一、选择题
1．如图，在ABC 中，8AB AC ==厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上，由C 点向A 点运动，为了使BPD CPQ △≌△，点Q 的运动速度应为（ ）
A ．1厘米/秒
B ．2厘米/秒
C ．3厘米/秒
D ．4厘米/秒 2．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，
E 在BC 上，连接AD ，AE ，若只添加一个条件使DAB EAC ∠=∠，则添加的条件不能为（ ）
A ．BD CE =
B ．AD AE =
C ．BE C
D = D ．DA D
E = 3．如图，在ABC 和DE
F 中，,B DEF AB DE ∠=∠=，添加下列一个条件后，仍然不能证明ABC DEF ≌，这个条件是（ ）
A ．A D ∠=∠
B ．B
C EF = C ．ACB F ∠=∠
D ．AC DF = 4．如图，若DEF ABC ?，点B 、
E 、C 、
F 在同一条直线上，9BF =，5EC =，则CF 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．2.5
D ．3
5．下列四个命题中，真命题是（ ）
A ．如果 ab ＝0，那么a ＝0
B ．面积相等的三角形是全等三角形
C ．直角三角形的两个锐角互余
D ．不是对顶角的两个角不相等
6．用三角尺画角平分线：如图，先在AOB ∠的两边分别取OM ON =，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ．得到OP 平分AOB ∠的依据是（ ）
A ．HL
B ．SSS
C ．SAS
D ．ASA
7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝5cm ，在AC 上取一点E ，使EC ＝BC ，过点E 作EF ⊥AC ，连接CF ，使CF ＝AB ，若EF ＝12cm ，则下列结论不正确的是（ ）
A ．∠F ＝∠BCF
B ．AE ＝7cm
C ．EF 平分AB
D ．AB ⊥CF 8．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A ．直角三角形两锐角互余
B ．全等三角形对应角相等
C ．两直线平行，同位角相等
D ．角平分线上的点到角两边的距离相等 9．如图，在ABC 和△FED 中，AD FC =，AB F
E =，下列条件中不能证明
F ABC ED ≌△△的是（ ）
A ．BC ED =
B ．A F ∠=∠
C ．B E ∠=∠
D ．//AB EF 10．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC 的是（ ）
A ．A
B ＝3，B
C ＝4，∠C ＝40°
B ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4
C ．∠C ＝90°，AB ＝6
D ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30° 11．如图，要判定△ABD ≌△ACD ，已知AB ＝AC ，若再增加下列条件中的一个，仍不能说
明全等，则这个条件是（ ）
A ．CD ⊥AD ，BD ⊥AD
B ．CD ＝BD
C ．∠1＝∠2
D ．∠CAD ＝∠B AD 12．已知，如图，OC 是∠AOB 内部的一条射线，P 是射线OC 上任意点，PD ⊥OA ，P
E ⊥OB ，下列条件中：①∠AOC ＝∠BOC ，②PD ＝PE ，③OD ＝OE ，④∠DPO ＝∠EPO ，能判定OC 是∠AOB 的角平分线的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
13．如图，AC=BC ，请你添加一个条件，使AE=BD ．你添加的条件是：________．
14．如图，已知四边形
,90,3,4,5,ABCD B AB BC AC ?∠====180BAD CAD ?∠+∠=，
180BCD ACD ?∠+∠=，则四边形ABCD 的面积是_________．
15．如图，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD=AE ，请添加一个条件，使得
ABE ≌ACD ．这个条件可以为_____（只填一个条件即可）．
16．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=?，12AB =，5BC =，射线AP AB ⊥于点A ，点E 、D 分别在线段AB 和射线AP 上运动，并始终保持DE AC =，要使ABC 和DAE △全等，则AE 的长为______．
17．如图，已知ABC 的周长是8，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC 于D ，且3OD =，ABC 的面积是______．
18．如图所示，己知ABC ?的周长是22,,OB OC 分别平分ABC ∠和
ACB OD BC D ∠⊥，于,且3OD =，则ABC ?的面积是__________．
19．已知△ABC ≌△DEF ，△ABC 的三边分别为3，m ，n ，△DEF 的三边分别为5，p ，q ．若△ABC 的三边均为整数，则m+n+p+q 的最大值为________．
20．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ．若28ABC S =，4DE =，8AB =，则AC =_________．
三、解答题
21．如图，点E ，F 在线段BD 上，已知AF BD ⊥，CE BD ⊥，//AD CB ，DE BF =，求证：AF CE =．
22．如图，点D 在边AC 上，BC 与DE 交于点P ，AB DB =，C E ∠=∠，CDE ABD ∠=∠．
（1）求证：ABC DBE ≌；
（2）已知162ABE ∠=?，30DBC ∠=?，求CDE ∠的度数．
23．阅读下面材料：
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为在ABC 和DEF 中，AC DF =，BC EF =，B E ∠=∠．小聪的探究方法是对B 分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
第一种情况：当B 是直角时，如图1，在ABC 和DEF 中，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠=?，根据“HL ”定理，可以知道Rt Rt ABC DEF ≌△△． 第二种情况：当B 是锐角时，如图2，90B E ∠=∠
（1）在射线EM 上是否存在点D ，使DF AC =？若存在，请在图中作出这个点，并连接DF ；若不存在，请说明理由；
（2）这种情形下，ABC 和DEF 的关系是 （选填“全等”“不全等”或“不一定全等”）；
第三种情况：当B 是钝角时，如图3，在ABC 和DEF 中，AC DF =，
BC EF =，90B E ∠=∠>?．
（3）请判断这种情形下，ABC 和DEF 是否全等，并说明理由．
24．如图，已知ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在AC ，BC 上，且CD BE =．
（1）从图中找出一对全等三角形，并说明理由；
（2）求AFD ∠的度数．
25．如图，已知：AB ＝AD ，BC ＝DE ，AC ＝AE ，试说明：∠1＝∠2．
26．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，E 为AC 的中点，连接DE 并延长，交BC 于点F ．
（1）求证：DE EF =．
（2）若12AD =，:2:3BF CF =，求BC 的长．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据三角形全等的性质与路程、速度、时间的关系式求解．
【详解】
解：设△BPD ≌△CPQ 时运动时间为t ，点Q 的运动速度为v ，则由题意得：
BP CP BD CQ =??=?
， 即3634t t vt =-??=?
， 解之得：14t v =??=?
， ∴点Q 的运动速度为4厘米/秒，
故选D ．
【点睛】
本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质、路程、速度、时间的关系式及方程的思想方法是解题关键．
2．D
解析：D
【分析】
根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A 、添加BD ＝CE ，可以利用“边角边”证明△ABD 和△ACE 全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB ＝∠EAC ，故本选项不符合题意；
B 、添加AD ＝AE ，根据等边对等角可得∠ADE ＝∠AED ，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB ＝∠EA
C ，故本选项不符合题意；
C 、添加BE ＝C
D 可以利用“边角边”证明△AB
E 和△ACD 全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠BAE=∠CAD ，可得∠DAB ＝∠EAC ，故本选项不符合题意；
D 、添加DA ＝D
E 无法求出∠DAB ＝∠EAC ，故本选项符合题意．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
的和的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．D
解析：D
【分析】
根据全等三角形的判定，利用ASA、SAS、AAS即可得答案．
【详解】
解：∵∠B=∠DEF，AB=DE，
∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；
添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；
添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；
添加AC DF
，不符合任何一个全等判定定理，不能证明△ABC≌△DEF；
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL 是解题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
根据全等三角形的对应边相等得到BE=CF，计算即可．
【详解】
解：∵△DEF≌△ABC，
∴BC=EF，
∴BE+EC=CF+EC，
∴BE=CF，
又∵BF=BE+EC+CF=9，EC=5
∵CF=1
2(BF-EC)=
1
2
(9-5)=2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
根据有理数的乘法、全等三角形的概念、直角三角形的性质、对顶角的概念判断即可．【详解】
解：A、如果ab＝0，那么a＝0或b＝0或a、b同时为0，本选项说法是假命题，不符合题意；
B 、面积相等的三角形不一定全等，本选项说法是假命题，不符合题意；
C 、直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题，符合题意；
D 、不是对顶角的两个角可能相等，本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．A
解析：A
【分析】
利用垂直得到90PMO PNO ∠=∠=，再由OM ON =，OP OP =即可根据HL 证明()HL ≌PMO PNO △△，由此得到答案.
【详解】
∵PM OA ⊥，PN OB ⊥，
∴90PMO PNO ∠=∠=．
∵OM ON =，OP OP =，
∴()HL ≌
PMO PNO △△， ∴POA POB ∠=∠，
故选：A ．
【点睛】
此题考查三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，根据题中的已知条件确定对应相等的边或角，由此利用以上五种方法中的任意一种证明两个三角形全等.
7．C
解析：C
【分析】
证明EF ∥BC 即可得到A 正确，证明()Rt ACB Rt FEC HL ?，得AC ＝EF ＝12cm ，CE ＝BC ＝5cm ，得到B 正确，根据∠A ＋∠ACD ＝∠F ＋∠ACD ＝90°即可证明D 正确．
【详解】
解：∵EF ⊥AC ，∠ACB ＝90°，
∴∠AEF ＝∠ACB ＝90°，
∴EF ∥BC ，
∴∠F ＝∠BCF ，故A 正确；
在Rt ACB 和Rt FEC 中，
CB EC AB FC
=??=?， ∴()Rt ACB Rt FEC HL ?，
∴AC ＝EF ＝12cm ，
∵CE＝BC＝5cm，
∴AE＝AC﹣CE＝7cm．故B正确；
如图，记AB与EF交于点G，
如果AE＝CE，
∵EF∥BC，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EF平分AB，
而AE与CE不一定相等，
∴不能证明EF平分AB，故C错误；
，
∵Rt ACB Rt FEC
∴∠A＝∠F，
∴∠A＋∠ACD＝∠F＋∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AB⊥CF，故D正确．
∴结论不正确的是C．
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定定理．8．B
解析：B
【分析】
先分别写出这些定理的逆命题，再进行判断即可．
【详解】
解：A．直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题；
B．全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；C．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；
D．角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是到角两边的距离相等的点在角平分线上，是真命题．
故选：B．
【点睛】
此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称
为另一个命题的逆命题．
9．C
解析：C
【分析】
由AD FC =推出AC=FD ，根据已知AB FE =添加夹角相等或第三边相等即可判定．
【详解】
∵AD FC =，
∴AC=FD ，
∵AB FE =，
∴当A F ∠=∠（//AB EF 也可得到）或BC ED =时，即可判定F ABC ED ≌△△， 故B E ∠=∠不能判定F ABC ED ≌△△，
故选：C ．
【点睛】
此题考查添加一个条件证明两个三角形全等，熟记全等三角形的判定定理并熟练应用是解题的关键．
10．B
解析：B
【分析】
根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】
解：A 、根据AB ＝3，BC ＝4，∠C ＝40°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意； B 、∠A ＝60°，AB ＝4，∠B ＝45°，能画出唯一△ABC ，故此选项符合题意；
C 、∠C ＝90°，AB ＝6，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；
D 、AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
11．C
解析：C
【分析】
在△ACD 和△ABD 中，AD=AD ，AB=AC ，由全等三角形判定定理对选项一一分析，排除不符合题意的选项即可．
【详解】
解：添加A 选项中条件可用HL 判定两个三角形全等，故选项A 不符合题意；
添加B 选项中的条件可用SSS 判定两个三角形全等，故选项B 不符合题意；
添加C 选项中的条件∠1＝∠2可得∠CDA=∠BDA ，结合已知条件不SS 判定两个三角形全等，故选项C 符合题意；
添加D 选项中的条件可用SAS 判定两个三角形全等，故选项D 不符合题意．
故选：C ．
本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等的方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ，判断直角三角形全等的方法：“HL”．
12．D
解析：D
【分析】
根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理和性质定理判断即可．
【详解】
解：∵∠AOC ＝∠BOC ，
∴OC 是∠AOB 的角平分线，① 符合题意；
∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，PD ＝PE ，
∴OC 是∠AOB 的角平分线，② 符合题意；
在Rt △POD 和Rt △POE 中，
OD DE OP OP =??=?
， ∴Rt △POD ≌Rt △POE ，
∴∠AOC ＝∠BOC ，
∴OC 是∠AOB 的角平分线，③ 符合题意；
∵∠DPO=∠EPO ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴在△POD 和△POE 中，
DPO EPO PDO PEO OP OP =??=??=?
∠∠∠∠
∴△POD ≌△POE （AAS ），
∴∠AOC ＝∠BOC ，
∴OC 是∠AOB 的角平分线，④ 符合题意，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键；
二、填空题
13．∠A=∠B 或CD=CEAD=BE ∠AEC=∠BDC 等【分析】根据全等三角形的判定解答即可【详解】解：因为AC=BC ∠C=∠C 所以添加∠A=∠B 或
CD=CEAD=BE ∠AEC=∠BDC 可得△ADC 与△
解析：∠A=∠B 或CD=CE 、AD=BE 、∠AEC=∠BDC 等
【分析】
根据全等三角形的判定解答即可．
解：因为AC=BC，∠C=∠C，所以添加∠A=∠B或CD=CE、AD=BE、∠AEC=∠BDC，可得△ADC与△BEC全等，利用全等三角形的性质得出AD=BE，
故答案为：∠A=∠B或CD=CE、AD=BE、∠AEC=∠BDC．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．21【分析】如图作DHBA交BA的延长线于H作DFBC的延长线于F作DEAC于E首先证明利用面积法求出DE即可解决问题【详解】解：作DHBA交BA的延长线于H作DFBC的延长线于F作DEAC于E设则
解析：21
【分析】
如图，作DH⊥BA交BA的延长线于H，作DF⊥BC的延长线于F，作DE⊥AC于E，首先证明DH DE DF
==，利用面积法求出DE，即可解决问题．
【详解】
解：作DH⊥BA交BA的延长线于H，作DF⊥BC的延长线于F，作DE⊥AC于E，
180,180
BAD CAD BAD DAH
∠+∠=?∠+∠=?，
CAD DAH
∴∠=∠，
180,180
BCD ACD BCD DCF
∠+∠=?∠+∠=?，
ACD DCF
∴∠=∠，
,,
DH BH DE AC DF BF
⊥⊥⊥，
DH DE DF
∴==，
设DH DE DF x
===，
则有：1111
2222
AB DH BC DF AB BC AC DE ??+??=??+??，
∴34125
x x x
+=+，
6
x
∴=，
∴S四边形ABCD=1111
345621 2222
AB CB AC DE
?+?=??+??=．
故答案为：21．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
15．∠B=∠C （或∠ADC=∠AEB 或AB=AC ）【分析】根据已知条件知两个三角形已经具有∠A=∠AAD=AE 两个条件对应相等故再添加一组对应角相等或是AB=AC 即可得到ABE ≌ACD 【详解】∵∠A=∠
解析：∠B=∠C （或∠ADC=∠AEB 或AB=AC ）
【分析】
根据已知条件知两个三角形已经具有∠A=∠A ，AD=AE 两个条件对应相等，故再添加一组对应角相等或是AB=AC 即可得到ABE ≌
ACD ． 【详解】
∵∠A=∠A ，AD=AE ，
∴当∠B=∠C 时，可利用AAS 证明ABE ≌
ACD ； 当∠ADC=∠AEB 时，可利用ASA 证明ABE ≌
ACD ； 当AB=AC 时，可利用SAS 证明ABE ≌
ACD ； 故答案为：∠B=∠C （或∠ADC=∠AEB 或AB=AC ）． 【点睛】
此题考查添加一个条件证明三角形全等，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． 16．5或12【分析】本题要分情况讨论：①Rt △ABC ≌Rt △DAE 此时AE=BC=5可据此求出E 点的位置②Rt △CBA ≌Rt △DAE 此时AE=AB=12EB 重合【详解】解：①当AE=CB 时∵∠B=∠EA
解析：5或12
【分析】
本题要分情况讨论：①Rt △ABC ≌Rt △DAE ，此时AE=BC=5，可据此求出E 点的位置．②Rt △CBA ≌Rt △DAE ，此时AE=AB=12，E 、B 重合．
【详解】
解：①当AE=CB 时，
∵∠B=∠EAP=90°，
在Rt △ABC 与Rt △DAE 中，
AE CB DE AC =??=?
， ∴Rt △ABC ≌Rt △DAE （HL ），
即AE=BC=5；
②当E 运动到与B 点重合时，AE=AB ，
在Rt △CBA 与Rt △DAE 中，
AE AB DE AC =??=?
，
∴Rt△CBA≌Rt△DAE（HL），
即AE=AB=12，
∴当点E与点B重合时，△CBA才能和△DAE全等．
综上所述，AE=5或12．
故答案为：5或12．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
17．12【分析】连接OA过O作OE⊥AB于EOF⊥AC于F根据角平分线的性质求出OE=OF=OD=3再根据三角形的面积公式求出即可【详解】解：连接OA过O作OE⊥AB于EOF⊥AC于F∵OBOC分别平分
解析：12
【分析】
连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线的性质求出OE=OF=OD=3，再根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】
解：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB， OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OD=3，
∴OE=OD=3，OF=OD=3，
∵△ABC的周长是8，
∴AB+BC+AC=8，
∴△ABC的面积S=S△ABO+S△BCO+S△ACO
=1
2
×AB×OE+
1
2
×BC×OD+
1
2
×AC×OF
=1
2
×AB×3+
1
2
×BC×3+
1
2
×AC×3
=1
2
×3×（AB+BC+AC）
=1
2
×3×8
=12，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能根据角平分线的性质求出OE=OD=OF=3是解此题的关键．
18．【分析】连接OA过O作OE⊥AB于EOF⊥AC于F根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到ABACBC的距离都相等（即OE＝OD＝OF）从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3代入求出即
解析：33
【分析】
连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．
【详解】
解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D
∴OE＝OF＝OD＝3，
∵△ABC的周长是22，
∴S△ABC＝1
2×AB×OE＋
1
2
×BC×OD＋
1
2
×AC×OF
＝1
2
×（AB＋BC＋AC）×3
＝1
2
×22×3＝33．
故答案为：33．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和三角形的面积求法，熟知角平分线的性质，并根据题意合理添加辅助线是解题关键．
19．22【分析】由三角形全等性质可得mn中有一边为5pq中有一边为3mn与pq中剩余两边相等再由三角形三边关系可知mn与pq中剩余两边最大为7如此即可得到m+n+p+q的最大值【详解】∵△ABC≌△DE
解析：22
【分析】
由三角形全等性质可得m 、n 中有一边为5，p 、q 中有一边为3，m 、n 与p 、q 中剩余两边相等，再由三角形三边关系可知m 、n 与p 、q 中剩余两边最大为7，如此即可得到m+n+p+q 的最大值．
【详解】
∵△ABC ≌△DEF ，
∴m 、n 中有一边为5，p 、q 中有一边为3，m 、n 与p 、q 中剩余两边相等，
∵3+5=8，
∴两三角形剩余两边最大为7，
∴m+n+p+q 的最大值为：3+5+7+7=22．
【点睛】
本题考查三角形全等与三角形三边关系的综合运用，灵活运用三角形全等的性质及三角形三边关系的应用是解题关键 ．
20．【分析】首先由角平分线的性质可知DF=DE=4然后由
S △ABC=S △ABD+S △ACD 及三角形的面积公式得出结果【详解】解：∵AD 是∠BAC 的平分线DE ⊥ABDF ⊥AC ∴DF=DE=4又∵S △ABC
解析：【分析】
首先由角平分线的性质可知DF=DE=4，然后由S △ABC =S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果．
【详解】
解：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴DF=DE=4．
又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，AB=8， ∴12×8×4+ 12
×AC×4=28， ∴AC=6．
故答案是：6．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质；利用三角形的面积求线段的长是一种很好的方法，要注意掌握应用．
三、解答题
21．见解析
【分析】
根据ASA 定理证明三角形全等，从而利用全等三角形的性质求解．
【详解】
证明：∵DE=BF ，
∴DE+EF=BF+EF ；
∴DF=BE ；
∵AF BD ⊥，CE BD ⊥
∴∠AFD=∠CEB=90°
∵//AD CB
∴∠B=∠D
在Rt △ADF 和Rt △BCE 中B D DF BE AFD CEB ∠=∠??=??∠=∠?
∴Rt △ADF ≌Rt △BCE
∴AF CE =
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定及性质；由DE=BF 通过等式的性质得DF=BE 在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用．
22．（1）见解析；（2）66°
【分析】
（1）根据三角形内角和定理说明∠CDE=∠CBE ，再证明∠ABC=∠DBE ，根据AAS 可证明△ABC ≌△DBE ；
（2）根据∠ABE 和∠DBC 的度数可以算出∠CBE 和∠ABD 的度数，从而得到∠CDE ．
【详解】
解：（1）∵∠C=∠E ，∠CPD=∠EPB ，
∴∠CDE=∠CBE ，
∵∠CDE=∠ABD ，
∴∠CBE=∠ABD ，
∴∠CBE+∠CBD=∠ABD+∠CBD ，即∠ABC=∠DBE ，
又∠C=∠E ，AB=DB ，
∴△ABC ≌△DBE （AAS ）；
（2）∵162ABE ∠=?，30DBC ∠=?，
∴∠ABD=∠CBE=（162°-30°）÷2=66°，
∴∠CDE=∠CBE=66°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，寻找三角形全等的条件是解题的关键．
23．（1）存在，见解析；（2）不一定全等；（3）全等，见解析
【分析】
（1）根据尺规作图的方法画出图形即可．
（2）根据题（1）所得两种情况及全等三角形的判定即可求解；
（3）第三种情况：如图所示，过点C 作AB 边的垂线交AB 的延长线于点M ，过点F 作DE 边的垂线交DE 的延长线于N,先证明△CMA ≌△FND ，推出AM =DN ，推出AB =DE ，再证明△ABC ≌△DEF 即可．
【详解】
解：（1）存在，如图所示．
射线EM 上有两个点满足要求．
（2）不一定全等．
如题（1）所示：由于满足条件的D 有两个，故△ABC 和△DEF 不一定全等，
故答案为：不一定全等；
（3）△ABC 和△DEF 全等．
理由如下：如图所示，过点C 作AB 边的垂线交AB 的延长线于点M ，过点F 作DE 边的垂线交DE 的延长线于N ．
∵ABC DEF ∠=∠，
∴CBM FEN ∠=∠．
∵CM AB ⊥，FN DE ⊥，
∴90CMB FNE ∠=∠=?．
在△CBM 和△FEN 中，
∵,,,CMB FNE CBM FEN BC EF ∠=∠??∠=∠??=?
∴△CBM ≌△FEN （AAS ）．
∴BM EN =，
∴CM FN =．
在Rt △ACM 和Rt △DFN 中，
∵,,AC DF CM FN =??=?
∴Rt △ACM ≌Rt △DFN （HL ）．
∴AM DN =，
∴AM BM DN EN -=-，即AB DE =．
又∵BC EF =，
∴△ABC 和△DEF （SSS ）．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，学会作辅助线，难度适中．
24．（1）ABE BCD △≌△或，理由见解析；（2）60°．
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得出AB=BC ，∠BAC=∠C=∠ABE=60?，根据SAS 推出△ABE ≌△BCD ；
（2）根据△ABE ≌△BCD ，推出∠BAE=∠CBD ，根据三角形的外角性质求出∠AFD 即可．
【详解】
解：（1）()BC ABE A D S S ≌，理由如下：
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC ，∠C=∠ABE=60?
在△ABE 和△BCD 中，
AB BC ABE C BE CD =??∠=∠??=?
，
∴△ABE ≌△BCD(SAS)；
（2）∵△ABE ≌△BCD ，
∴∠BAE=∠CBD ，
∵∠AFD=∠ABF+∠BAE ，
∴AFD ABF CBD ABC=60∠=∠+∠=∠?．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定、三角形的外角性质，解题的关键是求出
△ABE ≌△BCD ．
25．详见解析
【分析】
先利用SSS 证明△AB ≌和△ADE ，得到∠B=∠ADE ，根据AB=AD ，证得∠B=∠ADB ，再利用∠1+∠B+∠ADB=180?，∠2+∠ADB+∠ADE=180?，即可推出∠1=∠2．
【详解】
在△ABC 和△ADE 中，
AB AD BC DE AC AE =??=??=?
, ∴△ABC ≌△ADE(SSS)，
∴∠B=∠ADE ，
∵AB=AD ，