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一：雅可比( Jacobi )行列式.
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形, 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,
由 F 、G 的偏导数组成的行列式
称为F 、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
二：二重积分换元法
定理: 变换
: 满足： ，一阶导数连续
（2）在D ’上雅可比行列式
(3) 变换 是一一对应的 ,
则： 面积元素 三：三重积分的一般变量代换
对于三重积分做出变量代换：
定义于 u v w 空间中的区域Ω* 上，且满足:
(1) 函数 在区域Ω*上具有连续偏导数, 且任给 (u , v , w )∈Ω*, 有
【这可以看作是由（r, s, t ）空间到（x, y, z ）空间的一种变换（或映射）关系。如果相关函数均具有连续的一阶偏导数，并且他们的雅可比行列式】
(2) 函数组建立了区域Ω上的点与区域Ω*上的点之间的一一对应关系, 则Ω在直角坐标系下的体积元dv 变为：
因此有： 说明: 当Jacobi 行列式 在区域的个别点或某条曲线、某块曲面上等于零, 而在其它点处均非零时, 换元法仍然成立.
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u u x y v v x y =??=?(,)(,)u v u v F F F G J G G u v ''?==''?(,),f x y D 设在闭域上连续(,)u v D D
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