第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
§ 4.1柱面
1、已知柱面的准线为：
?
?
?=+-+=-+++-0225
)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程
??
?=+-+=-+++-0
225
)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(2
2
2
=-+++--z y y z 即：02
3
5622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线?
??==c z y
x 的直线方程为：
???
??=-=-=?
??
?
??=+=+=z z t y y t
x x z
z t y y t
x x 0
00000 而0M 在准线上，所以
??
?=+--+=-++-+--0
2225
)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：026888232
2
2
=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。
2
而0M 在准线上，所以：
??
?+=-++=-)
2(2)2(2
2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******
2
2
=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过
又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{
}1,1,1的直线方程为： ???
??-=-=-=?
??
?
??+=+=+=t z z t y y t
x x t
z z t y y t
x x 1
11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：
013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x
此即为所求的圆柱面的方程。
4、已知柱面的准线为{})(),(),()(u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量{}Z Y X S ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
S v u Y x +=)(
与
??
?
??+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。
证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，则，
v M ='
即
1、求顶点在原点，准线为01,0122
=+-=+-z y z x 的锥面方程。 解：设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：
z
Z y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：
0)()(222=-+--y z y z z x
即：02
22=-+z y x 此为所要求的锥面方程。
2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,12
2
2
=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。
解：设),,(z y x M 为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：
2
2
1133++=++=--z Z y Y x X 令它与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使
???
??++-=++-=-+=t z Z t y Y t x X )2(2)!(1)3(30
00 将它们代入准线方程，并消去t 得：
044441026753222=+-+-+--+-z y x xz yz xy z y x
此为要求的锥面方程。 4、求
对锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与顶点O 的母线为：
z
Z y Y x X == 令它与准线的交点为),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去t 得：
0=++zx yz xy
此即为要求的圆锥面的方程。
5、求顶点为)4,2,1(，轴与平面022=++z y x 垂直，且经过点)1,2,3(的圆锥面的方程。 解：轴线的方程为：
1
42221-=
-=-z y x 过点)1,2,3(且垂直于轴的平面为：
0)1()2(2)3(2=-+-+-z y x
即： 01122=-++z y x 该平面与轴的交点为)9
37,920,911(
，它与)1,2,3(的距离为： 3
116)1937()2920()3911(222=-+-+-=d
∴要求圆锥面的准线为：
的径矢为{}0000,,z y x =γ，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
0()(1)v u v γγγ=+-r
u u u u r u u r
与
000()(1)()(1)()(1)x vx u v x y vy u v y z vz u v z
=+-??
=+-??=+-?
式中，v u ,为参数。
证明：对锥面上任一点),,(z y x M ，令OM γ=u u u u r r
，它与顶点A 的连线交准线于((),(),())M x u y u z u '=，即
OM ()u γ'=u u u u r u u u u r
。 //AM AM 'u u u u r u u u u u r Q ，且0AM '≠u u u u u r
（顶点不在准线上） AM vAM '∴=u u u u r u u u u u r
即00(())v u γγγγ-=-r u u r u u u u r u u r 亦即0()(1)v u v γγγ=+-r
u u u u r u u r
此为锥面的矢量式参数方程。
若将矢量式参数方程用分量表示，即：
000{,,}{(),(),()}(1){,,}x y z v x u y u z u v x y z =+-
??
?
??-+=-+=-+=∴000)1()()1()()1()(z
v u vz z y v u vy y x v u vx x 此为锥面的坐标式参数方程，v u ,为参数。
§ 4.3旋转曲面
1、求下列旋转曲面的方程：
（1）；
111112x y z -+-==-绕1
112x y z -==
-旋转 （2）；1211x y z -==-绕1112x y z -==
-旋转 （3）1133
x y z -==-绕z 轴旋转；
（4）空间曲线2
221
z x
x y ?=??+=??绕z 轴旋转。
解：（1）设1111(,,)M x y z 是母线
111
112
x y z -+-==
-上任一点，过1M 的纬圆为：
111222222111()()2()0(1)(1)(1)
(2)
x x y y z z x y z x y z ---+-=??++-=++-?
因1M 在母线上， 1111
211
x y z -∴
==
- (3) 从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：
2225523122424242446230x y z xy yz xz x y z ++--+-+-+=
此为所求的旋转面的方程。
（3）对母线上任一点1111(,,)M x y z ，过该点的纬圆为：
1222222111
(1)(2)
z z x y z x y z =??++=++?
又1M 在母线上，所以：
111
1133
x y z -==- （3） 从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：
2229()10690x y z z +---=
此为所求的旋转面方程。
（4）对母线上任一点1111(,,)M x y z ，过1M 的纬圆为：
1
222222111
(1)(2)
z z x y z x y z =??++=++?
又1M 在母线上，所以
2
112211(1)1
(2)
z x x y ?=??+=??
从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：
221x y +=
211101z z x z ==≤∴≤≤Q
即旋转面的方程为：2
2
1x y += (01)z ≤≤ 2、将直线
01
x
y z
βα
-=
=绕z 轴旋转，求这旋转面的方程，并就,αβ可能的值讨论这是什么曲面？
解：先求旋转面的方程式：
z
任取母线上一点1111(,,)M x y z ，过1M 的纬圆为：
1222222111
(1)(2)
z z x y z x y z =??++=++?
又
1
11
01
x y z βα
-=
= （3） 从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：
222220x y z αβ+--=
此即为所求旋转面的方程。
当0,0αβ=≠时，旋转面为圆柱面（以z 轴为轴）；
当0,0αβ≠=时，旋转面为圆锥面（以z 轴为轴，顶点在原点）； 当,0αβ≠时，旋转面变为z 轴；
当0,0αβ=≠时，旋转面为单叶旋转双曲面。
3、已知曲线Γ的参数方程为(),(),()x x u y y u z z u ===，将曲线Γ绕z 轴旋转，求旋转曲面的参数方程。
解：如图，设((),(),())M x u y u z u 为Γ上任一点，则对经过M 的纬圆上任一点(,,)p x y z ，
§4.4椭球面
1、做出平面20x -=与椭球面222
21494x y z +
+=的交线的图形。 解：平面20x -=与椭球面222
21494
x y z +
+=的交线为： 2
2
39
442
y z x ?+=
???=? ，即 22
12734y z ?+=???? ——椭 图形为
y
2、设动点与点(1,0,0)的距离等于从这点到平面4x =的距离的一半，试求此动点的轨迹。 解：设动点(,,)M x y z ，要求的轨迹为∑，则
条两两相互垂直的射线，分别交曲面123,,p p p ，设112233,,op r op r op r ===，试证：
222222123111111r r r a b c
++=++ 证明：利用上题结果，有2222222
1(1,2,3)i i i i i r a b c
λμν=++=
其中,,i i i λμν是i op u u u r
的方向余弦。
若将(1,2,3)i op i =u u u r
所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴，则123,,λλλ是坐标矢量关于
新坐标系的方向余弦，从而222
1231λλλ++=，同理，
2221231μμμ++=，2221231ννν++= 所以，
222222222
123123123222222123222
111111()()()111
r r r a b c a b c λλλμμμννν++=++++++++=
++
即：
222222
123111111r r r a b c ++=++ 5、一直线分别交坐标面,,yoz zox xoy 于三点,,A B C ，当直线变动时，直线上的三定点
,,A B C 也分别在三个坐标面上变动，另外，直线上有第四点p ，它与三点的距离分别为,,a b c ，当直线按照这样的规定（即保持,,A B C 分别在三坐标面上）变动，试求p 点的轨
迹。
解：设112233(0,,),(,0,),(,,0)A y z B x z C x y ，则知：
2121331221
,x z z y
x y z z z z =
=--
z z
21211221
(
,,0)x z z y
C z z z z ∴-- 又设(,,)p x y z ，,,pA a pB b pC c ===u u u r u u u r u u u r
Q
2222
11
2222222222
21211221()()(1)()()(2)()()(3)
x y y z z a x x y z z b x z z y
x y z c z z z z ?
?+-+-=??-++-=???-+-+=--??
又p 在AB 的连线上，11
1121
y y z z x x y z z --∴
==--（4） 从（1）——（4）消去1122,,,y z x z ，得到
即：22
2
22(1)1a a b c
λ-=-
222
2
222
a c
b
c b a
λ-=?-
λ∴=满足要求的平
2、给定方程
222
1(0)x y z A B C A B C λλλ
++=>>>--- 试问当λ取异于,,A B C 的各种数值时，它表示怎样的曲面？
解：对方程222
1(0)x y z A B C A B C λλλ
++=>>>--- （*） 1o、当A λ>时，（*）不表示任何实图形； 2o、当A B λ>>时，（*）表示双叶双曲面； 3o、当B C λ>>时，（*）表示单叶双曲面； 4o、当C λ<时，（*）表示椭球面。
3、已知单叶双曲面222
1494
x y z +-=，试求平面的方程，使这平面平行于yoz 面（或xoz 面）
且与曲面的交线是一对相交直线。
解：设所求的平面为x k =，则该平面与单叶双曲面的交线为：
（*） 222
1
494
x y z x k ?+-=???=?
亦即 2221944y z k x k ?-=-
???=?
为使交线（*）为二相交直线，则须：2
104
k -=，即2k =± 所以，要求的平面方程为：2x =±
同理，平行于xoy 的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线，则该平面为：3y =± 4、设动点与(4,0,0)的距离等于这点到平面1x =的距离的两倍，试求这动点的轨迹。 解： 2
2
20241160x y x +--= 此即为要求的射影柱面方程。
6、设直线l 与m 为互不垂直的两条异面直线，C 是l 与m 的公垂线的中点，,A B 两点分别在直线l ，m 上滑动，且90ACB ∠=o ，试证直线AB 的轨迹是一个单叶双曲面。 证明：以l ，m 的公垂线作为z 轴，C 作为坐标原点，再令x 轴与l ，m 的夹角均为α，公垂线的长为2c ，若设tg αλ=，则l 0:y x l z c λ+=??=? 0:y x m z c λ-=??=-?
令11(,,)A x y c ，22(,,)B x y c -11220,0y x y x λλ+=-=
又AC CB ⊥，所以：222222222
11221212()()(2)x y c x y c x x y y c +++++=-+-+ 亦即 2
12120x x y y c +-= （2）
又设(,,)M x y z 为AB 上任一点，则
c
c
z y y y y x x x x 2121121--=--=-- (3)
从（1）——（3）中消去2211,,,y x y x ，得：
222222222)1()1(c z y x λλλλλ=+---
即：
11122
2
222222=+---c z c y c x λλλ (4) l Θ不垂直m ，1≠∴λ
（4）表示单叶双曲面，即AB 的轨迹是一单叶双曲面。 7、试验证单叶双曲面与双叶双曲面的参数方程分别为：
??
?
??===ctgu z v u b y v u a x sin sec cos sec 与 ??
?
??===u c z v btgu y v atgu x sec sin cos 解为：
z b
y a x 222
22=+ 令确定a 与b
)6,2,1(Θ和)1,1,3
1
(-均在该曲面上。
∴有：
??????
?=+=+219112412
222b a b
a 从而
56
1,536122
==b a
所以要求的椭圆抛物面的方程为：z y x 25
65362
2=+ 即：z y x 53182
2
=+
2、适当选取坐标系，求下列轨迹的方程：
（1）到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹；
（2）与两给定的异面直线等距离的点的轨迹，已知两异面直线间的距离为a 2，夹角为α2。 解：（1）取定平面为xoy 面，过定点且垂直于xoy 面的直线作为z 轴，则定点的坐标设为
),0,0(a ，而定平面即为0=z ，设比值常数为c ，并令所求的轨迹为∑，则
点c z
a z y x z y x M =-++?
∑
∈2
22)(),,(
即02)1(2
2
2
2
2
=+--++a az z c y x
此为的方程。
（2）取二异面直线的公垂线为轴，中点的坐标为原点；再取x 轴，使其与二异面直线的夹角相等，则二异面直线的方程为：
??
?==?+a
z x tg y 0
α 与 ??
?-==?-a
z x tg y 0
α 设所求的轨迹为∑，则
α
α
αα
α
α22
2222
221110011100),,(tg tg y
x x a z tg a z y
tg tg y
x x a z tg a z y z y x M +-+-+--=
+++++?
∑∈
解：略。
5、试验证椭圆抛物面与双曲抛物面的参数方程可分别写成：
???
?
???
===2
21sin cos u z v bu y v au x 与 ??
?
??=-=+=uv z v u b y v u a x 2)()
( 式中的v u ,为参数。 解：对方程
???
?
???
===2
21sin cos u z v bu y v au x
消去参数v u ,得：z b
y a x 222
22=+
这正是椭圆抛物面的方程。
对方程
??
?
??=-=+=uv z v u b y v u a x 2)()( 消去参数v u ,得：z b
y a x 222
22=-
这正是双曲抛物面的方程。
§ 4.7单叶双曲面与双叶双曲面的直母线
1、 求下列直纹面的直母线族方程：
（1）02
22=-+z y x （2）axy z = 解：（1）从原方程得：2
2
2
y z x -=- 即：y y z x z x ?-=-+))((
亦即：
?
?
?-=-=+?=--=+y t z x ty z x t z x y
y z x )( 为了避免取极限，将上方程写成：
??
?-=-=+sy
t z x ty
z x s )()( （1） 若将原方程变形为：2
22x z y -=-，则可得到： ?
?
?-=-=+ux z y v vx
z y u )()( （2）
若令)(2
1s t u -=
，)(2
1s t v +=
，则（2）便是（1）
∴原曲面的直母线族是（1），其中t s ,不全为零。
（2）原方程变形为：ay x
z
=
亦即：t ay x
z
==
??
?==∴t
ay xt
z （1） 由
ax y
z
= 得： ??
?==s
ax sy
z （2）
（1）（2）即这原曲面的两组直母线族方程。 2、 求下列直线族所成的曲面（式中的λ为参数）
（1）0112λ
λ-=-=-z y x ； （2）???=--=++4
42442z y x z y x λλλλ 解：（1）原方程等价于?
??=-=-λλz y
x 2
从此式中消去λ，得：y x z +=2
此即为直母线（1）所形成的曲面。
（2）从原方程中消去λ得：14
1622
2=-+z y x 此即为（2）的直母线族所形成的曲面。
3、在双曲抛物面z y x =-4162
2上，求平行于平面0423=-+z y x 的直母线。 解：双曲抛物面z y x =-4
162
2的两族直母线为： ??????
?=-=+z y x u u
y
x )24(24 及 ???????=+=-z y
x v v y
x )2
4(2
4
第一族直母线的方向矢量为：},1,2{u - 第二族直母线的方向矢量为：},1,2{v 据题意，要求的直母线应满足：
2
04232104232=?=-+?=?=--?v v u u
要求的直母线方程为：
???????=-=+z y x y
x 2412
4 及 ???????=+=-2
2422
4z y x y
x 4、试证单叶双曲面122
2222=-+c
z b y a x 的任意一条直母线在xoy 面上的射影，一定是其腰圆
的切线。
证明：单叶双曲面的腰圆为??
???==+
0122
22z b y a x
两直母线为：
??????
?+=--=+)1(1)1(b y v
c z a x b
y v c z
a x 它在xoy 面内的射影为 ： ?????=-++=0
)
1(12z v v
b y v v a x
（2） 将（2）的第一式代入（1）的第一式得：
44)]1(1[222
=+-++b
y v v b y v v
即：0)1()1(2])1(1[
2
22
222=-+-++v v y v v
b y v v b 上述方程的判别式为：
0)1()1(4)1(4222
2
222=-+--=
?v v v v b
v v b ∴ （2）与（1）相比，证毕。
5、求与两直线11236-==-z y x 与21
4
283-+=
-=z y x 相交，而且与平面0532=-+y x 平行的直线的轨迹。
解：设动直线与二已知直线分别交于),,(),,,(111000z y x z y x ，则
11236000-==-z y x ，21
4
283111-+=-=z y x 又动直线与平面0532=-+y x 平行，所以，0)(3)(21010=-+-y y x x
对动直线上任一点),,(z y x M ，有：
10
010010z z z z y y y y x x x x --=--=--
从（1）——（4）消去111000,,,,,z y x z y x ，得到：z y x 44
92
2=- 6、求与下列三条直线
??
?==z y x 1
， ??
?-=-=z
y x 1 与52
4132+=+=--z y x
都共面的直线所构成的曲面。 解：动直线不可能同时平行于直线??
?==z
y x 1
及直线???-=-=z y x 1
不妨设其与第一条直线交于),,1(λλp
注),,1(λλp 与第二条直线的平面为：0)()1(=+-+z y x λ 过p 与直线
5
2
4132+=
+=--z y x 的平面为0)]()1(3[)](3)1[(=++----+z y x z y x λ 动直线的方程为：?
?
?=++----+=+-+0)]()1(3[)](3)1[(0
)()1(z y x z y x z y x λλ
从上式中消去参数λ，得：12
2
2
=-+z y x
此为所要求的轨迹方程。
7、试证明经过单叶双曲面的一 直母线的每个平面一定经过属于另一族直母线的一条直母线，并举一反例，说明这个命题与双曲抛物面的情况下不一定成立。
证明：单叶双曲面122
2222=-+c
z b y a x 的一族直母线为：
??????
?-=-+=+)1()()1()(b y u c
z a x v b
y v c z
a x u 过该族中一条直母线的平面为：0)]1()([)]1()(
[=---++-+b
y
u c z a x v t b y v c z a x u s 即：0)1()()1()(=---++-+b
y
tu c z a x tv b y sv c z a x su （1）
另一族直母线为：??????
?+=--=+)1()()1()(b
y m c
z a x n b y
n c
z
a x m 过该族中一条直母线的平面为：0)]1()([)]1()(
[=+--+--+b
y
m c z a x n l b y n c z a x m k 即0)1()()1()(=+--+--+b
y
ml c z a x nl b y kn c z a x km （2）
对照（1）、（2）得，只要令v l t n u k s m ====,,,，得（2）便是（1）了 亦即过u 族每一直母线的任一平面都经过v 族中的一条直母线，
同理，对v 族的直母线也有类似性质。
对双曲抛物面：z b
y a x 222
22=-
其族直母线为：
??????
?=-=+z b
y a
x u u b y
a x )(2 （*）
取其中的一条（即取定u ），显然平面u b
y
a x 2=+通过直母线（*）
，但该平面不通过v 族直母线中的任何一条，这是因为：
v 族直母线
??????
?=+=-z v b
y a x w b
y a x )( 的方向矢量为}2,1,
1{ab
v
a b 而 02201111≠=?+?+?ab ab v a b b a
∴平面u b
y
a x 2=+不能通过v 族中的任何直母线。
8、试求单叶双曲面122
2222=-+c
z b y a x 上互相垂直的两条直母线交点的轨迹方程。
解：由于过单叶双曲面上每点仅有一条u 母线和一条v 母线，
所以它的同族直母线不能相交，设单叶双曲面的二垂直相交的直母线为：
??????
?-=-+=+)1()()1()(b y w c z a x u b
y u c z
a x w ??????
?+=--=+)1()()1()(b
y t c
z a x v b y
v c z
a x t 将两方程化为标准式，得：
)
(22)
(2)(22
22
22
22
w u
c uw
w u
z buw
y
w u
a uw
w u
a x +--
=
=
-+-
)
(2)(2)(2)(22222222t v c vt t v a z bvt y t v a vt v t a x +--
=-=-+-
由此求出二直线的交点坐标为：
ut
vw wt uv c z ut vw ut vw b y ut vw wt uv a x +-=
+-=++=
)
(,)(,)( 又二直线垂直，
0))((4))((22222222222=+++---∴t v w u c uvwt b t v w u a
2222222222222222222222222
2222222222222222222222222222222222
2
222222
2
2
)()2)(()(4)(2)())(()()(2)())(()()(2)()()()()()()(ut vw uvwt t u v w c b a ut vw uvwt b uvwt c b a t u w v b t u v w c a ut vw uvwt c b a t u w v b c a t w v u ut vw uvwt c b a t w v u c t u w v b t w v u a ut vw wt uv c ut vw b wt uv a z y x +++-+=
++--++++-=
+--+++++=
+--++++++=
+-+-++=
++∴
222c b a -+=
即2
2
2
2
2
2
c b a z y x -+=++
又交点在单叶双曲面上，所以：122
2222=-+c
z b y a x
故交点的轨迹为??
???-+=++=-+c b a z y x c
z b y a x 2222222
22221
9、试证明双曲抛物面)(222
22b a z b
y a x ≠=-上的一两条直母线直交时，其交点必在一双曲
线上。
证明：由于过双曲抛物面上一点仅有一条u 族直母线，也仅有一条v 族直母线，所以同族的直母线不能相交。 设两相交的直母线为：
??
?=--=-+0
2abz uay ubx abu ay bx 其方向矢量为}2,,{u b a - 与 ?
??=-+=--00
2abz uay ubx abu ay bx 其方向矢量为}2,,{v b a
由二直线直交，所以：)(4
10
422
22a b uv uv b a -=
?=+- （*）
二直母线的交点坐标为：
??
?
??=-=+=uv z v u b y v u a x 2)()( 但由（*）式有：???
????-=-=-22
22222
2
2a b z a b b y a x （* *）
（* *）为一双曲线方程，∴交点在一双曲线上。
10、已知空间两异面直线间的距离为a 2，夹角为α2，过这两条直线分别作平面，并使这
两平面相互垂直，求这样两平面交线的轨迹。
解：建立坐标系：取二异面直线的公垂线作为z 轴，公垂线的中点为原点O ，让x 轴与二异面直线夹角相等，则二直线方程为：
??
?==?+a
z x tg y 0
α 与 ??
?-==?-a
z x tg y 0
α 过这两直线的平面为：
0)()(:1=?++-x tg y u a z αλπ 0)()(:2=?-++x tg y m a z l απ
二平面的交线为：??
?=?-++=?++-0
)()(0
)()(x tg y m a z l x tg y u a z ααλ （1）
21ππ⊥Θ
0)1(2=-+∴αλtg um l
（2）
当二异面直线不直交时，1≠αtg ，从（1）（2）中消去m l u ,,,λ，得：
1)1()1(22
2
22222=+---a
z tg a y ctg a x αα ——单叶双曲面 此为要求的轨迹方程。
当二异面直线直交时，则1=αtg ，此时，（1）（2）变为：
??
?=-++=++-0
)()(0
)()(x y m a z l x y u a z λ )1(' 0=l λ )2('
当0=λ时，)1('为??
?=-++=+0
)()(0
x y m a z l x y
它的轨迹为平面0=+x y 。
当0=l 时，)1('为?
??=-=++-00)()(x y x y u a z λ
它的轨迹为平面0=-x y
从而当二异面直交时，动直线（1）的轨迹为二平面：
0=+x y 与 0=-x y
解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章
第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1 (,)F x y ， 2 (,)F x y 及3 (,)F x y . （1） 2222 1x y a b +=；（2） 22 22 1x y a b -=；（3）2 2y px =；（4） 223520; x y x -++= （5）2 226740 x xy y x y -+-+-=.解：（1） 221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ?? ?； 121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =3(,)1F x y =-；（2） 221 0010 0001a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ； 121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =-；3 (,)1F x y =-.（3） 0001000p A p -?? ?= ? ?-?? ； 1(,)F x y p =-；2 (,)F x y y =；3 (,)F x y px =-；（4） 510 20 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??； 15(,)2F x y x =+ ；2 (,)3F x y y =-；3 5(,)22 F x y x =+；（5）
222420 x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点.解：详解 略.（1）4k <-；（2）1k =或3k =（3）1k =或5k =；（4） 4924 k >. §5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于 何种类型的（1） 22230 x xy y x y ++++=；（2） 22342250 x xy y x y ++--+=；（3）24230xy x y --+=. 解：（1）由2 2(,)20 X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:1:1 X Y =-或1:1-且属于抛物型的； （2）由2 2(,)3420 X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:(22):3 X Y i =-且属于椭圆型的； （3） 由(,)20X Y XY φ==得渐进方向为:1:0X Y =或0:1且属于双曲型的. 2. 判断下列曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线. （1）2 2224630 x xy y x y -+--+=；（2）2 2442210 x xy y x y -++--=； （3）2 281230 y x y ++-=；（4）2 296620 x xy y x y -+-+=.解：（1） 因为2 1110 12I -= =≠-，所以它为中心曲线； （2）因 为2 120 24 I -= =-且121 241-=≠--，所以它为无心曲线； （3）因为2 00002I = =且004 026 =≠，所以它为无心曲线； （4）因为2 930 3 1 I -==-且933312--==-，所以它为线心曲线；
第八章 平面解析几何 （时间120分钟，满分150分） 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分?在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的） 1 .抛物线y 2= ax （a 丰0）的焦点到其准线的距离是 C ? |a| 解析：由已知焦点到准线的距离为 p =鸟 答案：B 2.过点A(4, a)与B(5 , b)的直线与直线 y = x + m 平行，则|AB| = B. .2 b — a 解析：由题知 ----- =1, ?- b — a = 1. 5— 4 ???|AB|= (5-4)2+ (b — a)2= 2. 答案：B 答案: ax + 2by — 2 = 0(a >0, b >0)始终平分圆 x 2 + y 2 — 4x — 2y — 8 = 0 的周长，则* + f 的 最小值为 ( ) A . 1 B . 5 C . 4 2 D . 3+ 22 解析：由(x — 2)2+ (y — 1)2= 13,得圆心(2,1), ???直线平分圆的周长，即直线过圆心. ?? a + b = 1. 12 ,12 b 「2a ?-a + b = (a + b )(a + b )= 3 + a + T 》3 + 22 ， 当且仅当b =弓，即a = 2 — 1, b = 2 — 2时取等号， a b D .不确定 3.已知双曲线 2 2 X —y^= 1的离心率为e , 抛物线x = 2pf 的焦点为（e,0）,则p 的值为（ B . 1 1 Cd 解析: 依题意得e = 2，抛物线方程为 y2= 2p x ，故 8p = 2,得 p = 和 4.若直线
第七章空间解析几何 第一节作业 一、选择题(单选)： 1. 点M(2,-3,1)关于xoy平面的对称点是： (A)( -2,3,1 )；( B)( -2,-3,-1 )；(C)( 2,-3,-1 )；( D)( -2,-3,1 ) 答：() 2. 点M(4,-3,5)到x轴距离为： (A).. 42—(—3)2—52; (B) 3)2—52; (cr. 4252; (D) ： 4252. 答：() 、在yoz面上求与A(3,1,2),B(4,-2,-2) 和C(0,5,1)等距离的点。 第二节作业 设u a b c, v a b 2c.试用a, b, c表示2u 3v. 第三节作业 一、选择题(单选)： 已知两点M'2,2，?一2)和M2(1,3,0),则MM2的三个方向余弦为: 1 1 V 2 1 1 <2 1 1 42 1 1 V2 (A) , , ; (B) , , ; (C) —, , . (D) —，,. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 答：() 二、试解下列各题： 1. 一向量的终点为B( 2，-1，7),它在x轴，y轴，z轴上的投影依次为4, -4，4，求这向量的起点A的坐标。
2. 设m 3i 5 j 3k, n 2i j 4k, p 5i j 4k 求向量 a 4m 3n p 在x 轴 上的投影及在y 轴上的分向量. 3. 求平行于向量a 6,7, 6的单位向量 第四节作业 一、选择题（单选）： 1. 向量a 在b 上的投影为： 答:（） 2. 设a 与b 为非零向量，则a b 0是： （A ）a//b 的充要条件； （B ）a b 的充要条件； （C ） a b 的充要条件； （D ） a //b 的必要但不充分条件 答:（） 3.向量a,b,c 两两垂直，w —1- — a 1, b —1- J )2, C 3,则s a b c 的长度 为 (A)1 2 3 6; 2 2 2 (B)1 2 3 14; (C)J12 22 32 ; (D) J1 2 3 勺6. 答:（） (A) (B) -a a b (D)
第4章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 § 4.1柱面 1、已知柱面的准线为： ? ? ?=+-+=-+++-0225 )2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程 ?? ?=+-+=-+++-0 225 )2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(2 2 2 =-+++--z y y z 即 02 3 5622=- ---+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。 （2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线? ??==c z y x 的直线方程为： ??? ??=-=-=? ?? ? ??=+=+=z z t y y t x x z z t y y t x x 0 00000 而0M 在准线上，所以 ?? ?=+--+=-++-+--0 2225 )2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：026888232 22=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。 2、设柱面的准线为???=+=z x z y x 22 2，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。 解：由题意知：母线平行于矢量{ }2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为： ??? ??+==-=? ?? ? ??-==+=t z z y y t x x t z z y y t x x 220 0000
而0M 在准线上，所以： ?? ?+=-++=-) 2(2)2(2 2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010******* 22=--+++z x xz z y x , 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。 解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为 ())3 4,31,3 1(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为 )15 13 ,1511,152(0-- M ，圆的方程为： ????? =++= -++++0 7598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{ }1,1,1的直线方程为： ??? ??-=-=-=? ?? ? ??+=+=+=t z z t y y t x x t z z t y y t x x 1 11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到： 013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x 此即为所求的圆柱面的方程。 4、已知柱面的准线为 {})(),(),()(u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量 {}Z Y X ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： v u Y +=( 与 ?? ? ??+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。 证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 § 4.1柱面 1、已知柱面的准线为： ? ? ?=+-+=-+++-0225 )2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程 ?? ?=+-+=-+++-0 225 )2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(2 2 2 =-+++--z y y z 即：02 3 5622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。 （2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线? ??==c z y x 的直线方程为： ??? ??=-=-=? ?? ? ??=+=+=z z t y y t x x z z t y y t x x 0 00000 而0M 在准线上，所以 ?? ?=+--+=-++-+--0 2225 )2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：026888232 22=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。 2 而0M 在准线上，所以： ?? ?+=-++=-) 2(2)2(2 2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010******* 22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过 又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{ }1,1,1的直线方程为： ??? ??-=-=-=? ?? ? ??+=+=+=t z z t y y t x x t z z t y y t x x 1 11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到： 013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x 此即为所求的圆柱面的方程。 4、已知柱面的准线为{})(),(),((u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量{}Z Y X ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： S v u Y x +=)( 与 ?? ? ??+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。 证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，则， v M =' 即 1、求顶点在原点，准线为01,0122 =+-=+-z y z x 的锥面方程。 解：设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为： z Z y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去参数t ，得： 0)()(222=-+--y z y z z x 即：02 22=-+z y x 此为所要求的锥面方程。 2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,12 22=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。
第八章 空间解析几何与向量代数 §8.1向量及其线性运算 1.填空题 （1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）. （2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）. 2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21= M M ，方向余弦为2 2 cos = α，22cos =β，0cos =γ，方向角为4πα=，4π β=， 2 πγ=. 3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则 222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ， 即?????-+-+=-+-+-+=-+2 2222 2) 3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得???==33y z ，则该点 为)3,3,0(. 4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式. 解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为 29)4(32||222=-++=a ，所以)432(29 1k j i e a -+± =. 5. 已知点)6,2,1(-B 且向量在x 轴、y 轴和z 轴上的投影分别为1,4,4-， 求点A 的坐标. 解：设点A 的坐标为),,(z y x ，由题意可知)1,4,4()6,2,1(-=----z y x ，则5,6,5=-==z y x ，即点A 的坐标为)5,6,5(-. §8.2 数量积 向量积 1.若3 ),(,4||,3||π = ==Λ b a b a ，求b a c 23-=的模. 解：b b b a a b a a b a b a c 22233233)23()23(||2 ?+?-?-?=-?-=
第七章空间解析几何与向量代数[作业No.40] 班级 §1空间直角坐标系§2向量及其加减法，向量与数的乗法姓名________ 一、概念题 1、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限。 (】，-2, 3) ________ (2，- 3，- 4) _________ (- 1，- 3，- 5) _________ (-1, 5,- 3)____________ (2, 3,- 4)____________ (- 2,- 3, ]) _______________ (-5 , 3 , 1) _________ (3 , 4 , 6) _______________ 2、指出下列各点的位置。 A(3,4,0) ___________ B(0,4,3) ________ C(3,0,0) ___________ D(0,—1,0) ________ 3、指出当点的坐标适合下列条件之一时，该点所在的卦限。 点)在__________________ 上的对称点是1 5、点A (—4,3,5 )在％0『平面上的投影点为_________________________ 在ZOX平面上的投影点为 _______________ 在0X轴上的投影点为 _________________ 在oy轴上的投影点为__________________ 6、点P (—3,2,— 1)关于yoz平面的对称点为_______________________ 关于ZOX 平面的对称点为 ______________ 关于oy轴的对称点为_______________ 关于ox轴的对称点为_______________ 7、在y轴上与点A (1,—3,7 )和点B (5,7,—5 )等距离的点 为_______________ 8、u a b 2 c, v a 3b c，用a, b, c 表示2u 3v = __________________ 二、计算题：
第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ，2(,)F x y 及3(,)F x y . （1）22221x y a b +=；（2）22 221x y a b -=；（3）22y px =；（4）223520;x y x -++= （5）2226740x xy y x y -+-+-=.解：（1）221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ???；121(,)F x y x a =221 (,)F x y y b =3(,)1F x y =-；（2）2210010 000 1a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-；3(,)1F x y =-.（3）0001000p A p -?? ? = ? ? -?? ； 1(,)F x y p =-；2(,)F x y y =；3(,)F x y px =-；（4）51020 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??； 15(,)2F x y x =+；2(,)3F x y y =-；35 (,)22 F x y x =+；（5）1232 171227342 A ??-- ? ? ?=- ? ? ?-- ??? ；11(,)232F x y x y =- -；217(,)22F x y x y =-++；37(,)342 F x y x y =-+-. 2. 求二次曲线2 2 234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点.（1）550 x y --=
同济大学(高等数学)_第八章_向量代数与解 析几何 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第五篇 向量代数与空间解析几何 第八章 向量代数与空间解析几何 解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位. 本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容. 第1节 空间直角坐标系 1.1 空间直角坐标系 用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现. 1.1.1 空间直角坐标系 过定点O ，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x 轴(横轴）、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)，它们都以O 为原点且具有相同的长度单位. 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住z 轴，当右手的四指从x 轴的正向转过2 角度指向y 轴正向时，大拇指的指向就是z 轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为Oxyz 直角坐标系，点O 叫做坐标原点. 图8-1 在Oxyz 直角坐标系下，数轴Ox ,Oy ,Oz 统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为xOy ，yOz ，zOx ，三个坐标平面 y x z O
第八章 空间解析几何与向量代数答案 一、选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是（A ） A 5 B 3 C 6 D 9 2. 设a =（1,-1,3）, b =（2,-1,2），求c =3a -2b 是（ B ） A （-1,1,5）. B （-1,-1,5）. C （1,-1,5）. D （-1,-1,6）. 3. 设a =（1,-1,3）, b =（2, 1,-2），求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D -2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12 213+= -=z y x 的距离是：（ A ） A 138 B 118 C 158 D 1 7. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ?是：（ D ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D 3i -3j +3k 8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ） A 2 B 364 C 3 2 D 3 9. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是：（ D ） A 2x+3y=5=0 B x-y+1=0 C x+y+1=0 D 01=-+y x ． 10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）； A -+a b =a b ； B =a b ； C 0?a b =； D ?a b =0． 11、设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ） A a b a b +=+ B a b a b -=-
第4章 向量代数与空间解析几何练习题 习题4.1 一、选择题 1．将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点, 则这些向量的终点构成的图形是( ) （A ）直线； （B ） 线段； （C ） 圆； （D ） 球． 2．下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充要条件的是( ) （A ）a 与b 的内积等于零； （B ）a 与b 的外积等于零； （C ）对任意向量c 有混合积0)(=abc ； （D ）a 与b 的坐标对应成比例． 3．设向量a 的坐标为 31 3 , 则下列叙述中错误的是( ) （A ）向量a 的终点坐标为),,(z y x ； （B ）若O 为原点,且a =, 则点A 的坐标为),,(z y x ； （C ）向量a 的模长为2 22z y x ++；（D ） 向量)2/,2/,2/(z y x 与a 平行． 4．行列式2 13132 3 21的值为( ) （A ） 0 ； （B ） 1 ； （C ） 18 ； （D ） 18-． 5．对任意向量a 与b , 下列表达式中错误的是( ) （A ）||||a a -=； （B ）||||||b a b a +>+； （C ） ||||||b a b a ?≥?； （D ） ||||||b a b a ?≥?． 二、填空题 1．设在平行四边形ABCD 中，边BC 和CD 的中点分别为M 和N ，且p =，q =，则 BC =_______________，CD =__________________． 2．已知ABC ?三顶点的坐标分别为A(0，0，2)，B(8，0，0)，C(0，8，6)，则边BC 上的中线长为______________________． 3．空间中一动点移动时与点)0,0,2(A 和点)0,0,8(B 的距离相等, 则该点的轨迹方程是_______________________________________． 4．设力k j i F 532++=, 则F 将一个质点从)3,1,0(A 移到)1,6,3(,B 所做的功为____________________________． 5．已知)2,5,3(A , )4,7,1(B , )0,8,2(C , 则=?_____________________; =?____________________;ABC ?的面积为_________________． 三、计算题与证明题 1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ?+?+?．
第一章 矢量与坐标 §1.3 数量乘矢量 4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→ →→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→ → → → → → → → → → =+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→ AB 与→ BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线． 6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM , CN 可 以构成一个三角形. 证明： )(21 AC AB AL += Θ )(21 BC BA BM += )(2 1 CB CA CN += 0)(2 1 =+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL 7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 OB OA ++OC =OL +OM +ON . [证明] LA OL OA +=Θ MB OM OB += NC ON OC += )(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++CN BM AL ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。 8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明 OA +OB +OC +OD ＝4OM . [证明]：因为OM ＝ 21 (OA +OC ), OM ＝2 1 (OB +OD ), 所以 2OM ＝2 1 (OA +OB +OC +OD ) 所以 OA +OB +OC +OD ＝4OM . 10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 图1-5
第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：
042:=+-+z y x π. 解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--， 所以，它的截距式方程为： 14 24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-， ∴ 所求平面的参数式方程为： 3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： 0=++CZ BY AX . 证明： 不妨设0≠A ， 则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为： 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A C A B --， 从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： ，}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面? ? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标. 解： Θ }5,2,3{z +-= 而平行于0147=--+z y x 由题3知：0)5(427)3(=+-?+?-z 从而18=z . 5. 求下列平面的一般方程. ⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面;
第七章 空间解析几何与向量代数 §7.1空间直角坐标系 一. 空间点的直角坐标 右手系 坐标轴，坐标面，卦限 空间点的直角坐标 横坐标，纵坐标和竖坐标 二.空间两点的距离 设M 1 X i , y i , z i ,M 2 X 2,y 2,Z 2 为空间两点 特殊地，点M X, y,z 与坐标原点O 0,0,0的距离 .向量的概念 1 .定义 3 .自由向量 4 .零向量 单位向量 零向量的方向可以看作是任意的 二.向量的加减法 (1 )交换律:a b b a 的负向量：记 a 大小相等，方向相 反 三.向量与数的乖法 1 .定义 2 .运算规律 (1 )结合律: (2 )分配律: (2 )结合律:(a b) c a (b c) 1. 2. 3. =J 2 X 2 X 1 y 2 2 y i Z 2 2 Z i D = J x 2 y 2 z 2 §7 .2向量及其加减法 向量与数的乘法 2 .向径：OM 叫点M 对于点O 的向径
定理1 .设向量a 0，那么，向量b//a 存在唯一的实数 ，使b a 注：(1 ). b 可以为零向量，此时 0 (2 ).规定零向量与任何向量都平行 3 .与a 同方向的单位向量：a 0 一. 向量在轴上的投影 1 .轴u 上有向线段 AB 的值.记AB 2.点A 在轴U 上的投影 * 3 .向量在.轴U 上的投影，记prj u AB 二. 向量的坐标 1 . P 1P 2 Q i Q 2 R i R 2 2 .向量a 的坐标 a a x , a y , a z a x ，a y , a z 为a 在x,y,z 轴上的投影 上式叫向量a 的坐标表示式 §7 .3 向量的坐标 AB * 4 .（性质1 ）投影T h 向量AB 在轴 u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角 的余弦：prj u AB AB cos 5.（性质2 ） prj prj a prj b 6 .（性质3 ） prj prj a M 1M 2 M 1P M i Q M i R X 2 X 1 y 2 * j 上式称为向量基本单位向量的分解式
第七章空间解析几何与向量代数内容概要
习题7-1 ★★1．填空： （1） 要使b a b a -=+成立，向量b a , 应满足b a ⊥ （2） 要使 b a b a +=+成立，向量b a , 应满足 //b a ，且同向 ★2．设c b a v c b a u -+-=+-=3 , 2，试用c b a , , 表示向量v u 32- 知识点：向量的线性运算 解：c b a c b a c b a v u 711539342232+-=+-++-=- ★3．设Q , P 两点的向径分别为21 , r r ，点 R 在线段PQ 上，且 n m RQ PR = ，证明点R 的向径为 n m m n += +r r r 12 知识点：向量的线性运算 证明：在OPQ ?中，根据三角形法则PQ OP OQ =-，又)(21r r -+=+= n m m n m m ， ∴n m m n n m m PR OP OR ++=-++ =+=22r r r r r 1 11)( ★★4．已知菱形 ABCD 的对角线b a ==B , ，试用向量b a , 表示 , , , 。 知识点：向量的线性运算 解：根据三角形法则， b a ==-==+B D AD , AB AC BC AB ，又ABCD 为菱形， ∴ =（自由向量）， ∴222 AB AC BD AB CD DC AB --=-=-?=?=-=-= u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b b a a b ∴2b a +==，2 DA +=-u u u r a b ★★5．把ABC ?的BC 边五等分，设分点依次为4321 , , , D D D D ，再把各分点与点 A 连接，试以 a c ==BC AB , 表示向量 , , 321A D A D A D 和A D 4。
第七章向量代数与空间解析几何 （一）空间直角坐标系、向量及其线性运算 一、判断题 1．点（ -1， -2， -3）是在第八卦限。（）2．任何向量都有确定的方向。（） 3．任二向量a,b，若a b .则 a = b 同向。() 4．若二向量a,b满足关系a b = a + b ,则 a,b 同向。（）5．若a b a c, 则b c() 6．向量a, b满足a = b ，则a, b同向。（）a b 7．若a ={ a x,a y, a z } ，则平行于向量 a 的单位向量为{a x，a y ， a z }。（） | a || a || a | 8．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。(） 二、填空题 1．点（ 2， 1， -3）关于坐标原点对称的点是 2．点（ 4， 3， -5）在坐标面上的投影点是 M （0， 3， -5） 3．点（ 5， -3， 2）关于的对称点是 M（ 5， -3， -2）。 4．设向量 a 与 b 有共同的始点，则与a, b 共面且平分 a 与 b 的夹角的向量为 5．已知向量 a 与 b 方向相反，且 | b | 2 | a | ，则 b 由 a 表示为 b =。 6．设 a =4， a 与轴l的夹角为，则 prj l a= 6 7．已知平行四边形ABCD 的两个顶点 A （2， -3，-5）、 B（ -1， 3， 2）。以及它的对角线交点 E（ 4，-1，7），则顶点 C 的坐标为，则顶点 D 的坐标为。8．设向量 a 与坐标轴正向的夹角为、、，且已知=60，=120。则= 9．设 a 的方向角为、、，满足 cos=1时， a 垂直于坐标面。 三、选择题 1．点（ 4，-3， 5）到oy轴的距离为 （A）42( 3)252（ B）( 3)252 （C）42( 3)2（D）4252 2．已知梯形 OABC 、CB // OA且CB =1 OA 设 OA = a ， OC = b ，则 AB 2 =
第七章空间解析几何与向量代数 一、填空题 1. 平行于={1，1，1}的单位向量= 2. 设向量a = (2,-1,4)与b = (1,k,2)垂直, 则k = 3.已知向量与向量平行，则＝ 4.已知=3，=26， =72,则=_________； 5.已知（）=，且=1，=2，则 =______________； 6. 平面与平面互相垂直的充要条件是 ;若上两平面互相平行，则充要条件是 7.分别按下列条件求平面方程： （1）平行于XOZ平面且通过点（2，－5，3）的平面方程： （2）平行于轴且经过点（4，0，－2），（5，1，7）的平面方程：（3）过点（-3，1，-2）和Z轴.的平面方程： 8. 平面与直线平行,则k = 9. 过点,且平行于向量a = (2,1,-1) 及 b = ( 3,0,4) 的平面方程为 10.过两点（3，－2，1）和（－1，0，2）的直线方程为 二、选择题 1、若为共线的单位向量，则它们的数量积 =（ ）. （A） 1； （B）-1； （C） 0； （D）. 2、向量与二向量的位置关系是（ ）. （A） 共面； （B）共线； （C） 垂直； （D）斜交 . 3、设λ,其中，若⊥，则λ＝（ B ） A. 2 B. C. D. 1 4.设与为非零向量，则是（） A. 的充要条件 B.⊥的充要条件 C. ∥的充要条件 D. ∥的必要但不充分条件 5. 设与为非零向量，则是（） A. 的充要条件 B.⊥的充要条件 C. ∥的充要条件 D. ∥的必要但不充分条件 6. 若平面方程为，其中A,C,D均不为零，则平面（） A. 平行于x轴 B. 平行于y轴 C. 经过x轴 D. 经过y轴 三、计算题 1.求过点 和直线 的平面方程
解析几何第四版吕林根 课后习题答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1） }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又 }3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：
《空间解析几何》学习指导 一、教学目的与课程性质、任务。 《空间解析几何》是数学教育专业专业开设的一门重要基础数学课，它具有逻辑推理的严密性和实际应用的广泛性。本课程的基本概念、基本方法和基本理论是学习后继课程所必备的数学基础，同时本课程对于培养学生的严密的逻辑推理能力，抽象的思维表达能力，空间想象能力以及解决实际问题的能力都有着十分重要的意义。本课程使学生切实体会“代数”与“几何”的密切关系，学会并掌握以代数为工具研究几何问题以及为代数问题寻找直观的几何背景。 二、教学要求 通过这门课程的学习，使学生能够比较系统地掌握几何向量，n维向量的基本概念、基本方法和基本运算技巧。逐步培养学生抽象思维能力，逻辑推理能力，运算技能，并且能运用所学知识解决实际问题。具体要求如下： 第一章向量与坐标 1 使掌握矢量的概念和记法，矢量相等和反矢量的概念 2 了解共线矢量及共面矢量等有关概念 3 掌握矢量加法的三角形法则和平行四边形法则 4理解矢量加法的运算律，矢量减法的定义 5理解数乘矢量的概念，掌握数乘矢量含义及运算律 6理解线性相关和线性无关的含义 7根据矢量的线性组合、线性相关判断矢量的几何关系. 8掌握空间标架的构成及坐标系的概念，掌握空间点和矢量坐标的定义，坐标与矢量的关系 9掌握投影与矢量模及夹角的关系. 10利用数积判断两矢量是否垂直；掌握矢量模的计算和两矢量夹角的计算11了解矢量的矢性积的概念，掌握矢积的计算；矢积坐标的公式；能利用矢积判断两矢量是否共线 12了解矢量的混合积的概念，掌握混合积与矢量坐标的关系 第二章轨迹与方程 1系统地理解曲面方程的概念，掌握矢量方程和参数方程的求法及关系 2系统地理解母线平行于坐标轴的柱面方程的概念，掌握其方程的特征 3掌握空间曲线的一般方程和参数方程的概念及求法，空间曲线在坐标面上的投影及求法 4 了解螺旋线的方程. 第三章平面与空间曲线 1 认识平面方程的几种形式：（1）点法式方程，（2）一般式方程，（3）参数式方程，（4）法式化方程 2 熟练掌握平面方程几种形式的求法 3 熟练掌握点到平面的距离公式 4 熟练掌握平面与平面的夹角公式