【学习目标】1.熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题.
2.能用等比数列的前n 项和公式解决实际问题.
【学法指导】1.解决与等比数列前n 项和有关问题的关键在于“基本量”以及方程思想方法的灵活
运用.
2.运用等比数列前n 项和解题时要注意“整体思想”方法的灵活运用.
3.利用等比数列的知识解决实际问题,需要从实际问题中抽象出等比数列模型,明确
首项a 1,公比q ,以及项数n 的实际含义,切忌含糊不清.
一.知识导学 1.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,当公比q ≠1时,S n = = ;当q =1时,S n = .
2.等比数列前n 项和的性质:
(1)连续m 项的和(如S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m ),仍构成 数列.(注意:q ≠-1或m 为奇数)
(2)S m +n =S m +q m S n (q 为数列{a n }的公比).
3.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 6S 3=3,则S 9S 6
等于( ) A .2 B .73 C .83
D .3 4.已知数列{a n }的前n 项和S n =a n -1(a 是不为零且a ≠1的常数),则数列{a n }( )
A .一定是等差数列
B .一定是等比数列
C .或者是等差数列,或者是等比数列
D .既非等差数列,也非等比数列
二.探究与发现
【问题情境】一件家用电器,现价20 000元,实行分期付款,每期付款数相同,每月为一期,一个
月付款一次,共付12次,购买后一年还清,月利率为0.8%,按复利计算,那么每期
付款多少元?要解决上述问题,需要了了解复利的计算方法,这正是这一节的主要内
容之一.
【探究点一】等比数列前n 项和S n 与函数的关系
探究 当公比q =1时,因为a 1≠0,所以S n =na 1,是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数).
当q =1时,数列S 1,S 2,S 3,…,S n ,…的图象是正比例函数y =a 1x 图象上一些孤立的点.
当公比q ≠1时,等比数列的前n 项和公式是S n =a 11-q (1-q n )=a 1q -1(q n -1).设A =a 1q -1
,则上式可以写为S n =A (q n -1).由此可见,q ≠1时,由等比数列前n 项和S n 构成的点列(1,S 1),(2,S 2),(3,S 3),…,(n ,S n )位于函数y =A (q x -1)的图象上.
问题1 若{a n }是等比数列,它的前n 项和为S n =3n +t ,则t =_____.
2015-2016学年高一年级
数学导学案
11
班级 姓名 学号 编写: §2.5等比数列的前n 项和(2)
问题2 若{a n }是等比数列,且前n 项和为S n =3n -
1+t ,则t =______.
【探究点二】等比数列前n 项和的性质
问题1 等比数列{a n }的前n 项和为S n ,公比为q ,求证:S m +n =S m +q m S n .
问题2 在等比数列{a n }中,若连续m 项的和不等于0,则它们仍组成等比数列.即S m ,S 2m -S m ,
S 3m -S 2m ,…仍组成等比数列.请你证明上述结论.
【探究点三】分期付款问题
问题 在分期付款问题中,贷款a 元,分m 个月付清,月利率为r ,每月还x 元,想一想,每月付款
金额x 元应如何计算?
下面给出了两种推导方法,请你补充完整:
方法一:每个月还款x 元后的剩余欠款按月份构成一个数列,记作{a n },则有:
经过1个月,还款x 元后,剩余欠款为a 1= ;
经过2个月,还款x 元后,剩余欠款为a 2=a 1(1+r )-x =____________________;
经过3个月,还款x 元后,剩余欠款为a 3=a 2(1+r )-x =___________________________; ……
经过m 个月,还款x 元后,剩余欠款为a m =a m -1(1+r )-x = .
由于经过m 个月后,欠款还清,故a m =0,从而有a (1+r )m = 即x = . 方法二:我们可以把该问题分开来看:
一方面,每月付款x 元,共付m 次,m 个月后各期付款到期后的本息和为:
期数 1 2 3 …
m -1 m 本息和
… x 从而到期后(m 个月后),银行共收到付款及利息为:______________________=[(1+r )m -1]r
x ; 另一方面贷款a 元,m 个月后应偿还本息和为 ;
由于m 个月后,贷款全部付清,所以有[(1+r )m -1]r
x = ,故x = . 【典型例题】
例1 已知等比数列前n 项,前2n 项,前3n 项的和分别为S n ,S 2n ,S 3n ,
求证:S 2n +S 22n =S n (S 2n +S 3n ).
小结 运用等比数列的前n 项和公式要注意公比q =1和q ≠1两种情形,在解有关的方程(组)时,通
常用约分或两式相除的方法进行消元.
跟踪训练1 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 3,S 9,S 6成等差数列,求证:a 2,a 8,a 5成等差
数列.
例2 在等比数列{a n }中,a n >0 (n ∈N *),公比q ∈(0,1),且a 1a 5+2a 3a 5+a 2a 8=25,又a 3与a 5的等比中
项为2.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设b n =log 2a n ,数列{b n }的前n 项和为S n ,当S 11+S 22
+…+S n n 最大时,求n 的值.
例3 某家用电器一件现价20 000元,实行分期付款,每期付款数相同,每期为一月,购买后一个月开始付款,每月付款一次,共付12次,购买后一年还清,月利率为0.8%,按复利计算,那么每期应付款多少?(1.00812≈1.1)
三.小结
1.深刻理解等差(比)数列的性质,熟悉它们的推导过程是解题的关键.两类数列的性质既有类似的部分,又有区别,要在应用中加强记忆.同样,用好其性质也会降低解题的运算量,从而减少错误.
2.在等差数列与等比数列中,经常要根据条件列方程(组)求解,在解方程时,仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处.
3.利用等比数列解决实际问题,关键是构建等比数列模型.要确定a1与项数n的实际含义,同时要搞清是求a n还是求S n的问题.
《等比数列的前n项和》说课稿 各位老师,大家好,今天我要说课的内容是人教版高中数学必修5第二章第五节的《等比数列的前n项和》.我的说课主要分为下面六个过程来进行:教学理念、教材内容分析、教学目标及学情分析、教学的重难点分析、教学方法的分析、教学过程的设计. 一、教学理念 新的课程标准明确指出“数学是人类文化的重要组成部分,构成了公民所必须具备的一种基本素质.”其含义就是:我们不仅要重视数学的应用价值,更要注重其思维价值和人文价值. 因此,创造性地使用教材,积极开发、利用各种教学资源,创设教学情境,让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程,获得情感、能力、知识的全面发展.本节课力图打破常规,充分体现以学生为本,全方位培养、提高学生素质,实现课程观念、教学方式、学习方式的转变. 二、教材内容分析 在学习《等比数列前n项和公式》之前,学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用,而本节内容也为后面学习数列求和、数列极限打下基础.本节课既是本章的重点,同时也是教材的重点. 从高中数学的整体内容来看,《数列》这一章是高中数学的重要内容之一,在整个高中数学领域里占据着重要地位,也起着决定性的作用.首先:数列有着广泛的实际应用.例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等. 其次:数列有着承前启后的作用.数列是函数的延续,它实质上是一种特殊的函数;学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础. 再次:数列也是培养提高学生思维能力的好题材.学习数列要经常观察、分析、猜想,还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题,这些都有利于学生数学能力的提高. 三、教学目标及学情分析 作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识.以下是我的教学目标分析和学情分析: 1、教学目标分析 根据上述教材结构与内容分析,考虑到学生已有的认知结构心理特征,依据《课标》我制定了如下的教学目标: [知识与技能] 理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题. [过程与方法] 通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等
§3.2等比数列前n项和教学设计 一、教材分析 1、教学内容:《等比数列的前n项和》是高中数学北师大版《必修5》第一章《数列》第3节的内容,教学大纲安排本节内容授课时间为两课时,本节课作为第一课时,重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用. 2、教材分析:《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,就知识的应用价值上看,它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型,在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养.就内容的人文价值来看,等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、证明,这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体. 二、学情分析 1、知识基础:前几节课学生已学习了等差数列求和,等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. 2、认知水平与能力:高二学生初步具有自主探究的能力,能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题,但从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导.不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q=1这一特殊情况,学生也往往容易忽略,尤其是在后面使用的过程中容易出错. 3、任教班级学生特点:我班学生基础知识还行、思维较活跃,应该能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题. 三、目标分析 教学目标 依据教学大纲的教学要求,渗透新课标理念,并结合以上学情分析,我制定了如下教学目标: 1.知识与技能 理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程,掌握公式的特点,并在此基础上能简单的应用公式. 2.过程与方法
《等比数列的前n项和》说课稿 尊敬的各位评委,老师: 你们好,我是047号考生,今天我说课的课题是人教版普通高中课程标准实验教材《数学》必修5第二章第五节《等比数列的前n项和》。为了说清楚我对本节课的整体设计整体设计思路,下面我我将从:教学理念、教材内容分析、教学目标及学情分析、教学的重难点分析、教学方法的分析、教学过程的设计六个方面加以说明。 一、教学理念 新的课程标准明确指出“数学是人类文化的重要组成部分,构成了公民所必须具备的一种基本素质.”其含义就是:我们不仅要重视数学的应用价值,更要注重其思维价值和人文价值. 因此,创造性地使用教材,积极开发、利用各种教学资源,创设教学情境,让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程,获得情感、能力、知识的全面发展.本节课力图打破常规,充分体现以学生为本,全方位培养、提高学生素质,实现课程观念、教学方式、学习方式的转变. 二、教材内容分析 在学习《等比数列前n项和公式》之前,学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用,而本节内容也为后面学习数列求和、数列极限打下基础.本节课既是本章的重点,同时也是教材的重点. 从高中数学的整体内容来看,《数列》这一章是高中数学的重要内容之一,在整个高中数学领域里占据着重要地位,也起着决定性的作用.首先:数列有着广泛的实际应用.例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等. 其次:数列有着承前启后的作用.数列是函数的延续,它实质上是一种特殊的函数;学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础. 再次:数列也是培养提高学生思维能力的好题材.学习数列要经常观察、分析、猜想,还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题,这些都有利于学生数学能力的提高. 三、教学目标及学情分析
高二数学学案 序号025 高二年级 14班 教师王鸿斌 学生 课 题:等比数列(3)前n 项和 学习目标:1. 等比数列前n 项和公式及错位相减法. 2. 等比数列前n 项和公应用,熟练解决“1,,,,n n a n q a s 知三求二”问题渗透方程思想。 学习重点:等比数列求和及求和公式应用. 学习难点:错位相减法 教学过程: 一.复习回顾 1.等比数列的定义式、递推式、通项式、中项式及其性质 2.等差数列的前n 项和公式及性质 二.新课导学 1. 等比数列的前n 项和公式 设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++ ,公比为q ≠0, 则22111111n n n n S a a q a q a q a q qS --?=++++??=?? (1)n q S ∴-= 当1q ≠时,n S = ① 或n S = ② 当q =1时,n S = 等比数列的前n 项和公式:11,1,1(1)1n n na q S q a q q ------------=??=≠-?=?-?(或)1,11,11≠?? ???--==q q q a a q na S n n 2. 等比数列的前n 项和性质:等比数列前n 项,前2n 项,前3n 项的和分别是n S ,2n S ,3n S , n S ,2n n S S -,32n n S S - 也成等比数列.(等比数列间隔相等的等长片段和仍为等比数列) 三.典型例题 例1:求3463124222++++++ 的和 练习1: 等比数列中 ①已知1441,64,.a a q S =-=求及 ②已知33139,.22a S a q ==,求及 ③0,2431 ,2791<==q a a ,求其前8项的和。 ④已知1912,,833 n a a q ===,求n 例2:某商场第一年销售计算机5000台,如果平均每年的售价比上一年增加10%,那么从第一年 起,约几年内可使总销售量达到30000台? 四、学习小结: 1.等比数列前n 项和公式及错位相减法 2.熟练解决“1,,,,n n a n q a s 知三求二”问题
高中数学《等比数列的前n项和(第一课时)》教学设计 一.教材分析。 (1教材的地位与作用:《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5,是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 (2从知识的体系来看:“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解,也为以后学数列的求和,数学归纳法等做好铺垫。 二.学情分析。 (1学生的已有的知识结构:掌握了等差数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式与方法,等比数列的概念与通项公式。 (2教学对象:高二理科班的学生,学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成,具有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,思 维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。 (3从学生的认知角度来看:学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q = 1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三.教学目标。
根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为: (1知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上,并能初步应用公式解决与之有关的问题。 (2过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力. (3情感,态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神,从探索中获得成功的体验,感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。 四.重点,难点分析。 教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点:公式的推导方法及公式应用中q与1的关系。 五.教法与学法分析. 培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提,是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为:“知识不是被动吸收的,而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是:知识不是通过教师传授得到的,而是学生在一定的情境中,运用已有的学习经验,并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下协作,主动建构而获得的,建构主义教学模式强调以学生为中心,视学生为认知的主体,教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此,本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法,让老师的主导性和学生的主体性有机结合,使学生能够愉快地自觉学习,通过学生自己观察、分析、探索等步骤,自己发现解决问题的方法,比较论证后得到一般性结论,形成完整的数学模型,再运用所得理论和方法去解决问题。一句话:还课堂以生命力,还学生以活力。 六.课堂设计
6.3等比数列及其前n 项和 考情分析 高考中主要在选择题、填空题中考查等比数列的定义、基本运算和性质,在解 答题中多与等差数列、函数、不等式等综合考考查 基础知识 1、等比数列的判定:(1)定义法:*1()n n a q q n N a +=∈为非零常数,(2)等比中项法:2*11(0,2)n n n n a a a a n N n -+=≠∈≥且(3)通项公式法:*(,)n n a cq c q n N =∈均为非零常数,(4)1()1n n a S kq k k q =-=≠≠-是常数且q 0且q 1 (5)若{},{}n n a b 均为等比数列,n S 为{}n a 的前n 项和,则1{}(0),{||}{}{()}{}k n n n n n n ka k a ma b a a ≠;;;公比不为1的等比数列由相邻两项的差213243{,,}a a a a a a ---,相邻k 项和232{,,}k k k k k S S S S S --仍是等比;由原等比数列中相隔k 项的项从新组成的数列仍等比 2、等比数列的性质 (1)通项公式:①11n n a a q -=②n m n m a q a -= (2)前n 项和公式:111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??=--?=≠?--? (3)下脚标性质:若m+n=p+q ,则m n p q a a a a = (4)两个常用技巧:若三个数成等比通常设成,,a a aq q ,若四个数成等比通常设成33,,,a a aq aq q q ,方便计算 注意事项