《立体几何初步》测试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分）
1. 在空间四点中，无三点共线是四点共面的是（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分又不必要条件
2. 若a ∥b ，A c b =?，则c a ,的位置关系是（ ）
A.异面直线
B.相交直线
C.平行直线
D.相交直线或异面直线
3．圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是 （ ）
A ．等边三角形
B ．等腰直角三角形
C ．顶角为30°的等腰三角形
D ．其他等腰三角形
4. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是
一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边 长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（ ）
A 48
B 64
C 96
D 192
5. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8
个顶点都
在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）
A ．25π
B ．50π
C ．125π
D ．都不对
6. 已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于 （ ） A 22 B 23 C 42 D 43
7. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A ．若//,,l n αβαβ??，则//l n
B ．若
,l αβα⊥?，则l β⊥
C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若
,l n m n ⊥⊥，则//l m
8. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，， 分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与 GH 所成的角等于（ ）
Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120°
9. 已知两个平面垂直，下列命题
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.
G
其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0
10. 平面α与平面β平行的条件可以是（ ）
A.α内有无穷多条直线与β平行；
B.直线a//α,a//β
C.直线a α?,直线b β?,且a//β,b//α
D.α内的任何直线都与β平行
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 直观图（如右图）中，四边形O ′A ′B ′C ′为
菱形且边长为2cm ，则在xoy 坐标中四边形ABCD
为 _ ____，面积为______cm 2．
12. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=3，AA 1=5，则一只小虫从A 点沿长方体的表面爬到C 1点的最短距离是 ．
13. 已知直线b//平面α，平面α//平面β，则直线b 与β的位置关系
为 . 14. 正方体的内切球和外接球的半径之比为＿＿＿＿＿
15. 如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=?90，PA ⊥平面ABC ，此图
形中有 个直角三角形
16. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：（1）AC ⊥BD ； （2）△ACD 是
等边三角形
（3）AB 与平面BCD 所成的角为60°；（4）AB 与CD 所成的角为60°。
其中正确结论的序号为＿＿＿＿ 三、解答题（本大题共4小题，共60分）
17.（10分）如图，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC 求证：AB ⊥BC
18.（10分）在长方体1111D C B A ABCD -中，已知,
4==DC DA 的余弦值 。. 19. （12分）在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，中点为PD E . (1)求证：AE ∥平面PBC ； (2)求证：AE ⊥平面PDC.
20. （14分）如图，P 为ABC ?所在平面外一点，⊥PA ABC ，?=∠90ABC ，PB AE ⊥于E ，PC AF ⊥于F
求证：（1）⊥BC 平面PAB ；
（2）⊥AE 平面PBC ；
（3）⊥PC 平面AEF ．
21. （14分）已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB BCD ， A
B
C P
P A D'C'B'A'O'Y'X'C
∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且
(01).AE AF AC AD λλ==<<
（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？
F E
D B A C
《立体几何初步》测试题参考答案 1-5 DDABB 6-10 DCBCD
11. 矩形 8 12. 25
13. 平行或在平面内；
14. 正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径， 设棱长是a
15. 4 16. （1）（2）（4）
17. 证明：过A 作AD ⊥PB 于D ，由平面PAB ⊥平面PBC ，得AD ⊥平面PBC ，故AD ⊥BC ， 又BC ⊥PA ，故BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AB
18. 连接D A 1， D BA C B D A 111,//∠∴Θ为异面直线B A 1与C B 1所成的角. 连接BD ，在△DB A 1中，24,511===BD D A B A ，
则D A B A BD D A B A D BA 112212112cos ??-+=∠25
9552322525=??-+=. 19.(1)证明:取PC 的中点M,连接EM,则EM ∥CD ，EM=2
1DC,所以有EM ∥AB 且EM=AB,则四边形ABME 是平行四边形.所以AE ∥BM,因为AE 不在平面PBC 内,所以AE ∥平面PBC.
(2) 因为AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD,所以CD ⊥平面PBC ，CD ⊥BM.由(1)得,BM ⊥PC,所以BM ⊥平面PDC ，又AE ∥BM,所以AE ⊥平面PDC.
20.证明:(1)∵⊥PA 平面ABC ，∴BC PA ⊥，∵?=∠90ABC ，∴BC AB ⊥， 又A AB PA =I ∴⊥BC 平面PAB .
(2)∵⊥BC 平面PAB 且?AE 平面PAB ，∴AE BC ⊥，又∵AE PB ⊥，且B PB BC =I ，∴⊥AE 平面PBC .
(3)∵⊥AE 平面PBC ，∴PC AE ⊥，又∵PC AF ⊥，且A AF AE =I ，∴⊥PC 平面AEF ．
21. 证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD ，
∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ， ∴CD ⊥平面ABC. 又),10(<<==λλAD AF AC AE Θ
∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ?平面BEF, ∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ，
∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC.
∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴,660tan 2,2===οAB BD
,722=+=∴BC AB AC 由AB 2=AE ·AC 得,7
6,76==∴=AC AE AE λ 故当76=λ时，平面BEF ⊥平面ACD.