一、求下列极限（每小题10分，满分20分）
1. 3
3
1)cos 1(lim
x dt t x
x ò-?
2. ?=￥
?+n k n n
k n k n 1sin 2cos sin lim p
p p
二、设函数),(y x u u =由方程)(u x y u j +=确定，求证])([22
2y
u
u y x u ????=??j （本题满分10分）
三、设
)(x f 在]1,0[上连续。证明：)0(2
)(lim 1
0220f dx x t x tf t p
=+ò+? （本题满分20分）
四、证明函数项级数?￥
=+1
sin sin n x n nx
x 在),0(+￥上一致收敛。
（本题满分20分）
五、计算
dx y x y dy y
x x
l
2
222+-+ò
其中l 是由12-=x y 与1+=x y 所围成区域的边界，沿逆时针方向。（本题满分10分）
六、计算òò
-+-S
dxdy z z yzdzdx zxdydz )(242
，其中S 是yoz 平面上的曲线y e z =（20￡￡y ）绕oz 轴旋转一周所成的曲面的下侧。
（本题满分20分）
一、求极限（每小题8分，共16分）
1. 1)12(31lim +￥?-+++p p p p n n n L （其中p 是自然数）
2. ÷÷÷÷???
???è
?++++++￥?n n n n n n n n n 1221212lim 21
L
二、（第一小题5分，第二小题10分，共15分）
1.叙述实数R 上的区间套定定理和确界原理；
2.用区间套定定理证明确界原理
三、（第一小题10分，第二小题5分，共15分）设)(x f 在],[b a 上有连续的二阶导数且0)()(==b f a f ，
证明:1.对任意],[b a x ?，
dx x f a
b b x a x x f b
a ò-￡--)(''1))(()( 2. dx x f x f a
b b a b a x ò￡-?)('')(max 4
]
,[
四、（每小题7分，共14分）
1.利用公式dy e x x y ò+￥+-=+0)
1(2211，计算dx x
x ò+￥+021cos a . 2.求dx x
x x ò
+￥
+0
2
1sin a 五、（10分）证明：若
)
(x f 在
R
上非恒为零，存在任意阶导数，且对任意的
R
x ?，有
2
)1()(1
)()(n x f x f n n <
--，则x n n Ce x f =￥
?)(lim
)(，其中C 是常数。
六、（10分）若13n 及03x ，03y ，证明不等式：
n
n n y x y x )2
(2+3+ 七、（10分）求级数?￥
=+1
)1(n n
n n x
八、（10分）计算曲面积分
zdxdy x ydzdx z x xzdydz S
22)(--+òò
，其中S
是旋转抛物面
z a y x 222=+（0>a ）取10￡￡z 部分，下侧为正.
一、设01>x ，n
n n x x x ++=+3)1(31
（L ,2,1=n ），证明}{n x 有极限，并求出极限值.（15分）
二、设
)(x f y =在),0[+￥一致连续，且对任意]1,0[?x ，0)(lim =+￥
?n x f n （n 为正整数）， 证明：0)(lim =￥
?x f x （15分）
三、设在],[b a 上，有0)(''>x f ，证明
（1）对任何],[,0b a x x ?，有))((')()(000x x x f x f x f -+3
（2）对任何],[,,,21b a x x x n ?L ，有
??==￡n
i i n i i x f n x n f 1
1)(1)1(（每小题10分，共20分）
四、设函数)(x f 在],[b a 上有连续导数且0)(=a f 。
证明：dx x f a b M
b
a
ò-￡)]('[)(2
，其中)(sup x f M b
x a ￡￡=（15分）
五、设
),(y x f 为n 次齐次函数，即满足：对任何0>t ，),(),(y x f t ty tx f n =，且f
可微，证明在
)0,0(),(1y x 处有nf y f
y x
f x
=??+??
六、设)(x g 在]1,0[上连续，0)
1(=g ，作n n x x g x f )()(=，
)}({x f n 在]1,0[上一致收敛. （15分）
七、计算积分
dz xy z dy xz y dx yz x AmB
)()()(222-+-+-ò
此积分是从点
)0,0,(a A 至点),0,(h a B 沿着螺线
q cos a x =、q sin a y =、q p
2h
z =上所取的. （10分）
一、（每小题10分，共20分）设
a x n n =+￥
?lim ，设
)
1(32321+++++=
n n nx x x x y n n L 。
证明：1.若a 为有限数，则2
lim a
y n n =+￥?
2. 若+￥=a ，则+￥=+￥
?n n y lim
二、（每小题10分，共20分）设)(x f 在),0[+￥上单调递减且dx x f ò+￥
0)(收敛.
1.证明：
0)(lim =+￥
?x xf x ；
2.若+￥?x
时0)(?x f 且)('x f 连续，证明dx x xf ò+￥
0)('也收敛.
三、（每小题10分，共20分）
1.设对每个正整数n ，)(x u n 是)1,0(内的单调递减连续函数，且
1)(lim 0
1=-?x u n x ，
证明：若
?￥
=1
n n
a
收敛，则
??￥
=￥
=-?=1
1
1)(lim
n n n n
n x a x u
a
2.证明：2ln 21
)
1()1(lim 1101=+-?￥
=--?n n n n x x n x
四、（本题满分15分）设)(x f y =在],[222222c b a c b a ++++-上连续，
证明：du c b a u f dS cz by ax f S
òòò
-++=++1
1
222)(2)(p 其中S 为单位球面：1222=++z y x
一、（本题满分20分）设01
>a ，02>a ，…，0>n a ，
定义
x
x n
x x
n a a a x f 12
1
)(÷÷?
?
??è
?+++=L
证明：（1）n n
x a a a x f L 210
)(lim =?
（2）},,,max{)(lim 21n x a a a x f L =+￥
?
二、（本题满分20分）设
)(x f 在]1,0[上连续可微，且满足0)0(=f ，1)('0￡ （1）证明：dx x f dx x f òò3÷???è ?1 032 1 0)()( （2）举一个满足条件且使（1）中等号成立的例子 三、（本题满分20分）设 )(x f 在有穷或无穷的区间),(b a 中的任意一点处可导，且)(lim )(lim x f x f b x a x -+??=，分别就以下三种情形：（1）a ，b 有限；（2）-￥=a ，+￥=b ；（3）a 有限，+￥=b ，证明：存在一 点),(b a ?x 使得0)('=x f 四、（本题满分20分）计算òò÷÷????è?++S z dxdy y dzdx x dydz 其中S 为椭球面122 2222=++c z b y a x （a ，b ，0>c ）的外侧 一、（本题满分15分）设求极限2 1sin lim n k n k n ?=￥ ? 二、（本题满分15分）已知数列}{n x 满足：对一切n 都有：e n n x n =÷ ? ? ?è?++11成立.求：n n x ￥ ?lim 三、（本题满分15分）计算二重积分：dxdy e D y x òò+-2 )(，其中D 由1=+y x ，x y =，0=x 所围成. 四、（本题满分15分）若+￥<<<<￥-c b a ，)(x f 在],[c a 上连续，且)(x f 在),(c a 上二阶可导， 求证：存在),(c a ?x 使得： )(''2 1 ))(()())(()())(()(x f b c a c c f a b c b b f c a b a a f =--+--+--成立. 五、（本题满分15分）设对所有),0(+￥?x ，级数 ?￥ =0 n n n x a 都收敛，且 ?￥ =0 !n n a n 收敛. 证明：?ò?￥ =￥ +￥ =-=0 00 !)(n n n x n n a n dx e x a 一、（本题满分10分）求极限÷ ÷÷?? ??? è ?--￥?11lim 1 n n e n 二、（本题满分15分）设函数 )(x f 在]1,0[上二阶可导，且满足1)(''￡x f ，)(x f 在区间)1,0(内取到最 大值4 1 ，证明：1)1()0(￡+f f 三、（本题满分15分）设函数 )(x f 在]1,0[上连续可导，且0)1()0(==f f 证明：dx x f dx x f x f òò ￡1 21 0)]('[41)(')( 四、（本题满分20分）证明：函数项级数?￥ =+-1 1 1) 1(n x n n 在),0(+￥上不一致收敛，但在),0(+￥上有连续的 导函数. 五、（本题满分15分）计算曲面积分 òò ++++S z y x zdxdy ydzdx xdydz 2 3 222) ( 其中S 是椭球面122 2222=++c z b y a x （03z ）的上侧。 一、（每小题7分，共21分）计算下列极限 1. úú?ùêê?é-÷???è?++￥ ?e n n n n 11lim 2. )tan (sec lim 2 x x x -?p 3. n n n n ! lim ￥? 二、（每小题10分，共60分）计算下列积分 （1）设 ?íì+-=x x x f 11)(20 03 2 ))(( （2） dxdy y x D òò +，其中D 是由抛物线1=+y x ，0=x 及0=y 所围成的区域. （3）dxdydz y x òòò W +22，其中W 是锥面222z y x =+与上半球面22223a z y x =++所围成区域. （4） dS zx yz xy S òò++)(，其中S 是锥面2 2y x z += 被柱面ax y x 222 =+所截部分. （5）ò+-+-L dy y x x y dx x y xy )3sin 21()cos 2(2223，其中L 是22y x p =从原点)0,0(O 到点)1,2 (p A 的一段曲线. （6）òò ++S zdxdy ydzdx xdydz ，其中S 为上半球面222y x R z --=的下侧. 三、（本题15分）设),(y x f 在2R 上的可微函数，且有0)''(lim >=++￥ ?a yf xf y x r （22y x r +=）， 证明：),(y x f 在2R 上必有最小值. 四、（本题14分）设),(y x u u =具有二阶连续偏导数，证明存在常数使得在变换ay x s +=，by x t +=下，可将微分方程0342222 2=??+???+??y u y x u x u ，化为02=???t s u 五、（本题20分）设 )(x f 在]1,0[可导，且0)0(=f ， ) (2 1 )('x f x f ￡证明：在]1,0[上，0)(ox f 六、（本题20分）设 )(x f 在2R 上具有二阶连续导数且0)1()0(==f f .对于任意)1,0(?x ，0)(>x f . 证明：4) () (''1 0>ò dx x f x f . 一、（每题7分，共28分）求下列极限 1. ?=￥?n k k n n C n 0 2 ln 1lim 2. )(sin lim 22 n n n +￥ ?p 3. dt t t t dt t x x x ò ò -+?0 2 3 0)sin (sin lim 2 4. x x x e x x cos 11lim 0----? 二、（每题10分，共40分）计算下列积分 （1） dxdy y x y x D òò --+222 ，其中}1:),{(222￡+?=y x R y x D （2） ds yz l ò，其中l 是球面2222 a z y x =++与平面1=++z y x 的交线。 （3）设 )(x f 在),(+￥-￥内有连续导函数，求积分dy xy f y y x dx y xy f y L ]1)([) (1222-++ò，其中L 是从A 3 2 ,3(到B )2,1(的直线段。 （4）òò + ++++S z y x zdxdy ydzdx xdydz 3 22 2 ) (，其中S 是抛物面16 )1(25)2(712 2-+-=-y x z （03z ） 三、（本题10分）设),(y x f z =在有界闭区域D 内有二阶连续偏导数，且0''''=+yy xx f f ，0''1xy f 。 证明：),(y x f z =的最大值和最小值只能在区域D 的边界上取得。 四、（本题12分）证明：在变换y x u = ，x v =，y xz w -=之下， 方程x y z y z y 222 2=??+??可变成022=??u w 。 五、（本题12分）证明：nx x x x n n n sin 1)1(21 --?￥ =在)1,21 (内一致收敛。 六、（本题12分）设 )(x f 在],[b a 上连续，且)()(b f a f =， 证明：+ ?"Z n ，),(b a ?$x ，使得 )()(x x f n a b f =-+ 七、（本题12分）设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(可导，且0)('>x f ，0)0(=f ， 证明：)1,0(,?$h x ，使得1=+h x ，且 ) () (')()('h h x x f f f f =。 八、（本题12分）设 )(x f 在],[b a 上连续可导，证明： })(,)(')max{()(dx x f dx x f a b dx x f b a b a b a òòò -￡ 九、（本题12分）设对任意实数 0>A ，函数)(x f 在],0[A 上可积，且B x f x =+￥ ?)(lim （B 有限） 证明B dx x f e t tx t =ò +￥ -?+ )(lim 四川大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试题 一.计算下列极限（每小题7分，共28分） 1. x x x x 230sin cos cos lim -? 2. ÷÷?? ??è ?+-+++￥?121lim p n n n p p p p n L (N p ?,13p ) 3. x x x x x x x +-+￥?)(ln lim ln 2 4. n n n n a 2sin 1lim ++￥ ? （0>a ） 二.计算积分（每小题8分，共40分） （1）dx x x x ò+2 3cos 1cos sin ； （2）2 24)4()(y x dy y x dx y x L +++-ò ，其中L 为单位圆周 12 2=+y x ，取逆时针方向； （3） zdxdy dydz z x ++òò S )2(，其中S 是曲面22y x z +=（10￡￡z ）取上侧； （4）dx x x x g ò +￥ -=1 2 2 1 arctan ) (a a （5）设dt t t x f x ò =1 sin )(,求dx x xf ò10)(. 三.（本题12分）)(x f 在),0[+￥连续，且0]sin )([lim =++￥?x x f x ，证明)(x f 在),0[+￥上一致连续. 四.（本题10分）令)(z f u =，其中),(y x z z =是由方程)(z y x z j +=确定的隐函数，且)(z f 和) (z j 是任意阶可微函数。证明：÷? ??è?????=??--x u z x u y u n n n n n ))((11j 五、（本题15分）证明：如果函数)(x f 在),0(+￥内可微，且0)('lim =+￥?x f x 。则0) (lim =+￥?x x f x 六.（本题10分）设 )(x f 在],[b a 内可导，且0)(=a f 。证明： dx x f a b M b a ò -￡2 2 ))('()( 其中，})({sup x f M b x a ￡￡=。 七.（本题20分）设nx n xe n x f -=a ) (，N n ?.当参数a 为何值时 （1）函数列)(x f n 在]1,0[上收敛； （2）函数列)(x f n 在]1,0[上一致收敛； （3）dx x f dx x f n n n n òò￥?￥ ?=1 1 0)(lim )(lim . 八.（本题15分）证明：dS n r r dxdydz òòòòòW ?W =),cos(21 ， 其中W 为3 R 中的单连通区域，其W ?为其光滑边界曲面，n 为曲面W ?在点),,(z y x 的单位外法矢量， 2 22)()()(z y x r -+-+-=V h x ， k z j y i x r )()()(V h x -+-+-=为外连接空间中的点 ),,(V h x 到),,(z y x 的矢量。 四川大学2011年攻读硕士学位研究生入学考试题 一.计算下列极限（每小题7分，共28分） 1. n n n n n -++￥ ?2lim 2. ?=￥?+n k n k n 21 1 lim 3.已知x x x x ax x sin 11arccos lim 11(lim 0-+=+?￥?，求a . 4. x x x x x e 21 20 ) sin 3(lim ++? 二.计算积分（每小题8分，共48分） 1.求 dx x ò)cos(ln 2.求dx x ò ￥ +0 4 11 3.计算积分ds y I L ò=，其中L 为球面2222=++z y x 与平面y x =的交线. 4.计算曲面积分dS z y x I òòS ++=2)(，其中S 是球面：2222R z y x =++. 5.设 )(x f 在),(+￥-￥上游连续导数，计算积分dy xy f y y x dx y xy f y I L ]1)([) (1222-++=ò，其中L 为上半平面（0>y ）内以)3,2(为起点、)2,3(为终点的有向分段光滑曲线. 6.计算òò S +++=22 2 2z y x dxdy z xdydz I ，其中S 为下半球面： 2 21y x z ---=的上侧. 三.（本题10分）设),(y x f z =具有二阶连续偏导数，且01y f .证明：对任意实数c ，c y x f =),(为 一条直线的充要条件是0)(2)(22 =+-yy x xy y x xx y f f f f f f f 四、（本题12分）函数x x 1 sin 和x 1sin 在),0(+￥上是否一致连续，并给出证明. 五、（本题12分）设偶函数 )(x f 的二阶导数)(''x f 在某领域内连续，且1)0(=f ，2)0(''=f .证明级 数?￥ =-1 ]1)1 ([n n f 绝对收敛. 六、（本题10分）函数f ：)1,0(]1,0[?在]1,0[内可导，且1)('1x f ，证明：方程x x f =)(在) 1,0(内存在唯一的实根. 七、（本题15分）设)(x f 在]1,0[上可积，在1=x 连续，证明：)1()(lim 1 0f dx x f x n n n =ò￥ ?. 八、（本题15分）设函数 ),(y x f 在区域D ：122￡+y x 上有二阶连续偏导数， 且) (222 222y x e y f x f +-=??+??.证明：e dxdy y f y x f x D 2(p =??+??òò 四川大学2012年攻读硕士学位研究生入学考试题 一.极限问题（每小题8分，共32分） 1.设集合?1A ，A sup =a ，A ?a .证明A 中存在严格单调递增数列}{n x ，满足a =￥ ?n n x lim . 2.设a x =0 ，b x =1)0(b a <<，且1 1-+=n n n x x x ，)1(3n .证明}{n x 收敛，并求n n x ￥ ?lim . 3.求401 sin lim 2 x x x e x x --?. 4. 求) 1ln(cos cos lim 230+-?x x x x . 二.计算积分（每小题8分，共32分） 1.求 dx x x x ò -1 1005 2011ln . 2.设 )(x f 在]1,0[上可积，且满足dx x f x f x x ò=-1 02 2 )()()(ln ，求dx x f ò1 0)(的值. 3.计算ds z y x L ò++)2(2，其中L 为球面1222=++z y x 与平面0=++z y x 的交线. 4.计算ò+-L y x ydx xdy 222，其中L 是圆周2 22)2(r y x =+-（0>r ，01r ） ，取逆时针方向. 5.计算 dxdy z dzdx z y dydz y x S )2()()2(+++++òò 其中S 为椭球面122 2222=++c z b y a x 的上半部分，其方向为下侧. 三.(15分)设正项级数?￥ =1 n n a 发散，且?==n k k n a S 1 ，讨论?￥ =1n n n S a a 的敛散性，其中0>a . 四.（15分）讨论函数 ?? ?íì =1++=) 0,0(),(0)0,0(),(1sin )(),(2 2 2y x y x y x y x y x f 的偏导数x f ，y f 在原点的连续性和f 在原点的可微性. 五.（15分）设 )(x f 在)2,0(上二阶可导，0)1(''>f . 证明:存在)2,0(,21?x x ，使得1 212)()()1('x x x f x f f --=. 六.（12分）设连续函数R R f ?:在所有无理数处取有理数值，且1)0(=f ，求)(x f . 七.（每小题7分，共21分）设 dt t t xt x f ò +￥ +=1 2 ) 1(sin )(,),(￥-￥?x 证明：1.证明积分dt t t xt ò +￥ +12 ) 1(sin 关于x 在),(￥-￥一致收敛 2.证明0)(lim =+￥ ?x f x 3.证明)(x f 在),(￥-￥上一致连续. 判断无穷积分 1 sin sin( )x dx x +∞ ?的收敛性。 解 根据不等式31|sin |||,||62 u u u u π -≤≤， 得到 33 sin sin 1sin 11 |sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞； 从而 1sin sin (sin())x x dx x x +∞-?绝对收敛，因而收敛， 再根据1sin x dx x +∞?是条件收敛的， 由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+ ， 可知积分1sin sin()x dx x +∞?收敛，且易知是是条件收敛的。 例5.3.39 设2()1...2!! n n x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根， 求证：0m x <，且lim m m x →+∞ =-∞。 证明 （1）任意* m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>； , 当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在， 又212()()0m m P x P x +'=>，21()m P x +严格递增，所以根唯一，0m x <。 （2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0x n n P x e →+∞ =>，所以21()m P x +的根m x →-∞，（m →∞）。 因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。 则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）； 21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞ →+∞ <=-≤=，矛盾。 例、 设(1)ln(1)n n p a n -=+，讨论级数2 n n a ∞ =∑的收敛性。 解 显然当0p ≤时，级数 2 n n a ∞ =∑发散； 由 20 01 1ln(1) 1lim lim 2x x x x x x x →→- -++=011lim 21x x →=+ 12=， 第一学期高等数学试题(一) 一、1.［5分］设 ，求 。 2.［5分］求 3.［5分］讨论极限 4.［5分］函数 与函数 y = x 是否表示同一函数，并说明理由。 二、1.［6分］讨论数列 当时的极限。 2.［6分］讨论函数 在 x = 0 处的可导性。 3．［6分］设求。 4.［6分］求曲线的凹凸区间。 三、1.［8分］求 。 2.［8分］求 。 3.［8分］计算 。 4.［8分］求。 四、［8分］设 试讨论f (x) 的单调性和有界性。 五、［8分］求曲线及 x 轴所围图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积 V 。 六、［8分］ A ，B 两厂在直河岸的同侧，A 沿河岸，B 离岸4公里，A 与B 相距5公里，今在河岸边建一水厂C ，从水厂到B 厂的每公里水管材料费是A 厂的倍，问水厂C 设在离A 厂多远处才使两厂所耗总的水管材料费为最省。 ()3 222 +-=-x x x f () 2+x f 3423lim 4 3 1 +-+-→x x x x x x x x sin lim →() x y arcsin sin =()() () ,2,1,161212 =-++= n n n n n a n ∞→n ()?? ?<-≥=0 10sin x x x x x f ???==-t t te y e x 2 2dx y d () ()212 -+=x x y () dx x x ?+2 3 sin sin dx x x ?+33 ? x dx x x 20 2 cos ? +∞ -0 2dx xe x ()() +∞ <≤ += x x x x f 012() 2 2 1, -==x y x y 5 浙江大学2006年攻读硕士研究生入学初试试题 考试科目：数学分析 科目代号：427 注意：所有解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效！ 111(20)1...log ,log 23111lim(...)122n n x n e n n n n →∞=++++-+++++一、分(1)证明数列收敛其中表示以为底的对数；(2)计算2 (15)[,],()()2()lim 0.()k k k k k a b r x f x r f x r f x r f x →∞++--=二、分函数f(x)在闭区间上连续，存在收敛于零的数列使得对任意的， 证明:为线性函数. (15)()(),()h x f x f x 三、分假设函数为处处不可导的连续函数，以此为基础构造连续函数使仅在两点可导，并说明理由。 22222221()sin ,0(20)(,)0,0(1)(,),(,)(2),(,)x y x y x y f x y x y f f x y x y x y f f f x y x y ?++≠?+=??+=? ????????四、分二元函数求 是否在原点连续，在原点是否可微，并说明理由。 0 000 (15)()[,]()1 lim ()()xy y f x a b f x dx a a f x dx f x dx ∞ ∞ ∞-→+>=???五、分在任意区间黎曼可积，收敛，证明： 2222223/21 (15),0,0,0.()x y z xdydz ydzdx zdxdy a b c ax by cz ++=++>>>++??六、分计算 222(15):1cos().V V x y z I ax by cz dxdydz ++==++???七、分计算在单位球上的积分 2()01!(20)(),12(0)n n n f x x x f ∞==--∑八、分设函数证明级数收敛。 (15)()(0)0,'()(),[0,)()0.f x f x f x Af x f x =≤∞=九、分设可微，对于任意的有证明在上注：这是我凭记忆记下来的，有些题目可能不是很准确。希望对大家有用！ dragonflier 2006-1-16 高数考研试题2 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设,0,0,0,1cos )(=≠?????=x x x x x f 若若λ 其导函数在x=0处连续，则λ的取值围是2>λ. 【分析】 当≠x 0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导. 【详解】 当1>λ时，有 ,0, 0,0,1sin 1cos )(21 =≠?????+='--x x x x x x x f 若若λλλ 显然当2>λ时，有) 0(0)(lim 0f x f x '=='→，即其导函数在x=0处连续. 【评注】 原题见《考研数学大串讲》P.21【例5】（此考题是例5的特殊情形）. （2）已知曲线b x a x y +-=2 33与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b 6 4a . 【分析】 曲线在切点的斜率为0，即0='y ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2 b 与a 的关系. 【详解】 由题设，在切点处有 0332 2=-='a x y ，有 .220a x = 又在此点y 坐标为0，于是有 030023 0=+-=b x a x , 故 .44)3(6 422202202a a a x a x b =?=-= 【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学四P.36第一大题第（3）小题. （3）设a>0， ，x a x g x f 其他若, 10,0,)()(≤≤?? ?==而D 表示全平面，则??-=D dxdy x y g x f I )()(= 2 a . 【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域积分即可. 【详解】 ??-=D dxdy x y g x f I )()(=dxdy a x y x ??≤-≤≤≤1 0,102 =. ])1[(21 02101 2a dx x x a dy dx a x x =-+=??? + 【评注】 若被积函数只在某区域不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可. 完全类似例题见《数学复习指南》P.191【例8.16-17】 . （4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T Λα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 T E A αα-=， T a E B αα1+=， 第一章 复数与复变函数（1） 1.计算 )(1)2; i i i i i -=--=-()122(12)(34)(2)510212 2. ;345(34)(34)591655 i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551 (3).; (1)(2)(3)(13)(3)102 i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4; i i i -=-=-= -112 2 ())] a bi =+= 112 22 4 sin )]()(cos sin );22i a b i θ θ θθ=+=++ 3. 设 1z = 2;z i =试用三角形式表示12z z 及12z z 。 解： 121cos sin ;(cos sin );4 4266z i z i π π ππ=+=+ 121155[cos()sin()](cos sin ); 2464621212z z i i ππππππ =+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+ 11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1 231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆 z =1的正三角形的顶点。 证明：1230;z z ++=z 123231;312;; z z z z z z z z z ∴=--=--=-- 122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。 1231z z z ===Q 123,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。 即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。 2017年四川大学652数学分析考研真题 1．计算（每小题10分，共70分） （1）设a ∈（ 0，1），求 lim[(1)]a a n n n →+∞ +- （2）求 21lim ln ln 1x x x x -→∞??++ ? ?-?? （3）设f （x ）＝x 8arctanx ，求f （n ）（0） （4）求∫max （1，|x|）dx （5）设D 是由曲线3 x y xy a b ??+= ??? 围成的区域，其中a ＞0，b ＞0，求D 的面 积。 （6）求 22d d 34S x y y x x y -+? 其中S 是椭圆2x 2＋3y 2＝1，方向沿逆时针方向。 （7）求 (,,)d S f x y z S ?? 其中S 是球面x 2＋y 2＋z 2＝1 0(,,)0,0,z f x y z z z ≤≤=<>?? 2．（12分）证明：f （x ）＝|sinx|/x 在（－1，0）和（0，1）上都一致连续，但在（－1，0）∪（0，1）上不一致连续。 3．（10分）设f （x ）在实数R 上有界且二次可导，证明：存在x 0∈R 使得f ″（x 0）＝0。 4．（10分）设f （x ）在[a ，b]可积，证明： lim ()sin d 0b c c f x ax x →-∞=? 5．（10分）证明：0 (1)c n x x ∞=-∑在[0，1]上收敛但不一致收敛。 6．（12分）求a ，b 的值，使得椭圆x 2/a 2＋y 2/b 2＝1包含圆（x －1）2＋y 2＝1，且面积最小。 7．（14分）举例说明：二元函数的“两个累次极限存在”与“二重极限存在”互不蕴涵。 南京理工大学2005年数学分析试题 一、（10分）设0>n a ，n=1,2， )(,0∞→≠→n a a n ,证 1lim =∞→n n n a 。 二、（15分）求积分 ??∑?ds n F ??其中），，＝（x y yz x y F ?，∑为半球面，0z 1z y x 222≥，＝＋＋和圆1y x 0z 22≤＋， ＝的外侧 三、（15分）设f 为一阶连续可微函数，且） （0f ''存在，f （0）＝0， 定义?????≠'0 x x f x 10 x 0f x g ）（＝）（）＝（ 证 g 是一个可微，且g '在0点连续。 四、（15分）证明 级数 ∑∞1n x n 2e ＝－ 在），＋（∞0上不一致收敛，但和函数在） ，＋（∞0上无穷次可微。 五、（15分）设〕，〔b a C f ∈，证明，0>?ε存在连续折线函数g ，使得 ε<）（）－（x g x f ，〕〔b a,x ∈ ?。 六、（15分）设），（t x u 为二元二阶连续可微函数且u 的各一阶偏导关于x 是以1为周期 函数，且2222x u t u ????＝，证明?????E 1022dx x u t u 21t ））＋（）（（）＝（是一个与t 无关的函数。 七、（15分）设f 为〕 ，＋〔∞1上实值函数，且f （1）＝1，）（）（＋）＝（1x x f x 1x f 22≥'，证明）（＋x f lim x ∞→存在且小于4 1π＋。 八、（15分）设∑∞1n n n x a ＝为一幂函数，在（－R ，R ）上收敛，和函数为f ，若数列{}j x 满足 0x x R 21>>>>Λ且0lim =∞ →j j x ，Λ1,2j 0x f j ＝，）＝（，证明 Λ210n 0a n ，，＝，＝ 九、（15）设f 是 〕〔〕，〔b a b a ??上的二元连续映射，定义 {}〕 ，〔），（）＝（b a y y x f max x g ∈，证明 g 在〔a ，b 〕上连续。 十、（20分）讨论二元函数连续、可偏导、可微三个概念之间的关系，要有论证和反例。 2003南开大学年数学分析 一、设),,(x y x y x f w -+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w 解：令u=x+y,v=x-y,z=x 则z v u x f f f w ++=； )1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w 二、设数列}{n a 非负单增且a a n n =∞ →lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞ →1 21 ] [lim 解：因为an 非负单增，故有n n n n n n n n n na a a a a 1 1 21)(][≤ +++≤ 由 a a n n =∞ →lim ；据两边夹定理有极限成立。 三、设? ? ?≤>+=0 ,00),1ln()(2 x x x x x f α试确定α的取值围，使f(x)分别满足： （1） 极限)(lim 0x f x + →存在 （2） f(x)在x=0连续 （3） f(x)在x=0可导 解：（1）因为 )(lim 0x f x + →=)1ln(lim 20x x x ++ →α=)]()1(2[lim 221420n n n x x o n x x x x +-++--→+ α极限存在则2+α0≥知α2-≥ (2)因为)(lim 0 x f x - →=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α （3）0)0(='- f 所以要使f(x)在0可导则1->α 四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++?)(22与积分路径无关 解；令U=22 y x +则ydy xdx y x f l ++?)(22=2 1du u f l )(?又f(x)在R 上连续故存在F （u ） 使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22 所以积分与路径无关。 （此题应感小毒物提供思路） 五、 设 f(x)在[a,b]上可导， 0)2 (=+b a f 且 M x f ≤')(,证明 2) (4)(a b M dx x f b a -≤? 一、求下列极限（每小题10分，满分20分） 1. 3 3 1)cos 1(lim x dt t x x ò-? 2. ?=￥ ?+n k n n k n k n 1sin 2cos sin lim p p p 二、设函数),(y x u u =由方程)(u x y u j +=确定，求证])([22 2y u u y x u ????=??j （本题满分10分） 三、设 )(x f 在]1,0[上连续。证明：)0(2 )(lim 1 0220f dx x t x tf t p =+ò+? （本题满分20分） 四、证明函数项级数?￥ =+1 sin sin n x n nx x 在),0(+￥上一致收敛。 （本题满分20分） 五、计算 dx y x y dy y x x l 2 222+-+ò 其中l 是由12-=x y 与1+=x y 所围成区域的边界，沿逆时针方向。（本题满分10分） 六、计算òò -+-S dxdy z z yzdzdx zxdydz )(242 ，其中S 是yoz 平面上的曲线y e z =（20￡￡y ）绕oz 轴旋转一周所成的曲面的下侧。 （本题满分20分） 一、求极限（每小题8分，共16分） 1. 1)12(31lim +￥?-+++p p p p n n n L （其中p 是自然数） 2. ÷÷÷÷??? ???è ?++++++￥?n n n n n n n n n 1221212lim 21 L 二、（第一小题5分，第二小题10分，共15分） 1.叙述实数R 上的区间套定定理和确界原理； 2.用区间套定定理证明确界原理 三、（第一小题10分，第二小题5分，共15分）设)(x f 在],[b a 上有连续的二阶导数且0)()(==b f a f ， 证明:1.对任意],[b a x ?， dx x f a b b x a x x f b a ò-￡--)(''1))(()( 2. dx x f x f a b b a b a x ò￡-?)('')(max 4 ] ,[ 四、（每小题7分，共14分） 1.利用公式dy e x x y ò+￥+-=+0) 1(2211，计算dx x x ò+￥+021cos a . 2.求dx x x x ò +￥ +0 2 1sin a 五、（10分）证明：若 ) (x f 在 R 上非恒为零，存在任意阶导数，且对任意的 R x ?，有 2 )1()(1 )()(n x f x f n n < --，则x n n Ce x f =￥ ?)(lim )(，其中C 是常数。 六、（10分）若13n 及03x ，03y ，证明不等式： n n n y x y x )2 (2+3+ 七、（10分）求级数?￥ =+1 )1(n n n n x 八、（10分）计算曲面积分 zdxdy x ydzdx z x xzdydz S 22)(--+òò ，其中S 是旋转抛物面 z a y x 222=+（0>a ）取10￡￡z 部分，下侧为正. 北京大学2017年硕士研究生招生考试试题 (启封并使用完毕前按国家机密级事项管理) 考试科目：数学基础考试1(数学分析)考试时间:2016年12月25日上午 专业：数学学院各专业(除金融学和应用统计专业) 方向：数学学院各方向(除金融学和应用统计方向) ————————————————————————————————————————说明：答题一律写在答题纸上(含填空题、选择题等客观题),写在此试卷上无效. 1.(10分)证明lim n !+1Z 2 sin n x p 2x dx =0.2.(10分)证明1X n =111+nx 2sin x n ?在任何有限区间上一致收敛的充要条件是?>12.3.(10分)设1X n =1a n 收敛.证明lim s !0+1X n =1a n n s =1X n =1a n . 4.(10分)称 (t )=(x (t );y (t )),(t 2属于某个区间I )是R 2上C 1向量场(P (x;y );Q (x;y ))的积分曲线,若x 0(t )=P ( (t )),y 0(t )=Q ( (t ));8t 2I ,设P x +Q y 在R 2上处处非0,证明向量场(P;Q )的积分曲线不可能封闭(单点情形除外). 5.(20分)假设x 0=1;x n =x n 1+cos x n 1(n =1;2; ),证明:当x !1时,x n 2=o ?1n n ?.6.(20分)假如f 2C [0;1];lim x !0+f (x ) f (0)x =?<ˇ=lim x !1 f (x ) f (1)x 1 .证明:8 2(?;ˇ);9x 1;x 22[0;1]使得 =f (x 2) f (x 1)x 2 x 1 .7.(20分)设f 是(0;+1)上的凹(或凸)函数且 lim x !+1xf 0(x )=0(仅在f 可导的点考虑 极限过程).8.(20分)设 2C 3(R 3), 及其各个偏导数@i (i =1;2;3)在点X 02R 3处取值都是0.X 0点的?邻域记为U ?(?>0).如果 @2ij (X 0) á3 3是严格正定的,则当?充分小时,证明如下极限存在并求之: lim t !+1t 32? U ?e t (x 1;x 2;x 3)dx 1dx 2dx 3: 9.(30分)将(0; )上常值函数f (x )=1进行周期2 奇延拓并展为正弦级数: f (x ) 4 1X n =112n 1 sin (2n 1)x:该Fourier 级数的前n 项和记为S n (x ),则8x 2(0; );S n (x )=2 Z x 0sin 2nt sin t dt ,且lim n !1S n (x )=1.证明S n (x )的最大值点是 2n 且lim n !1S n 2n á=2 Z 0sin t t dt .考试科目：数学分析整理：Xiongge ，zhangwei 和2px4第1页共??页 课程号：20123140 课程名称：复变函数 总学时：68 学分： 4 先修课程：数学分析 教学目的：熟练掌握复变函数的基本理论和基本方法，对解析函数、柯西积分定理、柯西积分公式、解析函数的泰勒展开与罗朗展开、留数理论、保形变换、解析开拓、调和函数等有较深入的了解。 第一章第一章复数与复变函数 一、基本内容 复数的表示，复数的性质与运算，平面图形的复数表示，区域与约当曲线，复变函数的概念，复变函数的极限与连续性，复球面，无穷远点与扩充复平面。 二、基本要求 1．1．熟练掌握复数的模与幅角、复数的三种表示、复数的基本性质，掌握复数的乘幂与方根的求法，会用复数表示平面图形，会用复数解决一些简单的几何问题。 2．2．理解平面点集的几个基本概念，理解区域与约当曲线的概念，了解约当定理，会区分单连通区域与多连通区域。 3．3．充分理解复变函数、多值函数、反函数等概念，理解复变函数的几何表示，会求简单平面图形的变换象（或原象），理解复变函数的极限，掌握极限的等价刻划 定理，理解复变函数的连续性及其等价刻划定理，熟悉有界闭集上连续函数的性质。 4．4．了解复球面，理解无穷远点与扩充复平面。 三、建议课时安排（7学时） 1．复数、复数的模与幅角、复数的乘幂与方根2学时 2．复数在几何上的应用、复平面上的点集2学时 3．复变函数的概念、复变函数的极限与连续2学时 4．复球面与无穷远点心1学时 第二章第二章解析函数 一、基本内容 复变函数的导数与微分，解析函数及其简单性质，柯西-黎曼条件，指数函数，三角函数，双曲函数，根式函数，对数函数，一般幂函数与一般指数函数，具有多个支点的多值函数，反三角函数与反双曲函数。 二、基本要求 1．1．理解复变函数的导数的概念，掌握解析函数的定义及其简单性质，熟练掌握解析函数的等价刻划定理特别是柯西-黎曼条件。 2．2．熟练掌握指数函数的定义与主要性质，掌握三角函数的定义与基本性质，了解双曲函数定义与基本性质。 3．3．掌握幂函数与指数函数的变换性质与单叶性区域，理解并逐步掌握通过限制幅角或割破平面的方法求根式函数和对数函数的单值解析分支，了解一般幂函数与一 般指数函数，理解并掌握求具有多个支点的多值函数的支点从而使其能分出单值解 析分支的方法，会由已知单值解析分支的初值计算终值，了解反三角函数与反双曲 函数。 三、建议课时安排（11学时） 1．解析函数的概念与柯西-黎曼条件3学时 2．指数函数、三角函数与双曲函数2学时 3．根式函数2学时 4．对数函数、一般幂函数与一般指数函数2学时 5．具有多个支点的多值函数、反三角函数与反双曲函数2学时 浙江大学2000年数学分析考研试题及解答 一、（1）求极限()1 1lim t t t e t →+-； 解 ()1 1 1 ln(1) ln(1)1 11 lim lim lim t t t t t t t t t e e e e e t t t ++-→→→+---== 1 ln(1)1 ln(1)1 1lim ln(1) 1 t t t t e t e t t t +-→+--=+- 2 00 ln(1) 1 1 1 ln(1)1lim lim lim lim 22(1) 2 t t t t t t t t e t t e e e e t t t t t →→→→+--+--+=====- +； 或()1 ln(1) 1 1 ln(1) 2 1ln(1) ( ) 1(1) lim lim lim 1 t t t t t t t t t e t e e e t t t t t ++→→→+- +--+== 2 ln(1)1lim t t t t e t →-++=2 1 1 (1) 1lim 2t t t e t →- ++=2 lim 2(1) 2 t t e e t t →-==- +。 （2）设01,x a x b ==，211()2 n n n x x x --= -，求 n n x lim ∞ →. 解 由条件，得 12111211()()2 2 n n n n n n n x x x x x x x ------+=-+= +， 反复使用此结果 11 11011()()()()22 n n n n x x x x b a ---+=+=+， ,2,1=n ； 于是 21212221100()()()n n n n n x x x x x x x x ++-=+-++++- 221 11()()()()()22 n n a b a b a b a -=++-++++- 21 11() 222 () ()13 3 1() 2 n b a a b a a b a +-- -=+-→+-= -- ，)(∞→n ； 22212122100()()()n n n n n x x x x x x x x ---=+-++-++ (完整)上海交通大学2005年数学分析考研试题 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)上海交通大学2005年数学分析考研试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)上海交通大学2005年数学分析考研试题的全部内容。北京大学数学分析考研试题及解答
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