全国各地市2012年模拟试题分类解析汇编 第7部分：三角
函数
【江西省新钢中学2012届高三第一次考试】设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为
A ．周期函数，最小正周期为
23
π B ．周期函数，最小正周期为3
π
C ．周期函数，最小正周期为π2
D ．非周期函数
【答案】A
【解析】：2sin3,sin30
()sin3|sin3|0,sin30x x f x x x x ≥?=+=?
，周期不变
【江西省新钢中学2012届高三第一次考试】5．E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=
A ．
1627 B ．23 C D ． 34 【答案】D
【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。
解法1：约定AB=6,AC=BC=由余弦定理再由余弦
定理得4cos 5
ECF ∠=， 解得3tan 4
ECF ∠=
解法2：坐标化。约定AB=6,AC=BC=（0,3）利用向量的夹角公式得
4cos 5ECF ∠=
，解得3tan 4
ECF ∠=。 【江西省新钢中学2012届高三第一次考试】6．若02
π
α<<
，02
π
β-
<<，
1cos()43πα+=，cos()42πβ-=cos()2βα+=
A B ． C D ．
【答案】 C 【解析】：()()2442β
ππβαα+
=+-- cos()cos[()()]2442
βππβ
αα∴+=+--
cos()cos(
)4
4
2π
π
β
α=+
-
sin()sin()442
π
πβ
α++
+
13===
故选C 【江西省新钢中学2012
届高三第一次考试】7．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，
且,2,2AB AD AB BC BD =
=，则sin C 的值为
A ．
3
B ．6
C
D 【答案】D
【解析】设BD a =
,则由题意可得:2,BC a = AB AD ==
,在ABD ?中,由余弦定理得：222
cos 2AB AD BD A AB
AD +-==?2
232a a ?-
13
，所以sin A
=3，在
△ABC 中，由正弦定理得，
sin sin AB BC C A =
，所以2sin
C =，解得sin C 选D.
【江西省新钢中学2012届高三第一次考试】12.已知,2)4
tan(=+π
x 则
x
x
2tan tan 的值为
__________ 【答案】
49
【解析】因为22tan()4tan 2()41tan ()4
x x x π
ππ++=
=-+2
2212?=-43-,而tan(2)2x π+=-cot2x,所以3
tan 24
x =-,
又因为tan 1tan()241tan x x x π++==-,所以解得1
tan 3
x =,所以x x 2tan tan 的值为4
9.
【江西省新钢中学2012届高三第一次考试】13．在ABC ?中，60,B AC == 2AB BC +的最大值为 。
【解析】0
120120A C C A +=?=-,0(0,120)A ∈,
22sin sin sin BC AC BC
A A B
==?= 022sin 2sin(120)sin sin sin AB AC
AB C A A A C B
==?==-=
+； 2
AB BC ∴+
=
5sin ))A A
A A ??+=+=+，故最大值是
【2012唐山市高三上学期期末统一考试文】2(sin 22.5cos22.5)?+?的值为（
）
A
．12
-
B
．12
+
C 1
D ．2
【答案】 B
【解析】本题主要考查同角三角函数的平方关系及二倍角正弦公式. 属于基础知识、基本运
算的考查.
2(sin 22.5cos22.5)?+?＝22sin 22.52sin 22.5sin 22.5cos 22.51sin 451?????++=+=
【2012三明市普通高中高三上学期联考文】右图是函数)sin(?ω+=x A y 在一个周期内的
图象，此函数的解析式为可为 A ．)3
2sin(2π
+=x y B ．)3
22sin(2π+
=x y C ．)3
2sin(2π-=x y D ．)3
2sin(2π
-
=x y
【答案】B 【解析】
由于最大值为2，所以A=2;又52()2212122T T πππππωω
=--=?=?=?= ∴2sin(2)y x ?=+，将12
x π
=代入得sin(
)16
π
?+=，
结合点的位置，知
6
2
3
π
π
π
??+=
?=
，∴函数的解析式为可为2sin(2)3
y x π
=+
【2012厦门市高三上学期期末质检文】对任意x 、y ∈R ，恒有sin x ＋cos y ＝2sin(
24
x y π--)cos(42π--y x )，则sin 245cos 2413π
π等于
A .
423+ B .4
2
3- C . 421+ D . 421- 【答案】A
【解析】本题主要考查特殊角的三角函数值、三角函数的变换. 属于基础知识、基本运算的考查.
由sin x ＋cos y ＝2sin(24x y π-+)cos(24x y π+-)，则3542424
51362424x y x x y y πππ
πππ+??=+=???????-??=--=
????
sin
135135cos [sin cos()]2424246ππππ=+-=
【2012厦门市高三上学期期末质检文】已知函数f (x )＝A sin(
?π
+x 6
)(A >0，0
2
π
)的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(2，A )，点R 的坐标为(2，0)。若∠PRQ ＝3
2π
，则y ＝f (x ) 的最大值及?的值分别是
A .23,6π
B .3,3π
C .3,6π
D . 23,3
π
【答案】A
【解析】本题主要考查y ＝A sin(?π
+x 6
)的图像与性质的综合应用. 属于基础知识、基本运
算的考查.
由题意，2x =，y ＝f (x ) 的最大值为A ，∴sin(
3
π
φ+)＝1
又0
2π
，∴6
πφ=
若∠PRQ ＝
32π，则∠xRQ ＝6
π，而周期为2126
π
π=，故
(8,)Q A -
∴
tan 66
A A π=?=, y ＝f (x ) 的最大值及?的值分别是23,6π
【2012年石家庄市高中毕业班教学质检1文】下列函数中，周期是π，又是偶函数的是 A ．y=sinx B ．y=cosx C ．y=sin2x D ．y=cos2x 【答案】 D
【解析】本题主要考查三角函数的周期性和奇偶性判断和计算. 属于基础知识、基本运算的考查.
周期是π的函数是y=sin2x 和y=cos2x ，其中y=cos2x 是偶函数 【2012武昌区高三年级元月调研文】给出以下4个命题： ①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π；
②终边在y 轴上的角的集合是{|,}2
k k Z π
αα=∈；
③把函数3sin 23y x π??
=+
??
?
的图象向右平移
6
π
个单位得到函数3sin 2y x =的图象； ④函数sin 2y x π??
=-
??
?
在区间[0,]π上是减函数． 其中真命题的个数是 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】本题主要考查三角函数的变换，三角函数的概念以及三角函数的性质.属于基础知识、基本运算和综合能力的考查.
44sin cos y x x =-＝2222(sin cos )(sin cos )cos2x x x x x +-=-，周期为π，①正确；
0k =时，②中0α=，终边不在y 轴上，②错误；把函数3sin 23y x π?
?=+ ??
?的图象向右
平移
6π个单位得到函数3sin 2y x =的图象正确； sin 2y x π?
?=- ??
?＝cos x -在区间[0,]π上是增函数．④错误。所以真命题的个数是2。 【2012年西安市高三年级第一次质检文】设
，则函数
的
A.图像关于直线对称
B.图像关于直线对称
C.图像关于直线
对称 D.图像关于直线
对称
【答案】C
【解析】本题主要两角和的正弦、余弦公式及三角函数的性质. 属于基础知识、基本运算的考查.
展开易得())cos 24
4
f x x x π
π
=
+
+
=，函数在对称轴处取得最大值或者最小
值，代入易得答案C 正确。
【2012唐山市高三上学期期末统一考试文】函数()cos2f x x x =+
（ ）
A ．在(,)36π
π
--单调递减 B ．在(
,)63
ππ
单调递增
C ．在(,0)6
π
-
单调递减
D ． ()f x 在(0,)6
π
单调递增
【答案】 D
【解析】本题主要考查两角和的正弦公式和sin()y A x ωφ=+的图像与性质. 属于基础知
识、基本方法的考查.
1
()2cos 22cos 2)2
f x x x x x =+=+ 2(sin 2cos
cos 2sin )2sin(2)666
x x x π
ππ
=+=+ 由222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈，增区间为[,],36
k k k Z π
π
ππ-
+∈
∴()f x 在(0,
)6
π
单调递增。
【山东省日照市2012届高三12月月考理】（6）函数)2
0)(sin()(π??ω<>+=，A x A x f 其中的
图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图象，则只需将)(x f 的图象
（A ）向右平移6
π个长度单位
（B ）向右平移3
π个长度单位
（C ）向左平移6
π个长度单位
（D ）向左平移3
π个长度单位
【答案】A 解析：由图象可知A=1，又ππππ=?=-=T T 431274，从而22==T
πω，将)1,127(-π代入到)2sin()(?+=x x f 中得，1)67sin(-=+?π，根据2π?<得到3
π?=，所以函数)(x f 的解析式为)3
2sin()(π
+
=x x f 。将)(x f 图象右移
6
π
个长度单位即可得到x x g 2sin )(=的图象。
【山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试理】8. 要得到函数的图像，
只需将函数的图像 （ ）[https://www.doczj.com/doc/6615423556.html,] (A).向左平移个单位 （B).向右平移个单位
(C).向左平移个单位 （D).向右平移
个单位[高&考%资(源#网https://www.doczj.com/doc/6615423556.html,]
【答案】D
【解析】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减。
【2012厦门期末质检理7】已知函数f (x )＝sin(ωx ＋3
)(ω＞0)，将函数y =f (x )的图象向右平移
π32
个单位长度后，所得图象与原函数图象重合ω最小值等于 A .3
1
B .3
C .6
D .9 【答案】B
【解析】f (x )＝sin(ωx ＋3π)(ω＞0) 向右平移π32
个单位长度得),3
32sin()(ππωω+-
=x x f 所以3,23
2==-
ωππω
k ；选B; 【2012粤西北九校联考理4】如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB = 45°，∠CAB = 105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( )
A.
B
A
C
(第4题图)
【答案】A
【解析】在ABC ?中，由正弦定理得
250,45sin 30sin 0
0==AB AB
AC
【2012宁德质检理3】为了得到函数sin 2y x =的图象，可将函数sin(26
y x π
=+
的图象
（ ）
A ．向右平移
6π
个单位 B ．向左平移
6π
个单位
C ．向右平移12π
个单位
D ．向左平移12
π
个单位
【答案】C
【解析】sin(2)sin 2(sin 26126y x y x x π
ππ?
?=+
→=-+=???
?，向右平移12π个单位
【2012
宁德质检理8】已知ABC ?
的面积为
23
AC ABC π
=∠=，则ABC ?的周长等于
（ ）
A
．3+
B
． C
．2+ D ．
2
【答案】A
【解析】
利用三角形面积公式和余弦定理得：221
2,2
b a
c ac ===+-所以ac c a 3)(32
-+=得3a c +=
【2012韶关第一次调研理4】为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩,A B （如图），要测算,A B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得
50BC m =，105,45ABC BCA ∠=∠= ，就可以计算出,
A B 两点的距离为
( )
A
．m B ．m
C
．m
【答案】A
【解析】在ABC ?中，由正弦定理
00
,sin 30sin 45
BC AB
AB ==【2012海南嘉积中学期末理3】ABC D 的内角A 满足条件：sin cos 0A A +>且
tan sin 0A A -<，则角A 的取值范围是（ ）
A 、(0,
)4
π
B 、(,)42ππ
C 、3(,)24ππ
D 、3(
,)4
π
π 【答案】C
【解析】sin()04
sin (1cos )
0,cos 324A A A A
A πππ+>-
c o s 25
a =-，则)24t a n ()(απ
+=x f ．
【答案】7
1
-
【解析】因为a 为第一象限的角，3cos 25a =-，所以41tan ,tan(2)347
παα=-+=- 【2012?黑龙江绥化市一模理3】若tan 3α=，则2sin 2cos α
α
的值为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.6 【答案】D 【解析】
2sin 22tan cos α
αα
==6
【2012? 浙江瑞安期末质检理5】设ααα2sin )cos (sin =+f ，则)5
1(f 的值为（ ）
A ．2425-
B ．1225-
C ．2425
D ．1225
【答案】A
【解析】令
,51cos sin =+αα平方得25242sin -=α，所以2524)51(-
=f 【2012? 浙江瑞安期末质检理13】函数sin()(0)y x π??=+>的部分图象如
右图所示，设P 是图象的最高点，,A
B 是图象与
x 轴的交点，则
tan APB ∠= .
【答案】8
【解析】8tan ,65
65cos ,213,25,2=∠=∠==
=APB APB BP AP AB 【2012泉州四校二次联考理15】设()sin2cos2f x a x b x ＝＋，其中,,0a b R ab ∈≠. 若
()6f x f π??
≤ ???
对一切x R ∈恒成立，则
① 11012f π??
=
???； ② 7125f f ππ????< ? ?????
；③ ()f x 既不是奇函数也不是偶函数； ④ ()f x 的单调递增区间是()2,6
3k k k Z π
πππ?
?
+
+
∈???
?
； ⑤ 存在经过点(),a b 的直线与函数()f x 的图象不相交．
以上结论正确的是__________________（写出所有正确结论的编号）． 【答案】①②③
【解析】因为()sin2cos2f x a x b x ＝＋=)2sin(22θ++x b a ，若()6f x f π??
≤
???
对一切x R ∈恒成立，6
π
θ=
，),62sin()(22π
+
+=
x b a x f ① 11012
f π??
=
???
正确； ② 7125f f ππ????
< ? ?????
正确；③ ()f x 既不是奇函数也不是偶函数正确；④错误，⑤错误。
【2012?延吉市质检理4】在ABC ?中，若,24,34,60==?=AC BC A 则角B 的大小
为 （ ）
A ．30°
B ．45°
C ．135°
D ．45°或135°
【答案】B
【解析】在ABC ?中，若,24,34,60==?=AC BC A 由正弦定理得：B AC
BC sin 60sin 0=
,
代入解得
45,2
2
sin ==
B B
【2012浙江宁波市期末文】若)2
,
0(π
α∈，且2
1
)22
sin(
cos 2=
++απ
α，则tan α= .
【答案】1
【解析】由题
21
)22
sin(
cos 2=
++απ
α即
221cos cos 23cos 12ααα+=-=
，解得221cos sin 2αα==
，又)2,0(π
α∈，所以tan 1α=。
【2012安徽省合肥市质检文】已知3sin()35x π
-=，则5cos()6
x π
-= （ ）
A ．
3
5
B ．
45
C ．35
-
D ．45
-
【答案】C
【解析】
5cos(
)6x π-3cos()sin()2335x x πππ=+-=--=-，选C 。
【2012山东青岛市期末文】已知tan()34
π
α+=，则αtan 的值为
A ．
21 B ．21
- C ．
4
1
D ．4
1-
【答案】A 【解析】由tan()34
π
α+
=得
1+tan 31tan αα=-，解得1
tan 2
α=，选A 。
【2012山东青岛市期末文】已知函数()cos()f x A x ω?=+(0,0,0)A ω?π>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ?是边长为2的
等边三角形，则(1)f 的值为
A
．-
B
．C
D ．【答案】
D
【解析】由题可知,4A T ==，从而
,
2
2
π
π
ω
?=
=
，所以(1)f π=，选Ｄ。
【2012吉林市期末质检文】已知α是第四象限角，且5
3
sin -=α，则=αtan （ ）
A.
4
3 B.4
3-
C.
3
4 D.3
4-
【答案】B
【解析】因α是第四象限角，且53
sin -
=α，所以43cos ,tan 54
αα==-，选B 。 【2012吉林市期末质检文】为了得到函数x x x y 2cos 2
1
cos sin 3+
=的图象，只需将函数x y 2sin =的图象
A.向左平移12π
个长度单位 B.向右平移
12π
个长度单位 C.向左平移6
π
个长度单位
D.向右平移6
π
个长度单位
【答案】A
【解析】因x
x x y 2cos 2
1
cos sin 3+=12cos 2sin(2)26x x x π=+=+， 即将x y 2sin =向左平移
12
π
个长度单位可得。选A 。 【2012广东佛山市质检文】把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平移
6
π
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（ ）
A ．sin(2),3y x x π=-
∈R B ．sin(2),3y x x π
=+∈R
C ．1sin(),26y x x π=+∈R
D ．1sin(),26
y x x π
=-∈R
【答案】C
【解析】由题，函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平移
6
π
个单位长度得sin()6
y x π
=+
，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得
1sin()26
y x π
=+，选C 。
【2012河南郑州市质检文】函数??
?
??-???
?
?
+=x x y 4cos 4sin 2ππ图象的一条对称轴是
（ ） A ．8
π
=
x B. 4
π
=
x C. 2
π
=
x D.
π=x
【答案】B
【解析】因??
? ??-???
?
?+=x x y 4cos 4sin 2ππ22sin 1cos(2)1sin 242x x x ππ?
?=+=-+=+ ???，
易知4
π
=
x 是其一条对称轴，选B 。
【2012北京海淀区期末文】函数()sin(2)(,)f x A x A ??=+ R 的部分图象如图所示，那么(0)f =
（A ）1
2- （B ）1-
（C ）-
（D ）-【答案】B
【解析】由图可知2A =,6
π
?=-,故(0)2sin()16
f π
=-
=-，选B 。
【2012?延吉市质检理12】已知
()sin()f x A x ω?=+,(),()0f
A f αβ==,α-3
π
,则正数ω= ． 【答案】
2
3 【解析】由()sin()f x A x ω?=+,(),()0f A f αβ==,αβ-的最小值为
3
π
,，所以周期 ωππ234==
T ，2
3
=ω 【2012金华十校高三上学期期末联考文】已知1
tan 47
πα?
?+= ??
?，则tan α= ； 【答案】 34
-
【解析】本题主要考查三角函数两角差的正切公式. 属于基础知识、基本运算的考查.
11tan()tan
3744tan tan()1444
1tan()tan 11447
ππ
αππααππα-+-=+-===-++++
? 【2012唐山市高三上学期期末统一考试文】在ABC ?中，60,C AB AB =?边上的高
为
4
,3
则AC+BC= 。 【答案】 11
【解析】本题主要考查三角形的
面积公式和余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查.
1148sin 602233
AC BC AC BC ???=???=
由余弦定理，222cos603AC BC AC BC ?+-?=
2()33AC BC AC BC AC BC +-?=?+=
【2012厦门市高三上学期期末质检文】函数f (x )＝sin(x ＋3π)－3cos(x ＋3
π
)，x ∈[0,2π]的单调递减区间是 。 【答案】3[
,]22
ππ
（区间的开闭不影响得分）
【解析】本题主要考查两角和与差的正弦和余弦公式、y ＝A sin(x ωφ+)的单调性. 属于基础知识、基本运算的考查. f (x )＝sin(x ＋
3π)－3cos(x ＋3
π
) ＝sin x cos
3π＋ cos x sin 3π－3（cos x cos 3π－sin x sin 3
π
)＝2 sin x ∴函数f (x )＝sin(x ＋
3π)－3cos(x ＋3π
)，x ∈[0,2π]的单调递减区间是3[,
]22
ππ
【2012黄冈市高三上学期期末考试文】已知ABC ?中，60a b B ===?，那么角A 等于 。 【答案】 45
【解析】本题主要考查三角形边角关系、正弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查.
由正弦定理，
sin sin sin a b A A B =?=?= 又6045a b A B A ??
【2012年石家庄市高中毕业班教学质检1文】某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计
的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD=BD=14，BC=10,AC=16,∠C=∠D ． (I)求AB 的长度；
(Ⅱ)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低，请说明理由．
【解析】本题主要考查三角形的边角关系、三角形的面积公式、余弦定理及应用问题. 属于基础知识、基本运算的考查.
解：（Ⅰ）在ABC ?中，由余弦定理得
222222cos 161021610cos AB AC BC AC BC C C =+-?=+-?? ①
在ABD ?中，由余弦定理及C D ∠=∠整理得
2222222cos 1414214cos AB AD BD AD BD D C =+-?=+-? ②………2分
由①②得：222221414214cos 161021610cos C C +-?=+-?? 整理可得 1
cos 2
C =
，……………4分 又C ∠为三角形的内角，所以60C = ,
又C D ∠=∠,AD BD =,所以ABD ?是等边三角形， 故14AB =，即A 、B 两点的距离为14.……………6分 （Ⅱ）小李的设计符合要求. 理由如下：
1
sin 2ABD S AD BD D ?=? 1
sin 2
ABC
S AC BC C ?=? 因为AD BD ?>AC BC ?…………10分 所以ABD ABC S S ??>
由已知建造费用与用地面积成正比，故选择ABC ?建造环境标志费用较低。 即小李的设计符合要求.…………12分
【2012厦门市高三上学期期末质检文】在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对
边，a ＝2，sin
,5
52=B 且△ABC 的面积为4 （Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求边b 、c 的长。
【解析】本题主要考查三角函数、解三角形等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合的思想方法. 属于基础知识、基本运算的考查.
【2012江西师大附中高三下学期开学考卷文】已知向量,1)4
x
m = ，
2(cos ,cos )44
x x
n = ，()f x m n =
(1)若()1f x =，求cos()3
x π
+
的值；
(2)在ABC ?中，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，且满足1
cos 2
a C c
b +
=，求函数()f B 的取值范围.
【解析】本题主要考查向量的数量积、二倍角的正弦、余弦公式、两角和与的正弦公式、以及余弦定理的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.
解：（1）()2111
cos cos cos sin ,4442222262
x x x x x x f x m n π??=?=+=
++=++ ??? 而()1
1,sin .262
x f x π??=∴+= ???
21
cos cos 212sin .326262
x x x πππ??????∴+=+=-+= ? ? ???????
（2）22211cos ,,222
a b c a C c b a c b ab +-+=∴?+= 即2221
,cos .2b c a bc A +-=∴=
又()0,,3
A A π
π∈∴=
又20,,36262
B B ππππ
<<
∴<+<
()31,.2f B ??
∴∈ ???
【2012黄冈市高三上学期期末考试文】已知函数()sin()(0,0)f x x ωφωφπ=+>≤≤为偶
函数，其图象上相邻的两个最低点间的距离为2π。 （1）求()f x 的解析式；
（2）若1(,),()3233a f a ππ
π∈-
+=，求2sin(2)3
a π
+的值。 【解析】本题主要考查三角函数图像与性质、三角形的恒等变形等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合的思想方法. 属于基础知识、基本运算的考查. 解：（Ⅰ）因为周期为2,π所以1ω=，又因为0,?π≤≤()f x 为偶函数，
所以2
π
?=
，则()sin cos 2f x x x π?
?
=+
= ??
?
．…………………………………6分
（Ⅱ）因为1
cos 33πα??+
= ??
?，又50,36ππ
α??
+∈ ???，所以sin 33πα??+=
??
?，
又因为2sin 22sin cos 3
33πππααα?
??
???+
=++ ? ? ?
?
?????
12339=?=．
……………………………………………………………………………………………12分 【2012武昌区高三年级元月调研文】设ABC ?的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知1
1,2,cos 4
a b C ===，E 为边AB 的中点。 （I ）求ABC ?的周长；
（II ）求ABC ?的内切圆的半径与CAE ?的面积．
【解析】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，余弦定理和面积公式以及等积法. 属于容易题。考查了基础知识、基本运算、基本变换能力.
解：（Ⅰ）由余弦定理，得C ab b a c cos 2222-+==4，
2=∴c ，所以三角形的周长为5．
（Ⅱ）由同角三角函数的基本关系，得4
15
sin =C ． 由三角形的面积关系，得()r c b a C ab S ABC ++==
?2
1
sin 21． 所以
4
152121521?
??=??r ，
解得内切圆的半径.10
15=
r 所以ABC CAE S S ??21=
=8
15．
【2012浙江宁波市期末文科】已知(2cos ,1),(cos ,)m x x n x y =+=-
，满足
0m n ?=
．
（I ）将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期； （II ）已知,,a b c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 对应的边长，若3)2
A
(=f ，且2a =，求b c +的取值范围．
【解析】（I ）由0m n ?=
得22cos cos 0x x x y +-=
即2
2cos cos cos 2212sin(2)16
y x x x x x x π
=+=+=++
所以()2sin(2)16
f x x π
=++，其最小正周期为π．…………6分
（II ）因为()32
A f =，则
2,6
2
k Z A k π
π
π+
=∈+
.因为A 为三角形内角，所以3
A π
=…………9分
由正弦定理得B sin 334b =
，C sin 33
4c =， )6sin(4)32sin(334sin 334sin 334sin 334ππ+=-+=+=
+B B B C B c b )32,
0(π∈B ，]1,2
1
()6sin(∈+∴πB ，]4,2(∈+∴c b ， 所以b c +的取值范围为(2,4] …………14分
【2012吉林市期末质检文】在某海岸A 处，发现北偏东 30方向，距离A 处）（13+n mile 的B 处有一艘走私船在A 处北偏西 15的方向，距离A 处6n mile 的C 处的缉私船奉命以35n mile/h 的速度追截走私船. 此时，
走私船正以5 n mile/h 的速度从B 处按照北偏东 30方向逃窜，问缉私船至少经过多长时间可以追上走私船，并指出缉私船航行方向.
【解析】设缉私船至少经过t h 可以在D 点追上走私船，则t CD 35=，t BD 5= （1分） 在△ABC 中，由余弦定理得，
4)3015cos(2222=+?-+= AC AB AC AB BC ,∴2=BC （3分）
由正弦定理得，
ABC
AC
BC sin 45sin = ，
∴2
3
sin =
ABC ， 60=∠ABC
（5分）
∴点B 在C 的正东方向上， 120=∠DBC （7分）
又在△DBC 中，由正弦定理得
B C D BD
CD sin 120
sin =
, ∴2
1
sin =BCD ，∴ 30=∠BCD
（9分） ∴ 30=∠BDC ，∴BC BD =，即25=t ，∴5
2
=t ，
（11分）
又 30=∠BCD 故缉私船至少经过5
2
h 可以追上走私船，缉私船的航行方向为北偏东 60. （12分） ∴ ]1,0()6
sin(∈+
π
A ，即](0,1m n ?∈
…………………………………………………12分
【2012江西南昌市调研文】已知向量=sin2C ，
其中A,B,C 分别为△ABC 的三边a,b,c 所对的角. （1）求角C 的大小； （2）已知
A=75°，c=
（cm ），求△ABC 的面积
A
C
B
30
15
· ·
A
C B
30
15
· ·
D
【解析】(1)C n p 2sin =?C B A B A 2sin sin cos cos sin =+∴ ……………………2分
C C C B A C B A 2sin sin ,2sin )sin(=∴=++=+π 且o C ≠sin ………………4分
3),0(2
1cos ππ=??????∈=
C C C ……………………………………………………………………6分
(2)
4,3,125π
πππ=--===
C A B C A
由正弦定理)(2sin sin sin sin cm C B
c b C c B b ==?=……………………………………9分
433sin 21+==
?A bc S ABC 2cm ． ……………………………………………………12分
【2012 广东佛山市质检文】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，若60B = ，且14
11
)cos(-
=+C B . （1）求C cos 的值；
（2）若5=a ，求△ABC 的面积. 【解析】（1）∵14
11
)cos(-
=+C B , ∴ 14
3
5)(cos 1)sin(2=
+-=+C B C B …………………3分 ∴()cos cos cos()cos sin()sin C B C B B C B B C B =+-=+++????
7
1
23143521411=?+?-
= ……………6分 （2）由（1）可得7
3
4cos 1sin 2=
-=C C ………………8分 在△ABC 中，由正弦定理 A
a
B b
C c sin sin sin == ∴8sin sin ==
A C a c , 5sin ==a
A
b b …………………10分