课 题 8．2分式的基本性质（2）
教学目标：1、 了解分式约分的意义，能熟练的进行分式约分；
2、 理解最简分式的定义
教学重点：约分依据和作用。
教学难点：将一个分式化成一个最简分式
教学过程
一、预习导学1、下列等式的右边是怎样从左边得到的？
422
2(1) (2) (0)x x a b ab b b x y y a ab
--==≠ 2、对分数812
怎样化简? 3、什么叫分数的约分？
4、类似地，分式y
x x 22
64也可约分吗？ 5、填空：（并说明理由）
)(()
()()222 233(1) (2) 29 1(3) (3) 6b a b a b a a c ac c x a x y ++===
6、什么叫分式的约分？
7、尝试约分：
33
236ab c (a+b)(1) (2) 6abc (a+b)(a-b)
8、约分： 22
22
ma+nb+mc a 44(1) (2) a+b+c a 4ab b b -+-
9、如果的分式分子或分母有多项式应该怎样约分？
10、什么是最简分式？
11、思考：约分要注意些什么？约分的一般步骤是怎样的？
二、交流成果
三、合作探究：
1、下列分式a
b b a b a b a b a b a x y y x a
c b ----++++、、、）（、24)(35412222222中，最简分式的个数是（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
2、判断正误，并说明原因。
（1）3322
=b
b ； （2）b a m b m a =++； （3）022=++am am ； （4）2
1632-=-++x x x x ； （5）b b a b a +=+=+1331632； （6）a a a a 3212622=+； （7）m m m
m m +-=-+-1111222 3、约分：
① 23
2636yz
z xy - ②16282--m m ③44422-+-a a a 4、约分： 222215
21033223y x y x -- 5、先化简,再求值:
①16
16822-+-a a a ,其中a=5
四、拓展延伸： ①先化简，再求值222
2)
1()1()1(-+-x x x ； 其中x=21-
②16
)(16)(8)(22-+++-+b a b a b a 期中a+b=5. 五、课堂小结：本节类比分数的约分，学习了分式约分的概念及分式约分的 方法．（注意： 1.分式的分子与分母是单项式时，约分可直接进行，约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数最大公约数，然后约去分子、分母相同因式的最低次幂。2.分式的分子与分母是多项式时，约分时，先把分子与分母按一个字母降幂排列，再分解因式，然后约分
约分的步聚：1.把分子、分母分解因式；2.约去分子、分母相同因式的最低次幂；
3.尽量把分子、分母的最高次项的系数化为正数)
一、 六、达标测试：判断正误并改正: ①26
y
y =y 3 （ ） ②b a b a +--2)(=－a －b （ ） ③b a b a --22=a －b （ ） ④ )
3)(2()3)(2(x x x x -+-+=－1 （ ） ⑤a y a x ++ =y
x （ ） ⑥))((2)()(y x y x y x y x -+-++=21 （ ） 二、选择：
1、下面化简正确的是 （ ）
A ．1212++a a =0 B. 22
)
()(a b b a --=－1 C. 326+--x x =2 D.y x y x ++22=x+y 2、下列约分:①23x x =x 31 ②m b m a ++=b a ③a +22=a +11 ④2
2++xy xy =1 ⑤112+-a a =a －1 ⑥2)
()(y x y x --- =－y x -1其中正确的有 ( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
三、解答题:
1. 约分：课本P40页练习。
七、本节课的疑惑：
分式及分式的基本性质练习 题型 1：分式概念的理解应用 1 ．下列各式 a ， 1 ， 1 x y ， a 2 2 b ， 3x 2 ，0?中，是分式的有 ___ __；是整式的有 _____ ． π x 1 5 a b 题型 2：分式有无意义的条件的应用 2 ．下列分式，当 x 取何值时有意义． （2） 3 x 2 （ 1） 2x 1 ； ． 3x 2 2x 3 3 ．下列各式中，无论 x 取何值，分式都有意义的是（ ） 2 C ． 3x 1 A ． 1 B ． x D ． x 1 2x 1 2 x 1 x 2 2 x 2 4 ．当 x ______时，分式 2 x 1 无意义． 3x 4 题型 3：分式值为零的条件的应用 2 5 ．当 x _______时，分式 x 1 的值为零． x 2 x 2 6 ．当 m ________时，分式 (m 1)(m 3) 的值为零． m 2 3m 2 题型 4：分式值为 1 的条件的应用 7 ．当 x ______时，分式 4x 3 的值为 1；当 x _______时，分式 4x 3 的值为 1 ． x 5 x 5 课后训练 基础能力题 8 ．分式 x ，当 x _______时，分式有意义；当 x _______时，分式的值为零． 2 x 4 9 ．有理式① 2 ，② x y ，③ 1 ，④ x 中，是分式的有（ ） x 5 2 a 1 A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 10．分式 x a 中，当 x a 时，下列结论正确的是（ ） 3 x 1 A ．分式的值为零； B ．分式无意义 C ．若 a ≠ 1 时，分式的值为零； D ．若 a ≠ 1 时，分式的值为零 3 3 11．当 x _______时，分式 1 的值为正；当 x ______时，分式 4 的值为负． x 5 2 x 1 12．下列各式中，可能取值为零的是（ ） m 2 1 B ． m 2 1 C ． m 1 D ． m 2 1 A ． 2 1 m 1 2 1 m 1 m m 13．使分式 x 无意义， x 的取值是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 1 D ． 1 | x| 1 拓展创新题 14．已知 y x 1 ， x 取哪些值时：（ 1） y 的值是正数；（ 2 ） y 的值是负数；（ 3） y 的值是零；（ 4）分式 2 3 x 无意义． 题型 1：分式基本性质的理解应用
1.1 分式 1.1.1分式的概念 （第1课时） 教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。 教学重点、难点： 重点：分式的概念和性质难点：理解分式的性质。 教学过程 一创设情境，导入新课 探究： 1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？（交流讨论） （1）每位小朋友分3 4 （2）分法： ①每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果 的3 4 ②为了每个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块， 这六块占一个苹果的6 8 。 想想这两种分法分得的是否一样多？（36 = 48，即：3326 == 4428 ? ? ）由此表明了什 么？
分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分数的值不变。 分数的分子与分母约去共因数，分数的值不变。 这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为：把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？ 用除法表示：3n ÷，用分数表示为：3n ，33n n ÷、相等吗？（33=n n ÷）这里的n 可以是实数吗？（n 不能为0） (2) 334n 与有什么区别？（后者分母含有字母）我们把前者叫分数，后者叫分式，什么叫分式呢？分式有没有和分数一样的性质？ 这节课我们来学习-----分式的基本性质。（板书课题） 二 合作交流，探究新知 1 分式的概念 填空： （1 ）如果小王用a 元人民币买了b 袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的价格是______元。 （2）一个梯形木板的面积是6 2m ，如果梯形上底是am ，下底是bm ，那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a 亩，b 亩的稻田m kg ，n kg ，这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式：12a m n b a b a b +++、、这些代数式有什么共同点特点？（分子分母都是整式，分母含有字母） 一般地，如果f 、g 分别表示两个整式，并且g 中含有字母，那么代数式 f g 叫分式。
分式的基本性质 第2课时 课前自主练 1．分数的基本性质为：______________________________________________________． 2．把下列分数化为最简分数：（1） 8 12 =________；（2） 125 45 =_______；（3） 26 13 =________． 3．把下列各组分数化为同分母分数: （1）1 2 ， 2 3 ， 1 4 ；（2） 1 5 ， 4 9 ， 7 15 ． 4．分式的基本性质为：______________________________________________________．用字母表示为：______________________． 课中合作练 题型1：分式基本性质的理解应用 5．（辨析题）不改变分式的值，使分式11 510 11 39 x y x y - + 的各项系数化为整数，分子、分母应乘以 （? ） A．10 B．9 C．45 D．90 6．（探究题）下列等式：① () a b c -- =- a b c - ;② x y x -+ - = x y x - ;③ a b c -+ =- a b c + ; ④ m n m -- =- m n m - 中,成立的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 7．（探究题）不改变分式 2 3 23 523 x x x x -+ -+- 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确 的是（? ） A． 2 3 32 523 x x x x ++ +- B． 2 3 32 523 x x x x -+ +- C． 2 3 32 523 x x x x +- -+ D． 2 3 32 523 x x x x -- -+ 题型2：分式的约分 8．（辨析题）分式43 4 y x a + ， 2 4 1 1 x x - - ， 22 x xy y x y -+ + ， 2 2 2 2 a ab ab b + - 中是最简分式的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（技能题）约分： （1） 2 2 69 9 x x x ++ - ；（2） 2 2 32 m m m m -+ - ．
讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期： 【考纲说明】 掌握分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行约分和通分，本部分在中考中通常会以选择题的形式出现，占3--4分。 【趣味链接】 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，3小时后相遇. 尔后两人都用原来速度继续前进，结果甲达到B地比乙达到A地早1小时21分.已知甲每小时比乙多走1千米，求甲、乙两人的速度。 【知识梳理】 分式 1.分式的概念：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式.其中，A叫分式的分子，B叫分式的分母. 2.分式有意义的条件：因为两式相除的除式不能为零，即分式的分母不能为零，所以，分式有意义的条件是：分式的分母必须不等于零，即B≠0，分式有意义.
3．分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可. 有理式 有理式的分类：有理式 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示为：（其中M≠0） 约分和通分 1．分式的约分：把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分. 2．分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分. 最简分式与最简公分母： 约分后，分式的分子与分母不再有公因式，我们称这样的分式为最简分式.取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 【经典例题】 【例1】不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ） A．10 B．9 C．45 D．90 【例2】下列等式：①=-;②=;③=-; ④=-中,成立的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【例3】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（? ） A． B． C． D． 【例4】分式，，，中是最简分式的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16.1.2分式的基本性质 课前自主练 1．分数的基本性质为：______________________________________________________． 2．把下列分数化为最简分数：（1）=________；（2）=_______；（3）81212545 =________．2613 3．把下列各组分数化为同分母分数: （1），，； （2），，．1223141549715 4．分式的基本性质为：______________________________________________________． 用字母表示为：______________________． 课中合作练 题型1：分式基本性质的理解应用 5．（辨析题）不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应115101139 x y x y -+乘以（ ） A ．10 B ．9 C ．45 D ．90 6．（探究题）下列等式：① =-;②=;③=-;()a b c --a b c -x y x -+-x y x -a b c -+a b c +④=-中,成立的是（ ）m n m --m n m - A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④ 7．（探究题）不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，2323523 x x x x -+-+-正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．2332523x x x x +++-2332523x x x x -++-2332523x x x x +--+2332523x x x x ---+题型2：分式的约分
8．（辨析题）分式，，，中是最简分式的有（ 434y x a +2411x x --22x xy y x y -++2 2 22a ab ab b +-） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9．（技能题）约分： （1）； （2）．22699x x x ++-2232m m m m -+-题型3：分式的通分 10．（技能题）通分： （1），； （2），．26x ab 29y a bc 2121a a a -++261a -课后系统练 基础能力题11．根据分式的基本性质，分式 可变形为（ ）a a b -- A ． B ． C ．- D ．a a b --a a b +a a b -a a b +12．下列各式中，正确的是（ ） A ．=; B ．=; C ．=; D ．=x y x y -+--x y x y -+x y x y -+-x y x y ---x y x y -+--x y x y +-x y x y -+-x y x y -+13．下列各式中，正确的是（ ）
第2课时 分式的基本性质及约分 1．理解并掌握分式的基本性质和符号法则；(重点) 2．能正确、熟练地运用分式的基本性质对分式进行约分和通分．(重点、难点) 一、情境导入 中国古代的数学论著中就有对“约分”的记载，如《九章算术》中就曾记载“约分术”， 并给出了详细的约分方法，这节课我们就来学习分式化简的相关知识，下面先来探索分式的 基本性质． 二、合作探究 探究点一：分式的基本性质 【类型一】 利用分式的基本性质对分式进行变形 下列式子从左到右的变形一定正确的是( ) A.a ＋3b ＋3＝a b B.a b ＝ac bc C.3a 3b ＝a b D.a b ＝a 2 b 2 解析：A 中在分式的分子与分母上同时加上3不符合分式的基本性质，故A 错误；B 中当c ＝0时不成立，故B 错误；C 中分式的分子与分母同时除以3，分式的值不变，故C 正确；D 中分式的分子与分母分别乘方，不符合分式的基本性质，故D 错误．故选C. 方法总结：考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式， 分式的值不变． 【类型二】 不改变分式的值，将分式的分子、分母中各项系数化为整数 不改变分式0.2x ＋1 2＋0.5x 的值，把它的分子、分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为( ) A.2x ＋12＋5x B.x ＋54＋x C.2x ＋1020＋5x D.2x ＋12＋x 解析：利用分式的基本性质，把0.2x ＋12＋0.5x 的分子、分母都乘以10得2x ＋1020＋5x .故选C. 方法总结：观察分式的分子和分母，要使分子与分母中各项系数都化为整数，只需根据 分式的基本性质让分子和分母同乘以某一个数即可． 探究点二：约分
分式的概念及性质 定义 示例剖析 分式的定义：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 A B 叫做分式，其中A 叫分子，B 叫分母且0B ≠． 例如211 a ax +， 分式有意义（或分式存在）的条件：分式的分母不等 于零即0B ≠． 使1x 有意义的条件是0x ≠ 分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零． 即当0A =且0B ≠时，0A B =． 使1 1x x -+值为0的x 值为1 知识互联网 模块一 分式的基本概念 知识导航
【例1】 ⑴下列式子：2 124233a x y a x x x a b x +---π，，，， ，1 x x y +其中是分式的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ⑵当x 时，分式 2x x +有意义；当x 时，分式21 1 x +有意义； ⑶当x 为何值时，下列分式的值为0？ ① 213x x -+ ②6(6)(1)x x x --+ ③ 216(4)(1)x x x -+- ④ 288 x x + ⑤ 2225(5)x x -- 【例2】 ⑴当x 时，分式 233x x --的值为1；如果分式1 21x x -+的值为1-，则x 的值是_____. ⑵当x 时，分式48x -的值为正数；当x 时，分式48x x --的值为负数；当 x 时，分式6 1x +的值为正整数. ⑶当3x =-时，分式x b x a --无意义，当5x =时，分式x b x a --的值为0，则a b +=_____. 能力提升 夯实基础 模块二 分式的基本性质
（新课标）苏科版八年级下册 10.2 分式的基本性质 一．选择题 1．化简的结果是（） A．﹣1 B．1 C．D． 2．下列分式中，最简分式是（） A．B． C．D． 3．如果把中的x和y都扩大到5倍，那么分式的值（）A．扩大5倍B．不变C．缩小5倍D．扩大4倍 4．下列分式运算中正确的是（） A．B． C．D． 5．不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（） A．B．C．D．
二．填空题 6．若，则= ． 7．化简= ． 8．约分= ． 9．分式，﹣，的最简公分母是． 10．若，则的值是． 11．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：==2+=2．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：==1﹣； 再如：===x+1+． 解决下列问题： （1）分式是分式（填“真分式”或“假分式”）；
（2）假分式可化为带分式的形式； （3）如果分式的值为整数，那么x的整数值为．12．下列4个分式：①；②；③；④，中最简分式有个． 三．解答题 13．约分： （1）； （2）； （3）?． 14．（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数． （3）当x满足什么条件时，分式的值①等于0？②小于0？
分式及分式的基本性质 一. 选择题 1. 在x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、m a 1 +中分式的个数有( ）A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 2. 要使分式 1 (1)(2) x x x ++-有意义，则x 应满足（ ）≠-1 ≠2 ≠±1 ≠-1且x ≠2 3. 下列约分正确的是（ ） A 、3 26x x x =； B 、 0=++y x y x ； C 、x xy x y x 12=++； D 、2 14222=y x xy 4. 化简2 293m m m --的结果是（ ） A 、3+m m B 、3+-m m C 、3-m m D 、m m -3 5. 下列分式中,最简分式是 （ ） A.a b b a -- B.22x y x y ++ C.242x x -- D.4 422+++a a a 6. 对分式 2y x ，23x y ，14xy 通分时， 最简公分母是（ ）A ． B ． Ｃ． Ｄ． 7. 下列式子（1） y x y x y x -=--12 2；（2）c a b a a c a b --=--；（3）1-=--b a a b ；（4）y x y x y x y x +-=--+- 中正确个数有 （ ） A 、1个 B 、2 个 C 、 3 个 D 、 4 个 8. 分式 1 3-+x a x 中，当a x -=时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零 B.分式无意义 C. 若31-≠a 时,分式的值为零 D. 若3 1 ≠a 时,分式的值为零 9. 如果分式x 211 -的值为负数,则的x 取值范围是( )A.21≤x B.21
16.1.2分式的基本性质 第2课时 课前自主练 1．分数的基本性质为：______________________________________________________． 2．把下列分数化为最简分数：（1） 8 12 =________；（2） 125 45 =_______；（3） 26 13 =________． 3．把下列各组分数化为同分母分数: （1）1 2 ， 2 3 ， 1 4 ；（2） 1 5 ， 4 9 ， 7 15 ． 4．分式的基本性质为：______________________________________________________．用字母表示为：______________________． 课中合作练 题型1：分式基本性质的理解应用 5．（辨析题）不改变分式的值，使分式11 510 11 39 x y x y - + 的各项系数化为整数，分子、分母应乘以 （? ） A．10 B．9 C．45 D．90 6．（探究题）下列等式：① () a b c -- =- a b c - ;② x y x -+ - = x y x - ;③ a b c -+ =- a b c + ; ④ m n m -- =- m n m - 中,成立的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 7．（探究题）不改变分式 2 3 23 523 x x x x -+ -+- 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确 的是（? ） A． 2 3 32 523 x x x x ++ +- B． 2 3 32 523 x x x x -+ +- C． 2 3 32 523 x x x x +- -+ D． 2 3 32 523 x x x x -- -+ 题型2：分式的约分 8．（辨析题）分式43 4 y x a + ， 2 4 1 1 x x - - ， 22 x xy y x y -+ + ， 2 2 2 2 a ab ab b + - 中是最简分式的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（技能题）约分： （1） 2 2 69 9 x x x ++ - ；（2） 2 2 32 m m m m -+ - ．
分式的基本性质及运算复习 班级 姓名 一、知识梳理 1、一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么代数式A B 叫做 。 2、分式的 时，分式有意义；分式的 时，分式的值为0。 3、用具体的数值代替分式中的字母，按照分式的运算关系计算，所得的结果就是 。 4、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以） 的整式， 分式的值 。 5、根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的 ，叫做分式的约分。 6、根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做分式的 。 7、同分母的分式相加减，分母 ，把分子 ； 异分母的分式相加减，先 ， 再 。 8、分式乘分式,用 的积做积的分子，用 的积做积的分母； 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相 。 9、分式的加、减、乘、除混合运算的顺序是：先 ，后 ，如果有括号，先进行括号内的运算。 二、基础练习 1、下列各式中，2 4,2),(31,23,2,312---+-x x b a y x m x π，分式有 。 2、当x 时，分式31-+x x 有意义；当x 时，分式3 2-x x 无意义； 当x 时，分式3 92--x x 的值为零。 3、填空：（1）b a a b b a 2)( =+； （2）x x xy x )(22 =+； （3）222)(xy y xy = ； （4）21()a a a c ++= ； （5）()n mn m m =+2 ； （6）()()222x y x y x y +=≠-； 4、若分式12 32 -a a 的值为负数，则a 的取值范围为 。 5、请你写一个关于x 的分式，使此分式当3=x 时，它的值为2。
分式及其基本性质(1) 知识技能目标 1.使学生理解分式的概念，能正确判断一个代数式是否为分式，分清分式和整式的区别，了解有理式的概念； 2.理解并掌握判断一个分式有意义、无意义及值为零的方法； 3.使学生理解分式的基本性质．通过对比分数和分式基本性质的异同点，渗透类比的思想方法，学会用运动、变化的观点分析问题． 过程性目标 1.让学生在判断和识别整式与分式的实践过程中，理解并掌握分式的概念． 2.让学生体会从分数变化到分式的运动过程，从中感悟类比的思想方法． 情感态度目标 通过学生比较熟悉的分数入手进行教学，降低教学难度，提高学生的学习兴趣，培养学生类比与比较的思维能力． 重点和难点 重点：分式的概念． 难点：一个代数式不是不分式的判断． 教学过程 一、创设情境 做一做 (1)面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为米； (2)面积为S平方米的长方形一边长a米，则它的另一边长为米； (3)已知正方形的周长是a cm，则一边的长是____cm，面积是____cm2； (4)一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克．则每千克苹果的售价是元． 想一想 两个数相除，不能整除时结果可用分数表示．当两个整式不能整除时，它们的商怎样表示呢？ 二、探究归纳 1.分式的概念 问在上面所列出的代数式中，哪些是整式？哪些不是？ 同于前面学过的整式，是两个分母含有字母的代数式．在实际应用中，某些数量关系只用整式来表示是不够的，我们需要学习新的式子，以满足解决实际问题的需求．我们称这两个代数式为分式．
其中A叫做分式的分子(numerator)，B叫做分式的分母(denominator)． 从分式的意义中，应注意以下三点： (1)分式是两个整式相除的商，分数线可以理解为除号，并含有括号的作用； (2)分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分母必须含有字母； (3)分式分母的值不能为零．如果分母的值为零，那么分式就无意义． 整式和分式统称为有理式(rational expression)，即 分式是有理式的一部分．在有理式中可以包含加、减、乘、除四种运算， 但在整式中除式不能含有字母． 例1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ 解属于整式的有：(2)、(4)；属于分式的有：(1)、(3)． 想一想识别一个有理式是分式还是整式的关键是什么？ 关键是观察分母是否含有字母．如果分母不含字母，就是整式；如果分母含有字母，就是分式，与分子是否含字母无关． 2.分式的基本性质 回忆分数的基本性质是什么？ 分数的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变． 分式和分数也有类似的性质． 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 想一想分数的基本性质与分式的基本性质有什么区别？ 在分数的基本性质中，分子与分母是都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数 的值不变，这个“数”是一个具体的、唯一确定的值；而在分式的基本性质中，分式的 分子与分母则是都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，“整式”的 值是随整式中字母的取值不同而变化的，所以它的值是变化的． 从分数到分式是把“数”引伸到“式”．分数是分式的特殊情形，即当分式的分子和分母均为数，并且分母是不等于零的数，就成为分数． 三、实践应用 例2当x取什么值时，下列分式有意义？ 分析分式有意义的条件是分母的值不能等于零，从此条件出发可以考虑分式何时无意义，从而确定x的值． 解(1)当分式的分母x-2＝0时，这个分式无意义，
6、分式的概念、分式的基本性质 【知识精读】 分式的概念要注意以下几点： （1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母； （3）分式有意义的条件是分母不能为0。 分式的基本性质类似于分数的基本性质，是分式的符号变换法则、约分和通分的理论基础。在运用分式的基本性质时，要抓住对性质中的“都”与“同”两个字的理解，并注意法则中M“不为零”的条件。 下面我们通过习题进一步理解分式的有关概念。 【分类解析】 例1.已知a，b为有理数，要使分式a b 的值为非负数，a，b应满足的条件是（） A.a≥0，b≠0 C.a≥0，b>0分析：首先考虑分母 B.a≤0，b<0 D.a≥0，b>0，或a≤0，b<0 b≠0，但a可以等于0，由a≥0，得a≥0，b>0，或 b a≤0，b<0，故选择D。 例2.当x为何值时，分式|x|-5 x+5 的值为零？ 分析：分式的值为零必须满足两个条件：（1）分子为零；（2）分母不为零。解：由题意得，得|x|-5=0，x=±5，而当x=-5时，分母x+5的值为零。 ∴当x=5时，分式|x|-5 x+5的值为零。 例3.已知112a-3ab-2b -=3，求 a b a-2ab-b 的值（） 129 235 A. B. C. D.4
-=3，∴-=-3，将分式的分母和分子都除以a b，得 --3 例4.已知x-2y=0，求的值。 11 =-y =- 1 分析：Θ1111 a b b a 22 2a-3ab-2b b a2?(-3)-39 ===，故选择C。a-2ab-b-3-25 --2 b a x2-3xy+y2 2x2+xy-3y2 分析：根据已知条件，先消元，再化简求值。 解：Θx-2y=0∴x=2y (2y)2-3?2y2+y2 ∴原式= 2?(2y2)+2y2-3y2 2 7y27 例5.已知：x2-x-1=0，求x4+1 x4的值。 解一：由x2-x-1=0得x≠0，等式两边同除以x得：x-1-1=0，即x-1=1 x x x4+1=x4+1-2+2 x4x4 111 =(x2-)2+2=[(x-)(x+)]2+2 x x x 11 =(x-)2(x2+ x x2 +2)+2 11 =(x-)2[(x-)2+4]+2 x x =5+2=7 解二：由已知得：x-11 =1，两边平方得：x2+ x x2 =3 两边平方得：x4+1 x4=7
新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习 重难点突破 课外机构补习优秀资料 分式的概念和性质（基础） 【学习目标】 1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件. 2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】 【403986 分式的概念和性质知识要点】 要点一、分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式.其中A 叫做分子，B叫做分母. 要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分 母中都不含字母. （2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况. （3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个 常数，不是字母，如a π 是整式而不能当作分式. （4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式 不能先化简，如 2 x y x 是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式， 不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零. （2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零. （3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 要点三、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做 分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M B B M B B M ?÷ == ?÷ ，（其中M是不等于零的整式）. 要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着
6、分式的概念、分式的基本性质 【知识精读】 分式的概念要注意以下几点： （1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母； （3）分式有意义的条件是分母不能为0。 分式的基本性质类似于分数的基本性质，是分式的符号变换法则、约分和通分的理论基础。在运用分式的基本性质时，要抓住对性质中的“都”与“同”两个字的理解，并注意法则中M “不为零”的条件。 下面我们通过习题进一步理解分式的有关概念。 【分类解析】 例1. 已知a b ，为有理数，要使分式 a b 的值为非负数，a b ，应满足的条件是（ ） A. a b ≥≠00， B. a b ≤<00， C. a b ≥>00， D. a b ≥>00，，或a b ≤<00， 分析：首先考虑分母b ≠0，但a 可以等于0，由a b ≥0，得a b ≥>00，，或a b ≤<00，，故选择D 。 例2. 当x 为何值时，分式||x x -+55 的值为零？ 分析：分式的值为零必须满足两个条件：（1）分子为零；（2）分母不为零。 解：由题意得，得||x x -==±505，，而当x =-5时，分母x +5的值为零。 ∴当x =5时，分式 55||+-x x 的值为零。 例3. 已知 113a b -=，求2322a ab b a ab b ----的值（ ） A. 12 B. 23 C. 95 D. 4
分析： 113113a b b a -=∴-=-，，将分式的分母和分子都除以ab ，得 23222231122333295a ab b a ab b b a b a ----=----=?----=()，故选择C 。 例4. 已知x y -=20，求x xy y x xy y 22 22323-++-的值。 分析：根据已知条件，先消元，再化简求值。 解： x y x y -=∴=202 ∴原式=-?+?+-()()2322223222 222y y y y y y =-=-y y 22717 例5. 已知：x x 210--=，求x x 44 1+的值。 解一：由x x 210--=得x ≠0，等式两边同除以x 得： x x -- =110，即x x -=11 x x x x 44441122+=+-+ =-+=-++=-+++=--++=+=()[()()]()()()[()]x x x x x x x x x x x x x x 222222221211211221142527 解二：由已知得：x x - =11，两边平方得：x x 2213+= 两边平方得：x x 44 17+ =
10.2 分式的基本性质 七年级（下） 第九章 教学目标 1、认知目标：通过类比分数的基本性质，使学生理解和掌握分 式的基本性质；掌握约分的方法和最简分式的化 简方法。 （知道分式的基本性质，学会简单的约分，知道最简分式） 2、能力目标：使学生学习类比的思想方法，培养类比转化的思 维能力；使学生掌握分式的基本性质，培养正确 进行分式变形的运算能力。 （知道分式的基本性质与分数的基本性质之间非常类似） 3、情感目标：通过与分数的类比，导出分式的基本性质，渗透 事物是联系及变化发展的辨证关系。 即类比— —联系— —归纳— —发展。 （让她感受课堂的快乐以及一起学习的愉悦） 教学重点及难点 重点是理解并掌握分式的基本性质。 难点是灵活运用分式的基本性质进行分式的恒等变形及最简分 式的化简方法。 （区分最简分式，把分式约分变为最简分式） 教学过程设计 一、 情景引入 1．观察 在括号内填写每一步骤的依据 计算： 解：（由她来完成这个题目） [通过填空和观察，使学生明确分数的计算和化简实质是进行分数 =12=36=16+2613+16
B ≠0,M ≠0,N ≠0 的通分和约分，而通分和约分的依据是分数的基本性质] 2．思考 问题（1）：还记得分数的基本性质吗？ （在其他学生的引导下，让她再次重复一遍） 问题（2）：分式是否也有这样的性质？ [通过提问的方式先使学生回忆复习分数的基本性质，继而引导 学生与分数的基本性质相类比，导出分式的基本性质，并让学生了解 分式的基本性质是今后学习与研究分式变形的依据。] 3．讨论 （1）对照分数的基本性质，改写成分式的基本性质： 分式的分子与分母同时乘以（或除以）一个不为零的整式，分 式的值不变，即： ， 其中M 、N 为整式，且 （大家朗读完了以后，由她再次朗读一遍，并且在书上帮她自己划好 重点） （2）两者有何区别和联系？ [通过讨论使学生理解从分数到分式是把“数”引伸到“式”. 分数是分式的特殊情形。] 二、学习新课 1．概念辨析 分式中的A ，B ，M ，N 四个字母都表示整式，其中B 必须含有字 母，除A 可等于零外，B ，M ，N 都不能等于零.因为若B=0，分式无意 义；若M=0或N=0，那么不论乘以或除以分式的分母，都将使分式无 意义. （找出重点以后由她再来重复一遍） 2．例题分析 例1：
分式 第 1 节 分式的基本概念和性质 【知识梳理】 1．分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是B A 的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． 2．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 3．分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 4．分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．5．约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：有约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 6．通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．7．最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 8．最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． （2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．
分式的基本性质（人教版）一、单选题(共11道，每道9分) 1.在中，是分式的有( )个. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分式的定义 2.要使分式有意义，则x的取值范围是( ) A.x≠-1 B.x≠3 C.x≠-1且x≠3 D.x≠-1或x≠3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分式有意义的条件 3.若分式的值为0，则x的值是( ) A.1 B.0 C.-1 D.±1
答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分式的值为零 4.当a=-1时，分式( ) A.没有意义 B.等于零 C.等于1 D.等于-1 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分式有意义是分式存在的前提 5.不改变分式的值，如果把其分子和分母中的各项系数都化为整数，那么所得的正确结果为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分式的基本性质 6.若分式（a，b均为正数）中每个字母的值都扩大为原来的3倍，则分式的值( ) A.扩大为原来3倍 B.缩小为原来的 C.不变 D.缩小为原来的 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分式的基本性质 7.将分式约分，其结果为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分式的基本性质 8.当时，的值为( ) A.1 B.-5 C.1或-5 D.0 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分式有意义是分式存在的前提 9.若使分式的值为0，则x=( ) A.9 B.±3 C.-3 D.3 答案：D
例1（1）若分式1 1x x --的值为0，则x 的值等于 （2）使分式200520062005 200620052004x z y x x +--有意义的x 的取值范围是（ ） A.0x ≠ B. 0x ≠，且50x ≠ C. 0x ≠，且50x ≠- D. 0x ≠，且50x ≠± 变式题组1.（1）当x= 时，分式321 x -无意义. （2）要使分式241312a a a -++没有意义，则a 的值为 2.已知212606 a a +-是正整数，则正整数a = . 3.若分式 22 2x x x ---的值为0，则x= 例2已知分式 32 x x -+的值为负数，求x 的取值范围. 变式题组4.（1）当x 取何值时，分式12 x +的值为正？ （2）当x 取何值时，分式211 x x -+的值为负？ （3）当x 取何值时，分式11x x -+的值为正? 例3（1）下列运算中，错误的是（ ） Ａ．()0a ac c b bc =≠Ｂ．1a b a b --=-+ Ｃ． 0.55100.20.323a b a b a b a b ++=--Ｄ．x y y x x y y x --=++ （２）若 23a b b -=，则a b 等于（ ） Ａ．13Ｂ．23 Ｃ．43Ｄ．53 变式题组５．（１）如果2a b =，则2222a ab b a b -++＝（ ） Ａ．45Ｂ．１Ｃ．35 Ｄ．２ （２）化简22 2m n m mn -+的结果是（ ）
A.2m n m - B. 2m n m - C. D.m n m n -+ 6.如果53x -<<，求 5 3 53x x x x x x +-+-+-的值. 7.将分式2a a b +中的a 扩大到2倍，b 扩到到4倍，而分式的值不变则（ ） A.a=0 B.b=0C.a=0且b=0D.a=0或b=0 例4计算：（1）2228224a a a a a a +-??+÷ ?--?? （2）221111 a a a a a a -÷---- （3）()()()()()()() 11113366999102x x x x x x x x +++++++++++L 变式题组：8（1）化简 2244 xy y x x --+的结果是（ ） A.2x x + B. 2x x - C. 2y x + D. 2y x - （2）化简2422a a a a a a -??- ?-+??g 的结果是（ ） A.4- B.4C.2a D.2a - （3）代数式3 2411241111 x x x x x +++-+++的化简结果是（ ） A.5681x x - B. 4881x x - C. 4841x x -D 7 881 x x -. 9.222b c c a a b a ab ac bc b bc ab ac c ab bc ab ----+--+--+--+的计算结果为 10.计算：（1）2121a a a a a -+??-÷ ??? （2）()222211121 a a a a a a +-÷+---+ 研讨乐园 例5已知2221,2,3abc a b c a b c =++=++=，则 111111 ab c bc a ca b +++-+-+-的值为（ ）