E H F
G
E
AE =?
AE =?
新课标立体几何常考证明题汇总
1、已知四边形 ABCD 是空间四边形， E , F , G , H 分别是边 AB , BC , CD , DA 的中点
（1） 求证：EFGH 是平行四边形
（2） 若 BD= 2 A
，AC=2，EG=2。求异面直线 AC 、BD 所成的角和 EG 、BD 所成的角。
B
D
C
证明：在?ABD 中，∵ E , H 分别是 AB , AD 的中点∴ EH // BD , EH =
1
BD 2
同理， FG // BD , FG = 1 BD ∴ EH // FG , EH = FG ∴四边形 EFGH 是平行四边形。 2
(2) 90° 30 °
考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角
2、如图，已知空间四边形 ABCD 中， BC = AC , AD = BD ， E 是 AB 的中点。求证：（1） AB ⊥ 平面 CDE;
（2）平面CDE ⊥ 平面 ABC 。
A
证明：（1）
BC = AC ?
? CE ⊥ AB
?
同理， AD = BD ? ? DE ⊥ AB
B
C
?
又∵ CE ? DE = E
∴ AB ⊥ 平面CDE D
（2）由（1）有 AB ⊥ 平面CDE
又∵
AB ? 平面 ABC ， ∴平面CDE ⊥ 平面 ABC
考点：线面垂直，面面垂直的判定
3
D
D
3、如图，在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， E 是 AA 1 的中点，
求证： A 1C // 平面
BDE 。 1
证明：连接 AC 交 BD 于O ，连接 EO ， ∵ E 为 AA 1 的中点， O 为 AC 的中点
∴ EO 为三角形 A 1 AC 的中位线 ∴ EO // A 1C
又 EO 在平面 BDE 内， A 1C 在平面 BDE 外
∴ A 1C // 平面 BDE 。考点：线面平行的判定
4、已知?ABC 中∠ACB = 90
, SA ⊥ 面 ABC , AD ⊥ SC ,求证： AD ⊥ 面 SBC ． 证明：∵∠ACB = 90 ° ∴ BC ⊥ AC S
又 SA ⊥ 面 ABC
∴ BC ⊥ 面 SAC ∴ BC ⊥ AD
∴ SA ⊥ BC
A
B
又
SC ⊥ AD , SC ? BC = C C
∴ AD ⊥ 面 SBC
考点：线面垂直的判定
5、已知正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 ， O 是底 ABCD 对角线的交点.
求证：(１) C 1O ∥面 AB 1D 1 ；(2) A 1C ⊥ 面 AB 1D 1 ．
D 1 C 1
B 1
A 1
AC ? B D = O
证明：（1）连结 A 1C 1 ，设 1 1 1 1
1
，连结 AO 1
∵ ABCD - A 1B 1C 1D 1 是正方体 ∴ A 1 ACC 1 是平行四边形
C
∴A 1C 1∥AC 且 A 1C 1 = AC
O
又O 1 , O 分别是 A 1C 1 , AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且O 1C 1 = AO
A
B ∴ AO
C 1O 1 是平行四边形
∴C 1O ∥AO 1 , AO 1 ? 面 AB D ，
C O ? 面 AB D
∴C 1O ∥面 AB D
（2） CC 1 ⊥ 面 A 1B 1C 1D 1 ∵A 1C 1 ⊥ B 1D 1 1 1
1
1 1
1 1
∴CC 1 ⊥ B 1D !
又 ， ∴ B 1D 1 ⊥ 面A 1C 1C 即A 1C ⊥ B 1D 1 同理可证
A 1C ⊥ AD 1 ， 又 D 1
B 1 ? A D 1 = D 1
∴ A 1C ⊥ 面 AB 1D 1
考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定
1 B 1
F E
D G C =
1
.7、正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1 中．(1)求证：平面 A 1BD ∥平面 B 1D 1C ； (2)若 E 、F 分别是 AA ，CC 的中点，求证：平面 EB D ∥平面 FBD ．
D 1
C 1 1
1
1 1
证明：(1)由 B 1B ∥DD 1，得四边形 BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ，
A 又 BD ?平面
B 1D 1
C ，B 1
D 1 ? 平面 B 1D 1C ， ∴BD ∥平面 B 1D 1C ． 同理 A 1D ∥平面 B 1D 1C ．
A
而 A 1D ∩BD ＝D ，∴平面 A 1BD ∥平面 B 1CD ．
(2)由 BD ∥B 1D 1，得 BD ∥平面 EB 1D 1．取 BB 1 中点 G ，∴AE ∥B 1G ．
从而得 B 1E ∥AG ，同理 GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面 EB 1D 1．∴平面 EB 1D 1∥平面 FBD ．
考点：线面平行的判定（利用平行四边形）
8、四面体 ABCD 中， AC = BD , E , F 分别为 AD , BC 的中点， 且 EF =
∠BDC = 90
，求证： BD ⊥ 平面 ACD
2 AC ，
2
证明：取CD 的中点G ，连结 EG , FG ，∵ E , F 分别为 AD , BC 的中点，∴ EG // 1
AC
2
FG =// 1 BD ，又 AC = BD , ∴ FG = 1 AC ，∴在?EFG 中， EG 2 + FG 2 = 1 AC 2 = EF 2
2 2 2
∴ EG ⊥ FG ，∴ BD ⊥ AC ，又∠BDC = 90
，即 BD ⊥ CD ， AC ? CD = C ∴ BD ⊥ 平面 ACD
考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形
9、如图 P 是?ABC 所在平面外一点， PA = PB ,CB ⊥ 平面 PAB ， M 是 PC 的中点， N 是 AB 上的点，
AN = 3NB
P
（1） 求证： MN ⊥ AB ；（2）当∠APB = 90
， AB = 2BC = 4 时，求 MN 的长。
证明：（1）取 PA 的中点Q ，连结 MQ , NQ ，∵ M 是
PB 的中点， M
∴ MQ // BC ，∵ CB ⊥ 平面 PAB ，∴ MQ ⊥ 平面 PAB
∴ QN 是 MN 在平面 PAB 内的射影 ，取 AB 的中点 D ，连结 PD ，∵ PA = PB , ∴
PD ⊥ AB ，又 AN = 3NB ，∴ BN = ND
C
A
∴ QN // PD ，∴ QN ⊥ AB ，由三垂线定理得 MN ⊥ AB
B
N
（2） ∵ ∠APB = 90
， PA = PB , ∴ PD =
1
AB = 2 ，∴ QN = 1 ，∵ MQ ⊥ 平面 PAB .∴ MQ ⊥ NQ ，且
2
MQ = 1
BC = 1，∴ MN = 2
考点：三垂线定理
10、如图，在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， E 、 F 、G 分别是 AB 、 AD 、C 1D 1 的中点.求证：平面 D 1EF ∥ 平面 BDG .
证明：∵ E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点，∴ EF ∥ BD 又 EF ? 平面 BDG ， BD ? 平面 BDG ∴ EF ∥平面 BDG ∵ D 1G
EB ∴四边形 D 1GBE 为平行四边形， D 1E ∥ GB
又 D 1E ? 平面 BDG ， GB ? 平面 BDG ∴ D 1E ∥平面 BDG
EF ? D 1E = E ，∴平面 D EF ∥平面 BDG
考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）
2
2 11、如图，在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， E 是 AA 1 的中点.
（1） 求证： A 1C // 平面 BDE ；
（2） 求证：平面 A 1 AC ⊥ 平面 BDE .
证明：（1）设
AC ? BD = O ， ∵ E 、O 分别是 AA 1 、 AC 的中点，∴ A 1C ∥ EO
又 A 1C ? 平面 BDE ， EO ? 平面 BDE ，∴ A 1C ∥平面 BDE
（2）∵ AA 1 ⊥ 平面 ABCD ， BD ? 平面 ABCD ， AA 1 ⊥ BD 又 BD ⊥ AC ，
AC ? AA 1 = A ，∴ BD ⊥ 平面 A AC ， BD ? 平面 BDE ，∴平面 BDE ⊥ 平面 A AC
1
1
考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定
12、已知 ABCD 是矩形， PA ⊥ 平面 ABCD ， AB = 2 ， PA = AD = 4 ， E
为 BC 的中点． （1） 求证： DE ⊥ 平面 PAE ；（2）求直线 DP 与平面 PAE 所成的角． 证明：在?ADE 中， AD 2
= AE 2
+ DE 2
，∴ AE ⊥ DE ∵ PA ⊥ 平面 ABCD ， DE ? 平面 ABCD ，∴ PA ⊥ DE 又 PA ? AE = A ，∴ DE ⊥ 平面 PAE
（2） ∠DPE 为 DP 与平面 PAE 所成的角
在 Rt ?PAD ， PD = 4 ，在 Rt ?DCE 中， DE = 2 在 Rt ?DEP 中， PD = 2DE ，∴ ∠DPE = 300
考点：线面垂直的判定,构造直角三角形
13 、如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是∠DAB = 600
且边长为 a 的菱形，侧面 PAD 是等边三角形， 且平面 PAD 垂直于底面 ABCD ．
（1） 若G 为 AD 的中点，求证： BG ⊥ 平面 PAD ； （2） 求证： AD ⊥ PB ；
（3） 求二面角 A - BC - P 的大小．
证明：（1） ?ABD 为等边三角形且G 为 AD 的中点，∴ BG ⊥ AD 又平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，∴ BG ⊥ 平面 PAD
（2） PAD 是等边三角形且G 为 AD 的中点，∴ AD ⊥ PG
且 AD ⊥ BG ， PG ? BG = G ，∴ AD ⊥ 平 面 PBG ，
PB ? 平面 PBG ，∴ AD ⊥ PB （3） 由 AD ⊥ PB ， AD ∥ BC ，∴ BC ⊥ PB 又 BG ⊥ AD ， AD ∥ BC ，∴ BG ⊥ BC ∴ ∠PBG 为二面角 A - BC - P 的平面角
在 Rt ?PBG 中， PG = BG ，∴ ∠PBG = 45
考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）
2
1 1 ?
14、如图 1,在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， M 为CC 1 的中点，AC 交 BD 于点 O ，求证： A 1O ⊥ 平面 MBD ．
证明：连结 MO ， A M ，∵DB ⊥ A A ，DB ⊥AC ，
A 1 A ? AC = A ，
1
1
∴DB ⊥平面 A 1 ACC 1 ，而 A 1O ? 平面 A 1 ACC 1 ∴DB ⊥ A 1O ． 设正方体棱长为a ，则 AO 2
= 3
a 2 ， MO 2
= 3
a 2
．
1
2 4 在Rt △ A C M 中，A M 2 = 9
a 2 ．∵ A O 2 + MO 2 = A M 2 ，∴ A O ⊥ OM ．
1 1 1 4
1 1 1
∵OM ∩DB =O ，∴ A 1O ⊥平面 MBD ．
考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直
15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ， 作 B E ⊥C D ，Ｅ为垂足，作 A H ⊥B E 于Ｈ．求证：A H ⊥平面
B C D ． 证明：取 A B 的中点Ｆ，连结 C F ，D F ．
∵ AC = BC ，∴ CF ⊥ AB ． ∵ AD = BD ，∴ DF ⊥ AB ．
又CF DF = F ，∴ AB ⊥ 平面 CDF ． ∵ CD ? 平面 C D F ，∴ CD ⊥ AB ． 又CD ⊥ BE ， BE ? AB = B ， ∴ CD ⊥ 平面 A B E ， CD ⊥ AH ．
∵ AH ⊥ CD ， AH ⊥ BE ，
CD ? BE = E ， ∴ AH ⊥ 平 面
B C D ． 考点：线面垂直的判定
16、证明：在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，A 1C ⊥平面 BC 1D
证明：连结 AC
∵BD ⊥AC ∴ AC 为 A 1C 在平面 AC 上的射影
∴ BD ⊥A 1C
?
? A C ⊥平面BC D
同理可证A C ⊥BC ? 1
1
考点：线面垂直的判定，三垂线定理
17、如图，过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°， 求证：平面 ABC ⊥平面 BSC ．
证明∵SB=SA=SC ，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC 取 BC 的中点 O ，连 AO 、SO 则 AO ⊥BC ，SO ⊥BC ，
∴∠AOS 为二面角的平面角，设 SA=SB=SC=a ，又∠BSC=90°，∴BC= 2 a ，
SO= 2 a 1 1
AO 2=AC 2－OC 2=a 2－ 2 a 2= 2 a 2，∴SA 2=AO 2+OS 2，∴∠AOS=90°，从而平面 ABC ⊥
平面 BSC ．
考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）
2