数学建模优秀论文--基于遗传算法的机组组合问题的建模与求解摘要
本文针对当前科技水平不足以有效存储电力的情况下产生的发电机机组组合的问题，考虑负荷平衡、输电线传输容量限制等实际情况产生的约束条件，建立机组组合优化模型，追求发电成本最小。同时采用矩阵实数编码遗传算法（MRCGA）和穷举搜索算法，利用MATLAB 7.0.1和C++编程，分别对模型进行求解，并对所得结果进行分析比较，以此来帮助电力部门制定机组启停计划。
首先，建立发电成本最小目标函数和各项约束条件的数学表达式。其中机组空载成本和增量成本之和随该机组发电出力增长呈折线关系，在分析计算时为了简便，本文采用一条平滑的二次曲线来近似代替。
对于问题1，选取相应的约束条件对目标函数进行约束，从而给出优化模型Ⅰ。由于问题1的求解规模很小，所以采用穷举搜索算法，利用C++编程求解，得到了3母线系统4小时的最优机组组合计划（见表一）。
对于问题2，在优化模型Ⅰ的基础上，增加最小稳定运行出力约束、机组启动和停运时的出力约束以及机组最小运行时间和最小停运时间约束这三个约束条件，建立了优化模型II。同时采用遗传算法和穷举搜索算法，利用MATLAB和C++编程，分别对模型进行求解，部分结果如下：
发电总成本（单位：元）
矩阵实数编码遗传算法6780
穷举搜索算法6820
在对所得结果进行了分析比较，重新制定了3母线系统4小时最优机组组合计划（见表三）。
对于问题3，用IEEE118系统对优化模型II进行测试。由于求解规模巨大，同样采用遗传算法和穷举搜索算法，利用MATLAB和C++编程，分别对模型进行求解，部分结果如下：
发电总成本（单位：百万）
矩阵实数编码遗传算法 2.034
穷举搜索算法 2.135
在对所得结果进行比较时发现对于大规模问题，遗传算法优势明显，将其求解结果作为24小时的最优机组组合计划（见附录）。
最后，我们就模型存在的不足之处提出了改进方案，并对优缺点进行了分析。
关键字机组组合优化模型矩阵实数编码遗传算法穷举搜索算法
一、问题的提出
当前的科学技术还不能有效地存储电力，所以电力生产和消费在任何时刻都要相
等，否则就会威胁电力系统安全运行。为了能够实时平衡变化剧烈的电力负荷，电力部
门往往需要根据预测的未来电力负荷安排发电机组起停计划，在满足电力系统安全运行
条件下，追求发电成本最小。
在没有电力负荷损耗以及一个小时之内的电力负荷和发电机出力均不变的前提下，
假定所有发电机组的发电成本都是由3部分组成:1.启动成本（Startup Cost），2.空载成本
（No load cost），3.增量成本（Incremental Cost）。需要考虑的约束有: 1．负荷平衡约束
2．系统备用约束3．输电线路传输容量约束4．发电机组出力范围约束5．机组增出力约束6．机组降出力约束。
问题1：3母线系统
有一个3母线系统，其中有2台机组、1个负荷和3条输电线路，已知4个小时的负荷和系统备用要求。请求出这4个小时的最优机组组合计划。最终结果应该包括总成本、各小时各机组的状态、各小时各机组的发电出力和各小时各机组提供的备用。
G1
L Bus 2 Bus 1
Bus 0
G2
Line 0-1
Line 0-2 Line 1-2
问题2：3母线系统
在问题1的基础上，考虑发电机组的下列物理特性约束:1.发电机组的稳定出力范围约束2.机组启动时的出力约束3.机组停运时的出力约束4.机组最小运行时间约束5.机组最小停运时间约束。重新制定最优机组组合计划。
问题3：IEEE 118系统
用IEEE－118节点的电力系统对问题2的求解模型进行测试，试求出24个小时的最优机组组合计划。最终结果应该包括总成本、各小时各机组的状态、各小时各机组的发电出力和各小时各机组提供的备用。
二、问题的分析
机组优化组合和优化启停就是要在满足约束条件的情况下，优化地选定各时段参加运行的机组，求出机组的最佳运行方案，实现发电成本最小。
然而，机组组合问题是一个多变量、多约束的混合整数非线性规划问题。针对此类问题的求解，数学类优化方法如线性规划、非线性规划、动态规划等，都存在明显不足之处。而采用智能优化算法对此问题的研究较多，主要包括遗传算法、模拟退火算法、禁忌搜索、人工神经网络、模糊优化等算法。其中模拟退火算法收敛速度慢、禁忌搜索
算法对初始解依赖性较强、人工神经网络算法存在网络合适的隐含层数目和节点数目难以确定、模糊优化方法的隶属函数和模糊推理规则的确定较困难。鉴于遗传算法作为一种新的全局 优化搜索算法，以其简单通用、鲁棒性强、适于并行处理及应用范围广等显著特点，本文采用基于矩阵实数编码遗传算法来解决机组组合问题。
可以将整个问题分为以下两个任务来完成： 一、 建立机组组合问题的数学模型 二、 采用穷举搜索法和遗传算法，利用C++或者MATLAB 编程，求解模型，得到最优机组组合计划
由于题目中的三个问题所考虑的约束条件复杂程度不同，发电机组数与负荷情况也不相同，本文将三个问题逐一建立模型并求解：
问题1
根据负荷平衡、系统备用、输电线路传输容量、发电机组出力范围、机组增出力、机组降出力等约束建立优化模型I ，采用穷举搜索算法，利用C++编程进行求解。
问题2和问题3 在问题1的基础上，增加机组启动和停运时的出力、机组最小运行时间和最小停运时间约束条件，建立了优化模型II ，采用穷举搜索法和遗传算法，分别利用C++和MATLAB 编程进行求解。
三、模型假设和符号系统
3.1 模型假设
1. 假设系统不存在电力负荷损耗
2. 假设一个小时之内的电力负荷和发电机出力均不变
3. 假设参加交叉运算的染色体个数占全体染色体总数的比例为0.4~0.99
4. 假设发生变异的基因位数所占全体染色体的基因总位数的比例为0.0001~0.1 3.2 符号系统
it u 为机组i 在t 时段的运行状态，10it u ?=??，表示运行
，表示停机
i S 为机组i 的启动成本 it f 为机组i 在t 时段的发电成本 it p 为机组i 在t 时段的出力； jt L 为负荷j 在t 时段的负荷量；
max i p 为发电机组i 的最大出力；
t R 为t 时段系统备用要求；
linek p 为线路linek 上流过的电能；
kl x 为第k 根输电线路第l 条母线的线性传输因子； ,inj busl p 为母线l 上的注入功率；
max k p 为第根输电线路的最大传输容量； min i p 发电机组最小稳定运行出力； di r 为机组i 最大减出力； ri r 为机组i 最大增出力； 1i T 为机组i 最小运行时间； 2i T 为机组i 最小停运时间；
四、模型的建立与求解
4.1模型建立分析
4.1.1先考虑目标函数
1) 空载成本和增量成本
观察空载成本和增量成本构成的部分成本随该机组发电出力变化特性图，如图一中折线所示。
图一 空载成本和增量成本之和随该机组发电出力增长走势图
在分析计算时为了简便，通常用一条平滑曲线来近似代替有起伏的部分成本特性，如图一中平画曲线所示。当n 段直线近似表示时，部分成本特性可表示为
()()2
it it i it i it i f p a p b p c =++ （1）
2) 启动成本
()()
11it i i t u u S -- （2）
其中：it u 为机组i 在t 时段的运行状态，10it u ?=??，表示运行
，表示停机
i S 为机组i 的启动成本
3) 目标函数
机组组合的目的是针对在指定的周期内，满足系统负荷、备用容量、机组最小时间和最小停机时间等限制，优化确定各机组的启停机计划和优化分配其发电负荷，使发电总费用最小。因此，要以机组的费用最小为依据建立相应的目标函数。
设所研究的计划周期为T ，机组台数为n ，则该问题的目标函数可以表示为:
()()()
111
min 1T
n
it it it it i i t t i F u f p u u S -==??=+-??∑∑ （3）
其中：it f 为机组i 在t 时段的发电成本 4.1.2再考虑约束条件
1) 负荷平衡约束
任何时段，电力负荷之和必须等于发电机发电出力之和。
1
1
n
m
it
it jt i j u
p L ===∑∑ （4）
其中：it u 为机组i 在t 时段的运行状态，10it u ?=??
，表示运行
，表示停机；
it p 为机组i 在t 时段的出力； jt L 为负荷j 在t 时段的负荷量；
2) 系统备用约束
任何时段，发电机的备用容量之和必须大于系统备用要求。
()max
1
n
it i it t i u p
p R =->∑ （5）
其中：max i p 为发电机组i 的最大出力；
t R 为t 时段系统备用要求；
3) 输电线路传输容量约束
线路传输的电能必须在它的传输容量范围内。
,max 0
N
linek kl inj busl k l p x p p -==≤∑ （6）
其中：linek p 为线路linek 上流过的电能；
kl x 为第k 根输电线路第l 条母线的线性传输因子； ,inj busl p 为母线l 上的注入功率；
max k p -为第根输电线路的最大传输容量；
4) 发电机组出力范围约束与稳定出力范围约束
处于运行状态的发电机组的发电出力必须小于其最大发电出力，同时必须大于其最小稳定运行出力。
min max i it i p p p << （7）
其中：min i p 发电机组最小稳定运行出力；
5) 机组增降出力约束
发电机组在增加发电出力时，增加出力的速度要小于其最大增出力；发电机组在减少发电出力时，减少出力的速度要小于其最大减出力。
()()
111di it ri i t r p p r --*<-<* （8）
其中：di r 为机组i 最大减出力；
ri r 为机组i 最大增出力；
6) 机组启动和停运时的出力约束
当机组从停运状态变为运行状态时，机组在该小时的发电出力必须为其最小稳定运行出力，且当机组从运行状态变为停运状态时，机组在该小时的发电出力必须为其最小稳定运行出力。
()()min 11it i it it i t i t p p u u u u -+=如果=0且=1；或=1且=0 （9）
7) 机组最小运行时间和最小停运时间约束
机组每次启动后，连续运行时间至少为该台机组的最小运行时间。机组每次停运后，连续停运时间至少为该台机组的最小停运时间。
()()()11
111i t it
ij
i i t i t j t T u u u u
T ---=--≥∑ （10）
()
()2
1
211i t it it ij i i t j t T u u u u T --=---≥∑
（11）
其中：1i T 为机组i 最小运行时间；
2i T 为机组i 最小停运时间；
4.2模型及其求解
问题1 1） 优化模型Ⅰ
问题1中的3母线系统仅考虑负荷平衡约束 系统备用约束、输电线路传输容量约束、发电机组出力范围约束与稳定出力范围约束和机组增降出力约束，所建优化方程模型如下。
()()()
111
min 1T
n
it it it it i i t t i F u f p u u S -==??=+-??∑∑ （12）
.s t
()()()
11
max 1
,max
0max
1..1101n
m
it it jt
i j n
it i it i N linek kl inj busl k l it i di
it ri i t it
u p L u p p R s t p x p
p p p r p p r u ===-=-?=???->???
?=≤??
it it i it i it i f p a p b p c =++
i S 为机组i 的启动成本；
2)优化模型Ⅰ的求解算法
机组组合问题在数学规划上属于NP 完全问题，任何NP 完全问题只有通过列举所有可能的组合，才能得到最优解，即采用穷举搜索法。由于问题1的求解规模不大，所以该问题将采用穷举搜索法对模型进行求解。我们设置一计数器T （1234T =、、、）用以记录机组已运行的时间。
Step1. 读取各机组和负荷的原始数据。另1T =。
Step2. 设置机组1的第T 小时的出力大小（从小到大依次搜索，跨度为1），使其
出力大小的变化满足增出力约束和降出力约束。
Step3. 判断机组1是否满足其出力范围约束。若满足则继续下一步，否则，重复
步骤2。
Step4.根据系统负荷平衡约束，求出机组2的出力大小。
Step5.判断机组2出力大小的变化和出力范围是否满足增出力约束、降出力约束和出力范围约束。若满足则继续下一步，否则重复步骤2、3、4。
Step6.判断机组1和机组2是否满足系统备用约束，若满足则继续下一步，否则重复步骤2、3、4、5。
Step7.判断机组1和机组2是否满足输电线路传输容量约束，若满足继续下一步，否则重复步骤2、3、4、5、6。
Step8.判断计数器T是否为4，若是则输出该种情况下两台机组各时段出力大小，否则重复步骤2、3、4、5、6、7，另1
T T
=+。直到所有的情况搜索完毕为止。
执行完该算法，可以得到一最优机组组合计划。
3)模型求解与分析
我们根据上面的算法步骤，我们编C++程序（附录1），并代入各机组和负荷的初始数据。可以得到一总成本为6580￥的最优机组组合计划，如表一所示：
表一3母线系统的最优机组组合计划
机组G1机组G2
小时1
状态运行关机出力(MW)100 0
备用(MW)100 0 2
状态运行关机出力(MW)130 0
备用(MW)70 0 3
状态运行运行出力(MW)130 40
备用(MW)70 60 4
状态运行关机出力(MW)140 0
备用(MW)60 0 总成本(￥) 6580
使用穷举搜索法对该问题虽然能得出结果，但其运行效率太低，不能用于求解大规模问题，且编程实现较复杂，不是一种优良的算法。
问题2和问题3
1）优化模型Ⅱ
问题2和问题3的优化模型为
()()()
111
min 1T
n
it it it it i i t t i F u f p u u S -==??=+-??∑∑ （14）
.s t
()()
()
()()()()()
()()
1
11
max 1
,max
0max 1min 1111111..11011i n
m
it it jt
i j n
it i it i N linek kl inj busl k l it i di it ri i t it it i it it i t i t t it ij i i t i t j t T it it i i t u p L u p p R p x p p p p s t r p p r u p p u u u u u u u u T u u u u ===-=--+---=
--=->=≤<-*<-<*=-≥--∑∑∑∑∑为或者如果=0且=1；或=1且=021
2
i t j i j t T T -=-???????
??
??
??
??
?????
?
≥??
∑ （15） 2）求解算法
对于问题2和3，我们同时采用穷举搜索法和遗传算法两种算法进行求解，并将求得结果进行比较，以比较两种算法的优劣。穷举搜索法的算法思想与问题1的求解算法思想一致。遗传算法的流程图如图二所示。
图二 遗传算法流程图
矩阵实数编码遗传算法的描述：
Step1. 针对机组组合问题的矩阵实数编码
算法开始
编码
确定适应值函数
产生初始种群
计算适应值函数 适应值定标
满足终止条件？
解码
确定最优解
输出最优解
算法结束
选择 交叉 变异
是
否
本文以要安排发电机组起停计划作为遗传算法中的个体，采用实数矩阵形式进行编码。其具体形式为
[][]
11121121222212121212
,,...,,...,,,...,,...,t T t T T
k t T i n i i it iT n n nt
nT p p p p p p p p G V V V V R R R R p p p p p p p p ??
??????
===??????????
?
? （16） 其中：k G 为遗传种群中的第k 个个体
it p 为编码矩阵中的第i 行第t 列元素，含义为发电机组i 在t 时段的发电出力 t V 为编码矩阵中的第t 个列向量，含义为t 时段内发电机组间的负荷分配情况 i R 为编码矩阵中的第i 个行向量，含义为发电机组i 在发电计划制定周期内
的出力过程
发电机组的运行状态取决于矩阵中元素的具体取值，即根据机组在某时段中的出力大小来确定启停状态，具体表达式为
0,01,
it it p u =?=?
?其他
（17）
Step2. 遗传种群初始化
遗传种群初始化时，按编码矩阵中列向量的顺序进行。以k G 中t V 为例，初始过程如下：
（1）生成服从均匀分布的随机数数组
[]12R=r ,,...,,...,i n r r r 1,2,.
..,i n = （18） 其中：i r 为在发电机组i 最大最小出力之间随机生成的正数 （2）计算百分比系数数组Per
[]12,,...,,...,i n per per per per per = （19）
其中：1
i
i n
i
i r per r
==
∑ 1,2,...
,i n = （3）初始化各台发电机组的出力，即初始化t V
[]12,,...,,...,T
t t t it nt V p p p p = （20）
其中：it i jt p per L = 1,2,...,
i n = jt L 为负荷j 在t 时段的负荷量
Step3. 个体调整方法
在进行个体调整时按列向量的先后顺序进行。以个体k G 中t V 为例，具体调整措施如下：
（1）根据机组组合问题对精度的要求，对t V 列中的各个元素保留
（2）调整t V 列中的元素取值，使其满足相应发电机组出力范围约束。其方法如下：
max max
min max
1min min max
,
,,0,
i it i it
i it i it i i it i p p p p p p p p p p p p λ>??≤≤?=?≤≤???其他
（21）
其中：it p 为调整前发电机组i 在t 时段的发电出力
1it p 为调整后发电机组i 在t 时段的发电出力
λ为介于0、1之间的常数，本文取0.6λ=
min i p 发电机组i 最小稳定运行出力； max i p 发电机组i 最大出力；
（3）调整t V 列中的元素取值，使其满足相应发电机组的增出力和降出力约束约束。具体如下：
1112
1111111,,,it ri it it ri it it di it it di it it di
it it ri p r p p r p p r p p r p p r p p r
------?+>+?
=-<-??-≤≤+? （22） 其中：1it p 为前一步调整完成的发电机组i 在t 时段的发电出力
2it p 为此步调整后的发电机组i 在t 时段的发电出力
di r 为机组i 最大减出力 ri r 为机组i 最大增出力
（4）调整发电机组启停状态使其满足系统备用约束。具体调整方法如下： 当
(
)m a x 1
n
i t i i t
t
i u p p R =-≤∑时，增开发电机组，令新投入运行的发电机组发电出力为其最小出力，直至满足系统备用约束为止。其中，t R 为t 时段系统备用要求
（5）经过上述三步调整后，t V 列中所有元素的总和可能不等于t 时段中的系统总负荷。因此要进行负荷分配的调整。具体的调整办法为：当1
1
n
m
it it jt i j u p L ==<∑∑时，通过增加
运行发电机组出力来满足负荷平衡约束；反之，若1
1
n m
it it jt i j u p L ==>∑∑，则降低运行发电机
组的出力。此步调整中，只能在发电机组的最大出力允许范围内进行调整，不能改变机
组的运行状态。
（6）算法趋于收敛时，若发电机组的出力过程不满足最小运行、停运时间约束条件，则通过调整违反约束发电机组的运行状态满足此项约束条件，即：
()()()11
111i t it
ij
i i t i t j t T u u u u
T ---=--<∑时，延长发电机组i 的运行时间；
()
()2
1
211i t it it ij i i t j t T u u u u T --=---<∑
时，
采用将发电机组i 违反约束的全部停运状态转变为运行状态的方式来满足约束条件，并令相应的出力为机组i 的最小出力。
其中：1i T 为机组i 最小运行时间；
2i T 为机组i 最小停运时间；
Step4. 适度函数的选取
采用个体调整方法后，在求解的过程中只有发电机组的最小运行、停运时间约束条
件可能得不到满足。为了加快算法收敛，本文的适度函数采用如下形式：
()()
itness k n
i i A f G F m S δ=
+∑ （23）
其中：i S 为发电机组i 违反最小运行或停运时间约束条件时的惩罚量，本文取i S 为机组i 的启动成本；δ为惩罚因子，本文取2δ=；m 为违反此项约束的次数；A 为正常数，本文取61.010A =?。其含义为：发电机组i 违反1次最小运行时间或停运时间约束，便以机组i 的2δ=倍的启动成本i S 进行惩罚。
Step5. 选择－复制
（1）群体中各个体的选择概率
选择概率的计算公式为：
1
()
()()
itness i i n
itness
j j f x P x f
x ==
∑ （24）
其中：()i P x 为第i 个体的选择概率
i x 为第i 个个体，即本文中机组i 各个时段的发电出力
（2）赌轮选择法
赌轮选择法用下面的子过程来模拟：
① 在[]0,1区间内产生一个均匀分布的随机数r ； ② 若1r q ≤,则染色体1x 被选中；
③ 若1(2)k k q r q k n -<≤≤≤, 则染色体k x 被选中。 其中i q 称为染色体(1,2,...,)i x i n =的积累概率, 其计算公式为
1()i
i j j q P x ==∑ （25）
Step6. 交叉
通过Step5.在父代中选择交配个体后，将准备进行交叉操作的父代个体表示为
11111
11222222
12,,...,,...,2,,...,,...,C C C C C t T C C C C C t T C G V V V V C G V V V V ??==??
??==??
（26）
交叉操作产生的个体记为1C 、2C ，保留到子代中的个体记为1O 、2O 。本文的交叉操作是在2个父代个体奇数列与偶数列之间进行的。具体操作过程为：
（1）生成随机数,(0,1)αα∈；生成随机交叉位,1j j T ≤≤。 （2）交叉操作生成个体1D 、2D ，其表达式为
1111211
112112221222
21211,,...,,(1),,...,,,...,,(1),,...,C C C C C C C j j j j T C C C C C C C j j j j T D V V V V V V V D V V V V V V V αααα-+-+??=-+??
??=+-??
（27）
（3）对交叉生成的个体依照Step3.个体调整方法进行个体调整，然后计算出1D 、2
D
的适度值。
（4）采用局部锦标赛选择法在父代个体和交叉产生的个体间进行子代选择，具体方法如下：
}{}
{111222max (),()max (),()itness itness itness itness O f C f D O f C f D ==== （28）
Step7. 变异
通过Step6.个体交叉后，将准备进行变异的父代个体表示为
1111
1122222
212,,...,,...,,,...,,...,O O O O t T O O O O t T E V V V V E V V V V ??=??
??=??
（29）
变异后产生的个体记为1F 、2F ，保留到子代中的个体记为1I 、2I 。 本文只对某列进行变异处理。具体操作过程为： （1） 生成随机变异因子,(0.0450.055)ββ≤≤； 生成随机变异时段,(1)T γγγ≤≤且为整数；
生成随机变异个体选择因子1,,()0ηη?=??个体发生变异
，个体未发生变异
（2）变异后生成个体1E 、2E ，其表达式为
111111
1121222222
2121,,...,(1),,...,,,...,(1),,...,O O O O O O T O O O O O O T H V V V V V V H V V V V V V γγγγγγηβηηβη++??=+-??
??=+-??
（30）
（3）对变异后生成的个体依照Step3.个体调整方法进行个体调整，然后计算出1H 、
2H 的适度值。
（4）采用局部锦标赛选择法在父代个体和变异产生的个体间进行子代选择，具体
方法如下：
}{}
{111222max (),()max (),()itness itness itness itness I f E f H I f E f H ==== （31）
S t e p 8. 终止条件
遗传算法的终止条件有两类常见条件：
第一类：采用设定最大遗传代数的方法，一般可设为50代，此时就可能得出最优解。
第二类：根据个体的差异来判断，通过计算种群中基因多样性测度，即所有基因位
相似程度来进行控制。
本文采用第一类方法，将1I 、2I 个体依照Step3.个体调整方法进行个体调整，然后计算出对应的适度值，直到第G 代，循环迭代结束，输出最优解Tc0。
3)模型求解
利用穷举搜索法和遗传算法可以分别求解问题1和2。 问题2
利用C++程序对穷举搜索法进行实现，然后求解，所得结果如表二所示。
表二 问题二穷举搜索法求解结果
机组G1 机组G2
小时
1 状态 运行 关机 出力(MW) 100 0 备用(MW) 100 0
2 状态 运行 运行 出力(MW) 110 20 备用(MW) 90 80
3 状态 运行 运行 出力(MW) 110 60 备用(MW) 90 40
4 状态 运行 运行 出力(MW) 100 40 备用(MW) 100 60 总成本(￥) 6820
利用MATLAB 程序对遗传进行实现，然后求解。由于遗传算法具有随机性，所程序每次运行所得的结果有略微差别，我们从多次运行的解中选取总成本最小的一组机组组合计划，结果如表三所示。
表三 问题二遗传算法求解结果
机组G1 机组G2
小时
1 状态 运行 关机 出力(MW) 100 0 备用(MW) 100 0
2 状态 运行 关机 出力(MW) 130 0 备用(MW) 70 0
3 状态 运行 运行 出力(MW) 150 20 备用(MW) 50 80
4 状态 运行 运行 出力(MW) 120 20 备用(MW) 80 80 总成本(￥) 6780
从问题2两种算法的求解结果中我们可以发现，遗传算法的求解结果优于穷举搜索法，但遗传算法有一定的随机性，有时需多运行几次才能得到最优解。且遗传算法比穷举搜索法更容易实现。
问题3
利用穷举搜索法和矩阵实数编码遗传算法分别求解问题3。
穷举搜索法求解结果见附录三。
由于矩阵实数编码遗传算法得到的成本最小值具有一定的随机性，且随算法中迭代次数的变化而变化，所程序每次运行所得的结果有略微差别。为求得更为精确的结果，我们变换迭代次数，以判断迭代多少次为最优（这里取30、50、100次的结果），见图三、四、五，详细结果见附录四、五
图三迭代30次的运行结果
图四迭代50次的运行结果
图五迭代100次的运行结果
我们从多次运行的结果中选取最优机组组合计划，使用矩阵实数编码遗传算法求得的最优解为迭代次数为50次（总成本、各小时各机组的状态、各小时各机组的发电出力和各小时提供的备用）见附录五
从问题3的求解结果中，通过不同迭代次数之间的比较以及穷举搜索法与矩阵实数编码遗传算法的对比分析，看出矩阵实数编码遗传算法在进行大规模机组组合问题求解时，具有很强的适应性和全局搜索能力，而且系统规模越大算法的优化结果越理想。
因此，矩阵实数编码遗传算法的求解结果优于穷举搜索法，但矩阵实数编码遗传算法有一定的随机性，需多运行几次才能得到最优解。
六、模型的改进及评价
6.1模型的改进
模型改进一：机组组合优化模型I与II的改进
在机组组合优化模型I、II中，通过二次函数对空载成本和增量成本曲线参数进行拟合过程中，采用二次函数拟合误差比较大（增量成本变化幅度比较小），特别是机组规模比较小的时候更是如此。
鉴于此种情况，当机组规模比较大时，可以采取平滑曲线进行拟合。如问题三，可以利用二次函数进行拟合，根据运行结果可以看出误差更小，机组启停更合理，发电成本更小。
此外，当机组规模相对较小时，可以不进行曲线拟合，直接采取分段函数，编程求解。如问题一和二，利用C++编程，采取穷举搜索法求解，精度会更高。
模型改进二：基于矩阵实数编码遗传算法的改进
在矩阵实数编码遗传算法步骤中，根据实际情况（如机组规模，时段等问题）可以对各步骤进行优化或改进。如Step7变异，本文实在时段内列向量进行的，相当于发电
机组i i在不同时段发电出力的重新调整。因此，还可以采用多窗口变异操作【1】。此操作是在个体内行向量间进行的，相当于在不同发电机组间进行发电出力的重新调整。此法
具有经济负荷分配的功能，并且，由于是同时进行多个时段的负荷分配调整，故执行效率较高。当然，二者相结合，效果更佳。
6.2模型的评价
优点：
第一，提供了一种求解多变量、多约束的混合整数非线性规划的机组组合优化问题的思路，此方法新颖可靠易行，极具参考价值。
第二，采用MRCGA算法求解机组组合问题的新方法。利用二维实数矩阵对发电计划安排进行编码，将机组组合问题转化为单层优化问题进行求解，因而降低了算法的时间复杂度。运用个体调整方法处理各项约束条件，确保了优化结果的可行性，使该算法更易于应用实际。
第三，矩阵实数编码遗传算法（MRCGA）适合求解大规模机组组合问题。通过MATLAB仿真计算、不同迭代次数比较分析以及同其他方法（如穷举法）的对比分析，验证了该方法在进行大规模机组组合问题求解时，具有很强的适应性和全局搜索能力，而且系统规模越大算法的优化结果越理想。
缺点：
第一，采用二次函数对空载成本和增量成本曲线参数进行拟合过程中，拟合误差比较大。特别是机组规模比较小时更是如此。
第二，MRCGA算法对小规模机组组合问题求解结果精度不高，误差大。
参考文献：
[1] 刘琼荪，龚劬，何中市，傅鹂，任善强，数学实验，北京：高等教育出版社，2004
[2] 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2006
[3] 孙力勇，张焰，蒋传文，基于矩阵实数编码遗传算法求解大规模机组组合问题，中
国机电工程学报，第26卷（2期），2006
[4] 赵东方，数学模型与计算，北京：科学出版社，2007
附录
附录1 问题1的C++求解程序
#include
#include
using namespace std;
double cost1(double x);
double cost2(double x);
int get_total_price();
void fun(int i);
ofstream fout("11.doc");
const int hour = 5;
// 最大出力
int pmax[2] = {200, 100};
// 最大增出力
int pcmax[2] = {30, 40};
// 最大减出力
int pdmax[2] = {50, 60};
// 状态
int state[2][hour] = {{1}, {0}};
// 负荷
int demand[5] = {0, 100, 130, 170, 140}; // 启动费用
int start[2] = {350, 100};
// 机组各时段状态
int power[2][5] = {{100}, {0}};
// 系统备用要求
int b_power[hour] = {0, 20, 30, 50, 40}; // 最小费用
int minprice = 9999999;
int main()
{
fun(1);
return 0;
}
// 机组1成本
double cost1(double x)
{
if (x <= 100)
{
return 100 + 10*x;
}
else
{
return 14*x - 300;
}
}
// 机组2成本
double cost2(double x)
{
交巡警服务平台的设置与调度 摘要 由于警务资源有限，需要根据城市的实际情况与需求建立数学模型来合理地确定交巡警服务平台数目与位置、分配各平台的管辖范围、调度警务资源。设置平台的基本原则是尽量使平台出警次数均衡，缩短出警时间。用出警次数标准差衡量其均衡性，平台与节点的最短路衡量出警时间。 对问题一，首先以出警时间最短和出警次数尽量均衡为约束条件，利用无向图上任意两点最短路径模型得到平台管辖范围，并运用上下界网络流模型优化解,得到A区平台管辖范围分配方案。发现有6个路口不能在3分钟内被任意平台到达，最长出警时间为5.7分钟。 其次，利用二分图的完美匹配模型得出20个平台封锁13个路口的最佳调度方案，要完全封锁13个路口最快需要8.0分钟。 最后，以平台出警次数均衡和出警时间长短为指标对方案优劣进行评价。建立基于不同权重的平台调整评价模型，以对出警次数均衡的权重u和对最远出警距离的权重v 为参数，得到最优的增加平台方案。此模型可根据实际需求任意设定权重参数和平台增数，由此得到增加的平台位置，权重参数可反映不同的实际情况和需求。如确定增加4个平台，令u=0.6，v=0.4，则增加的平台位置位于21、27、46、64号节点处。 对问题二，首先利用各区平台出警次数的标准差和各区节点的超距比例分析评价六区现有方案的合理性，利用模糊加权分析模型以城区的面积、人口、总发案次数为因素来确定平台增加或改变数目。得出B、C区各需改变2个平台的位置，新方案与现状比较，表明新方案比现状更合理。D、E、F区分别需新增4、2、2个平台。利用问题一的基于不同权重的平台调整评价模型确定改变或新增平台的位置。 其次，先利用二分图的完美匹配模型给出80个平台对17个出入口的最优围堵方案，最长出警时间12.7分钟。在保证能够成功围堵的前提下，若考虑节省警力资源，分析全市六区交通网络与平台设置的特点，我们给出了分阶段围堵方案，方案由三阶段构成。最多需调动三组警力，前后总共需要29.2分钟可将全市路口完全封锁。此方案在保证成功围堵嫌疑人的前提下，若在前面阶段堵到罪犯，则可以减少警力资源调度，节省资源。 【关键字】：不同权重的平台调整评价模糊加权分析最短路二分图匹配
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
基于系统综合评价的城市表层土壤重金属污染分析 摘要 本文针对城市表层土壤重金属污染问题，首先对各重金属元素进行分析，然后对各种重金属元素的基本数据进行统计分析及无量纲化处理，再对各金属元素进行相关性分析，最后针对各个问题建立模型并求解。 针对问题一，我们首先利用EXCEL 和 SPSS 统计软件对各金属元素的数据进行处理，再利用Matlab 软件绘制出该城区内8种重金属元素的空间分布图最后通过内梅罗污染 模型：2 /12 max 22?? ? ? ??+=P P P 平均综，其中平均P 为所有单项污染指数的平均值，max P 为土壤环境中 针对问题二,我们首先利用EXCELL 软件画出8种元素在各个区内相对含量的柱状图，由图可以明显地看出各个区内各种元素的污染情况，然后再根据重金属元素污染来源及传播特征进行分析，可以得出工业区及生活区重金属的堆积和迁移是造成污染的主要原因，Cu 、Hg 、Zn 主要在工业区和交通区如公路、铁路等交通设施的两侧富集，随时间的推移，工业区、交通区的土壤重金属具有很强的叠加性，受人类活动的影响较大。同时城市人口密度，土地利用率，机动车密度也是造成重金属污染的原因。 针对问题三，我们从两个方面考虑建模即以点为传染源和以线为传染源。针对以点为传染源我们建立了两个模型：无约束优化模型()[]()[]() 22y i y x i x m D -+-=，得到污染源的位置坐标()6782,5567；有衰减的扩散过程模型得位置坐标（8500,5500），模型为： u k z u c y u b x u a h u 222 2222222-??+??+??=??， 针对以线为传染源我们建立了l c be u Y ?-+=0模型，并通过线性拟合分析线性污染源的位置。 针对问题四，我们在已有信息的基础上，还应收集不同时间内的样点对应的浓度以及各污染源重金属的产生率。根据高斯浓度模型建立高斯修正模型，得到浓度关于时间和空间的表达式ut e C C -?=0。 在本题求解过程中，我们所建立的模型与实际紧密联系，有很好的通用性和推广性。但在求点污染源时，我们假设只有一个污染源，而实际上可能有多个点污染源，从而使得误差增大，或者使污染源的位置够不准确。 关键词 内梅罗污染模型 无量纲化 相关性 回归模型 高斯浓度模型
２01４高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为,我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。 我们参赛选择的题号是(从Ａ/B/C/Ｄ中选择一项填写)：B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）: 所属学校（请填写完整的全名)： 参赛队员(打印并签名) :1. 2． 3．
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名): ?（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致,只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。) 日期： 20１4 年 9 月15日 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号）:
２０14高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用）：
车道被占用对城市道路通行能力的影响 摘要 随着城市化进程加快，城市车辆数的增加，致使道路的占用现象日益严重，同时也导致了更多交通事故的发生。而交通事故发生过程中，路边停车、占道施工、交通流密增大等因素直接导致车道被占用，进而影响了城市道路的通行能力。本文在视频提供的背景下通过数据采集，利用数据插值拟合、差异对比、车流波动理论等对这一影响进行了分析，具体如下： 针对问题一，首先根据视频1中交通事故前后道路通行情况的变化过程运用物理观察测量类比法、数学控制变量法提取描述变量（如事故横断面处的车流量、车流速度以及车流密度）的数据，从而通过研究各变量的变化，来分析其对通行能力的影响。而视频1中有一些时间断层，我们可根据现有的数据先用统计回归对各变量数据插值后再进行拟合，拟合过程中利用残差计算值的大小来选择较好的模型来反应各变量与事故持续时间的关系，进而更好地说明事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化过程。 针对问题二：沿用问题一中的方法，对视频2中影响通行能力的各个变量进行数据采集，同样使用matlab对时间断层处进行插值拟合处理，再将所得到的的变化图像与题一中各变量的变化趋势进行对比分析，其中考虑到两视频的时间段与两视频的事故时长不同，从而采用多种对比方式（如以事故发生前、中、后三时段比较差值、以事故相同持续时间进行对比、以整个事故时间段按比例分配时间进行对比）来更好地说明这一差异。由于小区口的位置不同、时间段是否处于车流高峰期以及1、2、3道车流比例不同等因素的影响，采用不同的数据采集方式使采集的变量数据的实用性更强，从而最后得到视频1中的道路被占用影响程度高于视频2中的影响程度，再者从差异图像的变化波动中得到验证，使其合理性更强。 针对问题三：运用问题1、2中三个变量与持续时间的关系作为纽带，再根据附件5中的信号相位确定出车流量的测量周期为一分钟，测量出上游车流量随时间的变化情况，而事故横断面实际通行能力与持续时间的关系已在1、2问中由拟合得到，所以再根据波动理论预测道路异常下车辆长度模型的结论，结合采集数据得到的函数关系建立数学模型，最后得出事故发生后，车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间以及路段上游车流量这三者之间的关系式。 针对问题四：在问题3建立的模型下，利用问题4中提供的变量数据推导出其它相关变量值，然后代入模型，估算出时间长度，以此检验模型的操作性及可靠性。 关键词：通行能力车流波动理论车流量车流速度车流密度
优化和评价的收费亭的数量 景区简介 由於公路出来的第一千九百三十，至今发展十分迅速在全世界逐渐成为骨架的运输系统，以其高速度，承载能力大，运输成本低，具有吸引力的旅游方便，减少交通堵塞。以下的快速传播的公路，相应的管理收费站设置支付和公路条件的改善公路和收费广场。 然而，随着越来越多的人口密度和产业基地，公路如花园州公园大道的经验严重交通挤塞收费广场在高峰时间。事实上，这是共同经历长时间的延误甚至在非赶这两小时收费广场。 在进入收费广场的车流量，球迷的较大的收费亭的数量，而当离开收费广场，川流不息的车辆需挤缩到的车道数的数量相等的车道收费广场前。因此，当交通繁忙时，拥堵现象发生在从收费广场。当交通非常拥挤，阻塞也会在进入收费广场因为所需要的时间为每个车辆付通行费。 因此，这是可取的，以尽量减少车辆烦恼限制数额收费广场引起的交通混乱。良好的设计，这些系统可以产生重大影响的有效利用的基础设施，并有助于提高居民的生活水平。通常，一个更大的收费亭的数量提供的数量比进入收费广场的道路。 事实上，高速公路收费广场和停车场出入口广场构成了一个独特的类型的运输系统，需要具体分析时，试图了解他们的工作和他们之间的互动与其他巷道组成部分。一方面，这些设施是一个最有效的手段收集用户收费或者停车服务或对道路，桥梁，隧道。另一方面，收费广场产生不利影响的吞吐量或设施的服务能力。收费广场的不利影响是特别明显时，通常是重交通。 其目标模式是保证收费广场可以处理交通流没有任何问题。车辆安全通行费广场也是一个重要的问题，如无障碍的收费广场。封锁交通流应尽量避免。 模型的目标是确定最优的收费亭的数量的基础上进行合理的优化准则。 主要原因是拥挤的
SARS传播的数学模型 (轩辕杨杰整理) 摘要 本文分析了题目所提供的早期SARS传播模型的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足.第一，混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进行预测，后期预测结果不够准确；第三，模型的参数L、K的设定缺乏依据，具有一定的主观性. 针对早期模型的不足，在系统分析了SARS的传播机理后，把SARS的传播过程划分为：征兆期，爆发期，高峰期和衰退期4个阶段.将每个阶段影响SARS 传播的因素参数化，在传染病SIR模型的基础上，改进得到SARS传播模型.采用离散化的方法对本模型求数值解得到：北京SARS疫情的预测持续时间为106天，预测SARS患者累计2514人，与实际情况比较吻合. 应用SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论：“早发现，早隔离”能有效减少累计患病人数；“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间. 在建立模型的过程中发现，需要认清SARS传播机理，获得真实有效的数据.而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来不小的困难. 本文分析了海外来京旅游人数受SARS的影响，建立时间序列半参数回归模型进行了预测，估算出SARS会对北京入境旅游业造成23.22亿元人民币损失，并预计北京海外旅游人数在10月以前能恢复正常. 最后给当地报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性.
1．问题的重述 SARS （严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）的爆发和蔓延使我们认识到，定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件，具有很高的重要性.现需要做以下工作： （1） 对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性. （2） 建立自己的模型，说明优于早期模型的原因；说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样做的困难；评价卫生部门采取的措施，如：提前和延后5天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播的影响. （3） 根据题目提供的数据建立相应的数学模型，预测SARS 对社会经济的影响. （4） 给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性. 2．早期模型的分析与评价 题目要求建立SARS 的传播模型，整个工作的关键是建立真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型.如何结合可靠、足够这两个要求评价一个模型的合理性和实用性，首先需要明确： 合理性定义 要求模型的建立有根据，预测结果切合实际. 实用性定义 要求模型能全面模拟真实情况，以量化指标指导实际. 所以合理的模型能为预防和控制提供可靠的信息；实用的模型能为预防和控制提供足够的信息. 2.1早期模型简述 早期模型是一个SARS 疫情分析及疫情走势预测的模型， 该模型假定初始时刻的病例数为0N ， 平均每病人每天可传染K 个人（K 一般为小数），K 代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关.整个模型的K 值从开始到高峰期间保持不变，高峰期后 10天的范围内K 值逐步被调整到比较小的值，然后又保持不变. 平均每个病人可以直接感染他人的时间为L 天.整个模型的L 一直被定为20.则在L 天之内，病例数目的增长随时间t (单位天)的关系是： t k N t N )1()(0+?= 考虑传染期限L 的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢.采用半模拟循环计算的办法，把到达L 天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉. 2.2早期模型合理性评价 根据早期模型对北京疫情的分析与预测，其先将北京的病例起点定在3月1日，经过大约59天在4月29日左右达到高峰，然后通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以前的K =0.13913.高峰期后的K 值按香港情况变化，即10天范围内K 值逐步被调整到0.0273.L 恒为20.由此画出北京3月1日至5月7日疫情发展趋势拟合图像以及5月7日以后的疫情发展趋势预测图像，如图1.
上海世博会影响力的定量评估 摘要 本文主要针对世博会对上海市的发展产生的影响力进行定量评估。 在模型一中，首先我们从上海的城市基础设施建设这一侧面定量评估世博会对上海市的发展产生的影响，而层次分析法是对社会经济系统进行系统分析的有力工具。所以 我们运用层次分析法，构造成对比矩阵a ，找到最大特征值λ，运用1 n CI n λ-=-进行一致 性检验，这样对成对比矩阵a 进行逐步修正，最终可以确定权向量。再运用模糊数学的综合评价法，通过组合权向量就可以得出召开世博会比没有召开世博会对上海城市基本设施建设的影响要高出40%。 在模型二中，上海世博会的影响力直接体现在GDP 上，我们直接以GDP 这个硬性直接指标来衡量上海世博会对上海的影响。因此我们运用线性回归的模型预测出在有无上海世博会这两者情况下的GDP 的值，并将运用线性回归得到的数据与上海统计年鉴中的相关数据进行比较运算，算出误差在1.2%左右，这说明我们用线性回归得到的模型能准确地反映出世博会对上海GDP 的影响。运用公式21 1 100%Q Q Q η-=?可以计算出世博对上海GDP 的影响力的大小为1983417833 100%11.2%17833 η-= ?=。 关键词：层次分析法 模糊数学 线性回归 城市基础建设 GDP
1 问题重述 2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。 2 问题分析 对于模型一，为了定量评估2010年上海世博会的影响力，我们首先选取城市基础设施建设的投入这一个侧面，因为通过查找相关数据，我们发现，城市基础设施建设的投入在上海整个GDP的增长中占有很大的比重，对GDP的贡献占主体地位。而层次分析法是对社会经济系统进行系统分析的有力工具。为此，我们通过研究上海统计局的相关数据，使用层次分析法来评估世博会的召开对基础设施建设的投入的影响，目标层为世博会的召开对基础设施建设的投入的影响，准则层依次为电力建设、交通运输、邮电通信、公用事业、市政建设，方案层依次为没有召开世博时的影响、召开世博时的影响。首先我们通过层次分析法算出电力建设、交通运输、邮电通信、公用事业、市政建设的相对权重，然后应用模糊数学中的综合评价法对上海世博会对城市基础设施建设的影响作出综合的评价，应用综合评价法计算出没有召开世博和召开世博两种情况下的权重，从而得出上海世博会的召开对城市基础设施建设的影响。 对于模型二，直接以GDP这个硬性直接指标来衡量上海世博会对上海的影响。先根据上海没有申办世博会的GDP总额的相关数据，建立线性回归模型，由此预测不举办世博会情况下2010年上海市的GDP总额；再由2002年至2009年的GDP值用线性回归预测出举办世博会情况下2010年上海市的GDP总额，并将两种情况进行对比得出世博会对上海GDP的影响。 3 模型假设 3.1假设非典和奥运等重大事件对世博前的城市基础建设的投入影响很小，可以忽略。 3.2 假设不同时期国家的经济实力不同，对城市基础建设的投入影响很小，可以忽略。 3.3 假设我们查到的数据真实可靠。 4符号说明 CI为一致性指标； RI为随机一致性指标； CR为一致性比率； λ为成对比较矩阵的最大特征值； () 1,2,3,4,5 y i=分别为电力建设、交通运输、邮电建设、共用设施、市政建设2010 i 年各项投入金额的理论预测值；
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参 赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等） 与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或 其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文 引用处和参考文献中明确列出。 我们重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违 反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3.
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2014 年 9 月 15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 王静茹 2. 杨曼 3. 朱元霞 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 2010年上海世博会经济影响力的定量评估 摘要 本文选取2010年上海世博会对上海经济的影响作为研究对象，首先，我们选择了 五届影响力较大的世博会与上海世博会进行了定量的纵向评估。 利用互联网的相关数据，运用层次分析法确定了各级评价指标的相对权重，然后 利用模糊综合评判法给这六届世博会的经济影响力进行了定量评估，利用MATLAB 计算出了1933年芝加哥世博会以来六届综合性世博会的经济影响力的综合评分依次为 75.12、80.01、80、11、77.35、79.35、80.75，由表我们可以肯定上海世博会的经济影响力是继1851年伦敦世博会以来较强的。 其次我们采用投入——产出模型模型的核心思想，以年份与GDP 的对数值的二次 相关关系和上海市社会固定资产总投入与GDP 的对数值的线性关系，利用上海统计年鉴发布的数据，分别建立无世博影响的表达式i i i x x x e Q 21210904.01117.00032.06278.81-++=，与有世博影响的表达式i i i x x x e Q 21212955.00176.00019.01211.82+-+=，两式的预测误差均在1.1%以内。与 2008年真实值比较，用表达式1Q 预测2008年的GDP 的值可以得出世博会对2008年上海市经济贡献率达到20.9%。并且在得知申办世博会后第i 年上海市固定投入总额的前提下由%1002 12?-=Q Q Q η可求出世博会对上海地区经济的持续性积极影响。如假设2011年市固定资产总投资为5600亿元，则世博会对上海经济有16%的积极影响。 最后,经过对2010年上海世博会的经济影响力的两方面的评估,我们得知上海世博 会在历届世博会的经济影响力的综合评分中是最高的。由此得出,上海世博会对上海经济的影响力是非常大的,此次世博会除了对上海的直接收益影响明显外, 世博会对上海地区经济的持续性积极影响。 关键词：层次分析 模糊综合评判 投入——产出模型 回归模型 一、问题重述 2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。 二、问题分析
基于打车软件的出租车供求匹配度模型研究与分析 摘要 目前城市“出行难”、“打车难”的社会难题导致越来越多的线上打车软件出现在市场上。“打车难”已成为社会热点。以此为背景，本文将要解决分析的三个问题应运而生。 本文运用主成分分析、定性分析等分析方法以及部分经济学理论成功解决了这三个问 题，得到了不同时空下衡量出租车资源供求匹配程度的指标与模型以及一个合适的补贴 方案政策，并对现有的各公司出租车补贴政策进行了分析。 针对问题一，根据各大城市的宏观出租车数据，绘制柱形图进行重点数据的对比分 析，首先确定适合进行分析研究的城市。之后，根据该市不同地区、时间段的不同特点 选择多个数据样本区，以数据样本区作为研究对象，进行多种数据（包括出租车分布、 出租车需求量等）的采集整理。接着，通过主成分分析法确定模型的目标函数、约束条 件等。最后运用spss软件工具对数据进行计算，求出匹配程度函数F 与指标的关系式， 并对结果进行分析。 针对问题二，在各公司出租车补贴政策部分已知的情况下，综合考虑出租车司机以 及顾客两个方面的利益，分别就理想情况与实际情况进行全方位的分析。在问题一的模 型与数据结果基础上，首先分别从给司机和乘客补贴两个角度定性分析了补贴的效果。 重点就给司机进行补贴的方式进行讨论，定量分析了目前补贴方案的效果，得出了如果 统一给每次成功的打车给予相同的补贴无法改善打车难易程度的结论，并对第三问模型 的设计提供了启示，即需要对具有不同打车难易程度和需求量的区域采取分级的补贴政 策。 针对问题三，在问题二的基础上我们设计了一种根据不同区域打车难易程度和需求
量来确定补贴等级的方法。设计了相应的量化指标，以极大化各区域打车难易程度降低 的幅度之和作为目标，建立该问题的规划模型。目的是通过优化求解该模型，使得通过 求得的优化补贴方案，能够优化调度出租车资源，使得打车难区域得到缓解。通过设计 启发式原则和计算机模拟的方法进行求解，并以具体案例分析得到，本文方法相对统一 的补贴方案而言的确可以一定程度缓解打车难的程度。 关键词：主成分分析法，供求匹配度，最优化模型，出租车流动平衡 1
城市表层土壤重金属污染分析 摘要 本文旨在对城市土壤地质环境的重金属污染状况进行分析，建立模型对金属污染物的分布特点、污染程度、传播特征以及污染源的确定进行有效的描述、评价和定位。 对于重金属空间分布问题，首先基于克里金插值法，应用Surfer 8软件对各数据点的分布情况进行模拟，得到了直观的重金属污染空间分布图形；随后，分别用内梅罗综合污染指数以及模糊评价标准和模型对城区内不同区域重金属的污染程度进行了评判。 对于金属污染的主要原因分析问题，基于因子分析法、问题一的结果和对各个金属污染物的来源分析等因素，判断出金属污染的主要原因有：工业生产、汽车尾气排放、石油加工并推测该区域是镍矿富集区。随后讨论了污染源之间的相互关系和不同金属的污染贡献率。 针对污染源位置确定问题，我们建立了两个模型：模型一以流程图的形式出现，基于污染传播的一般规律建立模型，求取污染源范围，模型作用更倾向于确定污染源的位置；模型二基于最小二乘法原理，建立了拟合二次曲面方程，在有效确定污染源的同时也反映了其传播特征，模型更加清楚，理论性也更强。 在研究城市地质环境的演变模式问题中，我们对针对污染源位置确定问题所建模型的优缺点进行了评价，同时建立了考虑了时间，地域环境和传播媒介的污染物传播模型，从而反映了地质的演变。 综上所述，本文模型的特点是从简单的模型建立起，强更准确的数学模型发展，逐步达到目标期望。 关键词：重金属污染，克里金插值最小二乘法因子分析流程图
一、问题重述 1.1问题背景 随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。评价和研究城市土壤重金属污染程度，讨论土壤中重金属的空间分布，研究城市土壤重金属污染特征、污染来源以及在环境中迁移、转化机理，并对城市环境污染治理和城市进一步的发展规划提出科学建议，不仅有利于城市生态环境良性发展，有利于人类与自然和谐，也有利于人类社会 健康和城市可持续发展[1] 。按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。 现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS 记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。 1.2 目标任务 (1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。 (2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。 (3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。 (4) 分析所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，分析还应收集的信息，并进一步探索怎样利用收集的信息建立模型及解决问题。 二、 模型假设 1）忽略地下矿源对污染物浓度的影响； 2）认为海拔对污染物的分布较小，故只在少数模型中讨论其作用； 3）认为题目中的采样方式是科学的，能够客观反映污染源的分布。 三、 符号说明 3.1第一问中的符号说明 i p ——污染物i 的环境污染指数 i C ——污染物i 的实测值 i S ——污染物i 的背景值 m ax (/)i i C S ——土壤污染指数的最大值 (/)i i avg C S ——土壤污染指数的平均值
Haozl觉得数学建模论文格式这么样设置 版权归郝竹林所有，材料仅学习参考 版权：郝竹林 备注☆ ※§等等字符都可以作为问题重述左边的。。。。。一级标题 所有段落一级标题设置成段落前后间距13磅 图和表的标题采用插入题注方式题注样式在样式表中设置居中五号字体 Excel中画出的折线表字体采用默认格式宋体正文10号 图标题在图上方段落间距前0.25行后0行 表标题在表下方段落间距前0行后0.25行 行距均使用单倍行距 所有段落均把4个勾去掉 注意Excel表格插入到word的方式在Excel中复制后，粘贴，word2010粘贴选用使用目标主题嵌入当前 Dsffaf 所有软件名字第一个字母大写比如E xcel 所有公式和字母均使用MathType编写 公式编号采用MathType编号格式自己定义
农业化肥公司的生产与销售优化方案 摘 要 要求总分总 本文针对储油罐的变位识别与罐容表标定的计算方法问题，运用二重积分法和最小二乘法建立了储油罐的变位识别与罐容表标定的计算模型，分别对三种不同变位情况推导出的油位计所测油位高度与实际罐容量的数学模型，运用matlab 软件编程得出合理的结论，最终对模型的结果做出了误差分析。 针对问题一要求依据图4及附表1建立积分数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。我们作图分析出实验储油罐出现纵向倾斜 14.时存在三种不同的可能情况，即储油罐中储油量较少、储油量一般、储油量较多的情况。针对于每种情况我们都利用了高等数学求容积的知识，以倾斜变位后油位计所测实际油位高度为积分变量，进行两次积分运算，运用MATLAB 软件推导出了所测油位高度与实际罐容量的关系式。并且给出了罐体倾斜变位后油位高度间隔为1cm 的罐容标定值（见表1），最后我们对倾斜变位前后的罐容标定值残差进行分析，得到样本方差为4103878.2-?，这充分说明残差波动不大。我们得出结论：罐体倾斜变位后，在同一油位条件下倾斜变位后罐容量比变位前罐容量少L 243。 表 1.1 针对问题二要求对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。我们根据实际储油罐的特殊构造将实际储油罐分为三部分，左、右球冠状体与中间的圆柱体。运用积分的知识，按照实际储油罐的纵向变位后油位的三种不同情况。利用MATLAB 编程进行两次积分求得仅纵向变位时油量与油位、倾斜角α的容积表达式。然后我们通过作图分析油罐体的变位情况，将双向变位后的油位h 与仅纵向变位时的油位0h 建立关系表达式01.5(1.5)cos h h β=--，从而得到双向变位油量与油位、倾斜角α、偏转角β的容积表达式。利用附件二的数据，采用最小二乘法来确定倾斜角α、偏转角β的值，用matlab 软件求出03.3=α、04=β α=3.30，β=时总的平均相对误差达到最小，其最小值为0.0594。由此得到双向变位后油量与油位的容积表达式V ，从而确定了双向变位后的罐容表(见表2)。 本文主要应用MATLAB 软件对相关的模型进行编程求解，计算方便、快捷、准确，整篇文章采取图文并茂的效果。文章最后根据所建立的模型用附件2中的实际检测数据进行了误差分析，结果可靠，使得模型具有现实意义。 关键词：罐容表标定；积分求解；最小二乘法；MATLAB ；误差分
交巡警服务平台的设置与调度的数学模型 摘要 针对交巡警服务平台的设置与调度问题，本文主要考虑出警速度和各服务平台的工作量来建立合理方案。对于A区的20个交巡警服务平台分配管辖范围的问题，我们采用Dijkstra算法，分别求得在3分钟内从服务台可以到达的路口。根据就近原则，每个路口归它最近的服务台管辖。 对进出A区的13个交通要道进行快速全封锁，我们采用目标规划进行建模，运用MATLAB软件编程，先找出13个交通要道到20个服务台的所有路径。然后在保证全封锁时间最短的前提下，再考虑局部区域的封锁效率，即总封锁时间最短，封锁过程中总路程最小，从而得到一个较优的封锁方案。 为解决前面问题中3分钟内交巡警不能到达的路口问题，并减少工作量大的地区的负担，这里工作量以第一小问中20个服务台覆盖的路口发案率之和以及区域内的距离的和来衡量。对此我们计划增加四个交巡警服务台。避免有些地方出警时间过长和服务台工作量不均衡的情况。 对全市六个区交警平台设计是否合理，主要以单位服务台所管节点数，单位服务台所覆盖面积，以及单位服务台处理案件频率这些因素进行研究分析。以A 区的指标作为参考，来检验交警服务平台设置是否合理。 对于发生在P点的刑事案件，采用改进的深度搜索和树的生成相结合的方法，对逃亡的犯罪嫌疑人进行可能的逃逸路径搜索。由于警方是在案发后3分钟才接到报警，因此需知道疑犯在这3分钟内可能的路线。要想围堵嫌疑犯，服务台必须要在嫌疑犯到达某节点之前到达。用MATLAB编程，搜索出嫌疑犯可能逃跑的路线，然后调度附近的服务台对满足条件的节点进行封锁，从而实现对疑犯的围堵。 关键词：Dijkstra算法；目标规划；搜索；
承诺书 我们仔细阅读了数学建模竞赛选拔的规则. 我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： 队员签名：1. 2. 3. 日期：年月日
2012年河南科技大学数学建模竞赛选拔 编号专用页 评阅编号（评阅前进行编号）： 评阅记录（评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注
C题数学建模竞赛成绩评价与预测 一、摘要 近20 年来，CUMCM 的规模平均每年以20％以上的增长速度健康发展，是目前全国高校中规模最大的课外科技活动之一。本文对数学建模竞赛成绩的评价与预测问题进行了建模、求解和相关分析。 对于问题一，首先对广东赛区各院校2008-2011年建模奖励数据进行统计分析，将决策问题分为三个层次，建立多层次模糊综合评判模型。在该模型中，将因素集{国家一等奖，国家二等奖，省一等奖，省二等奖，省三等奖}看作准则层，将2008-2011各年建模情况看作方案层，结合实际情况，给出改进综合评判模型，解得广东金融学院、华南农业大学的总体综合评定成绩分别2.9474、2.7141,排名第一、第二。 对于问题二，首先建立单年的综合评定模型，得出广州赛区各院校2008-2011年的综合评定成绩。鉴于仅有4组数据，分别采用GM(1，1)法、回归曲线最小二乘法、移动平均法进行建模，最后结合实际情况并根据结果对比以上三种模型，确定了移动平均法方案最优，最终得出广东金融学院、华南农业大学的综合评定成绩分别为0.7369、0.6785，依旧排名第一、第二，较好地解决了问题二。 对于问题三，鉴于附件2所给数据冗杂庞大，故从中抽取2008-2011年的建模数据作为样本，分别统计出本科组和专科组在这四年中每年获得国家一等奖和国家二等奖的人数；将问题一中国家一等奖、二等奖的权重进行归一化处理，建立类似问题一的特殊综合评判模型，得出本科组哈尔滨工业大学、解放军信息工程大学的综合评定成绩分别为5.5117、4.6609；专科组海军航空工程学院、太原理工轻纺与美术学院的综合评定成绩分别为1.3931、1.3095，名列各组第一、第二，问题三得到了较好解决。 对于问题四，除全国竞赛成绩、赛区成绩外，讨论了学生的能力、参赛队数、师资力量、学校的综合实力、硬件设施等因素对建模成绩评估的影响，考虑首先对因素集进行模糊聚类分析，然后用层次分析法来进行评价，用BP神经网络结合Matlab软件来进行预测，理论上问题四能够得到较好地得到解决。 关键词: 模糊综合评判模型GM（1，1）模型移动平均法综合评定成绩
2015湖南省研究生数学建模竞赛参赛承诺书 我们仔细阅读了湖南省研究生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权湖南省研究生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从组委会提供的试题中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果组委会设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日 评阅编号（由组委会评阅前进行编号）： 2015湖南省研究生数学建模竞赛 编号专用页 评阅编号（由组委会评阅前进行编号）： 评阅记录（可供评阅时使用）：
湖南省首届研究生数学建模竞赛 题目航班计划的合理编排 摘要: 本文从提高飞机利用率，降低运行成本，提高航空公司经济效益等角度出发，来研究航班计划的合理编排。我们先后建立了，相关性分析模型，0-1整数规划模型，改进的0-1整数规划，鲁棒性评价模型等模型，并运用matlab，spss等相关软件对各模型进行求解，进而对题中各问题给出了相应的解答。 针对问题1，首先对附件1中的数据进行了检查，并合理地更改了一些不合理的数据，例如对附件1中餐食费为0的数据我们进行了合理的更改（见附录附表1）。其次，为了找到影响航班收益的主要因素，我们求出了各航线的收益， 建立了相关性分析模型，并给出了附件1中各因素与航班收益的相关系数。通过对相关系数排序，我们找出了8各主要因素（见表1）。同时基于这8个主要因素，我们对亏损航线提出了相应的整改措施。 针对问题2，首先根据问题中的假设条件，我们将求解航空公司收益最大化问题转化为了求解飞机利用率最高的问题。为使飞机利用率最高，我们假设每架飞机每天的最大飞行时间为17.5小时，并针对西安、天津两个独立基地以及A320、E190两种机型分别建立了4个0-1整数规划模型，并将其转化为NP-hard问题 求解。我们利用动态规划算法，通过matlab软件求解，计算出航空公司最少需要再去租4架A320机型和2架E190机型的飞机。同时，我们还制定了下个月的航班计划（见附录附表1），并计算出公司的最大收益为4237.1万元。 针对问题3，在问题2的基础上，我们进一步考虑了飞机累计飞行130小时就必须在维修基地停场维修24小时的条件，进而建立了改进的0-1整数规划模型。通过对模型进行求解，我们计算出在问题2的基础上至少需要增加A320机型和E190机型的飞机各2架，同时列出了一份各飞机停场排班表（见表11-14）。 针对问题4，首先给出了评价航班计划“鲁棒性”的评判标准。基于该评判标准，我们对问题2中制定的航班计划的“鲁棒性”进行了评价。通过评价结果我们发现问题2的中制定的航班计划的“鲁棒性”较差。为了提高航班计划的“鲁棒性”，减少航班延误对后续航班的影响，我们根据“鲁棒性”评判标准，建立了带有“鲁棒性”约束条件的新0-1规划整数模型。通过matlab对该模型求解，我们制定了具有较好“鲁棒性”的航班计划（见附录附表2）。 关键词：相关性分析法，整数规划，动态规划 一问题重述 航班计划是航空公司运输生产计划的具体实施计划，它规定了飞行的航线、航段、机型、航班号、班次和班期、（起降）时刻等。一个合理的航班计划应该既有助于航班的安全运行，又能提高飞机的利用率，还可以有效地降低运营及维护成本，提高公司的经济效益。 国内某个以客运为主的航空公司，该公司运行指挥中心每个月的月末都会对本月各航线、