高斯算法
德国有一位世界著名的数学家叫高斯，他上学时，老师出了一道数学题：1＋2＋3＋……＋100＝？，小高斯看了看题目，想了一下，很快说出结果是5050。他的同学无不为之惊奇，甚至还有的同学以为他在瞎说。但小高斯得出的结果被确定是正确的。同学们，你们知道他是怎么算出来的吗？原来小高斯在认真审题的基础上，根据题目的特点，发现了这样的有趣现象：1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，……，50＋51＝101，一共有多少个101呢？100个数，每两个数是一对，共有50对，即共有50个101，所以1＋2＋3＋……＋100＝101×50＝5050。由此归纳出一个公式，是等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2。在数学上，人们把1～100这些数中的每个数都叫做项，并把这样的一串数称做等差数列。这就是“高斯算法”的公式。有了它，好多数学竞赛中的问题解答起来就方便多了。
【例1】计算：6000－1－2－3－…－99－100 分析：可先利用减法的性质，把原题变为6000－（1＋2＋3＋＋4＋…＋100），然后再利用高斯求和公式计算。所以原式＝6000
－（1＋100）×50＝6000－5050＝950。
【例2】【例2】计算：1＋2＋3－4＋5＋6＋7－8＋9＋…＋25＋26＋27－28。【技巧点拨】仔细观察这个算式，发现它很有规律地出现着一些【技巧点拨】仔细观察这个算
式，发现它很有规律地出现着一些““减数减数””。因此计算时应特别细心。在次
介绍了三种解法。解法一可这样想：开始我们把减数当成加数来算了，所以后来
应减去这些减数的和的所以后来应减去这些减数的和的22倍。解法二可这样想：
四个数为解法二可这样想：四个数为1 1组，28个数就77组，所以项数是组，所
以项数是7 7。解法一：变减为加，整体推算。（其中减数为4的倍数，共28÷4
＝7个。（1＋28）×28÷2－[(4＋28)×7÷2]×2＝182 解法二：分组累计。从头算
起每4个数为一组，分别计算每组数的得数为2、10、18、…、50。其和为（2＋5）
×7÷2＝182 解法三：加数减数分别统计。减数全部拿出以后，剩下的加数是1
＋2＋3＋5＋6＋7＋9＋……＋25＋26＋27。把这些数每三个一组，并求出每组之
和：（1＋2＋3）＋（5＋6＋7）＋……＋25＋26＋27＝6＋18＋……＋78＝（6＋18）
×7÷2＝294。七个减数的和为（4＋28）×7÷2＝112。原式的得数为294－112
＝182。
【例3】【例3】有一列数：19，22、25、28、……，请问，这列数的前99个数（从19开始算起）的总和是多少？【解答】求总和必须先算出这个数列的末项（即第99
个数）是多少。仔细观察它们的前几项，不难发现：后一个数都比它前面的数大
“3”（这就叫做这个数列的公差）。如果都与第一个数相比，第二个数比第一个数
多3；第三个数比第一个数多2个3；第四个数比第一个数多3个3……由此不难
看出，第99个数一定比第一个数多98个3，它是19＋3×（99－1）＝19＋3×98
＝19＋294＝313。再利用高斯求和公式，得出19＋3×（99－1）＝313，（19＋313）
×99÷2＝16434。根据以上解法，我们不难得出求和末项的公式，首项＋公差×
（项数－1）＝末项，这个公式在解题中有着广泛的应用。
【例4】从“99”开始，每隔三个数写出一个数来：99、103、107、111、……、“1999”是这列数中的第几个数？【分析】首先观察这列数的前几项，发现它们从第二个数
开始，每个数都比它千米的数多4，即公差，仍拿出它们都与第一个数相比，第二
个数比第一个数多4；第三个数比第一个数多2个4，第四个数比第一个数多3个
4……要知道“1999”是这列数中的第几个数，只要算一算它比第一个数多多少个
“4”就可以了。【解答】（1999－99）÷4＝475，475＋1＝476个数。【技巧点拨】
归纳出求项数的公式：（末项－首项）（末项－首项）÷÷公差＋公差＋1 1＝项数【例5】以“63”开始每隔10个数写出一个数来，得到63，74，85，96，……一共写出了177个数（63是第一个数，74是第二个数……）。这177个数的和是多少？【分析】
要计算这【分析】要计算这177177177个数的和，首先必须知道它最后一个数（即
末项）是多少？个数的和，首先必须知道它最后一个数（即末项）是多少？【解
答】第177个数是63＋（74－63）×（177－1）＝1999，利用高斯算法求和：（63
＋1999）×177÷2＝182487
【例6】将边长为1米的大等边三角形分割成边长为1厘米的小等边三角形。请你算一算分出的小等边三角形共有多少个？【解答】解法一：先看尖角朝上的小三角形，
它们从上往下依次是1，2，3，……，不难想象，它们的最底两层分别为99和100
个；再看尖角朝下的小三角形，它们从第二层开始，依次有1，2，3……最底两层
分别有98，99个。累计它们的总和为（1＋100）×100÷2＋（1＋99）×99÷2＝
10000个法二：把尖角朝上的和朝下的小三角形合起来，逐层往下看，它们依次有：
1，3，5，7，……，也不难想象到，它们共100层（即共有100项），最底一层共
有199个小三角形（尖角朝上100个，尖角朝下99个）。累计它们的和为：（1＋
199）×100÷2＝10000个。解法三：把大三角形拦腰“剪”下来，并倒着拼在右
侧，这样就拼成了一个平行四边形，它共有50层，每一层里都分别有100个尖角
朝上的小三角形和100个尖角朝下的小三角形，其和为：100×2×50＝10000个【例7】计算1～100每个数各数位上的数字和是多少？【分析】认真观察，分析这些数的组成情况，这道题目的解法也很灵活。【解答】解法一：分段统计。把1～100
各数分成1～9，10～19，20～29，……，90～99和100这样11段。第一段是1，
2，3，……，8，9，其和为（1＋9）×9÷2＝45；第二段，它们的个位上的数字
仍是1，2，3，……，8，9，另外还有十位上的10个1，其和为45＋10＝55；第
三段的个位上的数字和仍是45，另外十位上的10个2，其和为45＋20＝65……逐
次类推，第十段每个数各数位上的数字和为45＋90＝135；第十一段只有100一个
数，数字和为1。累计这十一段每个数各数位上数字的和为：45＋55＋65＋……＋
135＋1＝901。解法二：分数位统计。1～100各数的个位上分别为1，2，3，……，
8，9，（0可以不考虑），而且重复出现了10次，其和为（1＋9）×9÷2×10＝450；
它们十位上则分别连续出现10个1，10个2，10个3……最后出现10个9，其和
为（10＋90）×9÷2＝450，也可列式为（1＋9）×9÷2×10＝450；它们的百位
上只有1个1。累计它们的总和为450＋450＋1＝901。解法三：搭配统计。仿照
高斯的计算方法，把一小一大两个数逐一搭配成许多“对”，使它们的和都为99
（即不让它们的个位或十位的数字出现进位，搭配如下：1和98，2和97，3和
96，……，48和51，49和50，这样，一共搭配成了49个数对，加上原来的99，
就相当于有了50个99，最后加上100里面的数字1）。累计每个数各数位上的数
字和，列式为9×2×50＋1＝901。
【例8】数列1/12，2/12，3/12，……，239/12，这239个数中所有不是整数的分数的和是多少？【分析】先求这【分析】先求这292929个数的和，再计算个数的和，再
计算个数的和，再计算239239239个数中整数的和（个数中整数的和（个数中整
数的和（239239239个数内，最后一个个数内，最后一个个数内，最后一个1212
的倍数是的倍数是121212××1919＝＝228228）），然后求差即可。【解答】所有
数的和是（1/12＋239/12）×239÷2＝2390。所有整数的和是（1＋19）×19÷2＝
190。故这239个数中所有不是整数的分数的和为2390－190＝2200。【练习1】计
算下面各题①19＋20＋21＋22＋……＋83＋84②5＋9＋13＋……＋77＋81③1＋
8＋15＋......＋85＋92④67＋65＋63＋......＋5＋3＋1 ⑤（7＋9＋11＋ (25)
－（5＋7＋9＋ (23)
【例9】【练习2】计算下面各题：①1000－3－6－9－……－54 ②1－2＋3－4＋5－6＋……＋97－98＋99③82＋83＋78＋79＋80＋81＋78＋79＋77＋84④103＋99＋
103＋96＋105＋102＋98＋98＋101＋102⑤0.1＋0.3＋0.5＋0.7＋0.9＋0.11＋0.13＋
0.15＋……＋0.99
【例10】【练习3】高斯算法练习题：①在所有的两位数中，十位上的数字比个位上的数字大的，共有多少个？②有8个小朋友聚会，每两个人握一次手，一共要握多少
次手？③一把钥匙只能打开一把锁。现在有10把锁和可以打开它们的10把钥匙，
但全部放乱了。最多试多少次可以打开所有的锁？④从“19”开始每隔4个数写
出一个数，得到19，24，29，34，……，一直写到1999。一共写了多少个数？这
些数的总和是多少？⑤从大到小，由“1110”每隔8个数写出一个数来1110，1101，
1192，……，120，111。这些数一共有多少个？它们的和是多少？【练习4】高斯
算法练习题： 1.赤岭木材收购站有一堆圆木，它的每一层都比下一层少一根。小
敏数了数，它的最下一层是26根，一共有18层。你知道这堆圆木一共有多少根
吗？ 2.用1，2，3，5，7，8，10，13，17，和19这十个数能组成多少个最简真
分数？3.试求200到300之间7的倍数之和。4.在自然数中，有多少个三位数，
求它们的和。5.在三位数中有多少个是7的倍数，求它们的和。6.求整数中前100
个偶数的和。7.一个剧场设置了20排座位，第一排有38个座位，往后每一排都
比前一排多2个座位，这个剧场一共有多少个座位？8.一堆钢管，最底下一层是
10根，倒数第二层是9根，以后每往上一层，钢管减少1根，问10层共有多少根钢管。
1.什么是潮流计算？潮流计算的主要作用有哪些？ 潮流计算是根据给定的电网结构、参数和发电机、负荷等元件的运行条件，确定电力系统各部分稳态运行状态参数的计算。 对于正在运行的电力系统，通过潮流计算可以判断电网母线电压、支路电流和功率是否越限，如果有越限，就应采取措施，调整运行方式。对于正在规划的电力系统，通过潮流计算，可以为选择电网供电方案和电气设备提供依据。潮流计算还可以为继电保护和自动装置整定计算、电力系统故障计算和稳定计算等提供原始数据。 2.潮流计算有哪些待求量、已知量？ （已知量： 电力系统网络结构、参数； 决定系统运行状态的边界条件 待求量：系统稳态运行状态 例如各母线上的电压（幅值及相角）、网络中的功率分布以及功率损耗等）通常给定的运行条件有系统中各电源和负荷点的功率、枢纽点电压、平衡点的电压和相位角。 待求的运行状态参量包括电网各母线节点的电压幅值和相角，以及各支路的功率分布、网络的功率损耗等。 3.潮流计算节点分成哪几类？分类根据是什么？ （分成三类：PQ节点、PV节点和平衡节点，分类依据是给定变量的不同） PV节点（电压控制母线）：有功功率Pi和电压幅值Ui为给定。这种类型节点相当于发电机母线节点，或者相当于一个装有调相机或静止补偿器的变电所母线。 PQ节点：注入有功功率Pi和无功功率Qi是给定的。相当于实际电力系统中的一个负荷节点，或有功和无功功率给定的发电机母线。 平衡节点：用来平衡全电网的功率。平衡节点的电压幅值Ui和相角δi是给定的，通常以它的相角为参考点，即取其电压相角为零。 一个独立的电力网中只设一个平衡节点。 4.教材牛顿-拉夫逊法及有功-无功分解法是基于何种电路方程？可否采用其它类型方程？ 基于节点电压方程，还可以采用回路电流方程和割集电压方程等。但是后两者不常用。
单元节点和积分点有什么区别 学过数值积分的应该知道，有限元中的积分点指高斯积分点，因为这些点的收敛性好，精度高。 1、节点 在单元内，采用形函数来表述单元内变量的分布规律。而节点值是在节点处的对应物理量。 以简单矩形单元的温度为例： 四个节点i,j,m,n的温度分别为Ti,Tj,Tm,Tn. 则以单元内自然坐标(x,y),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)分别为四个节点，单元内温度分布为： T={Si, Sj, Sm, Sn} {Ti, Tj, Tm, Tn} Si=1/4(1-x)(1-y) Sj=1/4(1+x)(1-y) Sm=1/4(1+x)(1+y) Sn=1/4(1-x)(1+y) (单元的形函数我们可以从手册中查到) 从而我们知道了温度在单元内的分布。 2、积分节点 我们需要对温度在单元内的面积上进行积分时，因为节点的温度显然与x,y无关，我们只需要考虑对形函数积分。 采用Gauss_Legendre多项式计算积分时，我们只需要计算根据特定积分点的值（在自然坐标系下是固定的，可以查手册，这些点也叫高斯点、积分点）并加以权重就可以。这就把复杂的积分问题变成了简单的代数问题。因为形函数只有单元有关，所以积分点也只与单元形状有关。 3.应力一般采用多个积分点的相互插值或外延来计算节点应力。这只是为了减少误差。因为在积分点应力比节点具有更高阶的误差。 从理论上说，形函数已知后，用Maple或者Mathematic等软件进行符号积分的话，是可以精确计算出刚度矩阵和质量矩阵，但是这样做的话，对于工程实际应用来说并不合适（ 原因：1，费时；2，Mindlin中厚板有剪力锁死问题，有时候需要采用缩聚积分），所以有些书上会把2节点梁单元的刚度阵直接写出来，但是再复杂点的单元，就使用数值积分（Newton-Cotes积分和高斯积分） 高斯积分的话，积分点不在节点上 牛顿-科斯的积分点就是节点，这样得到的质量矩阵是集中质量阵形式 个人理解： 1.节点作用构造形函数，节点的多少描述规则形状单元内的应力的近似分布情况，并获取节点上的位移值
高斯——赛德尔法潮流计算 潮流计算高斯——赛德尔迭代法(Gauss一Seidel method)是求解电力系统潮流的方法。潮流计算高斯——赛德尔迭代法又分导纳矩阵迭代法和阻抗矩阵迭代法两种。前者是以节点导纳矩阵为基础建立的赛德尔迭代格式;后者是以节点阻扰矩阵为基础建立的赛德尔迭代格式。高斯——赛德尔迭代法这是数学上求解线性或非线性方程组的一种常用的迭代方法。 本实验通过对电力网数学模型形成的计算机程序的编制与调试，获得形成电力网数学模型：高斯---赛德尔法的计算机程序，使数学模型能够由计算机自行形成，即根据已知的电力网的接线图及各支路参数由计算程序运行形成该电力网的节点导纳矩阵和各节点电压、功率。通过实验教学加深学生对高斯---赛德尔法概念的理解，学会运用数学知识建立电力系统的数学模型，掌握数学模型的形成过程及其特点，熟悉各种常用应用软件，熟悉硬件设备的使用方法，加强编制调试计算机程序的能力，提高工程计算的能力，学习如何将理论知识和实际工程问题结合起来。 高斯---赛德尔法潮流计算框图
［1］系统节点的分类 根据给定的控制变量和状态变量的不同分类如下 ①P、Q节点（负荷节点），给定Pi、Qi求Vi、Si，所求数量最多； ②负荷节点，变电站节点（联络节点、浮游节点），给定P Gi、Q Gi的发电机 节点，给定Q Gi的无功电源节点； ③PV节点（调节节点、电压控制节点），给定P i、Q i求Q n、S n，所求数量 少，可以无有功储备的发电机节点和可调节的无功电源节点； ④平衡节点（松弛节点、参考节点（基准相角）、S节点、VS节点、缓冲节 点），给定V i，δi=0，求P n、Q n(V s、δs、P s、Q s)。 ［2］潮流计算的数学模型 1)线性的节点电压方程YV=I 根据S=V错误!未找到引用源。可得非线性的节点电压方程(错误!未找到引用源。为I的共轭) YV=I=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。
高斯—勒让德积分公式 摘要： 高斯—勒让德积分公式可以用较少节点数得到高精度的计算结果,是现在现实生活中经常运用到的数值积分法。然而，当积分区间较大时，积分精度并不理想。 T he adva ntage of Gauss-Legendre integral formula is tend to get high-precision calculational result by using fewer Gauss-points, real life is now often applied numerical integration method. But the precision is not good when the length of integral interval is longer. 关键字： … 积分计算，积分公式，高斯—勒让德积分公式，MATLAB Keyword: Integral Calculation , Integral formula ,Gauss-Legendre integral formula, Matlab 引言： 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。所以，微分与积分互为逆运算。 】 实际上，积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，称为不定积分。 相对而言，另一种就是定积分了，之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。 计算定积分的方法很多，而高斯—勒让德公式就是其中之一。 高斯积分法是精度最高的插值型数值积分，具有2n+1阶精度，并且高斯积分总是稳定。而高斯求积系数，可以由Lagrange多项式插值系数进行积分得到。 高斯—勒让德求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。他是通过让节点和积分系数待定让函数f(x)以此取i=0,1,2....n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。高斯积分的代数精度是2n-1，而且是最
第四章 电力系统潮流分析与计算 电力系统潮流计算是电力系统稳态运行分析与控制的基础，同时也是安全性分析、稳定性分析电磁暂态分析的基础（稳定性分析和电磁暂态分析需要首先计算初始状态，而初始状态需要进行潮流计算）。其根本任务是根据给定的运行参数，例如节点的注入功率，计算电网各个节点的电压、相角以及各个支路的有功功率和无功功率的分布及损耗。 潮流计算的本质是求解节点功率方程，系统的节点功率方程是节点电压方程乘以节点电压构成的。要想计算各个支路的功率潮流，首先根据节点的注入功率计算节点电压，即求解节点功率方程。节点功率方程是一组高维的非线性代数方程，需要借助数字迭代的计算方法来完成。简单辐射型网络和环形网络的潮流估算是以单支路的潮流计算为基础的。 本章主要介绍电力系统的节点功率方程的形成，潮流计算的数值计算方法，包括高斯迭代法、牛顿拉夫逊法以及PQ 解藕法等。介绍单电源辐射型网络和双端电源环形网络的潮流估算方法。 4-1 潮流计算方程--节点功率方程 1. 支路潮流 所谓潮流计算就是计算电力系统的功率在各个支路的分布、各个支路的功率损耗以及各个节点的电压和各个支路的电压损耗。由于电力系统可以用等值电路来模拟，从本质上说，电力系统的潮流计算首先是根据各个节点的注入功率求解电力系统各个节点的电压，当各个节点的电压相量已知时，就很容易计算出各个支路的功率损耗和功率分布。 假设支路的两个节点分别为k 和l ，支路导纳为kl y ，两个节点的电压已知，分别为k V 和l V ，如图4-1所示。 图4-1 支路功率及其分布 那么从节点k 流向节点l 的复功率为（变量上面的“－”表示复共扼）： )]([l k kl k kl k kl V V y V I V S (4-1) 从节点l 流向节点k 的复功率为： )]([k l kl l lk l lk V V y V I V S (4-2) 功率损耗为： 2)()(kl kl l k kl l k lk kl kl V y V V y V V S S S (4-3)
高斯消去法 一．题目 应用高斯消去法求解下列方程组的解 ?? ? ??=+--=-+-=-+2.453.82102.7210321321321x x x x x x x x x 二．引言 高斯消去法是约当消去法的一种改进，它比约当消去法计算简单，可以计算方程组的精确解，由于较约当消去法增加了回带过程，故算法结构比较复杂，但算法减少了计算量（约节省了50%的计算量）。要求方程组对角占优。 三．算法 （1）消元过程 就一般形式的方程组 ∑==n j i j ij b x a 1 i=1,2,3， ·····n 加工成方程组 ??? ??===+∑∑==n j i j ij n j j ij n i b x a b x a x 2 21 1,.......3,2, 我们保留第一个方程 )1(12 )1(1b x a x j n j ij =+∑= 则剩下的 ) 1(2 ) 1(i n j j ij b x a =∑= i=2,3,4.···· 是关于变元x j 的n-1阶方程组（较原方程组少了一阶），可以进一步对他实施消 元手续，使之进一步变成 ??? ??==+∑∑==n j i j j n j j b x a b a x 3 )2()2(23) 2(2 )2(22 i=3,4.······n 如此进行下去，这样经过k-1步消元后，依次得出k-1个方程 )(2 )(i i j n j i ij i b x a x =+∑= i=1,2,3，···k-1
和关于变元x j 的n-k+1阶方程组 ) 1()1(-=-=∑k i n k j j k ij b x a i=k ， k+1，·····n 第k 步进一步将方程组加工成 ????? ??==+∑∑+=+=n k j k i j k ij n k j k k j k b x a b a x 1 )()(1)(2)(2 i=k+1,k+2,………n 这里计算公式为 ) 1()1()(/--=k kk k kj k kj a a a ) 1()1()(/-+=k kk k k k k a b b j=k+1，k+2，·····n 而 ) ()1()1()(.k kj k ik k ij k ij a a a a ---=， )() 1()1()(.k k k ik k i k i b a b b ---= i ，j=k+1，k+2· ····n 上述消元手续做了n 步以后，方程组被加工成下列形式 )(1 )(i i j n i j i ij i b x a x =+∑+= i=1,2,3，···n （2）回代过程 方程组 ?? ?????==+=+++=+++-----) () 1(1)1(11)2(2 )2(23)2(232) 1(1)1(13)1(132)1(121..............n n n n n n n n n n n n n b x b x a x b x a x a x b x a x a x a x 的解很方便，自下而上逐步回带得 ∑+=- =n i j i ij i i i a b x 1 )()( i=n,n-1, (1) 综上所述，高斯消去法的计算过程是：先计算系数) (k ij a ，) (k i b ，然后再计算 i x 。 流程图如下所示：
高斯消元法解线性方程组 在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。 一、线性方程组 设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m 11112211211222221122+++=+++=+++=???????ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ （3.1） 其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。当右端常数项b 1, b 2, …, b m 不全为0时，称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当b 1=b 2= … =b m = 0时，即 a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000 +++=+++=+++=???????ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ （3.2） 称为齐次线性方程组。 由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组（k 1, k 2, …, k n ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的x 1, x 2, …, x n 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k 1, k 2, …, k n ）为方程组（3.1）的一个解。显然由x 1=0, x 2=0, …, x n =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。 （利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。） 非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为： AX = B 其中 A = ????????????mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211，X = ????????????n x x x M 21， B = ????? ???????n b b b M 21 称A 为方程组（3.1）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。将系数矩阵A 和常数矩阵B 放在一起构成的矩阵
高斯型积分公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
2 Guass-Legendre 积分程序 1. 目的意义： 可以提高数值积分的代数精度 2. 数学公式： ) ()()(1k n k k b a x f A dx x f x ∑?=≈ρ 3. 程序： #include<> #include<> #define N 10 #define f(x) (cos(x)) int main() { int n=0; int k=0; int i=0; double x[N]={}; double A[N]={}; double s=; n=2; switch(n)
{ case 1: { x[1]=0; A[1]=2; break; } case 2: { x[1]=; x[2]=; A[1]=1; A[2]=1; break; } case 3: { x[1]=; x[2]=0; x[3]=; A[1]=; A[2]=; 3
A[3]=; break; } case 4: { x[1]=; x[2]=; x[3]=; x[4]=; A[1]=; A[2]=; A[3]=; A[4]=; break; } default: { printf("error! 请添加数据！\n"); return 0; } } 4
for(i=1;i<=n;i++) { s=s+A[i]*f(x[i]); } printf("由高斯-勒让德积分公式计算得I=%lf\n",s); return 0; } 4.运行结果： 5.参考文献: [1] 谭浩强. C语言程序设计[M]. 北京：清华大学出版社，2005. [2] 秦新强. 数值逼近, 西安,2010. 5
潮流计算数学模型与数值方法 1. 什么是潮流计算潮流计算的主要作用有哪些 潮流计算，电力学名词，指在给定电力系统网络拓扑、元件参数和发电、负荷参量条件下，计算有功功率、无功功率及电压在电力网中的分布。 潮流计算是电力系统非常重要的分析计算，用以研究系统规划和运行中提出的各种问题。对规划中的电力系统，通过潮流计算可以检验所提出的电力系统规划方案能否满足各种运行方式的要求；对运行中的电力系统，通过潮流计算可以预知各种负荷变化和网络结构的改变会不会危及系统的安全，系统中所有母线的电压是否在允许的范围以内，系统中各种元件(线路、变压器等)是否会出现过负荷，以及可能出现过负荷时应事先采取哪些预防措施等。 2. 潮流计算有哪些待求量、已知量 （已知量：1、电力系统网络结构、参数 2、决定系统运行状态的边界条件 待求量：系统稳态运行状态 例如各母线上的电压（幅值及相角）、网络中的功率分布以及功率损耗等） 3. 潮流计算节点分成哪几类分类根据是什么 （分成三类：PQ 节点、PV 节点和平衡节点，分类依据是给定变量的不同） 4. 教材牛顿-拉夫逊法及有功-无功分解法是基于何种电路方程可否采用其它类型方程 答:基于节点电压方程，还可以采用回路电流方程和割集电压方程等。但是后两者不常用。 5. 教材牛顿-拉夫逊法是基于节点阻抗方程、还是基于节点导纳方程进行迭代计算的试阐述这两种方程的优点与缺点。 1.不能由等值电路直接求出 2.满秩矩阵内存量大 3.对角占优矩阵。。 节点导纳矩阵的特点：1.直观容易形成2.对称阵3.稀疏矩阵（零元素多）：每一行的零元素个数=该节点直接连出的支路数。 6. 说出至少两种建立节点导纳矩阵的方法，阐述其中一种方法的原理与过程。 方法：1.根据自导纳和互导纳的定义直接求取2.运用一节点关联矩阵计算3.阻抗矩阵的逆矩阵 节点导纳矩阵的形成：1.对角线元素ii Y 的求解)1,,0(=≠==i j I i ii U i j U U I Y 【除i 外的其他节点接地，0=j U ，只在i 节点加单位电压值】解析ii Y 等于与i 节点直接相连的的所有支路导纳和2.互导纳),0,1(j k U U U I Y k j j i ij ≠===，ji ij Y Y =（无源网络导纳之间是对称的）解析：ij Y 等于j i ,节点之间直接相连的支路导纳的负值。 7. 潮流计算需要考虑哪些约束条件 答: 为了保证系统的正常运行必须满足以下的约束条件： 对控制变量
高斯·约当消元法 By CaptainChen 高斯消元法，用于解多元一次方程（几乎类似模拟手动解方程）。 思路： 通过等式的乘除，把方程1的x1x1系数a11a11分别化为方程2~方程n的x1x1系数，然后将方程2~方程n减去得到的新方程，从而消掉方程2~方程n中的x1x1。接着用方程2的x2x2继续把方程3~方程n中的x2x2消掉…… 大概系数就成了这个样子↓ 举个例子：
一个问题：遇到这种情况 0.0000000000001×1x1++x2x2==120.0000000000001×1+x2=1x1+x2=2 就会出现精度问题，处理成 x10++1000000000000x2999999999999x2==10000000000002x1+10000 00000000x2=10000000000000+999999999999x2=2 而当位数一多，我们的计算机就有可能存不了那么多9，从而忽略掉一堆，原本的误差就扩散得越来越大，这时候我们需要选主消元（比如把刚才两个式子交换一下），选择当前这一项系数绝对值最大的方程作为主元，来消掉其它方程。 高斯·约当消元： 高斯消元是当执行到第i个方程的x k xk时，消掉i以后的x k xk。而约当就同时消掉i以前的x k xk，使系数变成一条对角线
解得情况：高斯消元完成后，下面若有方程系数全部为0 0×1+0×2+0×3+...+0×n=00×1+0×2+0×3+...+0×n=0 则说明有多解 如果为 0×1+0×2+0×3+...+0×n=非00×1+0×2+0×3+...+0×n=非0 则无解 代码： #include
3.3 约当消去法 大概是由于以前人们使用计算工具非常落后，所以计算量较小的计算方法更受欢迎。 解线性方程组的约当消去法的计算量比高斯消去法稍大一些，这对于我们现在使用的计算机来说，完全算不了什么。 约当消去法算法更简单，编程的方式更灵活，还可用来求解有无数组解的线性方程组，还可用来求矩阵的逆。所以约当消去法的价值超过了高斯消去法。 高斯消去法的回顾 高斯消去法的的关键是把线性方程组化为上三角形线性方程组，也就是利用a K K不为零来消去a K+1,K,…,a N,K,不急于消去a1,K,…,a K-1,K仅仅是为了减少计算量，并非一定要留下一个回代过程。 结论，我们当然可以利用a K K不为零来同时消去a1,K，…,a-K-1,K，方法与消去a K+1,K,…,a N,K是类似的，从而可以免去回代过程。 牢记：如果a K K不为零,我们可以从第K个方程中解出x K从而可以从其它方程中消去x K,这就是约当消去法的核心思想。
2.算法说明 对K=1,2,…,M: 1.将第K个方程两边同时除以x K项的系数a KK;; 2.对I=1,…,M: A.如果I==K,CONTINUE; B.方程(I)=方程(I)-[方程(K)]* a I K; 计算量的估计： 第K步计算量为：M·(M+1-K)=O(M2-MK+M)=O(M2+MK) 总计算量为：O(0.5M3) 参看并测试C语言代码 4.推广应用：矩阵求逆 用约当消去法解线性方程组Ax=b的实际效果是将原方程组两边同时左乘以A的逆A-1,从而直接得到x=A-1b,问题是如何将A-1保存下来。 对于M×M可逆矩阵A,我们可以构造M×2M矩阵T=(A I),那么用约当消去法把T的左边M列化为单位矩阵后，其效果相当于用A-1左乘T,从而得到A-1(A I)=(I A-1),所以T的后面的M列就是我们所要求的A-1
电力系统潮流计算算法设计及实现 潮流计算是电力系统分析中的一种最基本的计算，它的任务是对给定的运行条件确定系统的运行状态，如各母线上的电压（幅值及相角）、网络中的功率分布以及功率损耗等。 建模是用数学的方法建立的数学模型，但它严格依赖于物理系统。根据电力系统的实际运行条件，按给定的变量不同，一般将节点分为PQ节点，PV节点，平衡节点三种类型。当这三个节点与潮流计算的约束条件结合起来时，便是潮流计算的数学模型。 PQ节点：有功功率P和无功功率Q是已知的，节点电压（V，δ）是待求量。通常变电所都是这一类型的节点。 PV节点：有功功率P和电压复制V是已知的，节点的无功功率Q和电压相位δ是待求量。一般选择有一定无功储备的发电厂和具有可调无功电源设备的变电所作为PV节点。 平衡节点：在潮流分布算出之前，网络中的功率损失是未知的，所以，网络中至少有一个节点的有功功率P不能给定，这个节点承担了系统的有功功率平衡，所以称为平衡节点。一般选择主调频发电厂为平衡节点。 潮流计算的约束条件是： 1、所有的节点电压必须满足： 这一约束主要是对PQ节点而言。 2、 2、所有电源节点的有功功率和无功功率必须满足： 对平衡节点的P和Q以及PV节点的Q按以上条件进行检验。 3、某些节点之间电压的相位差应满足： 稳定运行的一个重要条件。 功率方程的非线性 雅可比矩阵的特点： ●各元素是各节点电压的函数 ●不是对称矩阵 ●因为Y =0，所以H =N =J =L =0，另R =S =0，故稀疏 两种常见的求解非线性方程的方法：1）高斯-赛德尔迭代法；2）牛顿-拉夫逊迭代法。 高斯-赛德尔迭代法潮流计算
1、方程表示： ①用高斯-赛德尔计算电力系统潮流首先要将功率方程改写成能收敛的迭代形式； ②Q：设系统有n个节点，其中m个PQ节点，n-(m+1)个是PV节点，一个平衡节点,平衡节点不参加迭代； ③功率方程改写成: 2、求解的步骤： 1)上述迭代公式假设n个节点全部为PQ节点。 2)始终等号右边采用第k次迭代结果，当j 2012-2013（1）专业课程实践论文列主元Gauss-Jordan消去法求矩阵的逆 夏文春，0818180226，R数学08-2班 董蒙蒙，0818180104，R数学08-1班 Gauss 消元法始终是消去对角线下方的元素，而Gauss-Jordan 列主元消去法是消去对角线上方和下方的元素，是对Gauss 消元法的一种修正。 Gauss-Jordan 列主元消去法在算法复杂度上虽然没有Gauss 消元法小，但是它在矩阵求逆理论有重要的应用。 Gauss-Jordan 列主元消去法求方阵的逆，步骤如下： 1 detA ←1；对于k=1,2,…,n 做到步8 2 按列选主元素|k i k a |=max n i k ≤≤|ik a |；0c ←k i k a ，)(k Ip ←k i . 3 如果0c =0，则计算停止（此时A 为奇异矩阵）. 4 如果k i =k ，则转不5，否则换行：kj a ?j i k a （j=1,2,…,n ）,detA ←—detA. 5 detA ←0c *detA ； 6 计算h ←kk a ←1/0c ;ik a ←ik m =-ik a ?h(i=1,2,…,n;i ≠k ). 7 消元计算ij ij a a ←+kj ik a m 1,2,3......,;1,2,3......,;i n i k j n j k =≠????=≠?? . 8 计算主行);,,2,1(k j n j h a a ij kj ≠???=?←. 9 交换列对于k=n-1,n-2,.......,2,1; 1) t=Ip(k); 2) 如果t ≤k ，则转至3），否则换列：ik a ?it a (i=1,2,…,n ). 3) 继续循环 电力系统稳态分析 姓名: 学号： 学院(系):自动化学院 专业: 电气工程 题目: 基于Matlab的高斯和高斯—赛德尔法的潮流计算指导老师： 2014年12月 摘要 电力系统潮流计算是电力系统稳态运行分析中最基本和最重要的计算之一，是电力系统其他分析计算的基础，也是电力网规划、运行研究分析的一种方法，在电力系统中具有举足轻重的作用。经典算法有高斯法，高斯－赛德尔迭代法及牛顿法等，近年来学者们开始应用非线性规划法及智能算法等优化方法求解潮流问题，提高了收敛的可靠性。 高斯－赛德尔迭代法开始于上世纪50年代，是一种直接迭代求解方程的算法，既可以解线性方程组，可以解非线性方程组。高斯法求解节点电压的特点是: 在计算节点 i第k+1次的迭代电压时，前后所用的电压都是第k次迭代的结果，整个一轮潮流迭代完成后，把所有计算出的电压新值用于下一轮电压新值的计算过程中。该计算方法简单，占用计算机内存小，能直接利用迭代求解节点电压方程，对电压初值的选取要求不是很严格。但它的收敛性能较差，系统规模增大时，迭代次数急剧上升。 本文首先对高斯—赛德尔算法进行了综述，然后推导了该算法的计算过程，通过MATLAB软件计算了该算法的实例。 关键字：潮流计算高斯法高斯－赛德尔法迭代 Abstract Power flow calculation is the one of the most basic and the most important calculation in the steady state analysis of power system .It is the foundation of other analytical calculation of power system, a method of analysis and planning, operation of power network.So it plays a decisive role in the power system. The classical algorithm is the Gauss method, Gauss - Seidel iterative method and Newton's method, in recent years.Scholars began to applicate nonlinear programming method and intelligent algorithm optimization method for solving power flow problem, enhances the reliability of convergence. Gauss - Seidel iterative method began in the 50's of last century, is a direct iteration equation algorithm, which can solve the linear equation and nonlinear equations. Characteristics of Gauss's method to calculate the node voltage is: in the iterative calculation of node i’s K + 1-times voltage, the voltage is used the results of K-times iterative.After completing the whole round of power flow iteration, all voltage value is used to calculate the next round of new voltage value of . The method is simple and captures small memory.It also can directly use the iterative solution of the node voltage equation .the selection of initial values are not very strict. But it has poor convergence performance. The system scale increases,when the number of iterations rise. This paper gives an overview of the Gauss Seidel algorithm at the first.Then it show the calculation process of this algorithm through the MATLAB software. Keywords: Gauss Gauss - Seidel iterative method the method of power flow calculation 数学软件实验任务书 实验1Romberg 积分法 1实验原理 Romberg 方法是实用性很强的一种数值积分方法，其收敛速度是很快的，这里给出Romberg 积分的计算方法。 （1）计算1 (0,0)()[()()]2 R b a f a f b =-+ （2）计算2 211111 (,0)(1,0)(())222 i i i k h R i i f a k h ---==-++-∑ （3）计算114(,1)(1,1)(,)41 j j R m j R m j R m j ------=- 2 实验数据 用 Romberg 积分方法计算： 15 2 4x S dx x =+? 3实验程序 程序1 function s=rombg(a,b,TOL) n=1; h=b-a; delt=1; x=a; k=0; R=zeros(4,4); R(1,1)=h*(rombg_f(a)+rombg_f(b))/2; while delt>TOL k=k+1; h=h/2; s=0; for j=1:n x=a+h*(2*j-1); s=s+rombg_f(x); end R(k+1,1)= R(k,1)/2+h*s; n=2*n; for i=1:k R(k+1,i+1)=((4^i)*R(k+1,i)-R(k,i))/(4^i-1); end delt=abs(R(k+1,k)-R(k+1,k+1)); end s=R(k+1,k+1); 程序2 function f=rombg_f(x) f=x/(4+x^2); 程序3 s=rombg(0,1.5,1.e-6) %作出图形 x=0:0.02:1.5; y=x./(4+x.^2); area(x,y) grid 4 实验结果 s = 0.2231 实验2高斯-勒让德积分法1实验原理 Gauss-Legendre求积公式为 实习论文 题目高斯勒让德积分公式 专业信息与计算科学 班级计算092 学号3090811065 学生周吉瑞 指导教师秦新强 2011 年 高斯勒让德积分公式 专 业： 信息与计算科学 学 生： 周吉瑞 指导老师： 秦新强 摘要 关于数值积分公式0 ()()b n k k k a f x dx A f x =≈∑?，除了用误差来分析其精度以外，还可以 用代数精度来判断其代数精度的高低，已知n+1点Newton-Cotes 型积分公式，当n 为奇数时，其代数精度为n ，当n 为偶数时，其代数精度达到n+1。 n+1点的Newton-Cotes 型积分公式属于插值积分型积分公式，一般地，若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n 次代数精度，但是，如果求积节点选取适当，就有可能提高数值积分的代数精度，高斯型积分公式就可以实现这一目标。 关 键 词：数值积分，代数精度，高斯型积分公式 一、目的意义 构造Gaoss 型求积公式除需要求出正交多项式外，还需要求出正交多项式的零点和求积系数，当3n ≥时，这些工作均很困难，因此给出高斯-勒让德积分公式的零点和系数。 二、公式 高斯-勒让德积分公式：1 1 1 ()()n k k k f x A f x -=≈∑?； 三、算法流程 Step1:输入所用的点数n ； Step2:对i=1，2，···，n 循环执行步3； Step3:I= I+ ()i i A f x ; Step4:输出I ；结束。 四、算法程序 #include 消去法在求解线性法问题中的简单介绍 武玉东1014208027 材料学院 在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性代数方程组，而且在生产实践中一些变量之间的关系可以直接地或近似地表示为线性函数，因此研究线性函数是非常重要的问题。例如:电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题等。解线性方程组的方法主要有两种：消去法和迭代法。消去法是经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差!)；迭代法是从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法(一般有限步内得不到精确解)。本文将主要针对消去法这种计算方法探讨一下线性法的问题。 1、高斯消去法 用高斯消去法求解线性方程组的思路是首先将方程组Ax=b 化为下面的上三角方程组，此过程称为消去过程，再求解上三角方程组，此过程称为回代过程。消去法的数值计算过程： 最后得到， (0)(0)(0)(0) 1 111211 (0)(0)(0)(0) 2 212222 (0)(0)(0)(0) 12 ... ... ... ...... ... n n n n n nn n x a a a b x a a a b x a a a b ???? ?? ???? ?? ???? ??= ???? ?? ???? ?? ???? ?? ???? (0)(0)(0)(0) 1 111211 (1)(1)(1) 2 2222 (1)(1) ... ... . .. . ..... . .. n n n n n nn n x a a a b x a a b x a b -- ???? ?? ???? ?? ???? ?? ???? ?? = ???? ?? ???? ?? ???? ?? ???? ?? ?? ???? ?? ???? Gauss型积分公式 摘要 求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。 当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n 为偶数时，其代数精度达到n+1。若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。 如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。 关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度 1、实验目的 1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提 高代数精度这一问题中的思想方法。 2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的 编程能力。 3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。 2、算法流程 下面介绍三种常见的Gauss型积分公式 1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式 勒让德（Legendre）多项式 如下定义的多项式 称作勒让德多项式。由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式 的系数相同。也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在上带的n次正交多项式，而且 这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为 此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。 其中Gauss-Legendre求积公式的系数 1Q 计算的得到的结果比允许的最大值还大，不能以计算得到的结 果再代入进行迭代，以Q作为PV节点的无功功率，此时，PV节点转为 PQ节点； c) Q
列主元Gauss-Jordan消去法求矩阵的逆
电力系统稳态分析大作业——基于高斯赛德尔法潮流计算
Romberg积分法,Gauss型积分法
高斯-勒让德积分公式
消去法和迭代法
Gauss型积分公式
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