【2-9】【解答】图2-17：
上（y =0）
左(x =0) 右（x =b ）
l
-1 1 m
-1
() x f s
()
1g y h ρ+
()
1g y h ρ-+
() y
f
s
1gh ρ
代入公式（2-15）得
①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件：
()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ()()1b b (),0;
===-+=x xy x x g y h σρτ
②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件：()
()
,0y xy y y gh σρτ===-=
③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件：()()2
2
0,0
====y h
y h u v
这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板
厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为：
10,,0s N F F gh b M ρ==-=
由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：
()()()22210000
0b y y h b
y y h b
xy y h dx gh b
xdx dx σρστ===?=-???=???=??
??? ⑵图2-18
①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）
l
m
x f (s)
y f (s)
2h y =-
0 -1 0 q
2
h y =
1
-1q
-/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==-
②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力
与面力符号相反，有/20/2/2
0/2/20/2()()()h xy x S
h h x x N h h x x h dx F
dx F ydx M τσσ=-=-=-?=-??=-???=-?
???
③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。
首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：
110,x
N N
N N F F F q l F q l F ''=+=?=-∑ 0,0y
S S S S F
F F ql F ql F ''=++=?=--∑
2
211110,'02222A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=?=---∑
由于x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故
/21/22/2
1/2/2/2
()()22()h x x l N N
h h x x l S h h xy x l S S
h dy F q l F
q lh ql ydy M M F l dy F ql F
σστ=-=-=-?'==-???'==
---??
?'==--????? 【2-10】【解答】由于h
l ，OA 为小边界，故其上可用圣维南原理，写出三个积分的
应力边界条件：
(a)上端面OA 面上面力q b
x f f y x =
=,0 由于OA 面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有
()()()0
00020000002
2120b
b b y y y b b b y y y b
yx y x qb dx f dx qdx b x b qb xdx f xdx q x dx b dx σστ===?=-=-=-??
???=-=-=
? ????
?=??
???????(对OA 中点取矩) (ｂ)应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y 向为正，主矩为负，则
()()()0020
0002120b
y N y b
y y b xy y qb dx F qb xdx M dx σστ===?=-=-??
?=-=??
?=??
???
M
'
综上所述，在小边界OA 上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。
【2-14】【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用应力表示的相容方程（2-21）；（3）应力边界条件（2-15）。
（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且0==x y f f
0??+=??yx x x y τσ 0??+=??y xy
y x
στ 显然满足 （2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21），有
等式左=()2222x y x y σσ????++ ?????
=220≠q
b =右
应力分量不满足相容方程。
因此，该组应力分量不是图示问题的解答。 【解答】（1）推导公式
在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1，高为h 的矩形，其对中性
轴（Z 轴）的惯性矩3
12=h I ，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程
()2
3(),62=-=-q qx M x x F x l l
。所以截面任意点的正应力和切应力分别为：
()332==-x M x x y
y q I lh σ ()()
2222233431.424??=-=-- ???s xy F x y q x h y bh h lh
τ。 根据平衡微分方程第二式（体力不计）。
0??+=??y
xy
y x στ得： 3
33.22=-+y q xy xy q A lh lh
σ 根据边界条件
()
/2
0==y
y h σ得 q .2=-x A l
故333.2.22=--y q xy xy q x
q lh lh l σ
将应力分量代入平衡微分方程（2-2）
第一式：
22336.60x y x y
q q lh lh
=-+==左右 满足
第二式 自然满足
将应力分量代入相容方程（2-23）
()22223312.12.0????=++=--≠= ?????
左右x y xy xy
q q x y lh lh σσ
应力分量不满足相容方程。故，该分量组分量不是图示问题的解答。
【2-18】【解答】（1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程()M x Fx =-，横截面对中性轴的惯性矩为
3/12z I h =，根据材料力学公式
弯应力3()12x z M x F
y xy I h
σ=
=-；该截面上的剪力为()s F x F =-，剪应力为 ()*2233()/262241/12s xy z F x S F h h y F h y b y y bI h h τ??--????==?-??+=-- ? ??????????
取挤压应力0y σ=（2）将应力分量代入平衡微分方程检验 第一式：23
12120F F
y y h h =-
+==左右 第二式：左=0+0=0=右 该应力分量满足平衡微分方程。
（3）将应力分量代入应力表示的相容方程
2()0x y σσ=?+==左右 满足相容方程
（4）考察边界条件
①在主要边界/2y h =±上，应精确满足应力边界条件(2-15)
l
m
x f
y
f
2h y =-上
0 -1 0 0 2h y =上
1
代入公式（2-15），得
()
()
()
()
-/2
/2
/2
/2
0,0;0,0
y
xy y yx y h y h y h y h στστ==-======
②在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件，代入应力分量主矢主矩
/20/2/2
0/22
/2/22
03/2/2()0()06()()4h x x h h x x h h h xy x h h dy x ydy F h dy y dy F y h σστ=-=-=--??==??==?????=--=-=??????
????向面力主矢面力主矩向面力主矢
满足应力边界条件
③在次要边界上，首先求出固定边面力约束反力，按正方向假设，即面力的主矢、主矩，0,,N S F F F M Fl ==-=-
其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式，判断是否与面力主矢与主矩等效：
/2
/2
3
/2
/212()0h h x x l N
h h F
dy lydy F h σ=--=-==?
?
M
/2
/2
2
3
/2
/212()h h x x l h h F ydy ly dy Fl M
h σ=--=-=-=?
?
2/2
/2
23/2/26()4h h xy x l S h h F h dy y dy F F h τ=--??=--=-= ???
??
满足应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。 【3-4】【解答】⑴相容条件:
不论系数a 取何值，应力函数3
ay Φ=总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25). ⑵求应力分量
当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得
6,0,0x y xy yx ay σσττ====
⑶考察边界条件
上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. 左右边界上；
当a>0时，考察x σ分布情况，注意到0xy τ=，故y 向无面力 左端:0()6x x x f ay σ=== ()0y h ≤≤ ()
0y xy x f τ==
=
右端:()6x x x l f ay σ=== (0)y h ≤≤ ()0y xy x l f τ=== 应力分布如图所示，当l
h 时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩
主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。 偏心距e ：
因为在A 点的应力为零。设板宽为b ，集中荷载p 的偏心距e ：
2()0/6/6
x A p pe
e h bh bh σ=
-=?= 同理可知，当a <0时，可以解决偏心压缩问题。
【3-5】【解答】（1）由应力函数2
ax y Φ=，得应力分量表达式
0,2,2x y xy yx ay ax σσττ====-考察边界条件，由公式（2-15）()()()()
x yx s x y xy s y l m f s m l f s στστ?+=??+=??
①主要边界，上边界2h y =-上，面力为()22=-=x h
f y ax ()2
y h f y ah =-=
②主要边界，下边界2h y =，面力为()2,2x h f y ax ==- ()2
y h
f y ah ==
③次要边界，左边界x=0上，面力的主矢，主矩为 x 向主矢：/2
0/2
()0h x x x h F dy σ=-=-
=?
，y 向主矢：/2
0/2
()0h y xy x h F dy τ=-=-=?
A
主矩：/2
0/2
()0h x x h M ydy σ=-=-
=?
次要边界，右边界x=l 上，面力的主矢，主矩为x 向主矢：/2/2
()0h x x x l h F dy σ=-'==?
y 向主矢：/2
/2
/2
/2
()(2)2h h y xy x l h h F dy al dy alh τ=--'==-=-?
?
主矩：/2
/2
()0h x x l h M ydy σ=-=
=?
弹性体边界上面力分布及次要边界面上面力的主矢，
⑵2
bxy Φ=，将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式
2x bx σ=，0y σ=，2xy yx by ττ==-
考察应力边界条件，主要边界,由公式（2-15）得 在2h y =-
主要边界，上边界上，面力为,022x y h h f y bh f y ???
?=-==-= ? ????
?
在2h y =
，下边界上，面力为,022x y h h f y bh f y ???
?==-== ? ????
?
在次要边界上，分布面力可按(2-15)计算，面里的主矢、主矩可通过三个积分边界条件
求得：
在左边界x=0，面力分布为()()00,02x y f x f x by ==== 面力的主矢、主矩为 x
向主矢
：
()202
h h x x x F dy σ=-=-=?
y 向主矢：
()
()2200
2
2
20h h h h y xy x x F dy by dy τ==--=-=--=?
?
主矩；/2
0/2
()0h x x h M ydy σ=-=-
=?
，在右边界x=l 上，面力分布为
()()2,2x y f x l bl f x l by ====-，
，，面力的主矢、主矩为 x
向主矢：()/2
/2
/2
/222h h x x x l h h F dy bldy blh
σ=--'===?
?y 向主矢：
()()/2/2
/2
/2
'20h h y xy x l h h F dy by dy τ=--==-=?
?
主矩：()/2/2
/2/2'20h h x x l h h M ydy blydy σ=--=
==??
（3）3
cxy Φ=，将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式
26,0,3x y xy yx cxy cy σσττ====-
考察应力边界条件，在主要边界上应精确满足式（2-15） ①2
h y =-上边界上，面力为23,0242x y h h f y ch f y ????=-
==-= ? ????
? ②h y=
2下边界上，面力为23,0242x y h h f y ch f y ???
?==-== ? ????
?
次要边界上，分布面力可按（2-15）计算，面力的主矢、主矩可通过三个积分边界求得：
③左边界x=0上，面力分布为
()()()()
()()2/20/2/2
/2
2
3
/2
/2
h/20
-h/2
00,03x 0
134
x y h x x x h h h y xy
x h h x x f x f x cy F dy y F dy cy dy ch M ydy στσ=-=--======-==-=--==-=???
?
面力的主矢、主矩为向主矢：向主矢：主矩：
④右边界x l =上，面力分布为()()2
6,3x y f x l cly f x l cy ====- 面力的主矢、主矩为 x 向主矢()/2/2
/2/260h h x x x l h h F dy clydy σ=--'=
==??
y 向主矢：()
()/2
/2
2
3
/2
/2
134
h h y y x l
h h F dy cy dy ch σ=--'==-=-??
主矩：()/2
/2
23/2
/21
62
h h x x l h h M ydy cly dy clh σ=--'=
==?
?
弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢和主矩，如图所示 【3-6】【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）
4444
22420?Φ?Φ?Φ
++=????x x y y
，显然满足 （2）将Φ错误!未找到引用源。代入式（2-24），得应力分量表达式
3
12,0,x y Fxy
h
σσ=-=2234(1)2==--xy yx F y h h ττ （3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力： ①在主要边界上（上下边界）上，2
h
y =±
，应精确满足应力边界条件式（2-15），应力()
()
/2
/2
0,0y
yx y h y h στ=±=±==
因此，在主要边界2h y =±
上，无任何面力，即0,022x y h h f y f y ???
?=±==±= ? ????
?
②在x=0，x=l 的次要边界上，面力分别为：
22340:0,1-2x y F y x f f h h ??=== ???，3221234:,12x y Fly F y x l f f h h h
??
==-=-- ???
因此，各边界上的面力分布如图所示：
③在x=0，x=l 的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：
x=0上 x=l 上
1212h/2
/2
/2/2h/2
/2
/2/2h/2/2
12-h/2
/2
=0, 0=, =0, h N x N x h h h S y S y h h h x x h x F f dy F f dy y F f dy F F f dy F M f ydy M f ydy Fl
-----======-===-????
?
?
向主矢：向主矢：主矩：
【3-7】【解答】(1)将应力函数Φ代入式（2-25）
440x ?Φ=?，44
324qy
y h
?Φ=?，42233122422qy qy x y h h ?Φ--=?=?? 代入（2-25），可知应力函数Φ满足相容方程。
（2）将Φ代入公式（2-24），求应力分量表达式:
2232336435x x qx y qy qy f x y h h h σ?Φ=-=-+-?，232343(1)2y y q y y f y x h h
σ?Φ=
-=-+-? 22
236()4
xy yx
qx h y x y h ττ?Φ==-=--??
(3)考察边界条件，由应力分量及边界形状反推面力： ①在主要边界2
h
y =-
（上面），应精确满足应力边界条件（2-15） ()()()()
()()()()()()()()/2/2/2
/2
3
30
00,222152
/20,/20
0340,00
5x yx y y y h y h x yx y y y h y h x x y xy x x h h f y f y q
h
y f y h f y h x qy qy f x f x h h
τστσστ=-=-====???
?=-=-==-=-= ? ?????=-=========-=-==-=在主要边界下面，也应该满足在次要边界上，分布面力为 应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:
3
/2
/2
3/2/2/2
/23
/2
/2
3/2
/2340503405h h N x h h h S y h h h x h h qy qy F f dy dy h
h F f dy qy qy M f ydy ydy h
h ---
---??
==-= ???
==??
=
=
-= ???
????
?
④在次要边界x l =上，分布面力为
()()23336435x x x l
ql y qy qy f x l h h h σ====-+-，()()22364y xy x l ql h f x l y h τ=??===-- ???
应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:
23
/2
/2
33/2/22
/2/223/2/2
23/2
/2
2
33/2
/2643()056()4
6431'()52h h N x h h h h s y h h h h x h h ql y qy qy F f x l dy dy h h h ql h F f x l dy y dy ql h ql y qy qy M f x l ydy ydy ql h h h ------??
'===-+-= ???
????'===--=-?? ???????===-+-=- ??
??????
?
【3-8】【解答】采用半逆法求解。
由材料力学解答假设应力分量的函数形式。
(1)假定应力分量的函数形式。
根据材料力学，弯曲应力y σ主要与截面的弯矩有关，剪应力xy τ主要与截面的剪力有关，而挤压应力x σ主要与横向荷载有关，本题横向荷载为零，则0x σ=
(2)推求应力函数的形式
将0x σ=，体力0,x y f f g ρ==，代入公式（2-24）有22
0x x f x y σ?Φ=-=?
对y 积分，得
()f x y
?Φ
=? （a ）()()1yf x f x Φ=+ （b ） 其中()()1,f x f x 都是x 的待定函数。 （3）由相容方程求解应力函数。
将（b ）式代入相容方程（2-25），得()()
44144
0d f x d f x y dx dx += （c ） 在区域应力函数必须满足相容方程，（c ）式为y 的一次方程，相容方程要求它有无数多
个根（全竖柱的y 值都应满足它），可见其系数与自由项都必须为零，即
()()
4414
0,0d f x d f x dx dx
==两个方程要求()()32321,f x Ax Bx Cx f x Dx Ex =++=+
（d ）
()f x 中的常数项，()1f x 中的常数项和一次项已被略去，因为这三项在Φ的表达式中
成为y 的一次项及常数项，不影响应力分量。将（d ）式代入（b ）式，得应力函数
()()3232y Ax Bx Cx Dx Ex Φ=++++ （e ）
（4）由应力函数求应力分量
220x x f x y
σ?Φ
=-=? （f ）
226262y y f y Axy By Dx E gy x
σρ?Φ
=-=+++-? (g)
2232xy
Ax Bx C x y
τ?Φ=-=---?? (h)
(5)考察边界条件
利用边界条件确定待定系数A 、B 、C 、D 、E 。 主要边界0x =上（左）：
()000,()0x xy x x στ====
将（f ），（h ）代入
()00x x σ==，自然满足
0()0xy x C τ==-= （i ）
主要边界x b =上，
()0x x b σ==，自然满足
()xy x b q τ==，将（h ）式代入，得
2()32xy x b Ab Bb C q τ==---= （j ）
在次要边界0y =上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：
()200
0()62320b
b
y y dx Dx E dx Db Eb σ==+=+=?? （k ）
()3200
()6220b b y y xdx Dx E xdx Db Eb σ==+=+=?? （l ）
()23200
()320b b yx y dx Ax Bx C dx Ab Bb Cb τ==---=---=?
? （m ）
由式（i ），(j)，（k ），（l ），（m ）联立求得
2, , 0q q
A B C D E b b
=-
====
代入公式（g ），(h)得应力分量
230, 13, 2x y xy qx x q gy x x b b b b σσρτ????
==
--=- ? ?????
【3-9】【解答】按半逆解法求解。
⑴将应力函数代入相容方程（2-25）显然满足。 ⑵由公式（2-24）求应力分量表达式，体力为零，有
220x y
σ?Φ
==?，226y Bxy x σ?Φ==?，223xy yx A Bx x y ττ?Φ==-
=--?? ⑶考察边界条件：
在主要边界2x b =-上，精确满足公式（2-15）
()/2/20,()x xy x b x b q στ=-=-==-
第一式自然满足，第二式为
23
4
A Bb q --=- (a)
②在主要边界x=b/2上，精确满足式(2-15)
()()/2/20,x xy x b x b q στ====-
第一式自然满足，第二式为
23
4
A Bb q --=- (b)
③在次要边界y=0上，可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件:
()
/2
/20
0b y
b y dx σ-==? 满足
()
/2
/2
0b y
y b xdx σ=-=? 满足
()()3
/2
/2
2
0/2/2
1
304
b b yx y b b dx A Bx dx Ab Bb τ=--=--=--=?? （
c ） 联立（a ）（c ）得系数
22,2q q
A B b
=-=
代入应力分量表达式，得
222120,,1122x y xy q q x xy b b σστ??
===- ???
【3-10】【解答】采用半逆解法求解
（1）将应力函数代入相容方程（2-25），显然满足
（2）由应力函数求应力分量，代入公式(2-24)
()226603x y xy yx B By Dxy A Dy σσττ??
=++????=????==-+????
(a)
(3)考察边界条件
①主要边界/2y h =±上，应精确满足应力边界条件
()
/2
0y
y h σ=±=， 满足
()/20,xy y h τ=±= 得23
04
A Dh += （b ）
②在次要边界x=0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件
()()/2/20/2/2
262h h N
x N N x h h F dy F B Cy dy F B h
σ=--=-?+=-?=-?? ()()/2/23
0/2/2
226h h x x h h M
ydy M B Cy ydy M C h σ=--=-?+=-?=-?? ()()/2/22
30/2/2134
h h xy s s s x h h dy F A Dy dy F Ah Dh F τ=--??=-?-+=-?+=???? （c ） 联立方程（b ）（c ）得
332,2s s F F A D h h
==-
最后一个次要边界()x l =上，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下是必然满足的，故不必在校核。
将系数A 、B 、C 、D 代入公式（a ），得应力分量 【3-11】【解答】采用半逆解法求解
(1) 检验应力函数是否满足相容方程（2-25）
设应力函数3223=Ax Bx y Cxy Dy Φ+++，不论上式中的系数如何取值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程（2-25） (2) 由式（2-24）求应力分量
由体力分量0,x y f f g ρ==，将应力函数代入公式（2-24）得应力分量：
2226x x f x Cx Dy y
σ?Φ
=-=+? （a ）
2262y y f y Ax By gy y σρ?Φ
=-=+-? （b ）
222xy Bx Cy x y
τ?Φ
=-=--?? （c ）
（3）考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数。
①对于主要边界0y =，其应力边界条件为：
0()0
y y σ==，
0()0
yx y τ== （d ）
将式（d ）代入式（b ），（c ），可得
0=0A B =， （e ） ②对于主要边界tan y x α=（斜面上），应力边界条件：
在斜面上没有面力作用，即0x y f f ==，该斜面外法线方向余弦为，sin l α=-，cos m α=.由公式（2-15）
，得应力边界条件 tan tan tan tan sin ()cos ()0sin ()cos ()0x y x yx y x xy y x y y x ααααασατατασ====-?+?=?
?-?+?=?
（f ）
将式（a ）、（b ）、（c ）、（e ）代入式（f ），可解得
2
cot ,cot 23
g g C D ρραα==- （g ）
将式（e ）、（g ）代入公式（a ）、（b ）、（c ），得应力分量表达式：
2cot 2cot cot x y xy gx gy gy
gy σραρασρτρα
?=-?
=-??
=-? 【3-12】【解答】按半逆解法求解。
（1）由§3-4可知应力函数的函数形式为2
32()
2x Ay By Cy D Φ=+++
3254
32()106
A B x Ey Fy Gy y y Hy Ky +++-
-++，由§3-4可知，Φ必然满足相容方程（2-25）。
（2）应力分量的表达式：
2
32(62)(62)22622
x x Ay B x Ey F Ay By Hy K σ=+++--++ （a ）
32y Ay By Cy D gy σρ=+++- （b ） 22(32)(32)xy x Ay By C Ey Fy G τ=-++-++ （c ）
（3）考虑对称性
因为yz 面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于yz 面。这样
x y σσ和是x 的偶函数，而xy τ是x 的奇函数，于是由式（a ）和式（c ）可见
0E F G === （d ）
（4）考察边界条件：
①在主要边界2y h =±上，应精确满足应力边界条件（2-15），
2()0,()0y y h yx y h στ=±=±==
将应力分量式（b ）、（c ）代入，并注意到0E F G ===，可得：
2
323
2208422084223()043()0
4
h h h g
A B C D h h
h h g A B C D h x Ah hB C x Ah hB C ρρ?+++-=???-+-++=???
?-++=??
?--+=?? 联立此四个方程，得：
223
,0,,02
g A B C g D h ρρ=-
=== （e ） 将式（d ）、（e ）代入式（a ）、（b ）、（c ）
23226462x g g
x y y Hy K h h ρρσ=-+++ （f ）
3222y g g y y h ρρσ=-+ （g ）
22632
xy g g xy x h ρρτ=- （h ）
②考察次要边界条件
由于问题的对称性，只需考虑其中的一边，如右边。右边界x l =上，0x f =，不论y 取任何值(22)h y h -≤≤，都有0x σ=。由（f ）式可见，这是不可能的，除非,,H K ρ均为零。因此，只能用应力x σ的主矢、主矩为零，即
/2
/2()0h x x l h dy σ=-=? （i ） /2
/2
()0h x x l h ydy σ=-=?
（j ）
将（f ）式代入式（i ）得
/2
2322/264620h h g g x y y Hy K dy h h ρρ-??
-+++= ???
? 积分后得 K=0 （k ）
将式（f ）代入式（i ），得
/2
232
2/264620h h g g l y y Hy K ydy h h ρρ-??
-+++= ???
? 积分后得
221
()10
l H g h ρ=- （l ）
将（k ）、（l ）代入式（f ），得
223222641
6()10
x g g l x y y g y h h h ρρσρ=-++- （m ）
考察右边界上切应力分量xy τ错误!未找到引用源。的边界条件： 右边界上y f glh ρ=-，则xy τ的主矢为
()/2
/2
22/2
/2632h h xy y x l h h x l
g g
dy xy x dy glh f h ρρτρ=--=??
=-
=-= ??
??
?
可知满足应力边界条件。 将式（g ），（h ），（m ）略加整理，得应力分量的最后解答：
2232223222641
6()1022632X y xy g g l x y y g y h h h g g y y h g g xy x h ρρσρρρσρρτ?=-++-??
?=-+??
?=-??
(n) （5）应力分量及应力分布图
梁截面的宽度取为1个单位，则惯性矩312h I =，静矩是22
82
h y S =-。
根据材料力学截面法可求得截面的力，可知梁横截面上的弯矩方程和剪力方
程分别为()()22
,2
s l x M x gh F x ghx ρρ-==- 则式（n ）可写成：
()()222
243
()5(14)2x y s xy
M x y y gy I h g y y h F x S bI σρρστ?=+-??
?=
-??
?=??
【3-13】【解答】用半逆解法求解。 （1）相容条件：
将应力函数Φ代入相容方程式（2-25），得
120240Ay By +=
要使Φ满足相容方程，应使
1
5
A B =- （a ）
（2）求应力分量，代入式（2-24）
323233
22206620306222102262302x y xy Ay Bx y Cy Ay Ax y Cy By D Ey Ay D Ey
Bxy Ex Axy Ex
σστ?=++=-+??=++=-++??=--=-?? （b ） （3）考察边界条件
①在主要边界2y h =±上，应精确到满足应力边界条件
3
()0,20y y h Ah D Eh σ==++=10即-
8 （c ） 32(),2y y h q Ah D Eh q σ=-=-+-=-10
即8 （d ）
2()0,20yx y h Axh Ex τ=±=-=30
即4
（e ）
联立式（a ）、（c ）、（d ）、（e ），可得：
333,,,544q q q q
A D E
B h h h
==-==- （f ）
②在次要边界0x =上，主矢和主矩都为零，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：
/2
0/2
()0h x x h dy σ=-=?
满足条件
5/2
/2
3
3
0/2/2
()(206)002
h h x x h h Ah ydy Ay Cy ydy Ch σ=--=+=?+=?? （g ） /2
0/2
()0h xy x h dy τ=-=?
满足
将A 的值带入（g ），得
C=10q
h
-
（h ） 将各系数代入应力分量表达式（b ），得
22
22332
23(46)5(134)23(14)2x y xy y y x q h h h q y y h h q x y h h σστ?=--??
?
=--+??
?=--??
【3-14】【解答】采用半逆解法求解。 (1) 相容条件：
将应力函数代入相容方程(2-25)，显然满足。 (2) 求应力分量：将Φ代入（2-24）
226603x y xy A Cxy Dy B Cy σστ??=++????=????=--????
（a ） (3) 考察边界条件。
①在主要边界/2y b =±上，应精确满足应力边界条件 ()/20y y b σ=±= 满足
()
2
/2
3,4
xy y b q B Cb q τ=±=-?+= （b ） ②在次要边界x=0上，可用圣维南原理，写出三个积分应力边界条件
/2
0/2
()b x x b dy F σ=-=-?
/22
/2
(23)
b b Ay Dy F -+=- （
c ）
/2
0/2
()b x x b ydy M σ=-=-? /2
23/2
122b b Ay Dy M -??+=- ??? （d ） ()
/2
/2
b xy
b x o
dy F τ-==-? ()
/23
/2
b b By Cy
F ---=- （e ）
联立（b ）、（c ）、（d ）、（e ）式得
2F A b =-
，132F B q b ??=-- ???，22F C q b b ??=- ?
??，3
2M D b =- （f ） 将各系数据（f ）代入式（a ），得应力分量解答
【3-15】【解答】（1）假设应力分量的函数形式。因为在/2y b =-边界上，
0y σ=；/2y b =边界上，2y gx σρ=-，所以可以假设在区域y σ为()y xf y σ=
（2）推求应力函数的形式。由y σ推求Φ的形式
()22y xf y x σ?Φ
==?()()2
12
x f y f y x ?Φ=+?
()()()3
126
x f y xf y f y Φ=++
（3）由相容方程求应力函数。将Φ代入40?Φ=，得
4434212444
2206d f d f x d f d f x x dy dy dy dy
+++=
要使上式在任意的x 处都成立，必须
432
4
4254
321142
4322
240();20();106
0()d f f y Ay By Cy D dy
d f d f A B f y y y Gy Hy Iy dy dy d f f y Ey Fy dy
=?=++++=?=--+++=?=+ 代入Φ即得应力函数的解答，其中已经略去了与应力无关的一次项，得应力函数为：35432
3232()()()6106
x Ay By Ay By Cy D x Gy Hy Iy Ey Fy Φ=++++-
-+++++ （4）由应力函数求应力分量，将Φ代入公式（2-24），注意体力
1,0x y f g f ρ==，求得应力分量表达式
()()()()233221232222243222623 6223232223x x y y xy B f x x Ay x Ay By Cy H y Ey F gx
f y x Ay By Cy D x
x A B Ay By C y y Gy Hy I x y σρστ?Φ?
?=-=++--+++
???
?+-?Φ
=-=+++??Φ??
=-=-++++--- ?
????
（5）考察边界条件
在主要边界/2y b =±上，应精确满足应力边界条件
()
()
()3222/2
32/2
22432
/2
8420 0
842330 0
2432
124y
y b y
y b xy y b b b b
gx x A B C D gx
b b b
x A B C D x b b b b A Bb C A B G
Hb I σρρστ==-=±??=-?+++=- ???
??=?-+-+= ???
????
=?-±++±--= ? ?????
由上式得到
2304b A Bb C ±+=，4323032124
b b b A B G Hb I ±--=
求解各系数，得 2223231
,0,,,022
A g
B
C g
D g H b b ρρρ===-=-=
2
23164
b b I g G ρ=- (a)
在次要边界0
x=上，列出三个积分的应力边界条件
()
()
/2
/20
/2
/20
0 0
0 0
b
x
b x
b
x
b x
dy F
ydy E
σ
σ
-=
-=
=?=
=?=
?
?
()2
/2
2
/20
804
b
xy
b x
b b
dy I g G
τρ
-=
=?=-
?(b) 由式(a)、(b)解出
22
1
,
8010
b
I g G g
b
ρρ
=-=
将各系数代入应力分量的表达式，得
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答 徐芝纶 第一章绪论 1、试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？ 【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各 向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。 【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。 非均匀的各向同性体如：混凝土。 1.2 一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？ 【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性, 各向同性假定。 【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和 岩质地基不可以作为理想弹性体。 1.3五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？ 【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理 量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。 均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。 各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。 小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的 位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的 平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与 形变的关系时，它们的二次幕或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的微分
弹性力学复习资料 一、简答题 1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系在应用这些方程时，应注意些什么问题 答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。 平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。 平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。 2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题试作简要说明。 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和
混合边界问题。 位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。 应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。 混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。 3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定试将它们写出。如何确定它们的正负号 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：x 、y 、z 、xy 、yz 、、zx 。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。 4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定什么是“理想弹性体”试举例说明。 答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定： （1）假定物体是连续的。 （2）假定物体是完全弹性的。 （3）假定物体是均匀的。 （4）假定物体是各向同性的。 （5）假定位移和变形是微小的。 符合（1）~（4）条假定的物体称为“理想弹性体”。一般混凝土构件、一般土质地基可近似视为“理想弹性体”。 5．什么叫平面应力问题什么叫平面应变问题各举一个工程中的实例。 答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如工程中的深梁以及平板坝的平板 支墩就属于此类。 平面应变问题是指很长的柱型体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长 度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作 用都不沿长度而变化。 6．在弹性力学里分析问题，要从几方面考虑各方面反映的是那些变量间的关系 答：在弹性力学利分析问题，要从3方面来考虑：静力学方面、几何学方面、物理学方面。 平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问 题的平衡微分方程。平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的 关系，也就是平面问题中的几何方程。平面问题的物理学方面主要反映的是形变分量与应力分量之 间的关系，也就是平面问题中的物理方程。 7．按照边界条件的不同，弹性力学平面问题分为那几类试作简要说明 答：按照边界条件的不同，弹性力学平面问题可分为两类： （1）平面应力问题 ： 很薄的等厚度板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力。这一类问题可以简化为平面应力问题。例如深梁在横向力作用下的受力分析问题。在该种问题中只存在 yx xy y x ττσσ=、、三个应力分量。 （2）平面应变问题 ： 很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，而且体力
,考试作弊将带来严重后果！ 华南理工大学2011年期末考试试卷（A ）卷 《弹性力学》 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请直接答在答题纸上； ．考试形式：闭卷； 20分） 、五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？(10分) 答：1、连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可以看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 (2分) 2、完全弹性假定：引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应力成正比的含义，亦即二者成线性的关系，符合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。 （4分） 3、均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E 和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化。 （6分） 4、各向同性假定：所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的。进一步地说，就是物体的弹性常数也不随方向而变化。 （8分） 5、小变形假定：我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将他们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性微分方程。 在上述假定下，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。 （10分） 2、试分析简支梁受均布荷载时，平面截面假设是否成立？（5分） 解：弹性力学解答和材料力学解答的差别，是由于各自解法不同。简言之，弹性力学的解法，是严格考虑区域内的平衡微分方程，几何方程和物理方程，以及边界上的边界条件而求解的，因而得出的解答是比较精确的。而在材料力学中没有严格考虑上述条件，因而得出的是近似解答。例如，材料力学中引用了平面假设而简化了几何关系，但这个假设对一般的梁是近似的。所以，严格来说，不成立。 3、为什么在主要边界（占边界绝大部分）上必须满足精确的应力边界条件，教材中式（2-15），而在次要边界（占边界很小部分）上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替教材中式（2-15），将会发生什么问题？（5分） 解：弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要边界条件完全得到满足，往往遇到很大的困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个应力边界条件来代替精确的边界条件。教材中式（2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答具有的近似性。 三、计算题（80分） 2.1 已知薄板有下列形变关系：,,,2 3 Dy C By Axy xy y x -===γεε式中A,B,C,D 皆为常数，试检查在形变过程中是否符合连续条件，若满足并列出应力分量表达式。（10分） 1、 相容条件： 将形变分量带入形变协调方程（相容方程）
【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 x y 2 h 1h b g ρo () 2h b >> h x y l /2/2 h M N F S F 1 q q 图2-17 图2-18 【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。 【解答】图2-17： 上（y =0） 左(x =0) 右（x =b ） l 0 -1 1 m -1 () x f s () 1g y h ρ+ () 1g y h ρ-+ () y f s 1gh ρ 代入公式（2-15）得 ①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件： ()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ ()()1b b (),0; ===-+=x xy x x g y h σρτ ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件： () () ,0y xy y y gh σρτ===-= ③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件： ()()2 2 0,0 ====y h y h u v 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为： 10,,0s N F F gh b M ρ==-=
由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有： ()()()222 10000 0b y y h b y y h b xy y h dx gh b xdx dx σρστ===?=-???=???=????? ⑵图2-18 ①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15） l m x f (s) y f (s) 2h y =- 0 -1 0 q 2 h y = 1 -1q -/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==- ②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有 /20/2/2 0/2/20 /2()()()h xy x S h h x x N h h x x h dx F dx F ydx M τσσ=-=-=-?=-??=-???=-???? ③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。 首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力： 110,x N N N N F F F q l F q l F ''=+=?=-∑ 0,0y S S S S F F F ql F ql F ''=++=?=--∑ 2 211110,'02222 A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=?=---∑ 由于x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故 M ' N F 'S F '
2０16-２0１7第二学期弹性力学考试答案及评分标准 一、 概念问答题 1、 以应力作未知量,应满足什么方程及什么边界条件? 答:以应力作为未知量应满足平衡微分方程、相容方程及边界条件。(5分） 2、平面问题的未知量有哪些？方程有哪些？ 答：平面问题有σｘ、σy 、τxy 、εx 、εy 、γxy 、u 、v 八个,方程有两个平衡方程,三个几何方程,三个物理方程。（5分) 3、已知200x Pa σ= ，100y Pa σ=-，50xy Pa τ=-及100r Pa σ=，300Pa θσ=， 100r Pa θτ=-,试分别在图中所示单元体画出应力状态图。 （2分) (3分） 4、简述圣维南原理。 答:如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同,对同一点的主矩也相同）,那么,近处的应力分量将有显著的改变,但远处所受的影响可以不计。(5分） 5、简述应变协调方程的物理意义。 答： ⑴ 形变协调条件是位移连续性的必然结果。连续体→位移连续→几何方程→形变协调条件。（2分) ⑵ 形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件。 形变协调→对应的位移存在→位移必然连续; 形变不协调→对应的位移不存在→不是物体实际存在的形变→微分体变形后不保持连续。(３分） 6、刚体位移相应于什么应变状态。 答：刚体位移相应于零应变状态，对平面问题为 εx =εy =γxy ＝０ (5分) 7、简述最小势能原理，该原理等价于弹性力学的哪些基本方程? 答：由位移变分方程可得 ()()0U Xu Yv Zw dxdydz Xu Yv Zw dS δ??-++-++=?? ????? 或0δ∏= x y 200Pa =Pa Pa 100r Pa =-100Pa =-
1-3 五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？ 答：1、连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可以看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 2、完全弹性假定：引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应 力成正比的含义，亦即二者成线性的关系，符合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。 3、均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是 相同的。因此，反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化。 4、各向同性假定：所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是 相同的。进一步地说，就是物体的弹性常数也不随方向而变化。 5、小变形假定：我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的 改变而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将他们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性微分方程。 在上述假定下，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。
2-1 已知薄板有下列形变关系：式中A,B,C,D皆为常数，试检查在形变过程中是否符合连续条件，若满足并列出应力分量表达式。 解： 1、相容条件： 将形变分量带入形变协调方程（相容方程）
其中 所以满足相容方程，符合连续性条件。 2、在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为 3、平衡微分方程
其中 若满足平衡微分方程，必须有
分析：用形变分量表示的应力分量，满足了相容方程和平衡微分方程条件，若要求出常数A,B,C,D还需应力边界条件。 例2-2 如图所示为一矩形截面水坝， 其右侧面受静水压力（水的密度为ρ）， 顶部受集中力P作用。试写出水坝的应 力边界条件。 解： 根据在边界上应力与面力的关系 左侧面：
弹性力学2005 期末考试复习资料 一、简答题 1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？ 答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。 平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。 平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。 2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？ 试作简要说明。 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和 混合边界问题。 位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。 应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。 混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。 3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。如何确定它们的正负号？ 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：x 、y 、z 、xy 、yz、、zx。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。 4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定？什么是“理想弹性体”？试举例说明。 答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定：（1）假定物体是连续的。 （2）假定物体是完全弹性的。 （3）假定物体是均匀的。 （4）假定物体是各向同性的。 （5）假定位移和变形是微小的。 符合（1）~（4）条假定的物体称为“理想弹性体”。一般混凝土构件、一般土质地基可近似视为“理想弹性体”。 5．什么叫平面应力问题？什么叫平面应变问题？各举一个工程中的实例。 答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如工程中的深梁以及平板坝的平板 支墩就属于此类。 平面应变问题是指很长的柱型体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长 度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作 用都不沿长度而变化。 6．在弹性力学里分析问题，要从几方面考虑？各方面反映的是那些变量间的关系？ 答：在弹性力学利分析问题，要从3方面来考虑：静力学方面、几何学方面、物理学方面。 平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问 题的平衡微分方程。平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的 关系，也就是平面问题中的几何方程。平面问题的物理学方 面主要反映的是形变分量与应力分量之间的关系，也就是平 面问题中的物理方程。 7．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？ 试作简要说明 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题可分为两类边界问题：
HOMEWORK OF THEORETICAL ELASTICITY 1. DATE: 2001-9-20 1. 设地震震中距你居住的地方直线距离为l ，地层的弹性常数ν,E 和密度ρ均为已知。假 设你在纵波到达0t 秒后惊醒。问你在横波到达之前还有多少时间跑到安全地区试根据Km 200=l ，GPa 20=E ，3.0=ν，36g/m 100.2?=ρ，s 30=t 来进行具体估算。 2. 假定体积不可压缩，位移112(，)u x x 与212(，)u x x 很小，30u ≡。在一定区域内已 知22 12 11(1) ()u x a bx cx =-++，其中a ，b ，c 为常数，且120ε=，求212(，)u x x 。 3. 给定位移分量 21123()u cx x x =+，22213()u cx x x =+，23312()u cx x x =+，此处c 为一个很小的常数。求 应变分量ij ε及旋转分量ij Q 。 4. 证明 ,1 122 i ijk jk ijk k j e Q e u ω== 其中i ω为转动矢量。 5. 设位移场为22131232123()()u a x x e a x x e ax x e =-++-，其中a 为远小于1的常数。确定在 (0，2，1)P -点的小应变张量分量，转动张量分量和转知矢量分量。 6. 试分析以下应变状态能否存在。 （1）22111 22()k x x x ε=+，2 2223kx x ε=，330ε=，121232kx x x γ=，23310γγ== （2）22111 2()k x x ε=+，2222kx x ε=，330ε=，12122kx x γ=，23310γγ== （3）21112ax a ε=，22212ax x ε=，3312ax x ε=，120γ=，22332ax bx γ=+，22 3112ax bx γ=+ 其中，，k a b 为远小于1的常数。 2. DATE: 2001-9-17 1. 证明对坐标变换?? ? ?????????-=? ??? ??2121cos sin sin cos x x x x αααα ，33x x =，无论α为何值均有
弹性力学复习题（06水工本科） 一、选择题 1. 下列材料中，（）属于各向同性材料。 A. 竹材； B. 纤维增强复合材料； C. 玻璃钢； D. 沥青。 2 关于弹性力学的正确认识是（）。 A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要； B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，与材料力学不同，不需要对问题作假设； C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象； D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。 3. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于（）。 A. 任务； B. 研究对象； C. 研究方法； D. 基本假设。 4. 所谓“完全弹性体”是指（）。 A. 材料应力应变关系满足胡克定律； B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关； C. 本构关系为非线性弹性关系； D. 应力应变关系满足线性弹性关系。 5. 所谓“应力状态”是指（）。 A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同； B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变； C. 3个主应力作用平面相互垂直； D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。 6. 变形协调方程说明（）。 A. 几何方程是根据运动学关系确定的，因此对于弹性体的变形描述是不正确的； B. 微分单元体的变形必须受到变形协调条件的约束； C. 变形协调方程是保证所有弹性体变形协调条件的必要和充分条件； D. 变形是由应变分量和转动分量共同组成的。 7. 下列关于弹性力学基本方程描述正确的是（）。 A. 几何方程适用小变形条件； B. 物理方程与材料性质无关； C. 平衡微分方程是确定弹性体平衡的唯一条件； D. 变形协调方程是确定弹性体位移单值连续的唯一条件； 8、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，最后需结合（）求解这些微分方程，以
华中科技大学土木工程与力学学院 《弹性力学》试卷 2003~2004学年度第一学期 一. 如图所示为两个平面受力体，试写出其应力边界条件。（固定边不考虑） x （a）（b） 二.已知等厚度板沿周边作用着均匀压力σx=σy= - q ，若O点不能移动或转动， 试求板内任意点A(x,y)的位移分量。 q x 三.如图所示简支梁，它仅承受本身的自重，材料的比重为γ, 考察Airy应力函 数：y Dx Cy By y Ax2 3 5 3 2+ + + = ? 1．为使?成为双调和函数，试确定系数A、B、C、D之间的关系； 2．写出本问题的边界条件。并求各系数及应力分量。
四. 如图所示一圆筒，内径为a ，外径为b ，在圆筒内孔紧套装一半径为a 的刚性圆柱体，圆筒的外表面受压力q 的作用，试确定其应力r σ，θσ。 q
五. 如图所示单位厚度楔形体，两侧边承受按 τ=qr 2（q 为常数）分布的剪应力作用。试利用应力函数 θθθφ2cos 4cos ),(4244r b r a r += 求应力分量。 O y qr 2 qr 2 x 六. 设]27 4)3(1[),(22 32 2 a xy x a y x m y x F ---+=，试问它能否作为如图所示高为a 的等边三角形杆的扭转应力函数(扭杆两端所受扭矩为M)？若能，求其应力分 量。 (提示：截面的边界方程是3a x -=，3 323a x y ±= 。) α α
1．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分) （1）薄板小挠度弯曲时，体力可以由薄板单位面积内的横向荷载q 来等代。 (√) （2）对于常体力平面问题，若应力函数),(y x ?满足双调和方程02 2 =???，那么由) ,(y x ?确定的应力分量必然满足平衡微分方程。 （√） （3）在求解弹性力学问题时，要谨慎选择逆解法和半逆解法，因为解的方式不同，解的结 果会有所差别。 （×） （4）如果弹性体几何形状是轴对称时，就可以按轴对称问题进行求解。 （×） （5）无论是对于单连通杆还是多连通杆，其载面扭矩均满足如下等式： ??=dxdy y x F M ),(2,其中),(y x F 为扭转应力函数。 （×） （6）应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。 （√） （7）平面应力问题和平面应变问题的应变协调方程相同，但应力协调方程不同。 （√） （8）对于两种介质组成的弹性体，连续性假定不能满足。 (×) （9）位移变分方程等价于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的静力边界条件。（√） （10）三个主应力方向一定是两两垂直的。 (×) 2．填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。）（共20分，每小题2分） (1)弹性力学是研究弹性体受外界因素作用而产生的 应力、应变和位移 的一门学科。 (2)平面应力问题的几何特征是： 物体在一个方向的尺寸远小于另两个方向的尺寸 。 (3)平衡微分方程则表示物体 内部 的平衡，应力边界条件表示物体 边界 的平衡。 (4) 在通过同一点的所有微分面中，最大正应力所在的平面一定是 主平面 。 (5)弹性力学求解过程中的逆解法和半逆解法的理论基础是： 解的唯一性定律 。 (6)应力函数()4 2 2 4 ,cy y bx ax y x ++=Φ如果能作为应力函数，其c b a ,,的关系应该是 033=++c b a 。
同济大学课程考核试卷（A 卷） 2008 — 2009 学年第 一 学期 命题教师签名： 审核教师签名： 课号：030192 课名： 弹性力学 考试考查：考试 此卷选为：期中考试( )、期终考试(√ )、重考( )试卷 年级 专业 学号 姓名 得分 一．是非题（正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(共30分，每小题2分) 1. 三个主应力方向必定是相互垂直的。（ ） 2. 最小势能原理等价于平衡方程和面力边界条件。（ ） 3. 轴对称的位移对应的几何形状和受力一定是轴对称的。（ ） 4. 最大正应变是主应变。（ ） 5. 平面应力问题的几何特征是物体在某一方向的尺寸远小于另两个方向的尺寸。（ ） 6. 最大剪应力对应平面上的正应力为零。（ ） 7. 弹性体所有边界上的集中荷载均可以按照圣维南原理放松处理边界条件。（ ） 8. 用应力函数表示的应力分量满足平衡方程，但不一定满足协调方程。（ ） 9. 经过简化后的平面问题的基本方程及不为零的基本未知量(应力、应变和位移)均为8 个。（ ） 10. 运动可能的位移必须满足已知面力的边界条件。（ ） 11. 实对称二阶张量的特征值都是实数。（ ） 12. 对单、多连通弹性体，任意给出的应变分量只要满足协调方程就可求出单值连续的位 移分量。（ ） 13. 若整个物体没有刚体位移，则物体内任意点处的微元体都没有刚体位移。（ ） 14. 出现最大剪应力的微平面和某两个应力主方向成45度角。（ ） 15. 对任意弹性体，应力主方向和应变主方向一致。（ ） 二．分析题（共20分，每小题10分） 1．已知应力张量为()()2211e e e e σ?-+?+=b a b a ，0>>a b (1) 设与xy 平面垂直的任意斜截面的法向矢量为21sin cos e e n θθ+=，试求该斜截面上的正应力与剪应力。 (2) 求最大和最小剪应力值。
弹性力学简明教程（第四版） 习题解答 第一章绪论 【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？ 【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。 【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。 非均匀的各向同性体如：混凝土。 【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？ 【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。 【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。 【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？ 【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。 均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。 各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。 小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形
第三章弹性理论 姓名班级学号考试时间：20分钟 一、单项选择题 1、点弹性和弧弹性之间（）关系 A、有 B、没有 C、不确定 2、冰棒的需求价格弹性（）药品的需求价格弹性 A、大于 B、小于 C、等于 D、大于或等于 3、供给弹性（）点弹性和弧弹性的区分 A、有 B、没有 C、不确定 4、垂直的需求曲线是（）弹性 A、完全有 B、富有 C、完全无 5、水平的供给曲线是（）弹性 A、完全有 B、富有 C、完全无 6、一种商品价格下降，另外一种商品需求上升，则两种商品之间是（）关系 A、互补品 B、替代品 C、正常品 D、劣品 7、在长期中，供给曲线更（）弹性 A、缺乏 B、富有 C、不确定 D、依商品而定 8、容易被替代的商品，其需求弹性（） A、大 B、小 C、不确定 二、多项选择题 1、弹性一般分为（）弹性 A、供给 B、需求 C、价格 D、收入 2、利用价格需求弹性可以区分出（） A、生活必须品 B、奢侈品 C、经济商品 D、免费物品 三、简答题 1、影响商品需求价格弹性的因素 2、需求价格弹性的五种情况
答案 一．单项选择题 2. A 二．多项选择题 三．简答题 1. 影响商品需求价格弹性的因素 (1). 必需品与奢侈品 一般地说，奢侈品需求对价格是有弹性的，而必需品则是缺乏弹性的。 (2). 相近替代品的可获得性 一般来说，相近替代品越多的商品越富有弹性。替代品多，消费者从这种商品转向购买其他商品较为容易，对商品价格更敏感（如，香烟）。 (3). 商品所划定范畴的大小 一般来说，如果某产品存在着很接近的替代品的数量愈多，其需求价格弹性愈大。 (4). 时间的长短 计算某种商品价格弹性系数所考虑的时间愈长，其系数会愈大。当某一商品价格上升时，消费者需要一段时间去寻找可以接受的替代品，因此，短期内对该商品的需求量变化不大，而长期内消费者更可能转向其他替代品，因此，该提价商品的需求量变化会更加明显些。 2. 需求价格弹性的五种情况 (1). 当e=0时，需求对价格是完全无弹性的，即需求量与价格无关。则需求曲线为一条垂直于x轴的直线。如，垄断价格；婚丧用品，特效药等接近于完全无弹性。 (2). 当e=1时，需求对价格为单位弹性，即价格变化的百分比与需求量变化的百分比相等。 (3). 当e=∞时，需求对价格是完全有弹性，即需求曲线为一条垂直于P轴的直线。如，银行以某一固定的价格收购黄金；实行保护价的农产品。 (4). 当e>1时，需求对价格富有弹性，即需求变化的幅度大于价格变化的幅度。如，奢侈品。 (5). 当e<1时，需求队价格缺乏弹性，即需求变化的幅度小于价格变化的幅度。如，生活必需品。
【2-9】【解答】图2-17： 上（y =0） 左(x =0) 右（x =b ） l -1 1 m -1 () x f s () 1g y h ρ+ () 1g y h ρ-+ () y f s 1gh ρ 代入公式（2-15）得 ①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件： ()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ()()1b b (),0; ===-+=x xy x x g y h σρτ ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件：() () ,0y xy y y gh σρτ===-= ③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件：()()2 2 0,0 ====y h y h u v 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板 厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为： 10,,0s N F F gh b M ρ==-= 由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有： ()()()22210000 0b y y h b y y h b xy y h dx gh b xdx dx σρστ===?=-???=???=?? ??? ⑵图2-18 ①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15） l m x f (s) y f (s) 2h y =- 0 -1 0 q 2 h y = 1 -1q -/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==- ②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力
一、列出下图所示问题的全部边界条件(，单位厚度)。在其中的小边界上，采用圣维南原理改用积分的应力边界条件来代替。 二、（a）、平面问题中的应力分量应满足哪些条件？ （b）、检查下面的应力在体力为零时是否是可能的解答. бx = 4x2,бy = 4y2, τxy=- 8xy （c）、在平面应变状态下，已知一组应变分量为 为非零的微小常数，试问由此求得的位移分量是否存在？ 三、平面问题,直角坐标，研究一点的变形，考虑通过P点的二个正向微段PA∥x, ,PB∥y，PA=dx, PB=dy, P 点位移为u,v, (1) 正应变、剪应变的定义和正负号规定？(2) PA是x正向微段，PB是y正向微段，为何要正向微段? (3)写出A点和B点位移，推导出几何方程 四、(1)平面应力问题z面上任一点的应力( s z t zx t zy) 是近似为0还是精确为0？为什么？(2)平面应变问题的z面上任一点的应力( t zx t zy) 是近似为0还是精确为0？为什么？
五、空间问题的物理方程为： e x=[s x- ms y- ms z]/E r xy=t xy/G e y=[s y- ms x- ms z]/E r xz=t xz/G e z=[s z- ms x- ms y]/E r zy=t zy/G 由上式推导出平面应力问题和平面应变问题的物理方程。 六、已知平面应力问题矩形梁，梁长L,梁高h, 已知E=200000, μ= 0.2. 位移分量为：u(x,y)=6(x-0.5 L)y/E v(x,y)=3(L-x)x/E-3μy2/E 求以下物理量在点P(x=L/2,y=h/2)的值： (1) 应变分量 (2) 应力分量， (3) 梁左端（x=0）的面力及面力的合力和合力矩。 七、回答以下问题： 1）单元结点力是什么？正负号规定？ 2）单元结点荷载是什么？正负号规定？ 3）单元劲度矩阵的某一个元素的物理意义？ 4）整体劲度矩阵的某一个元素的物理意义？ 5）有限单元法结点的平衡方程是什么力和什么力的平衡？ 6）有限单元法中一个离散的结构只有有限个自由度，为什么？ 八、设平面问题中r=50mm的圆周上的点在外力作用下都移动至r=51mm的圆周上，求r=50mm的圆周上
【3-1】为什么在主要边界（大边界）上必须满足精确的应力边界条件式（2-15），而在小边界上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替式（2-15），将会发生什么问题？ 【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要使边界条件完全得到满足，往往比较困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个积分的应力边界条件来代替精确的应力边界条件（公式2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答精度不足。 【3-2】如果在某一应力边界问题中，除了一个小边界条件，平衡微分方程和其它的应力边界条件都已满足，试证：在最后的这个小边界上，三个积分的应力边界条件必然是自然满足的，固而可以不必校核。 【解答】区域内的每一微小单元均满足平衡条件，应力边界条件实质上是边界上微分体的平衡条件，即外力（面力）与内力（应力）的平衡条件。研究对象整体的外力是满足平衡条件的，其它应力边界条件也都满足，那么在最后的这个次要边界上，三个积分的应力边界条件是自然满足的,因而可以不必校核。 【3-3】如果某一应力边界问题中有m 个主要边界和n 个小边界，试问在主要边界和小边界上各应满足什么类型的应力边界条件，各有几个条件？ 【解答】在m 个主要边界上，每个边界应有2个精确的应力边界条件，公式（2-15），共2m 个；在n 个次要边界上，如果能满足精确应力边界条件，则有2n 个；如果不能满足公式（2-15）的精确应力边界条件，则可以用三个静力等效的积分边界条件来代替2个精确应力边界条件，共3n 个。 【3-4】试考察应力函数3 ay Φ=在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)? 【解答】⑴相容条件: 不论系数a 取何值，应力函数3 ay Φ=总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25). ⑵求应力分量 当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得 6,0,0x y xy yx ay σσττ==== ⑶考察边界条件 上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.
弹性力学与有限元分析复习题及其答案 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1 MT -2 。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ， =2σ0MPa ，=1α6135'ο。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ， =2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ， =2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。 19、在有限单元法中，单元的形函数N i 在i 结点N i =1；在其他结点N i =0及∑N i =1。 20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。