是正数a 、

b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

2.在数学中，我们称

2

b

a +为a 、

b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [例题]

例1 已知x 、y 都是正数，求证：

(1)

y

x

x y +≥2；(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3. 分析：在运用定理：ab b

a ≥+2

时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.

@

解：∵x ，y 都是正数 ∴

y x ＞0，x

y

＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0 (1)

x

y

y x x y y x ?≥+2＝2即x y y x +≥2.

(2)x ＋y ≥2xy ＞0 x 2＋y 2≥22

2

y x ＞0 x 3＋y 3≥233y x ＞0

∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·23

3y x ＝８x 3y 3 即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3. 3.练习

1.已知a 、b 、c 都是正数，求证

（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc

&

分析：对于此类题目，选择定理：

ab b

a ≥+2

（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.

解：∵a ，b ，c 都是正数，∴a ＋b ≥2ab ＞0，b ＋c ≥2bc ＞0，c ＋a ≥2ac ＞0

∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８abc ，即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc . 4.小结

重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（

2b a +），几何平均数（ab ）及它们的关系（2

b

a +≥a

b ）.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.可以用它们下面的等价变

形来解决问题：ab ≤222b a +，ab ≤（2

b a +）2

.

§2

a b

+≤

2.新课

#

例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 2

的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少

（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少

解：（1）设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则xy=100，篱笆的长为2（x+y ） m 。由

2

x y

+≥，

可得 x y +≥ 2()40x y +≥。等号当且仅当x=y 时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. （2）解法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（36－2x ）m ，其中0＜x ＜

21，其面积S ＝x （36－2x ）＝2

1·2x （36－2x ）≤2

12

2236236()28x x +-=

当且仅当2x ＝36－2x ，即x ＝9时菜园面积最大，即菜园长9m ，宽为9 m 时菜园面积最大为81 m 2 解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为xy m 2

。由

|

18

922

x y +≤

==，可得 81xy ≤

当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。

因此，这个矩形的长、宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积是81m 2

归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a ，b ∈R ＋

，且a ＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤4

2

M ，

等号当且仅当a ＝b 时成立.

2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a ，b ∈R ＋

，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，等号当

且仅当a ＝b 时成立.

例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。

解：设水池底面一边的长度为x m ，水池的总造价为l 元，根据题意，得)1600

(720240000x

x l +

+=

297600

4027202400001600

2720240000=??+=?

?+≥x

x ，当.2976000,40,1600

有最小值时即l x x

x == 因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 3.随堂练习

1.已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋

281

x

的值最小最小值是多少 4.课时小结

注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

§

2

a b

+≤

2.新课

1）利用基本不等式证明不等式

例1 已知m>0,求证

24

624m m

+≥。 [思维切入]因为m>0,所以可把24

m

和6m 分别看作基本不等式中的a 和b, 直接利用基本不等式。

[证明]因为 m>0,

，由基本不等式得246221224m m +≥==?= 当且仅当

24

m

=6m ，即m=2时，取等号。 规律技巧总结 注意：m>0这一前提条件和24

6m m

?=144为定值的前提条件。 3.随堂练习1

[思维拓展1] 已知a,b,c,d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥. [思维拓展2] 求证2

2

2

2

2

()()()a b c d ac bd ++≥+. 例2 求证:

4

73

a a +≥-. [思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边

44(3)333

a a a a +=+-+--.这样变形后,在用基本不等式即可得证. [证明]

443(3)333733a a a +=+-+≥==--

当且仅当

4

3

a -=a-3即a=5时,等号成立. 规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式. 2)利用不等式求最值 例3 (1) 若x>0,求9()4f x x x =+的最小值;(2)若x<0,求9

()4f x x x

=+的最大值. [思维切入]本题(1)x>0和9

4x x

?

=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化. 解(1) 因为 x>0 由基本不等式得

9

()412f x x x =+

≥==,当且仅当94x x =即x=32时, 9

()4f x x x

=+取最小值12. (2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:

99

()(4)(4)()12f x x x x x -=-+=-+-≥==,所以 ()12f x ≤.

当且仅当94x x -=-

即x=-32时, 9

()4f x x x

=+取得最大-12. 规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.

随堂练习2

[思维拓展1] 求9

()45

f x x x =+-(x>5)的最小值. [思维拓展2] 若x>0,y>0,且28

1x y

+=,求xy 的最小值. 4.课时小结

2

a b

+≤证明不等式和求函数的最大、最小值。 5. 作业

１．证明：2

2

222a b a b ++≥+ ２．若1->x ，则x 为何值时1

1

++

x x 有最小值，最小值为几

高中数学必修五知识点总结及例题学习资料

高中数学必修5知识点 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径， 则有 2sin sin sin a b c R A B C ===． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；（边化角） ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =；（角化边） ③::sin :sin :sin a b c A B C =； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C ++=== ++． 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc A ab C ac B ?AB ===． 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+-， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边， 则：①若222 a b c +=，则90C =；（.C A B C ?? 为直角为直角三角形） ②若2 2 2 a b c +>，则90C <；（.C A B C ??为锐角不一定是锐角三角形） ③若2 2 2 a b c +<，则90C >．（.C A B C ?? 为钝角为钝角三角形） 注：在C ?AB 中，则有 （1）A B C π++=，sin 0,sin 0,sin 0A B C >>>（正弦值都大于0） （2）,,.a b c a c b b c a +>+>+>（两边之和大于第三边） （3）sin sin A B A B a b >?>?>（大角对大边，大边对大角） 7、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +-> 8、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-< 9、常数列：各项相等的数列．11,.n n a a S na == 10、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 11、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 12、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．11()n n n n a a d a a d -+-=-= 13、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2 a c b += ，则

高中数学必修五基本不等式题型(精编)

高中数学必修五基本不等式题型（精编） 变 2．下列结论正确的是 （ ） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，则22a b > C ．若a c b c +<+，0c <，则a b > D >a b > 3. 若m ＝(2a －1)(a ＋2)，n ＝(a ＋2)(a －3)，则m ，n 的大小关系正确的是 例2、解下列不等式 （1）2230x x --≥ （2）2280x x -++> （3） 405x x ->- （4）405 x x -≥- （5）112x ≥ （6）已知R a ∈，解关于x 的不等式()()01<--x x a .

变、若不等式02<--b ax x 的解集为{} 32<

例5、 1. 积为定值 （1）函数1y x x =+ (x >0)的最小值是 . （2）设2a >，12 p a a =+-的最大值是 . （3）函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . （4） 变、 （1 ）2y = 的最小值是 . （2） . 2. 和为定值 （1） ，y=x(4-x) 的最大值是 . （2）, 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=，则 y x 11+的最小值为______

北师大版高中数学必修五教学案

数列 1．1数列的概念 预习课本P3～6，思考并完成以下问题 (1)什么是数列？数列的项指什么？ (2)数列的一般表示形式是什么？ (3)按项数的多少，数列可分为哪两类？ (4)数列的通项公式是什么？数列的通项公式与函数解析式有什么关系？ [新知初探] 1．数列的概念 (1)定义：按一定次序排列的一列数叫作数列． (2)项：数列中的每一个数叫作这个数列的项． (3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n…，简记为数列{a n}．数列的第1项a1，也称首项；a n是数列的第n项，也叫数列的通项． [点睛] (1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定次序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定次序”排列的，即确定的数在确定的位置． (2)项a n与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次． (3){a n}与a n是不同概念：{a n}表示数列a1，a2，a3，…，a n，…；而a n表示数列{a n}中的第n 项． 2．数列的分类 项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列．

3．数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作数列{a n }的通项公式． [点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N ＋或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数解析式． (2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 4．数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种：列表法、图像法、解析法． [小试身手] 1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)同一数列的任意两项均不可能相同．( ) (2)数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列．( ) (3)数列中的每一项都与它的序号有关．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1－(－1)n ＋1 2，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1 C.12，0，1 2 ，0 D ．2,0,2,0 解析：选B 把n ＝1,2,3,4分别代入a n ＝1－(－1)n ＋ 12中，依次得到0,1,0,1. 3．已知数列{a n }中，a n ＝2n ＋1，那么a 2n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．4n －1 C ．4n ＋1 D ．4n 解析：选C ∵a n ＝2n ＋1，∴a 2n ＝2(2n )＋1＝4n ＋1. 4．数列1,3,6,10，x,21，…中，x 的值是( ) A ．12 B ．13 C ．15 D ．16 解析：选C ∵3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4， ∴? ???? x －10＝5，21－x ＝6，∴x ＝15. [典例] (1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3；(3)0,1,2,3,4，…； (4)1，－1,1，－1,1，－1，…；(5)6,6,6,6,6. [解] (1)是集合，不是数列；

人教版高中数学必修一至必修五知识点总结大全

高中数学必修一常用公式及结论归纳总结 1、集合的含义与表示 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性：确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。 描述法格式为：{元素|元素的特征}，例如},5|{N x x x ∈<且 2、常用数集及其表示方法 （1）自然数集N （又称非负整数集）：0、1、2、3、…… （2）正整数集N * 或N + ：1、2、3、…… （3）整数集Z ：-2、-1、0、1、…… （4）有理数集Q ：包含分数、整数、有限小数等 （5）实数集R ：全体实数的集合 （6）空集Ф：不含任何元素的集合 3、元素与集合的关系：属于∈，不属于? 例如：a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A 4、集合与集合的关系：子集、真子集、相等 （1）子集的概念 如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集(如图1)，记作 B A ?或A B ?. 若集合P 中存在元素不是集合Q 的元素，那么P 不包含于Q ， 记作Q P ? （2）真子集的概念 若集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A (如图2). A ≠?B 或B ≠?A . （3）集合相等：若集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同则称集合A 等于集合B,记作A=B. 5、重要结论（1）传递性：若B A ? ，C B ?，则C A ? （2 ）空Ф集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集. 6、含有n 个元素的集合,它的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个(即不计空集)；非空的真子集有2n –2个. 7、集合的运算：交集、并集、补集 （1）一般地，由所有属于A 又属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集． 记作A ∩B （读作＂A 交B ＂），即A ∩B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝． （2）一般地，对于给定的两个集合A,B 记作A ∪B （读作＂A 并B ＂），即A ∪B=｛x|x ∈A ，或x ∈B ｝． 图1) 或 (图2)

高中数学必修五 知识点总结【经典】

《必修五 知识点总结》 第一章：解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系 （1）三角形内角和等于180°； （2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+=

（3）三角形中大边对大角，小边对小角； （4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换 （1）角的变换 因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 （3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列.

最新高一下学期期末复习之——必修五不等式知识点及主要题型-讲义含解答

不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、， ac b 42-=?， 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2

一元二次方程 ()的根 2 > = + + a c bx ax 有两相异实根 ) ( , 2 1 2 1 x x x x< 有两相等实根 a b x x 2 2 1 - = =无实根的解集 )0 ( 2 > > + + a c bx ax{} 2 1 x x x x x> <或 ? ? ? ? ? ? - ≠ a b x x 2 R 的解集 )0 ( 2 > < + + a c bx ax{} 2 1 x x x x< ?>≥?? ≠ ? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() min f x A >若不等式()B x f<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() max f x B < （三）线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x,)，把它的坐标（y x,)代入

高中数学必修五全部学案

【高二数学学案】 §1.1 正弦定理和余弦定理 第一课时 正弦定理 一、1、基础知识 设?ABC 的三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，R 是?ABC 的外接圆半径。 （1）正弦定理： = = =2R 。 （2）正弦定理的三种变形形式： ①==b A R a ,sin 2 ，c= 。 ②== B R a A sin ,2sin ，=C sin 。 ③=c b a :: 。 （3）三角形中常见结论： ①A+B+C= 。②a B sin ，则有（ ） A 、a b D 、a ，b 的大小无法确定 （2）在ABC ?中，A=30°，C=105°，b=8，则a 等于（ ） A 、4 B 、24 C 、34 D 、54 （3）已知ABC ?的三边分别为c b a ,,，且a b B A :cos :cos =，则ABC ?是 三角形。 二、例题 例1、根据下列条件，解ABC ?： （1）已知 30,7,5.3===B c b ，求C 、A 、a ； （2）已知B=30°，2=b ，c=2，求C 、A 、a ； （3）已知b=6，c=9，B=45°，求C 、A 、a 。 例2、在ABC ?中，C B C B A cos cos sin sin sin ++= ，试判断ABC ?的形状。

三、练习 1、在ABC ?中，若B b A a cos cos =，求证：ABC ?是等腰三角形或直角三角形。 2、在ABC ?中，5:3:1::=c b a ，求 C B A sin sin sin 2-的值。 四、课后练习 1、在ABC ?中，下列等式总能成立的是（ ） A 、A c C a cos cos = B 、A c C b sin sin = C 、B bc C ab sin sin = D 、A c C a sin sin = 2、在ABC ?中， 120,3,5===C b a ，则B A sin :sin 的值是（ ） A 、 35 B 、53 C 、73 D 、7 5 3、在ABC ?中，已知 60,8==B a ，C=75°，则b 等于（ ） A 、24 B 、34 C 、64 D 、3 32 4、在ABC ?中，A=60°，24,34==b a ，则角B 等于（ ） A 、45°或135° B 、135° C 、45° D 、以上答案都不对 5、根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）

高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)

高中数学必修五知识点汇总 第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理: 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 步骤1. 证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA 得到b b a a s i n s i n = 同理，在△ABC 中， b b c c sin sin = 步骤2. 证明：2sin sin sin a b c R A B C === 如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90° 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. 所以C R c D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C === 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===； （4）R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ?中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算 解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理:

高中数学必修五教案-基本不等式

第一课时 3.4基本不等式 2a b +≤（一） 教学要求：通推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 教学重点： 2 a b +≤的证明过程； 教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵 教学过程： 一、复习准备： 1. 回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。 2. 提问：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 二、讲授新课： 1. 教学：基本不等式 2a b +≤ ①探究：图形中的不等关系，将图中的“风车”抽象成如图，在 正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的 4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。（教师提问→学生思考→师生总结） ②思考：证明一般的，如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a ③基本不等式：如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥， (a>0,b>0)2a b +≤ 2 a b +≤ ： 用分析法证明：要证 2a b +≥， 只要证 a+b ≥ (2)， 要证（2），只要证 a+b- ≥0（3）要证（3）， 只要证（ - ）2（4）， 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。 ⑤练习：已知x 、y 都是正数，求证：(1)y x x y +≥2；(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８ x 3y 3.

高中数学必修五导学案 解三角形答案

必修五解三角形测试题答案 一、选择题：共8小题，每小题5分，共计40分 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．______________14/5___________ 10．_2___ 11． __________2_ 12．_______ 90_______ 13． ___________ 120 14．__不用做___）），（），（（321_____ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.解:(1)在ABC ?中,由 cos A =,可得sin A =,又由s i n s i n a c A C =及 2a =,c =可得sin C = 由2 2 2 2 2cos 20a b c bc A b b =+-?+-=,因为0b >,故解得1b =. 所以sin 1C b = = (2)由cos 4A =- sin 4 A =, 得2 3cos 22cos 14A A =-=- ,sin 2sin cos A A A == 所以3cos(2)cos 2cos sin 2sin 3 3 3 8 A A A π π π -+ =-= 16.解:(I)由已知得:sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=, sin sin()sin sin B A C A C +=,则2sin sin sin B A C =, 再由正弦定理可得:2b ac =,所以,,a b c 成等比数列.

(II)若1,2a c ==,则2 2b ac ==,∴2223 cos 24 a c b B a c +-==, sin C == , ∴△ABC 的面积11sin 1222S ac B = =??=. 17. 【解析】(Ⅰ),,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈?+=> 2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+= 1cos 23 A A π?= ?= (II)2 2 2 2 2 2 2cos 2 a b c bc A a b a c B π =+-?==+?= 在Rt ABD ?中,AD = == 18. 【解析】 解:(1)证明:由 sin( )sin()44 b C c B a π π +-+=及正弦定理得: sin sin()sin sin()sin 44 B C C B A ππ +-+=, 即sin )sin )B C C C B B -+= 整理得:sin cos cos sin 1B C B C -=,所以sin()1B C -=,又30,4 B C π << 所以2 B C π -= (2) 由(1)及34B C π+=可得5,88B C ππ= =,又,4 A a π ==所以sin 5sin 2sin ,2sin sin 8sin 8 a B a C b c A A ππ = ===, 所以三角形ABC 的面积 151 sin sin cos 2888842 bc A πππππ===== 19.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质. 解析:(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+?+ cos22x x ωωλ=-+π 2sin(2)6 x ωλ=-+.

高中数学必修5知识点总结(史上最全版)

高中数学必修 5 知识点 第一章 解三角形 1、三角形三角关系： A+B+C=180°； C=180°-(A+B) ； 2、三角形三边关系： a+b>c; a-b

必修五基本不等式题型分类(绝对经典)

一对一个性化辅导教案课题基本不等式复习 教学 重点 基本不等式 教学 难点 基本不等式的应用 教学目标掌握利用基本不等式求函数的最值学会灵活运用不等式 教学步骤及教学内容一、教学衔接： 1、检查学生的作业，及时指点； 2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。 二、内容讲解： 1．如果那么当且仅当时取“=”号）. 2．如果那么（当且仅当时取“=”号） 3、在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等。 ①一正：函数的解析式中，各项均为正数； ②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 三、课堂总结与反思： 带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结 四、作业布置： 见讲义 管理人员签字：日期：年月日 作1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差 备注：

基本不等式复习

知识要点梳理 知识点：基本不等式 1．如果（当且仅当时取“=”号）. 2．如果（当且仅当时取“=”号）. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 ①一正：函数的解析式中，各项均为正数； ②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 类型一：利用（配凑法）求最值 1．求下列函数的最大（或最小）值. （1）求的最小值； （2）若 （3）已知,，且. 求的最大值及相应的的值变式1：已知 类型二：含“1”的式子求最值

2．已知且，求的最小值. 变式1：若 变式2： 变式3：求函数 类型三：求分式的最值问题 3. 已知，求的最小值 变式1：求函数

2017年最新高中数学必修5全册导学案及章节检测含答案

2016-2017学年高中数学必修五 全册导学案及章节检测 目 录 1．1.1 正弦定理(一) ............................................................................................................. 1 1.1.1 正弦定理(二) ................................................................................................................ 5 1．1.2 余弦定理(一) ............................................................................................................. 9 1．1.2 余弦定理(二) ........................................................................................................... 13 1.2 应用举例(一) ................................................................................................................. 18 1.2 应用举例(二) ................................................................................................................. 24 第一章 解三角形章末复习课 ............................................................................................... 30 第一章 解三角形章末检测（A ） ........................................................................................ 35 第一章 解三角形章末检测（B ） ........................................................................................ 42 2.1 数列的概念与简单表示法(一) ................................................................................... 50 2.1 数列的概念与简单表示法(二) ................................................................................... 54 2.2 等差数列(一) ............................................................................................................... 59 2.2 等差数列(二) ............................................................................................................... 63 2.3 等差数列的前n 项和(一) ........................................................................................... 67 2.4 等比数列(一) ............................................................................................................... 76 2.4 等比数列(二) ............................................................................................................... 80 2.5 等比数列的前n 项和(二) ........................................................................................... 88 数列复习课检测试题 ............................................................................................................. 93 数列习题课（1）检测试题 ................................................................................................... 98 数列习题课（2）新人教A 版必修5 .................................................................................. 102 数列章末检测（A ）新人教A 版必修5 .............................................................................. 106 数列章末检测（B ）新人教A 版必修5 .............................................................................. 112 第二章 数 列 章末检测(B) 答案 ............................................................................. 115 3.1 不等关系与不等式 ...................................................................................................... 120 3.2 一元二次不等式及其解法(一) ................................................................................... 125 3.2 一元二次不等式及其解法(二) ................................................................................... 130 3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 ......................................................................... 134 3．3.2 简单的线性规划问题(一) . (140) 3．3.2 简单的线性规划问题(二) (146) 3.4 ≤a ＋b 2(二) (157) 第三章 不等式复习课 ......................................................................................................... 161 第三章 不等式章末检测（A ） .......................................................................................... 167 第三章 不等式章末检测（B ） (174)

高中数学必修五北师大版 余弦定理(一)学案

1.2 余弦定理(一) 课时目标 1.熟记余弦定理及其推论； 2.能够初步运用余弦定理解斜三角形． 1．余弦定理 三角形任何一边的________等于其他两边________的和减去这两边与它们的________的余弦的积的________．即a 2＝________________，b 2＝________________，c 2＝____. 2．余弦定理的推论 cos A ＝________________；cos B ＝______________；cos C ＝________________. 3．在△ABC 中： (1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝________； (2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝________； (3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝________. 一、选择题 1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A . 3 B ．3 C . 5 D ．5 2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A .π3 B .π6 C .π4 D .π12 3．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A ．1 B . 2 C ．2 D ．4 4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A .14 B .34 C .24 D .23 5．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形 6．在△ABC 中，已知面积S ＝14 (a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( ) A ．135° B ．45° C ．60° D ．120° 二、填空题 7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________. 8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a>0，b>0)，则最大角为________． 10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3 ，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.

数学必修五第三章不等式知识点总结

数学必修五 第三章 不等式 一、知识点总结： 1、 比较实数大小的依据：①作差：0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b ->>?>时,1a a b b =?=,1a a b b ?<时，,1a a b b =?=,1a a b b 2、 不等式的性质 3、一元二次不等式的解法步骤：①将不等式变形，使一端为0且二次项的系数大于0；②计算相应的判别式；③当0?≥时，求出相应的一元二次方程的根；④根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集。（大于0取两边，小于0取中间）.含参数的不等式如20(0)ax bx c a ++>≠解题时需根据参数的取值范围依次进行分类讨论：①二次项系数的正负；②方程20(0)ax bx c a ++=≠中?与0的关系；③方程20(0)ax bx c a ++=≠两根的大小。 4、一元二次方程根的分布：一般借助二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的等价条件，常常用以下几个关键点去限制：（1）判别式；（2）对称轴；（3）根所在区间端点函数值的符号。设12,x x 是实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两个实根，则12,x x 的分布情况列表如下：（画出函数图象并在理解的基础上记忆）

5、一元高次不等式()0f x >常用数轴穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤如下：①将()f x 最高次项的系数化为正数；②将()f x 分解为若干一次因式或二次不可分解因式的积；③将每一个根标在数轴上，从右上方向下依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿 又过）；④根据曲线显现出的符号变化规律，写出不等式的解集。 6、简单的线性规划问题的几个概念：①线性约束条件：由关于,x y 的二元一次不等式组成的不等式组是对,x y 的线性约束条件；②目标函数：要求最值的关于,x y 的解析式，如：22z x y =+，