北京市丰台区2015-2016学年度第一学期 初三数学
第24章 圆 综合练习题
一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）
1. 如图，BD 为⊙O 的直径，AC 为弦，AB AC =，AD 交BC 于E ，2AE =，4ED =．
（1）求证：ABE ADB △∽△，并求AB 的长；
（2）延长DB 到F ，使BF BO =，连接FA ，判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由.
2. 已知：如图，以等边三角形ABC 一边AB 为直径的⊙O 与边AC 、BC 分别交于点D 、E ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ．
（1）求证：DF 为⊙O 的切线；
（2）若等边三角形ABC 的边长为4，求DF 的长； （3）求图中阴影部分的面积．
3、如图，已知圆O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF AD ⊥．
（1）请证明：E 是OB 的中点； （2）若8AB =，求CD 的长．
4．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC = 60?，P 是OB 上一点，过P 作AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q ，连结OC ，过点C 作OC CD ⊥交PQ 于点D ． （1）求证：△CDQ 是等腰三角形；
（2）如果△CDQ ≌△COB ，求BP :PO 的值．
5． 已知:如图, BD 是半圆O 的直径,A 是BD 延长线上的一点，BC ⊥AE ，交AE 的延长线于
A B
C
D
E
O G
F
点C , 交半圆O 于点E ，且E 为 DF
的中点. （1）求证：AC 是半圆O 的切线；
（2）若6AD AE ==，BC 的长．
6.如图，ABC △内接于⊙O ，过点A 的直线交⊙O 于点P ，交BC 的延长线于点D ，且AB 2=AP 〃AD
（1）求证：AB AC =；
（2）如果60ABC ∠=
，⊙O 的半径为1，且P 为弧AC 的中点，
求AD 的长.
7．如图，在△ABC 中，∠C =90°, AD 是∠BAC 的平分线，O 是AB 上一点, 以OA 为半径的⊙O 经过点D .
（1）求证： BC 是⊙O 切线；
（2）若BD =5, DC =3, 求AC 的长.
8．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD⊥AB 于E ，连结AC 、OC 、BC.
（1）求证：∠ACO=∠BCD；
（2）若BE=2，CD=8，求AB 和AC 的长.
9．如图，已知BC 为⊙O 的直径，点A 、F 在⊙O 上，BC AD ⊥，垂足为D ，BF 交AD
于E ，且BE AE =． （1）求证：AF AB =； （2）如果5
3
sin =
∠FBC ，54=AB ，求AD 的长．
10．如图，已知直径与等边ABC ?的高相等的圆O 分别与边AB 、BC 相切于点D 、E ，边
AC 过圆心O 与圆O 相交于点F 、G 。
（1） 求证：DE AC ；
C B
第13题图
（2） 若ABC ?的边长为a ，求ECG ?的面积.
11．如图，在△ABC 中，∠BCA =90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点P ，Q 是AC 的中
点．
（1）请你判断直线PQ 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A ＝30°，AP =O 半径的长.
12．如图，已知点A 是⊙O 上一点，直线MN 过点A ，点B 是MN 上的另一点，点C 是
OB 的中点， 1
2
AC OB =
，
若点P 是⊙O 上的一个动点,且∠30OBA =
,AB =APC 的面积的最大值． 13．如图，等腰△ABC 中，AB =AC =13，BC =10，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点G ，过点D 作⊙O 的切线交AB 于点E ，交AC 的延长线与点F . （1）求证：EF ⊥AB ； （2）求co s∠F 的值.
14．（应用性问题）已知：如图，为了测量一种圆形零件的精度，在 加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有30°的直角三角尺按图 示的方式测量.
(1)若⊙O 分别与AE 、AF 交于点B 、C ，且AB=AC ,若⊙O 与AF 相切.
求证: ⊙O 与AE 相切；
(2)在满足(1)的情况下，当Ｂ、Ｃ分别为AE 、AF 的三分之一点时，
且AF =3，求 BC
的弧长.
二、圆与相似综合
A
EB 15．已知：如图，⊙O 的内接△ABC 中，∠BAC =45°，∠ABC =15°，
AD ∥OC 并交BC 的延长线于D ， OC 交AB 于E .
（1）求∠D 的度数； （2）求证：2AC AD CE =?； （3）求
BC
CD
的值.
16．如图⑴，⊙O 的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦AB CE ⊥，
在BC 上取一点D ，分别作直线ED CD 、，交直线AB 于点M F 、.
⑴求COA ∠和FDM ∠的度数； ⑵求证：FDM ?∽COM ?；
⑶如图⑵，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取 在 上，仍作直线ED CD 、，分别交直线AB 于点M F 、. 试判断：此时是否仍有FDM ?∽COM ?成立？若成立请证明你
的结论；若不成立，请说明理由。
三、圆与三角函数综合
17．已知⊙O 过点D （4，3），点H 与点D 关于y 轴对称，过H 作⊙O 的切线交y 轴于点A （如图1）。
⑴求⊙O 半径；
⑵求sin HAO ∠的值；
⑶如图2，设⊙O 与y 轴正半轴交点P ，点E 、F 是线段OP 上的动点（与P 点不重合），联结并延长DE 、DF 交⊙O 于点B 、C ，直线BC 交y 轴于点G ，若DEF ?是以EF 为底的等腰三角形，试探索sin CGO ∠的大小怎样变化？请说明理由。
图
1
图2
四、圆与二次函数（或坐标系）综合
18、如图，⊙M的圆心在x轴上，与坐标轴交于A（0，）、B（－1，0），抛物线
2
=++经过A、B两点．
y x bx c
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设抛物线的顶点为P．试判断点P与⊙M 的位置关系，并说明理由；
（3）若⊙M与y轴的另一交点为D，则由线段PA、线段
PD及弧ABD围成的封闭图形PABD的面积是多少？
19．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C
上．
（1）求∠ACB的大小；
（2）写出A，B两点的坐标；
（3）试确定此抛物线的解析式；
（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若
存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（以圆为幌子，二次函数为主的代几综合题）如图，半径为1的⊙1O 与x 轴交于A B 、两点，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A B 、两点，其顶点为F ．
（1）求b c ，的值及二次函数顶点F 的坐标；
（2）将二次函数2y x bx c =-++的图象先向下平移1个单位， 再向左平移2个单位，设平移后图象的顶点为C ，在经过点B 和点()0,3D -的直线l 上是否存在一点P ，使PAC ?
若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
五、以圆为背景的探究性问题
21．下图中, 图(1)是一个扇形OAB ，将其作如下划分：
第一次划分： 如图(2)所示，以OA 的一半OA 1的长为半径画弧交OA 于点A 1，交OB
于点B 1，再作∠AOB 的平分线，交 AB 于点C ，交
11A B 于点C 1， 得到扇形的总数为6个，分别为： 扇形OAB 、扇形OAC 、扇形OCB 、扇形OA 1B 1、扇形OA 1C 1、扇形OC 1B 1；
第二次划分： 如图(3)所示，在扇形OC 1B 1中， 按上述划分方式继续划分， 即以OC 1
的一半OA 2的长为半径画弧交OC 1于点A 2，交OB 1于点B 2，再作∠B 1OC 1的平分线，交 11
B C 于点D 1，交 22A B 于点D 2，可以得到扇形的总数为11个；
第三次划分： 如图(4)所示，按上述划分方式继续划分；
…… 依次划分下去.
(1) 根据题意, 完成右边的表格；
(2) 根据右边的表格, 请你判断按上述划分方式, 能否得到扇形的总数为2008个? 为什么? (3) 若图(1)中的扇形的圆心角∠AOB=m °，且扇形的半径OA 的长为R ．我们把图(2)第一
次划分的图形中，扇形11OAC （或扇形11OC B ）称为第一次划分的最小扇形，其面积记为S 1；把图(3)第二次划分的最小扇形面积记为S 2；……，把第n 次划分的最小扇形面积记为S n..求
1
n
n S S -的值. 22．圆心角定理是“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”，记作 AOB AB ∠ （如图①）
；
圆心角定理也可以叙述成“圆心角度数等与它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半”，
记作 1()2
AOB AB CD
∠+
（如图①）请回答下列问题： （1）如图②，猜测 APB AB CD
∠与、有怎样的等量关系,并说明理由； （2）如图③，猜测 APB AB CD
∠与、有怎样的等量关系,并说明理由. （提示：“两条平行弦所夹的弧相等”可当定理用）
23．已知：半径为R 的⊙O '经过半径为r 的⊙O 圆心，⊙O '与⊙O 交于M 、N 两点．
（1）如图1，连接O O '交⊙O 于点C ，过点C 作⊙O 的切线交⊙O '于点A 、B ，求O
A O
B 的值；
（2）若点C 为⊙O 上一动点.
①当点C 运动到⊙O '内时，如图2，过点C 作⊙O 的切线交⊙O '于A 、B 两点．请你
探索OA OB
的值与（1）中的结论相比较有无变化？并说明你的理由； ②当点运动到⊙O '外时，过点C 作⊙O 的切线，若能交⊙O '于A 、B 两点．请你在图
3中画出符合题意的图形，并探索OA OB 的值（只写出OA OB 的值，不必证明）．
图②
图①
图③
北京市丰台区2015-2016学年度第一学期 初三数学
第24章 圆 综合练习题
一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）
1. 如图，BD 为⊙O 的直径，AC 为弦，AB AC =，AD 交BC 于E ，2AE =，4ED =． （1）求证：ABE ADB △∽△，并求AB 的长；
（2）延长DB 到F ，使BF BO =，连接FA ，判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由.
1．解：AB AC = ，ABC C ∴=∠∠. C D = ∠∠，ABC D ∴=∠∠． 又BAE DAB = ∠∠，
ABE ADB ∴△∽△． A B
A E A D A B
∴
=． ()()2
24212AB AD AE AE ED AE ∴==+=+?=
．
AB ∴=． （2）直线FA 与O 相切．
连接OA ．BD 为O 的直径，90BAD ∴=
∠．
在Rt ABD ?
中，由勾股定理，得
BD =
==
=
11
22
BF BO BD ∴==
=?= AB = BF BO AB ∴==．
（或BF BO AB OA ∴===，AOB ∴?是等边三角形，F BAF ∠=∠．
60OBA OAB ∴∠=∠=?，30F BAF ∠=∠=?．）
90OAF ∴= ∠．OA ∴⊥AF ．
又 点A 在圆上，∴直线FA 与O 相切．
2. 已知：如图，以等边三角形ABC 一边AB 为直径的⊙O 与边AC 、BC 分别交于点D 、E ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ．
（1）求证：DF 为⊙O 的切线；
（2）若等边三角形ABC 的边长为4，求DF 的长； （3）求图中阴影部分的面积．
2．（1）证明：连接DO .
∵ABC ?是等边三角形 ，∴∠C =60°，∠A =60°， ∵OA =OD ， ∴OAD ?是等边三角形. ∴∠ADO =60°. ∵DF ⊥BC ，∴∠CDF =30°.
∴∠FDO =180°-∠ADO -∠CDF = 90°.∴DF 为⊙O 的切线.
（2）∵OAD ?是等边三角形，∴CD =AD =AO =
2
1
AB =2. Rt CDF ?中，∠CDF =30°，∴CF =
2
1
CD =1. ∴DF =322=-CF CD . （3）连接OE ，由（2）同理可知E 为CB 中点，∴2=CE .
∵1=CF ，∴1=EF . ∴2
3
3)(21=
?+=DF OD EF S FDOE
直角梯形． ∴ππ3
23602602=?=DOE
S 扇形．
∴π3
2
233-=
-DOE FDOE S S 扇形直角梯形．
3、如图，已知圆O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF AD ⊥．
（1）请证明：E 是OB 的中点； （2）若8AB =，求CD 的长．
3、（1）证明：连接AC ，如图
CF AD ⊥ ，AE CD ⊥且CF AE ，过圆心O
AC AD ∴=， AC CD
=，ACD ∴△是等边三角形． 30FCD ∴∠= 在Rt COE △中，1
2
OE OC =，12OE OB ∴=∴点E 为OB 的中点
（2）解：在OCE t ?R 中8AB = ，1
42
OC AB ∴==
又BE OE = ，2OE ∴=
3241622=-=-=∴OE OC CE
2C D C E ∴==
4．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC = 60?，P 是OB 上一点，过P 作AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q ，连结OC ，过点C 作OC CD ⊥交PQ 于点D ． （1）求证：△CDQ 是等腰三角形；
（2）如果△CDQ ≌△COB ，求BP :PO 的值．
4． （1）证明：由已知得∠ACB =90°，∠ABC =30°，
∴∠Q =30°，∠BCO =∠ABC =30°. ∵CD ⊥OC ，∴∠DCQ =∠BCO =30°， ∴∠DCQ =∠Q ，∴△CDQ 是等腰三角形. （2）解：设⊙O 的半径为1，则AB =2，OC =1，AC =
12
1
=AB ，
BC =3. ∵等腰三角形CDQ 与等腰三角形COB 全等，∴CQ =BC =3.
∵AQ =AC +CQ =1+3，AP =2
3121+=AQ ， ∴BP =AB －AP =2332312-=+- PO =AP －AO =2
131231-=-+， ∴BP ∶PO =3.
5． 已知:如图, BD 是半圆O 的直径,A 是BD 延长线上的一点，BC ⊥AE ，交AE 的延长线于
点C , 交半圆O 于点E ，且E 为 DF
的中点. （1）求证：AC 是半圆O 的切线；
（2）若6AD AE ==，BC 的长．
5.解：（1）连接OE , ∵E 为 DF
的中点，∴ DE EF =．
∴
OBE CBE ∠=∠.
∵OE OB =，∴OEB OBE ∠=∠.∴ OEB CBE ∠=∠.∴OE ∥BC. ∵BC ⊥AC ， ∴∠C=90°. ∴ ∠AEO =∠C =90°. 即OE ⊥AC . 又OE 为半圆O 的半径，∴ AC 是半圆O 的切线. （2）设O 的半径为x ，
∵OE AC ⊥
，∴222(6)x x +-=. ∴3x =. ∴12AB AD OD OB =++=. ∵OE ∥BC ，∴AOE ABC △∽△.∴
AO OE AB BC =
. 即93
12BC
= ∴4BC =.
6.如图，ABC △内接于⊙O ，过点A 的直线交⊙O 于点P ，交BC 的延长线于点D ，且AB 2=AP 〃AD
（1）求证：AB AC =；
（2）如果60ABC ∠=
，⊙O 的半径为1，且P 为弧AC 的中点，
求AD 的长.
6.解：（1）证明：联结BP ．
∵ AB 2
=AP〃AD ，∴ AB AP =AD
AB
．
∵ ∠BAD=∠PAB，∴ △ABD ∽△APB ， ∴ ∠ABC =∠APB，∵∠ACB =∠APB， ∴ ∠ABC =∠ACB．∴ AB=AC.
（2）由（1）知AB=AC ． ∵∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形．
∴∠BAC=60°， ∵P 为弧AC 的中点，∴∠AB P =∠PAC=1
∠A BC=30°，
∴∠BAP=90°， ∴ BP 是⊙O 的直径， ∴ BP=2， ∴ AP =1
2 BP=1，
在Rt △PAB 中，由勾股定理得 AB 2
= BP 2
－AP 2
=3， ∴ AD =AB 2
AP
=3．
7．如图，在△ABC 中，∠C =90°, AD 是∠BAC 的平分线，O 是AB 上一点, 以OA 为半径的⊙O 经过
点D .
（1）求证： BC 是⊙O 切线；
（2）若BD =5, DC =3, 求AC 的长.
D
7.（1）证明: 如图1，连接OD .
∵ OA =OD , AD 平分∠BAC ,
∴ ∠ODA =∠OAD , ∠OAD =∠CAD .
∴ ∠ODA =∠CAD . ∴ OD //AC . ∴ ∠ODB =∠C =90?.
∴ BC 是⊙O 的切线. 图1
（2）解法一: 如图2，过D 作DE ⊥AB 于E .
∴ ∠AED =∠C =90?.
又∵ AD =AD , ∠EAD =∠CAD ,
∴ △AED ≌△ACD .
∴ AE =AC , DE =DC =3.
在Rt △BED 中，∠BED =90?,由勾股定理，得
BE =422=-DE BD . 图2
设AC =x （x >0）, 则AE =x .
在Rt △ABC 中，∠C =90?, BC =BD +DC =8, AB =x +4, 由勾股定理，得x 2 +82= (x +4) 2. 解得x =6. 即 AC =6.
解法二: 如图3，延长AC 到E ，使得AE =AB .
∵ AD =AD , ∠EAD =∠BAD ,
∴ △AED ≌△ABD .
∴ ED =BD=5.
在Rt △DCE 中，∠DCE =90?, 由勾股定理，得 CE =422=-DC DE . ………… ……………5分
在Rt △ABC 中，∠ACB =90?, BC =BD +
DC =8, 由勾股定理，得 即 AC 2 +82=(AC +4) 2.解得 AC =6.
8．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD⊥AB 于E ，连结AC 、OC 、BC.
（1）求证：∠ACO=∠BCD；
（2）若BE=2，CD=8，求AB 和AC 的长.
8、证明：（1）连结BD ，∵AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，
∴
． ∴∠A=∠2．
又∵OA=OC，∴∠1=∠A．
∴∠１＝∠2．即：∠ACO=∠BCD．
A
B
C
D
E
O G
F
O G H
A
D
解：（2）由（1）问可知，∠A=∠2，∠AEC=∠CE B.
∴△ACE∽△CBE．
∴
.CE
AE
BE CE =∴CE 2=BE〃AE． 又CD=8，∴CE=DE=4．∴AE=8．∴AB=10．
∴AC=
.548022==+CE AE
9．如图，已知BC 为⊙O 的直径，点A 、F 在⊙O 上，BC AD ⊥，垂足为D ，BF 交AD
于E ，且BE AE =． （1）求证：AF AB =； （2）如果5
3
sin =
∠FBC ，54=AB ，求AD 的长．
9．解：（1）延长AD 与⊙O 交于点G ．
∵ 直径BC ⊥弦AG 于点D ，
∴
． ∴ ∠AFB =∠BAE ．
∵ AE =BE ，∴ ∠ABE =∠BAE ．
∴ ∠ABE =∠AFB ． ∴ AB =AF ． （2）在Rt △EDB 中，sin ∠FBC =
5
3
=BE ED ． 设ED =3x ，BE =5x ，则AE =5x ，AD =8x ，在Rt △EDB 中，由勾股定理得BD =4x ． 在Rt △ADB 中，由勾股定理得BD 2+AD 2=AB 2． ∵ AB =45，∴ 222)54()8()4(=+x x ． ∴ x =1（负舍）．∴ AD =8x =8．
10．如图，已知直径与等边ABC ?的高相等的圆O 分别与边AB 、BC 相切于点D 、E ，边AC 过圆心O 与圆O 相交于点F 、G 。
（3） 求证：DE AC ； （4） 若ABC ?的边长为a ，求ECG ?的面积.
10. (1) ABC ? 是等边三角形,60B ?
∴∠=,60A ?
∠=,
AB 、BC 是圆O 的切线，D 、E 是切点，∴BD=BE .
AB=GB
Q C
B
A
60BDE ?∴∠=,60A ?∠=,有DE//AC .
(2)分别连结OD 、OE ,作EH ⊥AC 于点H .
AB 、BC 是圆O 的切线，D 、E 是切点，O 是圆心，
90ADO OEC ?∴∠=∠=，OD=OE ，AD=EC .
ADO CEO ∴???,有AO=OC =1
2
a .
圆O 的直径等于ABC ?的高,
得半径OG =4a ,∴CG=OC+OG =1
2a +4
a .
,60EH OC C ?⊥∠= ,30COE ?∴∠=,
EH .
12ECG S ?=
CG ?EH =1
2+12
a ), ECG S ?
∴=22364a
2.
11．如图，在△ABC 中，∠BCA =90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点P ，Q 是AC 的中
点．
（1）请你判断直线PQ 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若∠
A ＝30°，AP =O 半径的长.
11、解：（1）直线PQ 与⊙O 相切. 连结OP 、CP .
∵ BC 是⊙O 的直径，∴ ∠BPC ＝90° . 又∵ Q 是AC 的中点，∴ PQ =CQ =AQ . ∴ ∠3＝∠4.
∵ ∠BCA =90°，∴ ∠2+∠4=90°. ∵ ∠1＝∠2，∴ ∠1+∠3=90°.
即 ∠OPQ =90°.
∴ 直线PQ 与⊙O 相切. （2）∵ ∠A
＝30°，AP
=
∴ 在Rt△APC 中，可求AC =4. ∴ 在Rt△ABC 中，可求BC ∴ BO ∴⊙O
12．如图，已知点A 是⊙O 上一点，直线MN 过点A ，点B 是MN 上的另一点，点C 是
OB 的中点， 1
2
AC OB =
， 若点P 是⊙O 上的一个动点,且∠30OBA =
,AB =APC 的面积的最大值．
12、解:连结OA .
由C 是OB 的中点,且12AC OB =,可证得 ∠OAB =90°.
则 ∠O =60°. 可求得OA=AC=2.
过点O 作OE ⊥AC 于E ，且延长EO 交圆于点F ． 则 P(F)E 是△PAC 的AC 边上的最大的高. 在△OAE 中,OA =2,∠AOE =30°,
解得 OE 所以 2PE = 故 11
2(222
PAC S AC PE =
?=??+ . 即 2PAC S =
13．如图，等腰△ABC 中，AB =AC =13，BC =10，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点G ，过点D 作⊙O 的切线交AB 于点E ，交AC 的延长线与点F .
（1）求证：EF ⊥AB ； （2）求co s∠F 的值.
13. 证明： （1）联结OD
∵OC =OD ∴∠ODC =∠OCD
又∵AB =AC ∴∠OCD =∠B
∴∠ODC =∠B ∴OD ∥AB ∵ED 是⊙O 的切线，OD 是⊙O 的半径 ∴OD ⊥EF ∴AB ⊥EF
A
第13题图
（2）联结AD 、CG ∵AD 是⊙O 的直径 ∴∠ADC =∠AGC =90°
∵AB ⊥EF ∴DE ∥CG ∴∠F =∠GCA
∵AB =AC ∴DC =1
2
BC =5
R t △ADC
中，12AD =
∵AD BC =AB CG
∴CG =
120
13
AD BC AB = R t △CGA 中，c os ∠GCA =
120
169
GC AC = ∴c os ∠F =120
169
14．（应用性问题）已知：如图，为了测量一种圆形零件的精度，在加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有30°的直角三角尺按图示的方式测量.
(1)若⊙O 分别与AE 、AF 交于点B 、C ，且AB=AC ,若⊙O 与AF 相切. 求证: ⊙O 与AE 相切；
(2)在满足(1)的情况下，当Ｂ、Ｃ分别为AE 、AF 的三分之一点时，
且AF =3，求 BC
的弧长.
14.解:（1）证明：连结OB 、OA 、OC . 根据题意,∠OCA =90°. 在△ABO 与△ACO 中,
AB =AC ,OA=OA ,OB=OC , 所以 △ABO ≌△ACO .
所以 ∠OCA =∠OBA =90°. 则 AE 是圆的切线. (2)因∠OCA =∠OBA =90°, 且 ∠EAD =∠FAG =30°, 则 ∠BAC =120°. 又 1
13
AC AF =
=,∠OAC =60°, 故
OC . 所以 BC
.
二、圆与相似综合
15．已知：如图，⊙O 的内接△ABC 中，∠BAC =45°，∠ABC =15°，AD ∥OC 并交BC
的延长线于D ， OC 交AB 于E .
EB （1）求∠D 的度数； （2）求证：2AC AD CE =?； （3）求
BC
CD
的值. 15．（1）解：如图3，连结OB .
∵ ⊙O 的内接△ABC 中，∠BAC =45°，
∴ ∠BOC =2∠BAC =90°.
∵ OB=OC ，∴ ∠OBC =∠OCB =45°. ∵ AD ∥OC ，∴ ∠D =∠OCB =45°.
（2）证明：∵ ∠BAC =45°，∠D =45°，
∴ ∠BAC =∠D .
∵ AD ∥OC ，∴ ∠ACE =∠DAC . ∴ △ACE ∽△DAC ．
∴
AC CE
DA AC
=
． ∴ 2AC AD CE =?． （3）解法一：如图4，延长BO 交DA 的延长线于F ，连结OA .
∵ AD ∥OC ，∴ ∠F=∠BOC =90°.
∵ ∠ABC =15°，
∴ ∠OBA =∠OBC －∠ABC =30°. ∵ OA = OB ，
∴ ∠FOA =∠OBA ＋∠OAB =60°，∠OAF =30°.
∴ 12
OF OA =. ∵ AD ∥OC ，∴ △BOC ∽△BFD ．
∴
BC BO BD BF = ．∴ 2BC BO OA CD OF OF ===，即
BC
CD
的值为2. 解法二：作OM ⊥BA 于M ，设⊙O 的半径为r ，可得
BM=
，OM =2r ，
30M OE ∠=?
，tan 30ME OM =??=，BE
=，AE
=，所以2BC BE
CD EA
==.
16．如图⑴，⊙O 的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦AB CE ⊥，在 上取一点D ，分别作直线ED CD 、，交直线AB 于点M F 、.
⑴求COA ∠和FDM ∠的度数； ⑵求证：FDM ?∽COM ?；
⑶如图⑵，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在
上，仍作直线ED CD 、，分别交直线AB 于点M F 、.试判断：此时是否仍有FDM ?∽COM ?成立？若成立请证明你的结论；若不成立，请说明理由。
B
C
A
F E
O
D
D
O
E
A
C
B
CB
（1） （第16题） （2）
16．解：（1）∵AB 为直径，AB CE ⊥，∴?
?
=AE AC ，EG CG =. 在COG Rt ?中，∵OC 2
1
OG =
，∴ 03G O =∠C .∴ 60=∠COA . 又∵o
60COA AC CAE 2
1CDE =∠===∠??的度数的度数的度数的度数,
∴
120CDE 180o =∠-=∠FDM .
（2）证明：∵
120COA 180o =∠-=∠COM ,∴FDM COM ∠=∠.
在CGM Rt ?和EGM Rt ?中，??
?==EG
CG GM
GM ，
∴CGM Rt ?≌EGM Rt ?.∴E G C G M M ∠=∠. 又∵E G M DMF ∠=∠，∴DMF OMC ∠=∠. ∴FDM ?∽COM ?
（3）结论仍成立. 证明如下： ∵CDE 180o
∠-=∠FDM ，
又∵的度数的度数的度数的度数COA CA CAE 2
1CDE ∠===∠??
，
∴COM COA 180o
∠=∠-=∠FDM .
∵AB 为直径，AB CE ⊥， 在CGM Rt ?和EGM Rt ?中，
?
?
?==EG CG GM
GM ， ∴CGM Rt ?≌EGM Rt ?.
∴E G C G M M ∠=∠. ∴FDM ?∽COM ?.
三、圆与三角函数综合
17．已知⊙O 过点D （4，3），点H 与点D 关于y 轴对称，过H 作⊙O 的切线交y 轴于点A （如图1）。
⑴求⊙O 半径；
⑵求sin HAO ∠的值；
⑶如图2，设⊙O 与y 轴正半轴交点P ，点E 、F 是线段OP 上的动点（与P 点不重合），联结并延长DE 、DF 交⊙O 于点B 、C ，直线BC 交y 轴于点G ，若DEF ?是以EF 为底的等腰三角形，试探索sin CGO ∠的大小怎样变化？请说明理由。
图1 图2
17．(1)点()4,3D 在⊙O 上， ∴ ⊙O 的半径5r OD ==。
（2）如图1，联结HD 交OA 于Q ，则HD ⊥OA 。联结OH ，则OH ⊥AH 。 ∴ ∠HAO=∠OHQ。 ∴ 3
sin sin 5
OQ HAO OHQ OH ∠=∠=
=。 （3）如图2，设点D 关于y 轴的对称点为H ，联结HD 交OP 于Q ，则HD ⊥OP 。 又DE=DF ， ∴ DH 平分∠BDC。
∴ BH
CH =。 ∴ 联结OH ，则OH⊥BC。
图1 图2
∴ ∠CGO=∠OHQ。 ∴ 3
sin sin 5
OQ CGO OHQ OH ∠=∠==
四、圆与二次函数（或坐标系）综合
18、如图，⊙M的圆心在x轴上，与坐标轴交于A（0
，）、B（－1，0）
，抛物线2
y x bx c
=++经过A、B两点．
（4）求抛物线的函数解析式；
（5）设抛物线的顶点为P．试判断点P与⊙M 的位置关系，并说明理由；
（6）若⊙M与y轴的另一交点为D，则由线段PA、
线段PD及弧ABD围成的封闭图形PABD的面
积是多少？
18．解：（1）∵抛物线经过点A、B，
∴
??
?
?
?
+
-
-
=
=
.
3
3
,
3
c
b
c
解得
??
?
?
?
=
=
.3
,
3
3
2
c
b∴.3
3
3
2
3
3
2+
+
-
=x
x
y
（2）由3
3
3
2
3
3
2+
+
-
=x
x
y
得.
3
3
4
)1
(
3
3
2+
-
-
=x
y∴顶点P的坐标为（1，
3
3
4
）．
在Rt△AOM中,MA2－MO2=OA2,OA=3,OB=1,
MA2－(MA－1)2=3, ∴MA=2.
∴MB=2, MO=1,即点O的坐标为（1，0）．
∴MP=
3
3
4
＞2. ∴顶点P在圆外；
（３）连结OD，∵点M在抛物线的对称轴上
,