弹性力学-10

0 0 0 0
l x s m yx s n zx s X l xy s m y s n zy s Y
0
0 0 （8-5） 0
l xz s m yz s n z s Z
dy l cos( N , x) cos ds dx m cos( N , y) sin ds
yz
zx
1 yz , G 1 zx , G
yz
zx
再几何方程方程代入，有
1 , G x 1 , G y
u f1 ( y, z), v f 2 ( z, x), w f 3 ( x, y)
代入后三式，有
w u v 0, 0, 0, x z y w v 1 , （f） y z G x u w 1 v u , 0 z x G y x y
积分前三式，有
f 3 f 2 1 ( x, y ) , y z G x f1 f 3 1 ( x, y ) , z x G x f 2 f1 0 x y 2 f1 2 f1 0, 0, 2 2 y z 2 f2 f2 0 0, 2 2 z x
zy
Ydxdy dxdy 0 （e） （f） yX xY dxdy y x dxdy M
zx zy
zx 0 z zy 0 z xz yz 0 x y
基本方程的求解
2 yz 0
（a）
2 zx 0
表明：在杆件的侧面上（横截 面的边界上），应力函数 应 取常数。 又由式（10-2），应力函数 差一常数不影 响应力分量的大小， 于是对单连体（实心杆）可 取： （10-4）
s 常数

s 0
—— 扭转问题的定解条件之一。 对于多连体（空心杆）问题， 在每一边 界上均为常数，但各个常数一般不相等，因此， 只能将其中的一个边界上取 s=0，而其余边界 上则取不同的常数，如：
（b）
—— 扭转问题的相容方程
—— 平衡方程
由式（a）的前二式，得
zx zx ( x, y) zy zy ( x, y ) —— 二元函数
由式（a）的第三式，得
zx , zy y x
于是有： xz 来自 yz x y结论：
由此可解得：
2 C
（10-3）
等直杆的扭转问题归结为：
按相容方程（10-3）确定应力函 数（x，y），然后按式（10-2） 确定应力分量，并使其满足边 界条件。
—— 用应力函数表示的相容方程 式中：C 为常数。
定解条件——边界条件 （1）侧表面： 0 0
l , m 0, n 0
由微分方程理论，可知：一定存 在一函数（x，y），使得：
zx xz , y zy yz x
（10-2）
（x，y）——扭转应力函数
也称普朗特尔(Prandtl)应力函数
zx xz , y zy yz x
y 0, 2 0 x
2
2 yz 0
（10-2）
2 zx 0
（b）
—— 扭转问题的相容方程
将式（10-2）代入相容方程（b），有
2 0, y 2 0, x




§10-6
扭转问题的差分解
§10-1
扭转问题中应力和位移
问题：（1）等截面直杆，截面形状可以任意； （2）两端受有大小相等转向相反的扭矩 M ； （3）两端无约束，为自由扭转，不计体力 ； 求：杆件内的应力与位移？
1. 扭转应力函数
求解方法： 按应力求解； 半逆解法 —— 由材料力学中某些结果 出发，求解。 材料力学结果： （1） x y z 0 （∵自由扭转） （10-1） （2）侧表面： xy 0 扭转问题的未知量：
§10-2
1. 薄膜比拟概念
比拟的概念：
扭转问题的薄膜比拟
z
T
如果两个物理现象，具有以下相似点： （1）泛定方程； ）定解条件； （2 则可舍去其物理量本身的物理意义， 互相求解确定。 扭转问题的薄膜比拟： —— 由普朗特尔（Prandtl., L.）提出 薄膜在均匀压力下的垂度 z ，与等截面直杆扭转问题中的应力函数 ， 在数学上相似（泛定方程相似、定解条件相似）。 因此，可用求薄膜垂度 z 的方法来解等截面杆扭转问题。这种方法，扭转问题的薄膜比拟方法。 —— 为扭转问题提供了一种实验方法
第十章
等截面直杆的扭转
要点： （1）等截面直杆扭转问题的基本方程
（2）按应力求解扭转问题的方法 —— 扭转应力函数 （3）扭转问题的薄膜比拟理论
主
要
内
容
§10-1 §10-2 §10-3 §10-4 §10-5
扭转问题中应力和位移 扭转问题的薄膜比拟 椭圆截面的扭转 矩形截面杆的扭转 薄壁杆的扭转
2
f1 u0 y z z y K1 yz
f 2 v0 z x x z K 2 zx f f 又由： 2 1 0 得： x y z K 2 z z K1 z 0
从中求得：
u Kyz v Kzx
将其极坐标表示：
s 0
0
s Ci
i
值条件确定。
Ci 的值由位移单
zx xz , y zy yz x
（10-2）
（2）上端面：(l 0
l x s m yx s n zx s X l xz s m yz s n z s Z

X dxdy 0,
（c）
（d） Y dxdy 0, yX xY dxdy M , （e） 对式（c），应有
zx xz , y zy yz x
X dxdy zxdxdy y dxdy dx dy ( B A )dx 0 y 同理，对式（d），应有 Y dxdy 0
l xz s m yz s 0

将 、 l、m 代入上述边界条件，有
dy dx ( )( ) 0 y ds x ds
dy dx 0 y ds x ds
dy dx 0 y ds x ds
d 0 ds
（10-3）
定解条件：
s 0
2 dxdy M
（10-4）
（10-5）
zx xz , y 应力分量： zy yz x
（10-2）

2. 扭转的位移与变形
由物理方程，得：
x 0, y 0, z 0, xy 0,
0
0, m 0, n 1) ( X 0, Y 0, Z 0)
0 0
l xy s m y s n zy s Y
0 0
0
（8-5） 0
zx X , zy Y
由圣维南原理转化为： （c） （d） （e）
X dxdy 0, yX xY dxdy M , Y dxdy 0,
（10-6）
由
ur u cos v sin u u sin v cos ur 0, u Krz
将式（10-6）代入，有：
K 2 K1 K
代入 f1、f2 和 u、v 得：
u u0 y z z y Kyz
由此可见： 对每个横截面（z =常数） 它在 x y 面上的投影形状不变，而只 是转动一个角度 =Kz 。
zx , zy
——为三向应力状态，且不是轴对称问题。
扭转问题的基本方程 平衡方程：
x yx zx X 0 x y z xy y zy Y 0 x y z xz yz z Z 0 x y z
zx zy
y dxdy x dxdy y x dx y dy dy x dx y x

同理，得：
分部积分，得：
dx y dy y
dy x dx dxdy x
将其代入式（e）：
其中： u0、v0 、x、y、z 和 以前相同，代表刚体位移。
v v0 z x x z Kzx
若不计刚体位移，只保留与 变形有关的位移，则有
d K dz
K —— 单位长度杆件的扭转角 。
u Kyz 将两式相减，得： （10-6） 2 2 v Kzx 1 1 0 2K 2 2 w v 1 将其代入： G y G x , y z G x 1 2 0 2K u w 1 G , z x G y 2 有： w 2GK （10-8） 1 Ky, x G y 将其对照式（10-3）： （10-7） w 1 Kx, （10-3） 2 C y G x 可见： 2 w 1 2 K, 2 （10-9） xy G y C 2GK 2w 1 2 实际问题中，K 可通过实验测得。 K, 2 yx G x
（8-1）
相容方程：
将式（10-1）代入，得：
zx 0 z zy 0 z xz yz 0 x y
（a）
—— 扭转问题的平衡方程
相容方程：
2Θ (1 ) 2 x 2 0 x 2Θ (1 ) 2 y 2 0 y 2Θ (1 ) 2 z 2 0 z 2 yz 0
2. 薄膜比拟方法
2. 薄膜比拟方法
设一均匀薄膜，张在水平边界上，水 平边界与某受扭杆件截面的边界具有相同 的形状和大小，薄膜在微小的均匀压力下， 各点发生微小的垂度 z 。