高考冲刺 三角函数的概念图象和性质
编稿：孙永钊 审稿：张林娟
【高考展望】
近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法
三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。
从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ω?=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.
预测今年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现. 【知识升华】 方法技巧：
1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系，用三角函数的定义反复证明强化记忆，这是最有效的记忆方法。诱导公式用角度制和弧度制表示都成立，记忆方法可概括为“奇变偶不变，符号看象限”，变与不变是相对于对偶关系的函数而言的
2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中，显得十分重要，根据三角函数的，可简记为“一全正，二正弦，三两切，四余弦”，其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦值为正；在第三象限正余切值为正；在第四象限余弦值为正
3.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时，要注意用是否“同角”来区分和选用公式，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，要注意正负号的选取
4.求三角函数值域的常用方法：
求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下方法： （1）将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域； （2）利用sin ,cos x x 的有界性求值域；
（3）换元法，利用换元法求三角函数的值域，要注意前后的等价性，不能只注意换元，不注意等价性 5. 三角函数的图象与性质
（一）列表综合三个三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象与性质，并挖掘： ⑴最值的情况；
⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求sin()y A x ω?=+的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况．．．．．．．．．．．．．； ⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；
sin y x =的对称轴是2
x k π
π=+
()k Z ∈，对称中心是(,0)k π()k Z ∈；
cos y x =的对称轴是x k π=()k Z ∈，对称中心是(,0)2
k π
π+()k Z ∈
tan y x =的对称中心是(
,0)()2
k k Z π
∈ 注意加了绝对值后的情况变化. ⑷写单调区间注意0ω>.
（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ω?=+的简图，并能由图象写出解析式． ⑴“五点法”作图的列表方式；
⑵求解析式sin()y A x ω?=+时处相?的确定方法：代（最高、低）点法、公式1x ?
ω
=-. （三）正弦型函数sin()y A x ω?=+的图象变换方法如下： 先平移后伸缩
sin y x =的图象???0)或向右(0)
平移个单位长度
得sin()y x ?=+的图象()
ωωω
?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)
1
到原来的纵坐标不变
得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)
为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0)
k k k >
得sin()y A x k ?=++的图象． 先伸缩后平移
sin y x =的图象(1)(01)
A A A ><
得sin y A x =的图象(01)(1)
1
()
ωωω
<<>?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象
(0)(0)
???ω
>
个单位
得sin ()y A x x ω?=+的图象(0)(0)
k k k >
得sin()y A x k ω?=++的图象． 【典型例题】
类型一、三角函数的概念
【例1】在平面直角坐标系xOy 中，将点A (1，3)绕原点O 顺时针旋转90°到点B ，那么点B 的坐标为________；若直线OB 的倾斜角为α，则sin 2α的值为________．
【思路点拨】根据三角函数的定义求出点B 的坐标，进而求出角α，可求sin 2α. 【答案】(3，－1) －3 【解析】如图所示，
∵点A 的坐标为(3，1)，
∴∠AOx ＝60°，又∠AOB ＝90°，∴∠BOx ＝30°， 过B 作BC ⊥x 轴于C ， ∵OB ＝2，
∴OC ＝3，BC ＝1， ∴点B 的坐标为(3，－1)，
则直线OB 的倾斜角为56π，即α＝56
π，
∴sin 2α＝sin 53π＝－sin 23π＝－
32
. 【总结升华】三角函数的定义与诱导公式的应用
(1)三角函数的定义是推导诱导公式及同角三角函数基本关系式的理论基础，应用三角函数的定义求三角函数值有时反而更简单．
(2)应用诱导公式化简三角函数式，要注意正确地选择公式，注意公式的应用条件．
举一反三：
【变式】在(0,2π)内，使sin x＞cos x成立的x的取值范围为
A.
5
(,)(,)
424
πππ
π
? B.(,)
4
π
π C.
5
(,)
44
ππ
D.
53
(,)(,)
442
πππ
π?
答案 C
【解析】在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在(0,2π)内，sin x＞cos x，则x∈
5
(,)
44
ππ
.
【例2】已知角α的终边落在直线3x+4y=0上，求sinα,cosα,tanα的值。
【思路点拨】本题求α的三角函数值，依据三角函数的定义，可在角α的终边上任意一点P（4t,-3t）(t ≠0)，求出r，由定义得出结论。
【解析】∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点 P（4t,-3t）(t≠0)，则x=4t,y=-3t., r=22
x y
+22
(4)(3)
t t
+-
当t>0时，r=5t,sinα=
y
r
=
33
55
t
t
-
=-,
44
cos
55
x t
r t
α===，
33
tan
44
y t
x t
α
-
===-；
当t<0时，r=-5t，sinα=
y
r
=
33
55
t
t
-
=
-
，
44
cos
55
x t
r t
α===-
-
，
33
tan
44
y t
x t
α
-
===-。
综上可知，sinα=
3
5
-，
4
cos
5
α=，
3
tan
4
α=-；或sinα=
3
5
,
4
cos
5
α=-,
3
tan
4
α=-.
【总结升华】已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的α值。若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论。
举一反三：
【变式】
3
2
sin,cos tan
4
p m
m
=+
θ
θθθ
已知角的终边上的一点（，）
且求的值。
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类型二、同角三角函数基本关系
【例3】已知α是三角形的内角，且sin α+cos α=15.（1）求tan α的值；（2）把22
1
cos sin αα
-用tan α表示出来，并求其值。
【思路点拨】（1）由sin α+cos α=15及sin 2
α+cos 2
α=1,可求sin α, cos α的值；
（2）sin 2
α+cos 2
α=1，分子、分母同除以cos 2
α即可。
【解析】（1）方法一：联立方程221sin cos 5sin cos 1αααα?
+=
???+=?
整理得2
25sin
5sin 120αα--=
∵α是三角形内角，
∴4sin 53
cos 5αα?
=????=-??
∴tan α=43-
方法二：∵sin α+cos α=15，∴(sin α+cos α)2
=(15)2
即112sin cos 25αα+=
，∴24
2sin cos 25αα=- ∴(sin α-cos α)2=4925 ∵12
sin cos 0025
αααπ=-<<<且 ∴sin α>0,cos α<0,∴sin α- cos α>0, ∴sin α- cos α=
75
, 由1sin cos 57sin cos 5αααα?
+=????-=??得4sin 53cos 5αα?=????=-??
2
2sin = =
,4
3+=0,= 5 .=0cos +tan =-16155cos +tan =- - 43615=-5cos +tan =-
m
m m m m m m m ±θθθθθθθ由三角函数的定义得所以 或当时，；当时，；
当时，【解析】
∴tan α=43
-
（2）2222221sin cos cos sin cos sin αααααα+=--2222222
2sin cos tan 1cos cos sin 1tan cos αα
ααααα
α
++==-- ∵tan α=43
-
∴22
222
24
()1
1tan 1253.47cos sin 1tan 1()3
αααα-++===----- 【总结升华】（1）对于sin α+cos α，sin αcos α，sin α-cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求。转化的公式为(sin α±cos α)2
=1±2 sin αcos α;（2）关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tanx 的式子。
【例4】已知一扇形的圆心角是α，所在圆半径是R 。
（1） 若α=600
，R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积。
（2） 若扇形的周长是一定值C （C>0），当α是多少弧度时，该扇形有最大面积？
【思路点拨】（1）利用弧长、面积公式求解；（2）把扇形面积用α表示出来，或用弧长表示出来，然后求出函数的最值。
【解析】（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓，
020260,10,
3
10
(),3
1101
1010sin 60,
232
350()().
32
弓扇R l cm S S S cm π
απππ?==
=∴=
=-=??-??=-
（2）方法一：∵扇形周长C=2R+l =2R+φR,∴R=
2C
α
+ 22
2222
11()
22211.42216
4444扇C S R C C C αααααα
αα
=?=+=?=?≤++++
∴当且仅当4
αα
=，即α=2（α=-2舍去）时，扇形面积有最大值2
16C 。
方法二：由已知2R+l =C,
2(),2
111()
2224
C l
R l C C l S Rl l Cl l -∴=
<-==??=-
2
21()4216C C l =--+
∴当2
C
l -时，2max 16C S =，
此时2 2.22
C l
C R
C α=
==-
∴当α=2弧度时，扇形面积有最大值2
16
C 。
【总结升华】合理选择变量，把扇形面积表示出来，体现了函数的思想，针对不同的函数类型，采用不同的方法求最值，这是解决问题的关键。
举一反三：
【变式】若cos 2sin 5,αα+=则tan α=( ) （A ）
21 （B ）2 （C ）2
1
- （D ）2- 【解析】由cos 2sin 5αα+=cos 52sin αα=-， 又由2
2sin
cos 1αα+=，可得：2sin α＋（52sin α）2＝1
可得αsin ＝－552，cos 52sin αα=＝－5
5
， 所以，tan α＝
α
α
cos sin ＝2。 【总结升华】对于给出正弦与余弦的关系式的试题，要能想到隐含条件：2
2sin cos 1αα+=，与它联系
成方程组，解方程组来求解。
类型三、诱导公式 【例5】化简：
sin()cos[(1)]
()sin[(1)]cos()
k k k Z k k παπαπαπα---∈+++
【思路点拨】化简时注意观察题设中的角出现了k π，需讨论k 是奇数还是偶数。 【解析】当2()k n n Z =∈时，
sin(2)cos[(21)]sin()cos()
sin[(21)]cos(2)sin()cos sin (cos )1sin cos n n n n παπααπαπαπαπαα
αααα
------=
=
++-+--==--原式
当21()k n n Z =+∈时
sin[(21)]cos[(211)]sin()cos sin[(211)]cos[(21)]sin cos()
sin cos 1sin (cos )
n n n n παπαπαα
παπααπααααα+-+---=
=
++++++==--原式
综上，原式=-1
【总结升华】诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sin α与cos α对偶，“奇”、“偶”是对诱导公式中2
π
?k +
α的整数k 来讲的，象限指2π
?
k +α中，将α看作锐角时，2π
?
k +α所在象限，如将cos(
2
3π
+α)写成
cos （23π?+α），因为3是奇数，则“cos ”变为对偶函数符号“sin ”，又23π+α看作第四象限角，cos(2
3π
+
α)为“+”，所以有cos(2
3π
+α)=sin α。
【例6】已知cos()2sin()22ππ
αα+=-，求3sin ()cos()
575cos()3sin()22
πααπππαα-++-+-的值。
【思路点拨】化简已知条件→化简所求三角函数式，用已知表示→代入已知求解 【解析】
cos()2sin()22ππαα+=-，sin 2(),2
sin π
αα∴-=--sin 2cos ,tan 2.ααα∴==即
3333
222222sin ()cos()sin cos 575cos()3sin()5cos(2)3sin(4)
2222sin cos sin cos sin tan 1
5sin 3cos 5tan 35cos()3sin()22
2sin 12sin 12sin (sin cos )10377(s πααπααππππααπαπαααααααππαααααααααα-++-∴=
-+-+-+-----==
----+---+===
-22222222in cos )sin cos tan 14137(sin cos )7(tan 1)7(41)35
αααααααα+---====++?+ 【总结升华】已知角α的三角函数值求角α的一般步骤是：
（1）由三角函数值的符号确定角α所丰的象限； （2）据角α所在的象限求出角α的最小正角； （3）最后利用终边相同的角写出角α的一般表达式。 举一反三：
【变式1】若==+θθπ
2cos ,53
)2sin(
则 . 【解析】由3sin()25πθ+=可知，3cos 5θ=；而2
237cos 22cos 12()1525
θθ=-=?-=-。
类型四、三角函数的图象和性质 【例7】求下列函数的定义域：
（1）求y=lg(sinx-cosx)的定义域；
（2）求函数lg(2sin 1)12cos y x x =-+-的定义域。
【思路点拨】（1）第（1）小题实际就是求使sinx>cosx 的x 的集合，可用图象或三角函数线解决；（2）第（2）小题实际就是求使2sin 10
12cos 0
x x ->??
-≥?成立的x 的值，可用图象或三角函数线解决。
【解析】（1）要使函数有意义，必须使sinx-cosx>0
方法一：利用图象。在同一坐标系中画出[0，2π]上y=sinx 和y=cosx 的图象，如图所示：
在[0，2π]内，满足sinx=cosx 的x 为4
π，54π
，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域
为5{|
22,}4
4
x k x k k Z π
π
ππ+<<
+∈
方法二、利用三角函数线，如图，，MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sinx>cosx,即MN>OM ，则
5()4
4
x π
π
π<<
在[0,2]内。∴定义域为 5{|
22,}44
x k x k k Z π
π
ππ+<<
+∈
方法三：sinx-cosx=2sin(x-4π)>0,将x-4
π
视为一个整体，由正弦函数
y=sinx 的图象和性质可知2k π< x-4π<π+2k π,解得2k π+4
π
5{|22,}44x k x k k Z ππππ+<<+∈ （2）要使函数有意义，必须有2sin 1012cos 0x x ->??-≥?，即1sin x 2 1cos 2x ? >????≤??，解得522665223 3k x k k Z k x k ππππππππ ?+<<+??∈? ?+≤≤+??，∴ 522()3 6k x k k Z π πππ+≤< +∈故所求函数的定义域为52,2()36k k k Z ππππ?? ++∈???? 【思路点拨】与三角函数有关的函数的定义域 ①与三角函数有关的函数的定义域仍然是使函数解析式有意义的自变量的取值范围； ②求此类函数的定义域最终归结为用三角函数线或三角函数的图象解三角不等式。 举一反三 【变式1】求函数的定义域： （1）2log tan 12 y x x = ++； （2）tan()sin 4lg(2cos 1) x x y x π - = -. 【答案】 （1）要使得函数有意义，需满足042log 012tan 02x x k x k x πππ<≤+≥?≤<+≥???? ?????? ， 解得2 0x π << 或4x π≤≤， ∴定义域为：(0, )[,4]2 x π π∈. （2）要使得函数有意义，需满足42sin 02cos 102cos 11 x k x x x π ππ?-≠+??? ≥??->?-≠?? 解得π 22,3 k x k k Z ππ<<+ ∈ ∴定义域为：π {|22,}3 x k x k k Z ππ<<+ ∈ 【例8】（1）求函数sin( 2),3 y x π =-[,]x ππ∈-的单调递减区间； （2）求3tan( )64 x y π =-的周期及单调区间。 【思路点拨】题目所给解析式中x 的系数都为负，把x 的系数变为正数，解相应不等式求单调区间。 【解析】（1）由sin( 2),3y x π =-得sin(2)3 y x π =--， 由2222 3 2 k x k π π π ππ-+≤-≤ + 得5,,1212 k x k k Z π π ππ- +≤≤ +∈ 又x ∈[-π,π],∴-π≤x ≤712π-,51212x ππ-≤≤ ,11 12 x ππ-≤≤. ∴函数sin(2),3 y x π =- x ∈[-π,π]的单调递减区间为 [-π，712π- ]，[12π-，512π]，[11 12 π，π]。 （2）函数3tan( )64 x y π =-的周期T=414 ππ=-。 由3tan()64x y π =-得3tan(),46 x y π=-- 由2462x k k πππππ-+<-<+得48 44,33 k x k k Z ππππ-+<<+∈， ∴函数3tan()64x y π =-的单调递减区间为484,433k k k Z ππππ?? -++∈ ??? 。 【总结升华】 （1）准确记忆三角函数的单调区间是求复合三角函数单调区间的基础； （2）形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx+φ看作一个整体，由 22()2 2 k x k k Z π π πωφπ- +≤+≤ +∈求得函数的增区间，由 322()2 2 k x k k Z π π πωφπ+≤+≤ +∈求得函数的减区间。 （3）形如y=Asin(-ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数，可先利用诱导公式把x 的系数变为正数，得到y=-Asin(ωx-φ)，由22()2 2 k x k k Z π π πωφπ- +≤-≤ +∈得到函数的减区间，由 322()2 2 k x k k Z π π πωφπ+≤-≤ +∈得到函数的增区间。 【例9】已知函数x x y2 cos 3 2 sin+ = （1）用五点法作出它的图象； （2）指出这个函数的振幅、周期、频率、初相和单调区间； （3）说明该函数的图象可由sin y x =的图象经过怎样的变换而得到？ 【解析】 （1）) 3 2 sin( 2 ) 3 sin 2 cos 3 cos 2 (sin 2 ) 2 cos 2 3 2 sin 2 1 (2 π + = π ? + π ? = + =x x x x x y. 列表描点绘图如下: 3 2 π + x 0 2 π 2 3π 2 π x 6 π - 12 π 12 7π π 6 5 y 0 2 0 - 2 （2）如图可知，此函数的振幅是2，周期为π，频率为 π 1 ，初相为 3 π . 单调增区间为] 12 , 12 5 [ π + π π - πk k k∈Z ， 单调减区间为] 12 7 , 12 [π + π π + πk k k∈Z. （3）sin y x = π 3 ???????????→ 图象向左平移个单位 纵坐标不变 sin() 3 y x π =+ ?????????????→ 横坐标缩短为原来的0.5倍 纵坐标不变 sin(2) 3 y x π =+ ????????????→纵坐标扩大到原来的2倍横坐标不变2sin(2)3 y x π=+ 【总结升华】 ①五点法作sin()y A x ω?=+(0A >, 0ω>)的简图时，五点取法是设t x ω?=+，由t 取0、 2 π 、π、 32 π 、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图； ②由sin y x =的图象变换出sin()y A x ω?=+的图象一般先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现，无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少； ③此处的难点是函数图象的平移，可以选择画出图象后观察；也可以直接由函数式子利用特殊位置点（如：首点、波峰、波谷等）的坐标判定，但其前提是两个函数的名称以及x 的系数是相同的. 举一反三： 【变式1】由sin()3 y x π =+的图象得到cos y x =的图象需要向 平移 个单位. 【答案】左， 6 π； 【解析】∵cos sin()2 y x x π ==+ ， ∴由sin()3y x π =+ 的图象得到cos sin()2y x x π==+的图象需要向左平移6π 个单位. 【变式2】试述如何由1sin(2)33 y x π =+的图象得到sin y x =的图象. 【解析】 方法一：1sin(2)33y x π= + 2????????????→横坐标扩大为原来的倍纵坐标不变 1sin()33 y x π=+ π3???????????→图象向右平移个单位 纵坐标不变 1sin 3 y x =3??????????? ?→纵坐标扩大到原来的倍横坐标不变sin y x =. 方法二：1sin(2)33y x π=+π6???????????→图象向右平移个单位纵坐标不变 1sin 23y x = 2????????????→横坐标扩大为原来的倍纵坐标不变1sin 3 y x =3????????????→纵坐标扩大到原来的倍横坐标不变sin y x =. 【变式3】将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π?? =- ??? 平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ） A ．sin()6y x π =+ B ．sin()6y x π=- C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3 y x π =- 【答案】C ；把点7( ,1)12 π -代入选项即得。 【例10】求下列函数的值域. （1）3cos y x x =+[0,]x π∈；（2）2cos 3sin x y x -= +；（3）sin cos 2sin cos y x x x x =++ 【思路点拨】三角式确定的函数求解值域.一般可从两个途径入手.一是将三角式化为一个三角函数的形式，从而利用三角函数性质求解值域，二是将三角式化为相同形，通过换元转化为代数函数求解值域. 【解析】 (1))6sin(2cos sin 3π +=+= x x x y ， ∵[0,]x π∈， ∴ ]6 7 ,6[6ππ∈π+x . 由正弦函数图象可知： 当26π=π+ x 即3π=x 时，max 2y =；当π=π+6 7 6x 即x π=时，min 1y =-. 所以函数值域为[1,2]-. (2) 由x x y sin 3cos 2+-= 去分母得：3sin 2cos y y x x +=-, 移项整理sin cos 23y x x y +=-， 21sin()23y x y θ++=-（2 2 cos 1 1 y y θθ= = ++） ∴1 32)sin(2 +-= θ+y y x , ∵1)sin(1≤θ+≤-x , ∴1|1 32| 2≤+-y y , 即1|32|2+≤-y y . 平方整理得:2 81230y y -+≤, 解出： 4 3 3433+≤≤-y ， 所以函数值域为]4 3 3,433[ +-. （3）由2 (sin cos )12sin cos x x x x +=+得2 2sin cos (sin cos )1x x x x =+- ∴2 sin cos 2sin cos (sin cos )(sin cos )1y x x x x x x x x =++=+++- 令)4 sin(2cos sin π +=+=x x x t ，则]2,2[-∈t ∴2 2151()24 y t t t =+-=+-, ]2,2[-∈t 当21-=t 时，4 5 min -=y ， 当2=t 时，12max +=y . 所以函数值域为]12,4 5 [+-. 举一反三 【变式1】设关于x 的函数22cos 2cos (21)y x a x a =--+的最小值为()f a ，试确定满足1 ()2 f a =的a 的值，并对此时的a 值求y 的最大值。 【答案】令cos x t =，[1,1]t ∈-， 则2 2 222(21)2)(21)22 a a y t at a t a =--+=--++（ ， 开口向上，对称轴2 a t =， 当 12 a <-，即2a <-时，函数y 在[1,1]t ∈-上递增，min 112y =≠； 当12a >，即2a >时，函数y 在[1,1]t ∈-上递减，min 1412y a =-+=，得1 8a =与2a >矛盾； 当112 a -≤≤，即22a -≤≤时，2min 1 (21)22a y a =-++=，解得1a =-或3a =-（舍）， ∴1a =-，此时max 415y a =-+=. 【变式2】已知函数()cos 223sin cos 2f x a x a x x a b =+++的定义域为[0,]2 π ，值域为[1,5]-， 求常数a 、b 的值． 【答案】()cos 23sin 222sin(2)26 f x a x a x a b a x a b π =++=+ ++ ∵[0, ]2 x π ∈， ∴72[,]666 x π ππ + ∈ （1）若0a =，不符合题意. （2）若0a >，有26 2 x π π += 时，45a b +=；726 6 x π π += 时1a b +=-，∴2a =，3b =-. （3）若0a <，有26 2 x π π + = 时，41a b +=-；726 6 x π π + = 时5a b +=，∴2a =-，7b =. 故2a =，3b =-或2a =-，7b =. 类型五、函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用 【例11】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x ∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<2 π)的图象与x 轴的交点中，相邻两个 交点之间的距离为2 π，且图象上一个最低点为M( 23 π ,-2). (1)求f(x)的解析式； (2)当x ∈［ 12π,2 π ］时，求f(x)的值域. 【思路点拨】由与x 轴的交点中相邻两交点的距离为 2 π 可得T 22 π=，从而得T=π，即可得ω.由图象最低点得A 及 的值，从而得函数f(x)的解析式，进而得f(x)的值域. 【解析】(1)由最低点为M( 23π,-2),得A=2.由x 轴上相邻两个交点之间的距离为2 π ,得T 22 π=,即T=π,∴ω= 22T πππ= =2.由点M(23π,-2)在图象上得2sin(2×23π+φ)=-2,即sin(43π +φ)=-1, 故()42k k Z ,32ππ?π+=-∈()112k k Z .6π?π∴=-∈ ()(0,),,f x 2sin(2x ).266又故πππ ??∈∴==+ （2）7x ,,2x ,.122636［］［］πππππ ∈∴+∈ 当2x+π6= 2π,即x=π 6时，f(x)取得最大值2; 当2x+6π=76π,即x=2 π时,f(x)取得最小值-1,故f(x)的值域为［-1,2］. 【总结升华】确定sin()y A x ω?=++b 的解析式的步骤： （1）求A ，b 确定函数的最大值M 和最小值m ，则A=2M m -，b=2 M m +。 （2）求ω，确定函数的周期T ，则2T π ω=； （3）求?，常用方法有： ⅰ、代入法：把图象上的一个已知点代入（此时，A 、ω、b 已知）或代入图象与直线y=b 的交点求解。（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）； ⅱ、五点法：确定?值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点（? ω -，0）作为突破口。具体如下： 第一点（即图象上升时与x 轴的交点）为0x ωφ+=；第二点（即图象的“峰点”）为2x π ωφ+=； 第三点（即图象下降时与x 轴的交点）为x ωφπ+=；第四点（即图象的“谷点”）为3 2 x ωφπ+=；第 五点为2x ωφπ+= 举一反三： 【变式1】把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） A ．sin 23y x x π?? =- ∈ ??? R ， B ．sin 26x y x π?? =+∈ ???R ， C ．sin 23y x x π?? =+∈ ?? ? R ， D ．sin 23y x x 2π?? =+ ∈ ?? ? R ， 【解析】 y=sin x 3 π ??????→ 向左平移个单位 sin() 3 y x π =+1 2 ???????→ 横坐标缩短到原来的倍 sin(2)3 y x π =+，故选（C ） 。 【变式2】在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21 =y 的交点个数 是( ) （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 【解析】原函数可化为： ])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y =sin ,[0,2].2x x π∈作出原函数图像， 截取[0,2]x π∈部分，其与直线21 =y 的交点个数是2个 【例12】已知函数x x x f 2cos 2 3)4(sin )(2- +=π （1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）函数)(x f 的图象经过怎样的变换可以得到x y 2sin =的图象？ 【思路点拨】根据倍角公式将函数解析式化为一般要转化为y=Asin(ωx+?)+k 的形式求解。 【解析】(1)x x x f 2cos 23 )4 ( sin )(2 -+=π = x x 2cos 2 3 2 ) 22cos( 1- +-π =x x 2cos 2 32sin 2121-+ = )3 2sin(21π-+x 最小正周期 π=T 单调递增区间]12 5 ,12 [ππππ+ -k k ，k Z ∈ (2) 向左平移 6π个单位；向下平移2 1 个单位 【总结升华】解析式与三角函数有关的函数若求函数的周期、单调区间、对称轴、值域等问题时，一般要转化为y=Asin(ωx+?)+k 的形式。 【变式1高清视频三角函数的概念、图象和性质例4 ID: 368995】 已知函数()4cos sin()16 f x x x π =+ -。 （Ⅰ）求()f x 的最小正周期： （Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ?? - ??? ?上的最大值和最小值。 【解析】（Ⅰ）因为1)6 sin(cos 4)(-+ =π x x x f 1)cos 2 1 sin 23( cos 4-+=x x x 1cos 22sin 32-+=x x x x 2cos 2sin 3+=)6 2sin(2π + =x 所以)(x f 的最小正周期π. （Ⅱ）因为.3 26 26 ,4 6 π π π π π ≤ + ≤- ≤≤- x x 所以 于是，当6 ,2 6 2π π π = = +x x 即时，)(x f 取得最大值2； 当)(,6 ,662x f x x 时即π ππ -=- =+ 取得最小值—1． 【变式2】已知函数2()2cos sin 2 x f x x =+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值． 【解析】（Ⅰ）由已知可得 2 ()2cos sin 2 x f x x =+ cos 1sin x x =++ 2)14 x π =++． ()f x 的最小正周期是2π． 由22,242 k x k k πππ π-≤+≤π+∈Z ， 得322,44 k x k πππ- ≤≤π+ 所以函数()f x 的单调递增区间为3[2k ,2k ],44 k ππ π-π+∈Z ． （Ⅱ）由（Ⅰ）()2)14f x x π = ++． 因为[0,]x ∈π，所以 5444 x πππ ≤+≤ ， 当sin()14x π +=时，即π 4 x =时，()f x 21 【例13】已知方程02 cos 2sin 322sin 2cos 22 =---m x x x x . （1）若方程在[0,]π上有实根，求实数m 的取值范围； （2）若方程在[0,]π上有两个相异实根，求实数m 的取值范围. 【思路点拨】求解三角方程是个较困难的问题，但仅考察三角方程在所给区间上解的个数，就可以联系函数的图象求解，或者把变量m 单独放在一边，考察另一边的取值范围。 【解析】 （1）由题意得0sin 3cos =--m x x 即)3 cos(2π + =x m ， 若要方程在[0,]π上有实根，等价于以[0,]π为定义域而求解函数值()m f x =的取值范围. ∵[0,]x π∈， ∴]3 4 ,3[3ππ∈π+x , 当33π=π+ x 即0x =时，max 1m =；当π=π+3x ，即π=3 2 x 时，min 2m =-. ∴[2,1]m ∈-. （2）由)3 cos(2π + =x m ，若在[0,]π上有两个相异实根， 即函数)3 cos(2π +=x y 在[0,]π上与直线y m =有两个不同的交点，如图. 故当21m -<≤-时，方程有两个相异实根. 【总结升华】 ①本题是通过函数图象交点个数判断方程实数解的方法，应重视这种数形结合的方法。 ②把变量分离，单独放在一边也是处理变量的一个技巧。 举一反三： 【变式1】已知方程22 2sin cos 2sin 0x x x m -++=有解，求实数m 的取值范围。 【答案】由原方程得到222 2sin cos 2sin 3sin 2sin 1m x x x x x =-+-=--+， 令2 3sin 2sin 1y x x =--+，则4 43 y -≤≤有最大最小值， 只要m 在这个范围内，原方程就有解， 故4 43 m -≤≤ 时，原方程有解。 【变式2】已知02 π θ≤≤ ，求使2 cos 2sin 220m m θθ+--<成立的实数m 的取值范围。 【答案】原式变形为：2 2(sin 1)1sin m θθ-<+ 当sin 10θ-=即2 π θ= 时，不论m 取何值，原式成立，即m R ∈. 当sin 10θ-≠即02 π θ≤<时，sin 10θ-<，∴原式等价于21sin 2sin 1m θ θ+>- 令21sin sin 1y θ θ+=-，则要使2m y >成立，只要max 2m y >即可。 又21sin 22 sin 1[(1sin )]2sin 1sin 11sin y θθθθθθ += =++=--++--- ∵02 π θ≤< ，∴0sin 1θ≤<，∴01sin 1θ<-≤ ∵ 2 (1sin )1sin θθ -+-在1sin 1θ-=即0θ=时取最小值3， ∴max 21m y >=-，即1 2 m >-， 所以当2 π θ= 时，m 取任意实数，原式都成立，
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