消去法解题
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消去法解题
例题1 3袋大米和5袋面粉共重135千克；9袋大米和4袋面粉共重240千克。求每袋大米重多少千克每袋面粉重多少千克
点拨与解答吗把题中的两组条件用两个等式表示出来，并列在一起进行比较：
3袋大米+5袋面粉=135千克⑴
6袋大米+4袋面粉+240千克⑵
通过比较可以发现：9是3的3倍，只要把第一个等式中的每一项都扩大3倍，就可以得到下面的等式
9袋大米+15袋面粉=405千克⑶
根据和，很容易看出405-240=165千克就是15-4=11袋面粉的重量，从而求出每袋面粉的重量是165÷11=15千克，进而求出每袋大米的重量。
（135×3-24）÷（53-4）=15
（135-15×5）÷3=20千克
例题2
5件上衣和6条裤子共值1670元，同样的6件上衣和5条裤子共值1740元，每件上衣和每条裤子各多少元
【解析】：
先根据题中的条件列出等量关系式：
⑴5件上衣的钱＋6条裤子的钱＝1670元
⑵6件上衣的钱＋5条裤子的钱＝1740元
则1670元＋1740元，可以买（5＋6）11件上衣和（6＋5）11条裤子，则1件上衣加上1条裤子共需要钱：
（1670＋1740）÷（5＋6）＝310（元）
根据⑴式条件，用1670元减去5件上衣和5条裤子的钱，即可求得一条裤子的单价为：1670－310×5＝120（元）。
所以，一件上衣的单价为：310－120＝190（元）。
例题3：
妈妈去商店买水果，第一次买回苹果、橘子、梨各2千克，共14元；第二次买回苹果4千克、橘子3千克、梨2千克，共用元；第三次买回苹果5千克、橘子4千克、梨2千克，共用26元。求三种水果的单价各是多少
【解析】：
这一题中有3个并列的未知数，需要先后依次消去其中的两个未知数，只留下一个未知数先求出来，再求出另外两个未知数。
先根据题中的条件列出等量关系式：
⑴2千克苹果的钱＋2千克橘子的钱＋2千克梨的钱＝14元；
⑵4千克苹果的钱＋3千克橘子的钱＋2千克梨的钱＝元；
⑶5千克苹果的钱＋4千克橘子的钱＋2千克梨的钱＝26元。
观察3个等式，其中梨子的重量都一样，是2千克。可以用不同的等量关系式左右两边对应相减，应先消去梨的钱数。
⑵式－⑴式得：
⑷2千克苹果的钱＋1千克橘子的钱＝元
⑶式－⑵式得：
⑸1千克苹果的钱＋1千克橘子的钱＝元
再用⑷式－⑸式，可得1千克苹果的单价为:－＝3(元)。
根据苹果的单价和⑸式条件，可以求出橘子的价格为：－3＝(元)。
把⑴式的每一项都缩小2倍，可得：
1千克苹果的钱＋1千克橘子的钱＋1千克梨的钱＝7元
所以梨的单价为：14÷2－3－＝(元)
试一试1 买4个水瓶和10个茶杯要用112元钱，若买同样的3个水瓶和8个茶杯要用86元钱。水瓶和茶杯的单价各是多少元》
试一试2 买8千克茶叶和3千克糖要用520元，买同样的4千克茶叶和9千克糖要用350元，没千克茶叶茶叶多少元每千克糖多少元
3为了发奖品，老师用55元钱买了5支钢笔和10支圆珠笔，后来发现不够，又用59元钱买了同样的4支钢笔和11支圆珠笔。求两种笔的单价。
4买2支钢笔，1支铅笔盒1块橡皮公用14元；买一支钢笔，2支铅笔盒一块橡皮共用元；买一支钢笔，1支铅笔和2块橡皮共用元。求钢笔铅笔和橡皮的单价。
5同学们去划船，6条大船和4条小船共坐84人，已知5条大船比4条小船多坐26人，平均每条大船坐几人每条小船坐几人
盈亏问题
解决盈亏问题常用比较的解题策略：
通过两次分配盈亏总额与分配数量的比较，先求出固定对象的个数，再求出分配物品的总数量。
此类问题基本数量关系有：
①盈适足问题：
盈余部分÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。
②亏适足问题：
亏欠部分÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。
③两盈问题：
（盈多－盈少）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。
④两亏问题：
（亏多－亏少）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。
⑤盈亏问题：
（盈+亏）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。
学习比较常规的盈亏问题，一般可以直接套用上面的数量关系，解决问题。学习较复杂的盈亏问题，一般需要先对题中的条件进行适当的转化，将相关问题先转化成典型的盈亏问题，再求解。
【题目】：
“雏鹰小队”的同学们参加植树活动，如果每人栽5棵树，还剩12棵树；如果每人栽7棵，就缺4棵。问这个小队有多少人一共要栽多少棵树
【解析】：
可以画出线段图帮助理解题意，如下图：
观察上图，比较每人栽7棵与每人栽5棵的两种情况，雏鹰小队总人数是不变的。
雏鹰小队栽树总棵数多出：12＋4=16（棵）；
而每个人多栽：7－5=2（棵）；
所以小队人数为：（12＋4）÷（7－5）=8（人）。
由小队人数和任意一种栽法，可以求出栽树总棵数：
5×8＋12=52（棵）或7×8－4=52（棵）。
《奥赛天天练》模仿训练，练习2
【题目】：
小朋友分苹果，每人分18个，还多出2个；每人分20个，就有一位小朋友没分到苹果，问共有多少个小朋友共有多少个苹果
【解析】：
转化题中条件“每人分20只，就有一位小朋友没分到苹果”，即每人分20个苹果，就少20个苹果。
可以画出与上题相似的线段图帮助理解题意，比较每人分20个苹果和每人分18个苹果两种情况，小朋友总人数是不变的。
分掉的苹果总数相差：2＋20=22（个）；
每人多分：20－18=2（个）；
所以共有小朋友：22÷2=11（个）。
由小朋友总人数和任意一种分法，可以求出苹果总数，如：
（11—1）×20=200（个）。
《奥赛天天练》拓展提高，习题1
【题目】：
全班同学分组劳动，每组8人。劳动中觉得每组人数太少，因而重新编组，每组改为12人，这样减少了2组，问参加劳动的学生有多少人
【解析】：
转化题中条件“每组12人，少2组”，即按原定组数分组，每组12人，少了24人。
转化条件后，比较第二次编组与第一次编组情况，编的组数没变。
总人数增加：12×2=24（人）；
每组人数增加：12－8=4（人）；
原定组数为：24÷4=6（人）。
再根据第一次分组情况，可以求出学生人数为：8×6=48（人）。
注：如果解题时，该题需要把题中的一种分配方案进行转化才能化为盈亏问题求解，通常在求题中的第二个未知数时，按另一种分配方案求解比较方便。
幼儿园小朋友分苹果，如果每人分3个就多了11个，如果每人分5个还缺5个，问有多少个小朋友苹果有多少个
【解析】：
这是个典型的盈不足问题，根据数量关系：
（盈+亏）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量
先求出小朋友的个数为：
（11＋5）÷（5－3）=8（个）。
再根据题中任意一个条件，求出苹果的个数：
3×8＋11=35（个）或5×8－5=35（个）。
《奥赛天天练》第13讲，模仿训练，练习2
【题目】：
小华从家去学校，如果每分钟走80米，能在上课前6分钟到校；如果每分钟走50米，就要迟到3分钟，那么小华家到学校的路程有多远
【解析】：
题中隐藏着两个固定的数量：小华从家到学校归定的时间和固定的家校距离。先对题中的条件作一个转化：
①“如果每分钟走80米，能在上课前6分钟到校”，即每分钟走80米，在规定时间内，所走的路程比家校距离多了：80×6＝480（米）。
②“如果每分钟走50米，就要迟到3分钟”，即每分钟走50米，在规定时间内，所走的路程就比家校距离短：50×3＝150（米）。
所以，小华从家到学校规定的时间为:
(480＋150)÷(80－50)＝21(分)。
小华家到学校的路程为：
50×（21＋3）＝1200（米）或80×（21－6）＝1200（米）。
《奥赛天天练》巩固训练，习题1
【题目】：
某厂生产一批零件，如果每天生产1000个，将比原计划多用1天；如果每天多生产500个，将比原计划提前1天完成。现在要求按计划生产完，那么每天应完成多少个
【解析】：
先确定好题中两个未知的数量：这批零件总个数和计划生产天数。要求出按计划生产完，每天应生产多少个，必须先求出这两个未知数。
再对题中的条件作一个转化：
①“如果每天生产1000个，将比原计划多用1天”，即如果每天生产1000个，在计划生产天数里将比总个数少生产：1×1000＝1000（个）。
②“如果每天多生产500个，将比原计划提前1天完成”，如果每天生产（1000＋500）个，在计划生产天数里将比总个数多生产：1×（1000＋500）＝1500（个）。
所以计划生产天数为：（1000＋1500）÷500＝5（天）。
这批零件总个数为：1000×（5＋1）＝6000（个）。
所以按计划生产完，每天应生产零件：6000÷5＝1200（个）。
《奥赛天天练》第13讲，巩固训练，习题2
【题目】：
学校春游租了几条船让学生们划，如果每条船坐3人，则多出一条船；如果每条船坐5人，则空出19人的位置，有多少学生参加划船
【解析】：
“如果每条船坐3人，则多出一条船”，即每条船坐3人，按座位算就少了3个人。
“如果每条船坐5人，则空出19人的位置”，即每条船坐5人，按座位算就少了19个人。
这是个两亏问题，根据数量关系：
（亏多－亏少）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量
先求出租船的条数：
（19－3）÷（5－3）＝8（条）
再求出学生人数：
3×（8－1）＝21（人）或5×8－19＝21（人）。
《奥赛天天练拓展提高，习题1
【题目】：
用一根绳子测井台到水面的高度，把绳子对折后垂直到水面，绳子超过井台9米；把绳子三折后垂直到水面，绳子超过井台3米，那么绳子共多少米井台到水面的距离是多少米
【解析】：
如下图：
把绳子对折后，绳长相当于井台到水面距离的2倍，加上2个9米，即绳长是井台到水面距离的2倍还多18米；
把绳子三折后，绳长相当于井台到水面距离的3倍，加上3个3米，即绳长比井台到水面距离的3倍还多9米。
因为绳子的长度是一定的，对比两次测量情况，井台到水面距离的3倍比2倍多用了（18－9）9米长的绳子，所以井台到水面的距离为：
（2×9－3×3）÷（3－2）＝9（米）。
绳子的长度为：（9＋9）×2＝36（米）或（9＋3）×3＝36（米）。
注：解答这一题要综合运用两盈问题和差倍问题常识。
《奥赛天天练》第13讲，拓展提高，习题2
【题目】：
幼儿园将一筐苹果分给大班和小班的小朋友，如果大班每人分5个，就多10个；如果小班每人分8个，就少了2个。已知大班比小班多3人，这筐苹果有多少个
【解析】：
本题中苹果的个数是一定的，但大班和小班小朋友的人数不同，必须要先确定其中的一个为标准人数，再求解，下面就以小班人数为标准人数来求解。
大班每人分5个，苹果多出10个，而且大班比小班多3人。如果按小班人数每人分5个，则苹果就多出了：10＋5×3＝25（个）。
而小班每人分8个，就少了2个。
先求出小班人数为：（25＋2）÷（8－5）＝9（人）。
所以这筐苹果有：9×8－2＝70（个）。
1、若干个同学去划船，他们租了一些船，若每船4人则多5人；若每船5人则有4个空位。问：有多少个同学多少条船
2、学校给参加夏令营的同学租了几辆大轿车，若每辆车乘26人则有13人上不了车；若每辆车乘32人则还有3个空座。问：有多少名同学多少辆车
3、合唱队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则有9人没座，若每条长椅上坐标4人则多出3个座位。问：合唱队有多少人
4、全班同学去划船，如果减少一条船，那么每条船正好坐9人；如果增加一条船，那么每条船正好坐6人。问：全班有多少人
5、全班同学站队排成若干行，若每行14人则多5人；若每行17人则少4人。问：排成了多少行有多少名同学
6阿姨给幼儿园小朋友分一堆糖，若每人分10块，则多8块；若每人分12块，则刚好有一个小朋友没分到糖。要想使每个小朋友都分到11块糖，这堆糖还需要增加多少块
7、钢笔与圆珠笔每支相差1。20元，小明带的钱买5支钢笔差1。50元，买8支圆珠笔多0。60元。小明带了多少钱
8、有若干个苹果和梨。如果按每1个苹果和2个梨分堆，那么梨分完时还剩5个苹果；如果按每3个苹果5个梨分堆，那么苹果分完了还剩5个梨。问：苹果和梨各有多少个